limit fungsi 2
Post on 05-Aug-2015
988 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
LIMIT FUNGSI
1. TUJUAN PEMBELAJARAN
KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MATERI1. Menjelaskan limit
fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya
menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan di tak hingga
menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga
menghitung limit fungsi trigonometri di satu titik
menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit
Limit Fungsi
2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar dan trigonometri
menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan
menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi
Limit Fungsi
2
2. PETA KONSEP
LIMIT FUNGSI
MENJELASKAN SECARA INTUINTIF ARTI LIMIT FUNGSI DI SUATU
TITIK & DI TAK HINGGA
MENGGUNAKAN SIFAT LIMIT FUNGSI UNTUK BENTUK TAK TENTU FUNGSI ALJABAR DAN
TRIGONOMETRI
Arti Limit Fungsi di 1 Titik Melalui
Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik
Arti Limit Fungsi Tak Hingga
Menghitung Limit Fungsi Trigonometri
Menghitung Limit Fungsi
Aljabar
3
A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga
1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar
Titik Tersebut
Limit biasa disebut sebagai nilai pendekatan. Pengertian limit fungsi
di suatu titik dapat pula dipahami dengan cara menghitung nilai-nilai
fungsi disekitar titik yang ditinjau. Sebagai contoh diketahui fungsi
f : R → R yang ditentukan oleh f (x)=2x – 1. Jika variabel x diganti
dengan 3, maka f (3) = 2 ⋅ 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati
f (x) jika variabel x mendekati 3?. Untuk menjawab persoalan ini
diperlukan tabel sebagai berikut:
x 1,5 2,5 2,85 2,99 …
f (x) 2 4 4,7 4,98 …
Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3,
maka nilai f ( x ) mendekati 5. Apakah nilai f (x) akan mendekati 5 jika x
lebih besar dari 3?. Untuk menjawabnya kita lihat tabel berikut ini:
x … 3,01 3,10 3,50 …
f (x) … 5,02 5,20 6,00 …
Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3,
maka nilai f (x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi
f (x)=2x – 1 mempunyai limit 5 untuk x mendekati 3 dan ditulis “jika
f (x)=2x – 1, maka 2 x−1=5.x →3lim ¿ ¿
1.1. Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan
sebagai berikut:
f ( x )=L ,x→ alim ¿ ¿ jika untuk x yang dekat dengan a (tetapi x≠ a)
maka berlaku f ( x ) dekat dengan L
4
1.2. Pengertian Limit Secara Matematis
f ( x )=L ,x→ alim ¿ ¿ berarti bahwa untuk setiap bilangan positif ε yang
diberikan (betapapun kecilnya), terdapat δ >0 sedemikian sehingga
jika 0<|x−a|<δ, maka berlaku |f ( x )−L|<ε
1.3. Pengertian Limit di tak hingga
Andaikan f terdefinisi pada ¿ untuk suatu bilangan c. Dikatakan
bahwa f ( x )=L .x→ ∞lim ¿ ¿ Jika untuk setiap ε>0 (ε positif ¿ terdapat
bilangan positif M, sedemikian sehingga apabila x>M , maka
|f ( x )−L|<ε
1.4. Bentuk Tak Tentu Suatu Limit
Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :
Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan
tertentu, misalnya : .
Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai,
misalnya :
Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang,
misalnya :
Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi
bentuk tertentu.
2. Sifat-Sifat Limit
Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang
mempunyai limit untuk x → a, a ∈ R maka berlaku:
5
Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh
soal berikut.
