mathematical models for the dynamics of tuberculosis disease in density-dependent populations

MODEL MATEMATIKA UNTUK

DINAMIKA PENYAKIT TUBERKULOSIS

YANG BERGANTUNG PADA KEPADATAN

PENDUDUK

Oleh : YUNINGSIH

Dosen Pembimbing : Dr. Salmah,M.S.

Universitas Gadjah Mada

LATAR BELAKANG

Penyakit Tuberkulosis Penyakit menular langsung yang disebabkan oleh bakteri TB (Mycobacterium Tuberculosis) yang menular dari orang ke orang lainnya melalui udara bukan melalui serangga, transfusi darah atau air minum.

Indonesia adalah negara dengan jumlah pasien TB ketiga terbanyak di dunia setelah Cina dan India dengan jumlah pasien sekitar 10% dari total jumlah pasien di dunia.

PERMASALAHAN

Bagaimana membentuk model matematika untuk penyakit Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk ?

Bagaimana menentukan nilai bilangan reproduksi dasar dengan menggunakan

metode next generation matrix ?

Apakah ada pengaruh yang signifikan antara kepadatan penduduk dengan nilai bilangan reproduksi dasar ?

Pembentukan Model

matematika untuk TB yang

bergantung pada

kepadatan penduduk

Eksistensi Titik Ekuilibrium

Bebas Penyakit

Menentukan nilai Bilangan Reproduksi

Dasar dengan menggunakan Metode Next Generation

Matrix

Menentukan kestabilan Titik

Ekuilibrium Bebas Penyakit

Melihat pengaruh antara Kepadatan Penduduk dengan nilai Bilangan

Reproduksi Dasar

TUJUAN PENELITIAN

DASAR TEORI

Titik Ekuilibrium

Definisi 1 Diberikan sistem 𝒙 = 𝒇(𝒙). Titik 𝒙 ∈ ℝ𝑛 disebut titik ekuilibrium (titik

kesetimbangan) sistem 𝒙 = 𝒇(𝒙) jika f(𝒙 ) = 0.

Linearisasi Definisi 2 Sistem linear 𝒙 = 𝐽(𝒇 𝒙 )(𝒙 − 𝒙 ) disebut linearisasi sistem nonlinear

𝒙 = 𝒇(𝒙) di sekitar titik 𝒙 dengan 𝐽(𝒇 𝒙 ) merupakan matriks Jacobian dari f di

titik 𝒙 .

Dengan

𝐽 𝒇 𝒙 =

𝜕𝑓1

𝜕𝑥1

𝑥 𝜕𝑓1

𝜕𝑥2

𝑥 ⋯𝜕𝑓1

𝜕𝑥𝑛

𝑥

𝜕𝑓2

𝜕𝑥1

𝑥 𝜕𝑓1

𝜕𝑥2

𝑥 ⋯𝜕𝑓2

𝜕𝑥𝑛

𝑥

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1

𝑥

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥2

𝑥 ⋯

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛

𝑥

Sifat kestabilan yang dilihat dari tanda determinan dan trace matriks Jacobian

Teorema 3 Diberikan 𝛿 = det 𝐴 , 𝜏 = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 0

i. Jika 𝛿 < 0 maka sistem 𝒙 = 𝒇(𝒙) sadel pada titik asal.

ii. Jika 𝛿 > 0 dan 𝜏2 − 4𝛿 ≥ 0 maka sistem 𝒙 = 𝒇(𝒙) node/titik pada titik

asal. Stabil jika 𝜏 < 0 dan tidak stabil jika 𝜏 > 0.

iii. Jika 𝛿 > 0, 𝜏2 − 4𝛿 < 0 dan 𝜏 ≠ 0 maka sistem 𝒙 = 𝒇(𝒙) fokus pada

titik asal. Stabil jika 𝜏 < 0 dan tidak stabil jika 𝜏 > 0.

iv. Jika 𝛿 > 0 dan 𝜏 = 0 maka sistem 𝒙 = 𝒇(𝒙) center pada titik asal.

