matdis 1-2 kuliah 1 - himpunan

Set Theory

Hand Out MATEMATIKA DISKRITSistem Informatika STMIK MH THAMRIN JAKARTA

1stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Dra. Susiana Dewi Ratih, MM

Set theory (teori himpunan)

Dasar dari matematika Melandasi hampir semua cabang ilmu

hitung modern

2stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Konsepsi himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari: Nama perkumpulan (Himpunan Pengusaha

Muda Indonesia, Himpunan Pencinta Buku) Penggolongan/pengelompokkan mainan dsb

3stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan adalah:

Suatu kumpulan atau gugus dari sejumlah obyek

4stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Teori Himpunan

Sebuah objek dalam suatu himpunan disebut sebagai elemen atau anggota himpunan. Dan suatu himpunan harus memiliki elemen atau anggota himpunan.

5stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Ketentuan dalam himpunan

Himpunan dilambangkan dengan huruf besar : A, B, C, P, Q R

Elemen dilambangkan dengan huruf kecil : a, b, c, p, q, r

6stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Notasi matematis

p ∈ A p adalah anggota, elemen atau unsur himpunan A

7stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Teori Himpunan : Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A disebut sebagai subset dari himpunan B

jika dan hanya jika setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B.

8stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

subset

Notasi A ⊂ B menunjukkan bahwa A adalah subset dari B

A ⊂ B ⇄ p ∈ A juga p∈ B9stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Teori Himpunan

Dua himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika memiliki anggota himpunan yang sama.

10stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Notasinya : Himpunan ekivalen

A = B Jika dan hanya jika:

A ⊂ B juga B ⊂ A11stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Pernyataan ingkaran

p ∉ A = p bukan elemen A A ⊄ B = A bukan himpunan bagian B A ≠ B = A tidak sama dengan B

12stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Penyajian himpunan

Ada 2 cara:

1. Cara Daftar : mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan

A = {1,2,3,4,……..}

2. Cara Kaidah: menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek anggota himpunan

A = {x ; 0 < x < 6 } atau A = {x; 1 ≤ x ≤ 5}

Artinya: Himpunan A beranggotakan obyek x yang mempunyai nilai paling sedikit sama dengan satu

13stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Himpunan Universal dan Himpunan Kosong

Kecuali dinyatakan lain, setiap himpunan tertentu dianggap terdiri dari himpunan2 bagian yang mempunyai anggota

Himpunan “besar” yang merupakan induk semua himpunan disebut HIMPUNAN UNVERSAL

Notasinya : Ustimik thamrin - sdr- matematika diskrit 14

Himpunan kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota himpunan

Notasinya : { } atau ⍉ Secara teoritik, himpunan kosong adalah himpunan bagian daris setiap himpunan yang ada

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 15

Ketentuannya

⍉ ⊂A ⊂ U Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A dimana A adalah himpunan bagian dari himpunan Universalstimik thamrin - sdr- matematika diskrit 16

Latihan soal

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 17

Operasi Himpunan

18stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Outline

• Teori Himpunan• Operasi Himpunan

(Intersection) (Complement) (Union)

(Disjoint)

Sumber : Rossen19stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

20stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Gabungan (Union)

Gabungan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang berisi semua elemen yang merupakan anggota dari sedikitnya satu himpunan dalam kumpulan tersebut.

21stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Gabungan (Union)

Jika A dan B adalah himpunan maka union dari A dan B

dinotasikan dengan AUB adalah himpunan yang berisi semua

elemen yang ada pada A, B, maupun keduanya.

22stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Irisan

Irisan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang merupakan anggota dari semua himpunan yang ada dalam kumpulan tersebut.

23stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Irisan (intersection)

Jika A dan B adalah himpunan maka irisan A dan B

dinotasikan dengan A ∩ B adalah himpunan yang berisi semua

elemen yang ada pada keduanya.

24stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Irisan 2 himpunan lepas

Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) bila irisannya adalah himpunan kosong.

25stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Komplemen

Jika A dan B adalah himpunan, maka beda A dan B dinotasikan dengan A-B adalah himpunan yang berisi elemen yang ada di A tapi tidak ada di B. Beda tersebut diistilahkan sebagai komplemen B terhadap A.

26stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Komplemen U

Jika U adalah himpunan universal, komplemen himpunan A dinotasikan dengan ~A adalah komplemen dari A terhadap U. Dengan kata lain berlaku komplemen himpunan A adalah U-A

27stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Diagram Venn

28stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Operasi Dasar

Gabungan (union) , notasi : A B = {x / x A atau x B }

Irisan(intersection), notasi : A B = {x / x A dan x B }

Komplemen, notasi : ~

~ A = {x / x A }

29stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Operasi Dasar

Selisih (difference), notasi : \ atau -

A \ B = {x / x A tetapi x B }

A \ B = A ~B

Selisih Simetri, notasi : A B = {x / x (AB) dan x (AB) }

A B = (AB) \ (AB)

A B = (AB) ~(AB)

30stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

KAIDAH KAIDAH MATEMATIK DALAM OPERASI HIMPUNAN

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 31

Kaidah Indepoten A ᴜ A = A A ∩ A = A

Kaidah Asosiatif (A u B) uC = A u B u C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩ C)

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 32

Kaidah komutatif A ∩B = B ∩ A A u B = B u A

Kaidah Distributif A U (B ∩ C) =

(AUB) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) =

(A ∩ B) U (A ∩ C)

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 33

A U { } = A A ∩ { } = { } A U U = U A ∩ U = A

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 34

Kaidah identitas

Kaidah kelengkapan

A U ~A= { } A ∩ ~A = { } ~(~A) = A ~U = { } ~ { } = U

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 35

Kaidah de Morgan

De Morgan

~ (A B) = ~A ~ B

~ (A B) = ~A ~ B

~A ~ B = tdk A dan tdk B

= tdk A maupun B

~A A = U 36stimik thamrin - sdr- matematika diskrit

Latihan soal

Lihat bahan yang sudah disiapkan

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 37

See you next week

stimik thamrin - sdr- matematika diskrit 38