Contoh 1
Diketahui f ( x )=2 x−5 dan g ( x )=3 x2+4 x. Tentukan:
1. f ( x )+ g ( x )=…¿¿ ¿
2. [ f ( x )+g(x )]=…x →3
lim ¿ ¿
Penyelesaian 1
1. f ( x )+g ( x )= ¿¿¿ ¿¿
¿2.3−5+3.32+4.3
¿6−5+3.9+12
¿1+27+12=40
2. [ f ( x )+g(x )]= [ (2x−5 )+ (3 x2+4 x ) ]¿
¿¿
k=kx→ alim ¿ ¿
f (x)=f (a)x→ alim ¿ ¿
k . f ( x )=k f (x)¿¿ ¿
[ f ( x ) ± g ( x ) ]=f (x )± g(x )¿¿ ¿¿
[ f ( x ) . g ( x ) ]=f ( x ) . g(x )¿¿ ¿¿
f (x )g (x)
=f (x)x→ a
lim ¿
g (x)x → alim ¿
x → alim ¿¿ ¿¿,untuk g(x )≠ 0x→ a
lim ¿ ¿
{f ( x )}n={ f (x)}n¿¿ ¿
n√ f (x)=n√ f (x)x →a
lim ¿x →a
lim ¿ , f ( x)>0x →alim ¿¿ ¿ ¿
6
¿ (3 x2+6 x−5 )x →3lim ¿ ¿
¿3. 32+6.3−5=40
3. Limit Fungsi Tak Berhingga f (x)x→ ∞lim ¿ ¿
3.1. Pengertian.
Diketahui f(x) = 2x
. Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai
berikut:
x 1 2 3 … 10 … 100 …
f (x) 2 1 23
… 15
… 150
…
Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f(x) makin lama makin
kecil. Apabila x besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x
→ ∞ , maka nilai 2x akan mendekati nol, dikatakan limit dari 2x untuk
x mendekati tak berhingga adalah nol dan ditulis: 2x=0
x→ ∞
lim ¿ ¿
.
Limit fungsi yang berbentuk f (x )g (x)x→ ∞
lim ¿ ¿
dapat diselesaikan dengan
cara membagi bagian pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan
xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x) untuk setiap n
bilangan positip dan a bilangan real, maka:
Kesimpulan dari f (x )g (x)x→ ∞
lim ¿ ¿
adalah sebagai berikut:
a xm+b xm−1+…+cp xn+q xn−1+…+r
=Lx→ ∞
lim ¿ ¿
Jika m<n , L=0 (kesimpulan 1)
Jika m=n ,L= ap
(kesimpulan 2)
Jika m>n , L=∞ (kesimpulan 3)
axn =0
x→ ∞
lim ¿ ¿
7
Contoh Soal dan penyelesaian 2.
1.x10−2 x8+3 x7
x12+12 x5−x2 =0x→ ∞
lim ¿ ¿
(kesimpulan 1)
2.2 x5+x4−7 x3
6 x5−2 x3−8 x2 =26x → ∞
lim ¿=13¿
(kesimpulan 2)
3.3 x7+6 x4−33 x6+7 x4−x3=∞
x→ ∞
lim ¿ ¿
(kesimpulan 3)
3.2. Menghitung Limit Tak Berhingga.
3.2.1.Membagi dengan Pangkat Tertinggi dari Penyebut ∞∞
Jika f ( x )= g(x )h(x) dan dengan disubtitusikan langsung didapat hasil
∞∞
(bentuk tak tentu) maka dapat diselesaikan dengan cara
membagi bagian pembilang g(x ) dan bagian penyebut h( x)
dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari g ( x ) atau h( x). n ≥ 1
Contoh Soal 3
1.x2−2 x+3
2 x2+5 x−3=…
x→ ∞
lim ¿ ¿
Penyelesaian 3
1. Jika soal di atas disubtitusikan langsung maka hasilnya adalah
∞∞
. Oleh karena itu, bentuk tersebut dibagi pangkat tertinggi
yaitu x2
x2−2x+32x2+5 x−3
=
x2−2 x+3x2
2x2+5 x−3
x2¿
¿
¿
¿1−2
x+ 3
x2
2+ 5x− 3
x2x →∞
lim ¿=1−0+02+0−0
¿
8
¿ 12
3.2.2.Mengalikan dengan Faktor Lawan/Sekawan (∞−∞)
Agar lebih mudah difaktorkan, maka bentuk akar dikalikan
dengan akar sekawannya (merasionalkan bentuk akar)
Contoh Soal 4
1. ¿¿
Penyelesaian 4
1. ¿¿
¿ (x+8−√x2−2 x+5 )¿¿
¿¿¿¿
¿ x2+16 x+64−x2+2x−5
x+8+√x2−2 x+5x→ ∞
lim ¿ ¿
¿ 18 x+59
x+8+√x2−2 x+5
.