Spektral Radius

Teorema 4 Diberikan T sebuah matriks positif, Σ matriks yang semua entrinya

non negatif kecuali yang terletak di diagonal dan D adalah sebuah matriks

diagonal positif. Diasumsikan batas spektral s(Σ − D) negatif. Diberikan r

menyatakan batas spektral s(T + Σ − D) dan 𝑅0 menyatakan nilai eigen dominan

dari matriks positif K = −𝑇 Σ − 𝐷 −1. Maka :

𝑟 < 0 ⟺ 𝑅0 < 1.

Asumsi-asumsi

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model matematika

Untuk dinamika penyakit Tuberkulosis yang bergantung

pada kepadatan penduduk adalah sebagai berikut :

• Dalam populasi terjadi proses kelahiran dan migrasi.

• Terjadi proses kematian alami.

• Kematian alami dapat terjadi pada kelas S, L, I , dan T.

• Penyakit dapat disembuhkan.

• Individu yang telah sembuh dapat kembali ke kelas laten.

• Penyakit menular melalui kontak langsung antara individu yang terinfeksi TB laten dengan individu yang terinfeksi TB aktif.

• Terdapat pencampuran penduduk yang homogen dimana setiap orang mempunyai peluang yang sama untuk terinfeksi karena adanya kontak dengan individu yang terinfeksi.

• Populasi didistribusikan ke seluruh wilayah dengan luas wilayah yang sangat kecil.

• Semua imigran dan kelahiran tidak terinfeksi sehingga masuk ke dalam kelas susceptible.

Model Matematika untuk Dinamika Penyakit Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk

Berdasarkan asumsi-asumsi di atas disusun bagan alir model sebagai berikut

A

IcTTIrLr

dt

dT

IrdkLdt

dI

A

IcTLrk

A

IcS

dt

dL

A

IcSS

dt

dS

221

2

211

1

)(

)(

Dari bagan alir di atas, didapat model epidemi sebagai berikut :

Eksistensi Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

0

0)(

0)(

0

221

2

211

1

A

IcTTIrLr

IrdkL

A

IcTLrk

A

IcS

A

IcSS

Dengan menyelesaikan persamaan di atas, diperoleh titik ekuilibrium

bebas penyakit yaitu :

Berdasarkan Definisi 1 di atas, kondisi setimbang dipenuhi ketika :

.0,0,0,0

E

Metode next generation matrix

• Populasi dibagi menjadi tiga kelas, yaitu :

X = (S, T), Y = L dan Z = I.

Dengan dan

menyatakan titik kesetimbangan bebas penyakit. Dengan

• Model epidemiologi dinyatakan ke dalam bentuk

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝒇(𝑿,𝒀, 𝒁)

𝒅𝒀

𝒅𝒕= 𝒈 𝑿, 𝒀, 𝒁

𝒅𝒁

𝒅𝒕= 𝒉 𝑋, 𝑌, 𝑍

𝑋 ∈ ℝ𝑟 , 𝑌 ∈ ℝ𝑠 , 𝑍 ∈ ℝ𝑛 , 𝑟, 𝑠, 𝑛 ≥ 0

𝑈0 = Λ

𝜇, 0, 0,0 ∈ ℝ𝑟+𝑠+𝑛

𝑋∗, 0, 0 = 𝑔 𝑋∗, 0, 0 = ℎ 𝑋∗, 0, 0 = 0.

• Dengan titik ekuilibrium bebas penyakit , ditentukan persamaan

• Fungsi Y disubstitusikan ke dalam persamaan h (X, Y, Z) sehingga didapat persamaan

• Selanjutnya, ditentukan derivatif parsial untuk Z terhadap

sehingga diperoleh

• H dapat dinyatakan ke dalam bentuk H = M – D, matriks non negatif dan D > 0 merupakan matriks diagonal.

• Didefinisikan Bilangan Reproduksi Dasar sebagai spektral radius (nilai eigen dominan) dari matriks , sehingga nilai

𝑈0 = 𝑋∗, 0, 0

𝑔 𝑋∗, 𝑌, 𝑍 = 0 sehingga diperoleh fungsi 𝑌 = 𝑔 𝑋∗, 𝑌 .

