lampiran a - institutional repository undip (undip-ir)eprints.undip.ac.id/41428/6/lampiran_a.pdf ·...
Post on 26-Jan-2020
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
82
LAMPIRAN A
A.1. Penurunan Rumus Navier Slip 2 Dimensi – 2 Slip
Persamaan Reynold Isoviskos 2-D diturunkan dari bentuk sederhana
persamaan Navier-Stokes yang mengasumsikan sebuah aliran laminar dengan
mengabaikan efek inersia pada lapisan film:
0
p u
x z z
p v
y z z
p
z
(1)
Persamaan pertama harus di integrasi untuk mendapatkan kecepatan
fluida. Sebelum di integrasi, dilakukan pendefinisian kondisi batas. Slip hanya
akan terjadi pada area dimana permukaan housing ataupun poros (shaft) yang
telah diperlakukan dan ketika tegangan geser melebihi tegangan geser kritis .
Ketika kedua persyaratan ini dipenuhi maka dihasilkan kecepatan slip yang
perbedaannya proporsional antara nilai tegangan geser dan tegeangan geser kritis,
dengan faktor proporsionalitas h untuk housing dan s untuk poros. Dengan
menganggap bahwa tegangan geser kritis adalah nol, maka kondisi batasnya
adalah:
0 0
0, ;
, ;
s s
z z
h h
z h z h
u vpada z u U v
z z
u vpada z h u v
z z
(2)
83
Penurunan rumus untuk arah x
2
2
1u p
z x
2
1 2
1 2
pu Z C Z C
x
(a)
Pemasukan kondisi batas
pada 0,z
0
s
z
uu U
z
2
1 2
1 2
s
u pU Z C Z C
z x
2
1 1 2
1 1 2
s
p pU Z C Z C Z C
x x
2
1 1 2
1 2
s s
p pU Z C Z C Z C
x x
2
1 1 2
1.(0) 0 (0)
2s s
p pU C C C
x x
1 2 sU C C
pada ,z h
h
z h
uu
z
2
1 2
1
2h
u pz C Z C
z x
2
1 1 2
1 1
2h
p pZ C Z C Z C
x x
2
1 1 2
1
2h h
p pZ C Z C Z C
x x
84
2
1 1 1 2
h h s
hp ph C C h U C
x x
2
1 1 12
h s h
h pC hC C h U
x
2
12
h s h
h ph C h U
x
2
1
2 1.
2
h
h s h s
h h p UC
x h h
1
2
2
h
h s h s
hh p UC
x h h
(b)
Mencari nilai 2C
2 1sC U C
2
2
2
hs
h s h s
hh p UC U
x h h
2
2
s h s
h s h s
h Uh pU
x h h
2
2
h s s s h
h s h s
U h U hh p
h x h
2
2
s hh s s
h s h s
hUh U U U h p
h x h
2
2
s hh
h s h s
hUh U h p
h x h
2
2
2
s hh
h s h s
hh h pC U
h x h
(c)
85
Substitusi pers (b) dan (c) ke (a) sehingga didapat kecepatan aliran pada
arah x yaitu
2 21
2 2
h h
h s h s h s
h hp U h pu z z U
x h x h h
( 2 )
2
s h
h s
hh p
x h
(3)
86
Penurunan rumus untuk arah y
2
2
1v p
z y
2
1 2
1 2
pv Z C Z C
y
(d)
Pemasukan kondisi batas
pada 0,z
0
s
z
vv
z
2
1 2
1 2
s
v pZ C Z C
z y
2
1 1 2
1 1 2
s
p pZ C Z C Z C
y y
2
1 1 2
1 2
s s
p pZ C Z C Z C
y y
2
1 1 2
1.(0) 0 (0)
2s s
p pC C C
y y
1 2 s C C
pada ,z h
h
z h
vv
z
2
1 2
1
2h
v pz C Z C
z y
2
1 1 2
1 1
2h
p pZ C Z C Z C
y y
2
1 1 2
1
2h h
p pZ C Z C Z C
y y
87
2
1 1 1 2
h h s
hp ph C C h C
y y
2
1 1 12
h s h
h pC hC C h
y
2
12
h s h
h ph C h
y
2
1
2 1.