1x1xx→ ∞
lim ¿ ¿
¿18+59
x
1+ 8x+√ x2
x2 −2xx2 + 5
x2
= 18+01+√1
x → ∞
lim ¿=182
=9¿
4. LATIHAN SOAL 1
1. Nilai ( (5 x−1 )−√25 x2+5 x−7)=…x→ ∞
lim ¿ ¿
A.32
B.23
C.12
9
D.−12
E.−32
(UAN 2010/2011 PAKET 39 IPS NO.29)
2. Nilai 4 x2+5 x−10
x2+7 x+2x → ∞
lim ¿=…¿
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. ∞ (UAN 2003/2004 E3-2 MatematikaTeknik Pertanian Paket 1 no 30)
3. Nilai (√4 x2+7 x+1−√4 x2−4 x+1 )x → ∞
lim ¿=…¿
A.34
B.74
C.72
D.114
E.112
(UAN 2007/2008 IPS no. 27)
4.7 x2−7 x−10
2−x2 =…x→ ∞
lim ¿ ¿
A. 7
B. -7
C. 6
D. -6
E. 5
B. Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar
dan Trigonometri
1. Limit Fungsi Aljabar
10
Untuk menyelesaikan f (x)x→ alim ¿ ¿ maka dapat dilakukan dengan cara
yang lebih cepat dengan menggunakan sifat sebagai berikut:
Jika f(a) = C, maka nilai f ( x)x → alim ¿=f ( a)=C .¿
Jika f(a) = C0
, maka nilai f (x)x→ a
lim ¿= c0=∞¿ ,
Jika f(a) = 0C
,maka nilai f (x)x →a
lim ¿= 0C
=0.¿
Jika f(a) = 00
, maka nilai f (x)x→ alim ¿ ¿ harus disederhanakan atau
ubahlah lebih dahulu bentuk f(x) hingga menjadi bentuk (1), (2),
atau (3).
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk f (x)x→ alim ¿ ¿ .
2.1. Metode Subtitusi Langsung
Nilai x=a langsung disubtitusikan ke dalam fungsi f ( x ) .
Contoh Soal 5
1. ( x2+2x−1 )=…x →1lim ¿ ¿
2. x2−1x−1
=…x →2
lim ¿ ¿
Penyelesaian 5.
1. ( x2+2 x−1 )= ¿x →1lim ¿ 12+2.1−1=2¿ ¿
2.x2−1x−1
=22−12−1
=31=3
x →2
lim ¿ ¿
2.2. Metode Pemfaktoran
Jika f ( x )= g(x )h(x)
dan dengan subtitusi langsung didapat hasil 00
,
bentuk g(x ) dan h( x) difaktorkan terlebih dahulu sehingga
mempunyai factor yang sama yang dapat disederhanakan sedemikian
11
sehingga f (x)≠00
. Selanjutnya perhitungan limit dapat dilakukan
dengan cara subtitusi.
Contoh Soal 6
1.x2−1x−1x→ 1
lim ¿=…¿
2.x2−9x−3
=…x →3
lim ¿ ¿
Penyelesaian 6
1. Jika soal tersebut disubtitusikan langsung maka hasilnya adalah
12−11−1
=00
maka kita gunakan metode pemfaktoran.
x2−1x−1x→ 1
lim ¿=( x−1) ( x+1 )
( x−1)x→1
lim ¿=¿¿ ¿
¿) = 1+1= 2
2. x2−9x−3
=( x−3 ) ( x+3 )
( x−3 )¿
¿
¿
¿ ( x+3 )=3+3=6x →3lim ¿ ¿
2.3. Merasionalkan bentuk akar.
Agar lebih mudah difaktorkan, maka bentuk akar dikalikan dengan
akar sekawannya (merasionalkan bentuk akar).
