logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA

Pertemuan II

Apa saja yang sudah dipelajari?

-Kalimat pernyataan-bukan pernyataan

-Kalimat terbuka-himpunan penyelesaiannya

-Ingkaran pernyataan-ingkaran kal. terbuka

-Kalimat berkuantor

-Ingkaran kalimat berkuantor

Jawaban PR

a. Dua bilangan primab. Ada orang yang beragama islam hajic. Semua bilangan komposit tidak ganjild. Ada bilangan prima yang tidak ganjile. Ada bilangan komposit yang tidak mempunyai lebih

dari dua faktorf. Semua ikan laut yang tidak bertelurg. 3 + 7 10h. 1 + 1 2i. Diagonal belah ketupat tidak sama panjangj. Semua burung dapat terbang

Apa saja yang akan dipelajari?

Pernyataan majemuk yang meliputi:

-Konjungsi-Disjungsi : Inklusif

Ekslusif- Implikasi- Biimplikasi- Tabel Kebenaran

KONJUNGSI• Lambang : ∧• Dibaca : ‘dan’ bisa juga ‘tetapi’,

‘meskipun’, ‘walaupun’, ‘namun’• Definisi: p ∧ q bernilai benar hanya jika

kedua pernyataan p dan q benar • Tabel kebenaran: p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh Konjungsi

• p: 1 > 2• q: 2 > 1• p ∧ q : 1 > 2 dan 2>1

(p) = S

(q) = B

( p ∧ q ) =

B ∧ B = B( ~p ∧ q ) =

S ∧ B = S

[~( ~p ~⋀ q)] = ~(B S) =B⋀

Contoh Konjungsi Lainnya• p: Hari ini hujan• q: Hari ini tidak ada halilintar• p ∧ q :

Hari ini hujan tetapi tidak ada halilintar• Nilai kebenarannya tergantung keadaan

saat itu p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh Konjungsi Lainnya Lagi

• Misal p(x): 1-x = 2x-5

q: 7 adalah bilangan prima

Tentukan nilai x agar (p(x) ∧ q)

a. bernilai benar! b. bernilai salah!.a (q)=B, supaya (p(x) ∧ q) = B maka (p(x)) harus B, jadi haruslah x = 2

b. supaya (p(x) ∧ q)=S maka (p(x)) harus S, jadi haruslah x2

p(x) q p(x)∧q

B B B

S B S

Latihan

p: Bunga mawar berbau harum

q: Bunga mawar berduri

Nyatakan dalam simbol p dan q!

1. Bunga mawar berbau harum tapi berduri

2. Bunga mawar tidak harum juga tidak berduri

3. Tidak benar bahwa bunga mawar harum dan tidak berduri

4. Tidak benar bahwa bunga mawar tidak berduri juga tidak berbau harum

p∧q

~p∧~q

~(p∧~q)

~(~q∧~p)

DISJUNGSI(Inklusif)

• Lambang : ∨• Dibaca : atau• Definisi : p ∨ q bernilai benar jika salah

satu atau kedua pernyataan p dan q bernilai benar

• Tabel kebenaran:p q p ∨ qB B BB S BS B BS S S

DISJUNGSI EKSLUSIF(Jarang dipakai,)

• Lambang : ∨• Dibaca : atau• Definisi : p ∨ q bernilai benar HANYA jika

salah satu dari pernyataan p atau q bernilai benar

• Tabel kebenaran:p q p∨qB B SB S BS B BS S S

Contoh Disjungsi

p: Pantai Kuta berada di Pulau Bali

q: Pulau Bali terletak di Indonesia bagian timur

maka p v q : Pantai Kuta berada di Pulau Bali atau Pulau Bali terletak di Indonesia bagian timur

(~p v q) = S v S = S

(p v ~q) =(p v ~q) =(p v q) =

B v B = BB v B = S

B v S = B

(p) = B

(q) = S

Latihan Lagi

• p: sudut lancip besarnya kurang dari 90o

• q: Indonesia adalah negara ASEAN• r: 7 adalah bilangan rasional

Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut

p ~∨ q

~p ~∨ r

(q v ~r) ~∧ q

B

B

S

B

B

S

Tabel Kebenaran

Tentukan nilai kebenaran ~pvq dengan tabel kebenaran!