ℎ(𝑋∗, 𝑔 𝑋∗, 𝑌 , 𝑍).

𝐻 = 𝐷𝑧ℎ(𝑋∗, 𝑔 𝑋∗, 0 , 0). dengan 𝑀 ≥ 0 (𝑚𝑖𝑗 ≥ 0)

)( 0R1MD

ℎ 𝑋∗, 𝑔 𝑋∗, 0 , 0 .

1

0

MDR

Kestabilan di titik ekuilibrium bebas penyakit

Untuk menyelidiki kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit, dilakukan linearisasi terhadap sistem sehingga diperoleh matriks Jacobian di titik (0,0,0,0)

dengan persamaan karakteristik

21

2

11

1

0

0

0)(0

0)(0

00

rr

rdk

Acrk

Ac

J

.0

)(0

0)(0

0)(0

00)(

21

2

11

1

rr

rdk

Acrk

Ac

Sehingga diperoleh diperoleh nilai eigen matriks Jacobian

Dengan ekspansi kofaktor diperoleh matriks Jacobian

.

Titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil jika nilai trace (A) < 0 dan nilai determinan (A) > 0. Karena semua parameter bernilai positif jelas trace (A) < 0, sehingga agar titik ekuilibrium bebas penyakit stabil determinan (A) > 0. Sehingga didefinisikan :

.

)(

)(

2

11

rdk

Acrk

A

2

1

1 rd

c

rk

kA

Simulasi Numerik Dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal

tertentu yaitu :

Diperoleh :

Simulasi I

Simulasi numerik yang melihat pengaruh ukuran luas wilayah yang ditempati oleh satu populasi.

Untuk melihat pengaruh ukuran luas wilayah yang ditempati , ukuran luas wilayah yang disimulasikan bervariasi dari luas wilayah (A) = 20 km2, 200 km2 dan 2000 km2.

𝜇 = 0.022, Λ = 1500, r1 = r2 = 1.5, β1 = β2 = 2.0, c = 2.0,

d = 0.365, k = 0.00396 𝑆∗ = 5000, 𝐿∗ = 1000, 𝐼∗ = 90 𝑑𝑎𝑛 𝑇∗ = 3000.

Gambar 1 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang rentan

Gambar 2 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang laten

Gambar 3 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang terinfeksi

Gambar 4 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang sembuh

Simulasi II

Simulasi numerik yang melihat pengaruh tingkat rekrutmen

• Untuk melihat pengaruh tingkat rekrutmen pada kelas epidemiologi yang berbeda-beda, tingkat rekrutmen yang disimulasikan bervariasi dari tingkat rekrutmen 0, 1500 dan 5000.

Gambar 5 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang rentan

Gambar 6 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang laten

Gambar 7 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang terinfeksi

Gambar 8 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang sembuh

Kesimpulan

• Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil jika,

Untuk mendapatkan populasi bebas TB, daerah karakteristik per satuan individu harus selalu lebih besar dari hasil kali peluang kelangsungan hidup dari tingkat laten ke tingkat infeksi dengan jumlah infeksi laten yang dihasilkan oleh individu yang terinfeksi selama masa infeksinya.

• Didefinisikan

𝐴

𝛬𝜇 >

𝑘

𝜇 + 𝑘 + 𝑟1

𝛽1𝑐

𝜇 + 𝑑 + 𝑟2 .

12

210

rk

k

rd

c

AR

• Jika didapat

• Jika didapat

Kepadatan dari individu yang rentan menekankan pada

pengaruh ukuran luas wilayah.

• Jika luas wilayah cukup besar, kepadatan akan berkurang sehingga memperkecil nilai bilangan reproduksi dasar.

• Jika ukuran luas wilayah kecil, kepadatannya akan meningkat sehingga berakibat nilai bilangan reproduksi dasar menjadi besar.

12

21

rk

k

rd

cA

10 R

10 R

k

rk

c

rd

A

1

21

2