Contoh Soal 7
1. x
2−√4−x=…
x→ 0
lim ¿ ¿
2. x2−9
√x2+7−4=…
x →3
lim ¿ ¿
Penyelesaian 7
12
1.x
2−√4−x= x
2−√4−x.2+√4−x2+√4−x¿
¿
¿
¿x(2+√4−x)4−(4−x )
=x (2+√4−x )
x¿
¿
¿
¿ 2+(√4−x )=2+√4−0=4x→ 0lim ¿ ¿
2. x2−9
√x2+7−4= x2−9
√x2+7−4. √x2+7+4
√x2+7+4¿
¿
¿
¿(x2−9)√x2+7+4
( x2+7 )−16x →3
lim ¿ ¿
=(x2−9)√x2+7+4
( x2−9 )x →3
lim ¿= (√x2+7+4 )x→ 3
lim ¿¿¿
¿√(32+7)+4=8
3. Teorema Limit dan Limit Fungsi Trigonometri
Dalam menentukan limit suatu fungsi, diperlukan suatu metode yang
dapat memudahkan. Pada subbab ini disajikan beberapa teorema yang
sangat berguna untuk menyelesaikan masalah menentukan limit suatu
fungsi.
3.1. Beberapa Rumus Limit Fungsi Trigonometri
f (x)x→ alim ¿ ¿ dinamakan limit fungsi trigonometri jika fungsi f (x) pada
limit tersebut merupakan fungsi trigonometri.
sinxxx→ 0
lim ¿=1¿
atau xsinxx→ 0
lim ¿=1¿
tanxxx→ 0
lim ¿=1¿
atau xtanxx→ 0
lim ¿=1¿
sinaxbxx→ 0
lim ¿= axsinbx
=abx→ 0
lim ¿¿
¿
13
Contoh soal 8
1.sin x
sin 2 x=…
x→ 0
lim ¿ ¿
Penyelesaian 8
1.sin x
sin 2x= Sinx
2 sinx . cos x= 1
2 cosx= 1
2 cos 0= 1
2.1=1
2¿
¿
¿¿
4. Limit Fungsi ke Konsep Turunan.
Turunan fungsi f (x) di titik x=a dinyatakan dalam bentuk:
f ( a )= f (a+h )−f (a)hh→ 0
lim ¿=1¿
Contoh Soal 9
1. Tentukan Laju perubahan f ( x )=16 x2+2 x di x=2
Penyelesaian 9
f ( x )=16 x2+2 x
f ( x+h )=16¿
f ' ( x )= f ( x+h )−f (x )hh →0
lim ¿ ¿
sinxxx→ 0
lim ¿=1¿
atau xsinxx→ 0
lim ¿=1¿
tanxxx→ 0
lim ¿=1¿
atau xtanxx→ 0
lim ¿=1¿
sinaxbxx→ 0
lim ¿= axsinbx
=abx→ 0
lim ¿¿
¿
14
¿(16 x2+32 xh+16 h2+2 x+2 h )−(16 x2+2 x)
hh→ 0
lim ¿ ¿
¿ 32 xh+16 h2+2hh
=h(32 x+16 h+2)
h¿
¿
¿
¿ (32 x+16 h+2 )=32 x+2h→ 0lim ¿ ¿
f ' ( x )=32 x+2
f ' (2 )=32.2+2=66
5. LATIHAN SOAL 2
1. Nilai 3 x2−14 x+8
x2−3 x−4x → 4
lim ¿=…¿
A. 4
B. 2
C.12
D. -2
E. -4 (UAN 2010/2011 paket 25 IPS no.28)
2. Nilai x2−x−2x2−2 xx→ 2
lim ¿=…¿
A. 5
B. -3
C. 212
D. 112
E. 1 (UAN 2007/2008 IPS no.26)
3. Nilai 1−cos2 x2 x . sin2 x
=…x→ 0
lim ¿ ¿
A.18
B.16
C.14
y
f(a)
f(x)
xa
)()(lim afxfax
1.
