persamaan non-linear metode terbuka (iterasi sederhana dan newton raphson)

PERCOBAAN III

PERSAMAAN NON-LINEAR METODE TERBUKA

(ITERASI SEDERHANA DAN NEWTON RAPHSON)

A. Tujuan

Menentukan salah satu akar riil dari suatu fungsi non linear satu variable

menggunakan iterasi sederhana dan newton raphson.

B. Dasar Teori

Iterasi Sederhan

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x

yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). Sebagai contoh untuk menyelesaikan persamaan

x – ex = 0 maka persamaan di ubah menjadi : x = ex atau g(x) = ex. g(x) inilah yang

menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini.Metode iterasi sederhana secara

grafis dapat dijelaskan sebagai berikut :

Sehingga prosedur iterasi yang berpadanan dengan bentuk tersebut adalah :

Algoritma Metode Iterasi Sederhan :

1. Definisikan F(x) dan g(x)

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan pendekatan awal x[0]

4. Untuk iterasi = 1 s/d n atau F(x[iterasi]) ≥ e

Xi = g(xi-1)

Hitung F(xi)

5. Akar adalah x terakhir yang diperoleh.

Newton Raphson

Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik

awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.

Metode newton raphson dapat digambarkan sebagai berikut :

Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

Algoritma Metode Newton Raphson :

1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan nilai pendekatan awal x0

4. Hitung f(x0) dan f1(x0)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|≥ e

Hitung f(xi) dan f1(xi)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

C. Listing Program

Fungsi

Turunan Fungsi untuk Metode Newton Raphson

Pindah x (g(x)) untuk Metode Iterasi Sederhana

Metode Iterasi Sederhana Metode Newton Raphson

D. Algoritma

Metode Iterasi Sederhana

Metode Newton Raphson

E. Tugas

1. Tentukan the age in years Y pada kasus diatas menggunakan metode Newton

Raphson.

2. Selesaikan problem diatas menggunakan metode iterasi.

3. Analisis kelemahan dan kelebihan metode iterasi dan newton raphson.

F. Jawab

1. Fungsi Osteoporosis

Turunan Fungsi Osteoporosis untuk Metode Newton Raphson

Penyelesaian Metode Newton Raphson

2. Pindah x (g(x)) untuk Metode Iterasi Sederhana

Penyelesaian dengan Metode Iterasi Sederhana

3. Analisis kelemahan dan kelebihan metode iterasi tetap dan newton raphson

Metode iterasi titik tetap

Kelebihan :

Konvergensi dari solusi metode iterasi dapat dilacak dari perilaku turunan pertama

fungsi.

Lebih mudah dalam melakukan pemograman

Kelemahan :

Metode ini banyak memiliki iterasi

Galat yang dihasilkan lebih besar dari akarnya

Metode newton raphson

Kelebihan :

Konvergensi yang dihasilkan lebih cepat dari menggunakan metode iterasi

sederhana.

Kelemahan :

Kemungkinan sulit dalam mencari f’(xn).

Tidak selalu menemukan akar (divergen).

Penetapan harga awal (xn) yang sulit.

G. Output Program

Casson Fluid Menggunakan Metode Newton Raphson

Casson Fluid Menggunakan Metode Regula Falsi

Daftar Pustaka

Capra, Steven C and canale, 1991,”Numerical Methods for Engineers with Personal

Computer Applications”, MacGraw-Hill Book Company.

Dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id/.../files/.../Persamaan+Non-Linier.Pdf

King, M.R and Mody N.A, 2010,”Numerical and Statistical Methods for

Bioengineering”, Cambridge University Press, New York.

Munir R, 2003,”Metode Numerik”, Informatika Bandung.