p q ~p ~pvq

S

S

B

B

B

S

B

B

B B

B S

S B

S S

Contoh Lain Tabel Kebenaran

~ ( p v q )

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

S

B

Bagaimana untuk 3 proposisi?Kemungkinan Jawaban = 2n

( p v q ) v r

BBBBSSSS

BBSSBBSS

BSBSBSBS

BBBBBBSS

BBBBBBBS

Aplikasi Konjungsi pada rangkaian listrik

• Rangkaian Seri:

• Supaya arus mengalir dari A ke B, maka kedua saklar harus ditutup.

• Memiliki sifat rangkaian konjungsi• Lambang p ∧ q

A Bp q

Aplikasi Disjungsi pada rangkaian listrik

• Rangkaian Paralel:

• Supaya arus mengalir dari A ke B, maka salah satu saklar harus ditutup, atau kedua saklar ditutup.

• Memiliki sifat rangkaian disjungsi• Lambang p v q

A Bp

q

Contoh

• Lambang logikanya : (p v q) r

p

qr

PR Buat Tabel kebenaran

1. ( p ∧ q ) ∧ r

PR2.

( p ∧ q ) (~∧ p v ~ r)

PR Buat Tabel kebenaran

1. ( p q ) r

B B B B B

B B B S S

B S S S B

B S S S S

S S B S B

S S B S S

S S S S B

S S S S S

PR2.

( p q ) (~p v ~ r)

B B B S S S S B

B B B B S B B S

B S S S S S S B

B S S S S B B S

S S B S B B S B

S S B S B B B S

S S S S B B S B

S S S S B B B S

IMPLIKASI

p q pqB B BB S SS B BS S B

Lambang :

Dibaca : Jika… maka…

Definisi : p q bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah

Tabel Kebenaran :

p berimplikasi q

p syarat cukup bagi q

q syarat perlu bagi p

Contoh soal

p: 3+4=7q: sin 45o=0.5q p : Jika sin 45o=0.5 maka 3+4=7

r : Jumlah sudut segitiga = 240o

s : besar masing-masing sudut segitiga sama sisi = 80o

r s: Jika Jumlah sudut segitiga = 240o, maka besar masing-masing sudut segitiga sama sisi =80o

( p )=B

( q )=S

( q p)=B

( r)=S

( s)=S

( r s)=B

( p q)=S

BIIMPLIKASI

p q p qB B BB S SS B SS S B

Lambang :

Dibaca : … jika dan hanya jika…

Definisi : p q bernilai benar hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama

Tabel Kebenaran :

Jika p maka q dan jika q maka p

p syarat cukup dan syarat perlu bagi q

q syarat perlu dan syarat cukup bagi p

TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN KONTINGENSI

• Pernyataan majemuk yang nilai tabel kebenarannya selalu benar disebut TAUTOLOGI

• Pernyataan majemuk yang nilai tabel kebenarannya selalu salah disebut KONTRADIKSI

• Pernyataan majemuk yang nilai tabel kebenarannya ada yang benar, ada yang salah disebut KONTINGENSI

Contoh TAUTOLOGI

• [(p q) ∧ p] q

p q (p q) (p q)∧p [(p q)∧p] q

B B

B S

S B

S S

1 2 3

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

Contoh KONTRADIKSI

• [(p q) ∧ p] ~ ∧ q

p q ~q (p q) (pq)∧p [(pq)∧p] ~∧ q

B B

B S

S B

S S

1 2 3

S

B

S

B

B

S

B

B

B

S

S

S

S

S

S

S

Contoh KONTINGENSI

~ ( p v q )

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

S

B

Dua pernyataan yang EKIVALEN

• Dua pernyataan disebut ekivalen ( ) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai tabel kebenaran yang sama

• p q ~p v q , bukti:

Bukti bahwa p q ~p v q

p q p q ~p q ~p v q

B B S B

B S S S

S B B B

S S B S

B

S

B

B

B

S

B

B

SAMA

HOMEWORK

• KONJUNGSI DISJUNGSI HAL 290 • NO 2, 5, 9