15
D.12
E. 1 (UAN 2010/2011 IPA paket 12 no.11)
4. Nilai ( sin 4 x−sin 2x6 x )
x → 0
lim ¿=…¿
A. 1
B.23
C.12
D.13
E.16
(UAN 2009/2010 Matematika D10 P12 IPA no. 29)
C. Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi
1. Pengertian.
Suatu fungsi f (x) dikatakan kontinu di titik ¿a , jika dipenuhi syarat-
syarat berikut:
f ( a ) terdefinisi atau f (a) ada
¿x →alim ¿ f (x)¿ ada
x → alim ¿ f ( x )=f (a)¿
Jika satu atau lebih syarat di atas tidak dipenuhi, f (x) dikatakan tidak
kontinu di titikx=a (diskontinu). Fungsi f (x) yang kontinu di setiap titik
disebut fungsi kontinu.
Perhatikan gambar berikut :
y
f(a)
f(x)
xa
lim ( )x a
f x
2.
lim ( )x a
f x
y
f(a)
f(x)
x
a
3.
16
Contoh Soal 10
1. Diketahui fungsi f ( x )=x2−x . Apakah f ( x ) kontinu pada x=1 ?
Penyelesaian 10
Syarat-syarat kontinuitas fungsi f ( x )=x2−x pada x=1 diperiksa sebagai
berikut:
1. (1 )=12−1=0 , f (1 ) ada
2. f ( x )=( x2−x )=¿¿¿, f (x)x→ 0lim ¿ ¿ ada
3. Berdasarkan perhitungan di atas jelas bahwa f (x)x →0lim ¿=f ( 1)=0¿
Jadi, fungsi f ( x )=x2−x kontinu pada x=1
2. Latihan Soal 3.
17
1. Selidiki apakah fungsi
f ( x )={ x2−4
x−2, untuk x ¹2
4 , untuk x=2 kontinu di x = 2
18
DAFTAR PUSTAKA
Soal Ujian Nasional Tahun 2003/2004 E3-2 Matematika Teknik
Pertanian Paket 1
Soal Ujian Nasional Tahun 2004/2005 IPA P1.
Soal Ujian Nasional Tahun 2007/2008 IPS.
Soal Ujian Nasional Tahun 2009/2010 P12 IPA.
Soal Ujian Nasional Tahun 2010/2011 Paket 12 IPA.
Soal Ujian Nasional Tahun 2010/2011 paket 39 IPS.
Tim Penyusun. 2004. Matematika 2b Kelas 2 SMA Semester 2. Klaten:
PT Intan Pariwara.
Waluyo, Slamet., dkk. 2008. Matematika 2 SMA/MA Program Ilmu
Pengetahuan Alam. Jakarta: Bumi Aksara.
Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI
Semester 2 Program IPA. Jakarta: PT Erlangga.
19
LAMPIRAN/KUNCI JAWABAN
Kunci Jawaban Latihan Soal 1. (halaman7)
1. ( (5 x−1 )−√25 x2+5 x−7)=…x→ ∞
lim ¿ ¿
= √√ (5 x−1 )2−√25 x2+5 x−7x→ ∞
lim ¿ ¿
= √√25 x2−10 x+1−√25 x2+5 x−7x→ ∞
lim ¿ ¿
=
(√√25 x2−10 x+1−√25 x2+5 x−7)(√√25 x2−10 x+1+√25 x2+5 x−7
√√25 x2−10 x+1+√25 x2+5 x−7 )x→ ∞
lim ¿ ¿
=(25 x2−10+1 )−(25 x2+5 x−7 )√25 x2−10 x+1+√25 x2+5 x−7x→ ∞
lim ¿ ¿
=
−15 x+8
(x √25−10x
+1
x2 +√25+5x−
7
x2 )x→ ∞
lim ¿ ¿
=
−15 x+ 8x
(√25−10x
+1
x2 +√25+5x−
7
x2 )x→ ∞
lim ¿ ¿
=−15+0
√25−0−0+√25−0−0=−15
10=−3
2 (Jawaban E)
2.4 x2+5 x−10
x2+7 x+2x → ∞
lim ¿=…¿
=
4 x2
x2 +5 xx2 −10
x2
x2
x2+7 x
x2− 2
x2x→ ∞
lim ¿=4+ 5
x−10
x2
1+7x− 2
x2
= ¿x→ ∞
lim ¿ 4 +0−01+0−0
=4¿¿ ¿
(Jawaban A)
3. (√4 x2+7 x+1−√4 x2−4 x+1 )x → ∞
lim ¿=…¿
= (√4 x2+7 x+1−√4 x2−4 x+1 )x →∞
lim ¿ .(√4x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1)(√4x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1)
¿
20
=( 4 x2+7 x+1 )−(4 x2−4 x+1 )
(√4 x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1 )= 11 x
(√4 x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1 )¿
¿
¿
ingat x=√ x2
=
11 xx
(√ 4 x2+7 x+1x2 +√ 4 x2−4 x+1
x2 )=
11
√4+ 7x+ 1
x2 +√4−4x+ 1
x2¿
¿
¿
=11
√4+√4=11
4 (Jawaban D)
4.7 x2−7 x−10
2−x2 =
7 x2
x2 −7 xx2 −10
x2
2
x2− x2
x2
=7−7
x−10
x2
2x2−1
¿
¿
¿¿
=7−0−0
0−1= 7
−1=−7 (Jawaban B)
Kunci Jawaban Latihan 2. (halaman 13)
1.3 x2−14 x+8
x2−3 x−4x → 4
lim ¿=(3 x−2 )( x−4 )( x−4 ) ( x+1)
= 3 x−2x+1¿
¿
¿¿
=3.4−24+1
=105
=2 (Jawaban B)
2.x2−x−2x2−2 xx → 2
lim ¿= 2 x−12 x−2
=2.2−12.2−2
=32x→ 2
lim ¿¿
¿ (Jawaban D)
3. 1−cos2 x2 x . sin2 x
=1−(1−2sin2 x )
2x . sin 2 x= 2sin2 x
2 x . sin 2 x= ¿¿
¿ ¿¿¿
=sinx
xsinx
sin2 x=1.
12=1
2x→ 0
lim ¿ ¿
(Jawaban D)
4. ( sin 4 x−sin 2x6 x )
x→ 0
lim ¿= ( sinx6 x
+ sin5 x6 x )
x→ 0
lim ¿¿
¿
=x →0
lim ¿ sinx6 x
+ x→ 0
lim ¿ sin 5x6 x
=16+5
6=1¿
¿
21
(Jawaban B)
Kunci Jawaban Latihan 3 (halaman 15)
1. Syarat Kontinu ada 3.
1) f(1) = 4 (terdefinisi)
2)limx→1
f ( x )= limx→ 1
x 3−1
x−1= lim
x→1
(x−1)( x2+ x+1 )
x−1= lim
x→1( x2 +x+1 )=12+1+1=3
(terdefinisi)
3)limx→1
f ( x )≠ f (1), berarti f(x) diskontinu di x = 1
"LIMIT FUNGSI”
TELAAH KURIKULUM SEKOLAH MENENGAH
Dosen Pembimbing : Drs. Pancahadi Siswasusila, M.Si
Nama Kelompok:
1. Dedi Hariyanto (105.532)2. Reski Dwi A (105.481)3. Melda Verdiana (105.579)4. Siti Ruqoiyah (105.599)
22
5. Ayu Rosida (105.695)6. Andik Koswanto (105.707)
Pendidikan Matematika 2010/E
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
JOMBANG
2012/2013
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan petunjuk, kasih, dan karuniaNya sehingga penulis
dapat menyelesaikan tugas makalah ini. Sholawat dan salam penulis lantunkan
kepada Baginda Rasulullah Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat, dan
para pengikut syariatnya.
Makalah yang berjudul "Limit Fungsi”, Ini disusun sebagai syarat
untuk menyelesaikan mata kuliah Telaah Kurikulum Sekolah Menengah serta
sebagai sumber belajar siswa Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah
khususnyadalam bidang Kalkulus: Limit Fungsi.
Banyak pihak telah membantu dan membimbing penulis dalam
menyelesaikan tugas akhir ini. Pada kesempatan yang baik ini penulis ingin
menyampaikan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada :
1. Drs. Pancahadi Siswasusila, M.Si. Selaku dosen pembimbing mata kuliah
Telaah Kurikulum Sekolah Menengah,
2. Kedua orang tua yang senantiasa memberi semangat kepada kami,
3. Serta teman-teman yang telah mendukung kami, dan
ii
23
4. Serta semua pihak yang telah membantu terselesainya makalah ini.
Penulis sadar bahwa makalah ini sangatlah jauh dari sempurna. Oleh
karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun, sehingga
makalah ini dapat mendekati sempurna. Tidak lupa penulis mohon maaf atas
semua kekeliruan dan kekhilafan selama penulis menyelesaikan makalah ini.
Semoga makalah ini bisa memberi kebaikan dan kemanfaatan bagi kita semua.
Jombang, 26 April 2012,
Penulis.
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ………………………………………………………….. ii
Daftar Isi ………………………………………………………………… iii
Tujuan Pembelajaran …………………………………………………… 1
Peta Konsep ……………………………………………………………… 2
A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ……….. 3
1. Limit Fungsi di Satu titik …........................................................ 3
1.1. Pengertian Limit di Satu Titik …………………………….. 3
1.2. Pengertian Limit Secara Matematis ………………………. 4
1.3. Pengertian Limit di Tak Hingga …………………………… 4
1.4. Bentuk Tak Tentu Suatu Limit ……………………………. 4
2. Sifat-Sifat Limit …………………………….…………………… 4
3. Limit Fungsi Tak Berhingga ……..…………………………….. 6
3.1. Pengertian …………………………………………………. 6
3.2. Menghitung Limit Tak Berhingga ………………………... 7
3.2.1. Membagi Dengan pangkat Tertinggi ……………..… 7
3.2.2. Mengalikan Faktor Lawan ………………………..… 7
4. Latihan Soal 1 ………………………………………………..…. 8
B. Menghitung Bentuk Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri ……… 9
1. Limit Fungsi Aljabar …………………………….……………… 9
iii
24
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bentuk Berhingga ……….…. 9
2.1. Metode Subtitusi Langsung ……………………………… 9
2.2. Metode Pemfaktoran ……………………………..……… 10
2.3. Merasionalkan Bentuk Akar …………………….……….. 10
3. Teorema Limit dan Limit fungsi Trigonometri ………….………. 11
3.1. Berapa Rumus Limit Fungsi Trigonometri ……………….. 12
4. Limit Fungsi Ke Konsep Turunan ……….……………………… 12
5. Latihan Soal 2 …………….……………….…………………….. 13
C. Kekontinuan dan Diskontinu Fungsi ………….…………………… 14
1. Pengertian ……………………………………………………… 14
2. Latihan Soal 3 ………………………………………………….. 15
Daftar Pustaka …………………………….…………………………….. 16
Lampiran/Kunci Jawaban ...................................................................... 17
top related