2
h
h s
h h pC
y h
1
2
2
h
h s
hh pC
y h
(e)
Mencari nilai 2C
2 1sC C
2
2
2
hs
h s
hh pC
y h
2
2
2
s h
h s
hh pC
y h
(f)
Substitusi pers (e) dan (f) ke (d) sehingga didapat kecepatan aliran pada
arah y yaitu
2
221
2 2 2
s hh
h s h s
hhp h p h pv Z Z
y y h y h
(4)
88
Jika masa jenis fluida diasumsikan konstan, maka kekekalan massa yang
dibutuhkan
∫
∫
∫
(5)
Maka flow rate/laju aliran pada arah x adalah
0
( )
h
x
dhq u dz u h
dx (6)
Untuk 0
h
xq u dz
2
0
21
2 2
h
h h
h s h s h s
h hp h p UZ Z U
x x h h h
2
2
s h
h s
hh pdz
x h
23 221
6 2 4
h h
h s h s h s
h hp U Z h pZ Z U Z
x h x h h
0
2
2
hs h
h s
hh pZ
x h
3 3 2 22
6 4 2
s hh
h s h s
hhh p h p h p
x x h x h
2 2
2
h
h s h s
h h U hU
h h
0
( )
h
u dz a b , dimana
3 3 2 222 3 6( )
12 12 12
s hh
h s h s
hhh h h pa
h h x
2 2
2
h
h s h s
h h U hUb
h h
89
Mencari ( )a
3 3 2 6 22
12 ( )
h s h
h s h s
h hh p
x h h h
3 2 3 2 6 2
12 ( )
h s h s h
h s
h h h h hh p
x h h
2 2 23 2 2 2 3 6 6 12
12 ( )
h s h s h s
h s
h h h h h hh p
x h h
2 23 4 4 12
12 ( )
h s h s
h s
h h hh p
x h h
2 23 4 12( )
12 ( )
h s h s
h s
h hh pa
x h h
Mencari ( )b
2 2
2( )
h
h s h s
h h hU
h h
2 22 2
2
h
h s
h h hU
h
2 2
2
h
h s
h hU
hb
0
h
u dz a b
2 2 23
0
4 12 2
12 2
h
h s h s h
h sh s
h h h hh p Uu dz
x x x hh h
(7)
90
Untuk ( )x
hq u h
x
2 21
( )2 2
h h
h s h s h s
h hp h p Uu h h h U
x x h h h
2
2
s h
h s
hh p
x h
2 21
( )2 2
h h
h s h s h s
h hh p h p Uu h h h U
x x x h h h
2
2
s h
h s
hh p
x h
( ) ( ) ( )h
u h c dx
, dimana
2 2 22( )
2 2 2
s hh
h s h s
hhh p h p h pc
x x h x h
( ) h
h s h s
hUhd U
h h
Mencari ( )c
2 3 2 2 22 2
2
h s h s h s
h s
h h h h h h p
xh
2 2 3 2 2 23 2 2
2
h s h s h s
h s
h h h h h h h p
xh
2 22
2
h h s
h s
h h p
xh
22
2
h h s
h s
hh p
xc
h
91
Mencari ( )d
h
h s h s h s
UUh Uh
h h h
h
h s
Uh
d
( ) ( ) ( )h
u h c dx
22( )
2
h h s h
h s h s
hh h p h hu h U
x x x h h x
(8)
(7) (8)xq
2 2 23
2
4 12 2
12 2 2
2
2
h s h s hx
h s h s
h h s h
h s h s
h h h hh p Uq
x x xh h h
hh p h hU
x x h h x
(9)
92
Laju aliran pada arah y adalah
2
221
2 2 2
s hh
h s h s
hhp h p h pv Z Z
y y h y h
0
( )
h
y
hq vdz v h
y
(10)
Untuk 0
h
yq v dz
2
0
221
2 2 2
h
s hh
h s h s
hhp h p h pZ Z dz
y y h y h
3 2
0
221
6 4 2
h
s hh
h s h s
hhp h p h pZ Z
y y h y h
3 3 2 22
6 4 2
s hh
h s h s
hhh p h p h p
y y h y h
3 3 2 222 3 6
12 12 12
s hh
h s h s
hhh h h p
h h y
3 3 2 6 22
12 ( )
h s h
h s h s
h hh p
y h h h
3 2 3 2 6 2
12 ( )
h s h s h
h s
h h h h hh p
y h h
2 2 23 2 2 2 3 6 6 12
12 ( )
h s h s h s
h s
h h h h h hh p
y h h
2 23 4 4 12
12 ( )
h s h s
h s
h h hh p
y h h
2 23 4 12
12
h s h s
y
h s
h hh pq
y h h
(11)
93
Untuk ( )y
hq v h
y
2
221( )
2 2 2
s hh
h s h s
hhp h p h pv h h h
y y h y h
2
221( )
2 2 2
s hh
h s h s
hhh p h p h pv h h h
y y y h y h
2 3 2 2 22 2
2
h s h s h s
h s
h h h h h h p
yh
2 2 3 2 2 23 2 2
2
h s h s h s
h s
h h h h h h h p
yh
2 22
2
h h s
h s
h h p
yh
22( )
2
h h s
h s
hh h p hv h
y y y h
(12)
(9) (10)yq
2 2 23 4 12 2
12 2
h s h s h h sy
h sh s
h h hh p h p hq
y y y y hh h
Persamaan Navier Slip dua dimensi dengan dua slip yaitu
2 2 2 23 3
2 2
4 12 4 12
12 12
2 2
2 2
h s h s h s h s
h s h s
h h h h s
h s h s h s
h h h hh p h p
x x y yh h h h
h h hU h h p h p h hU
x h h x h x x y y
t
94
A. 2. Diskretisasi Navier Slip 2D – 2 Slip tanpa Efek
Squeeze
Persamaan Navier Slip dua dimensi dengan dua slip yaitu
2 23
2 23
2
2
4 12
12
4 12
12
2
2
2
2
h s h s
h s
h s h s
h s
h h
h s h s
h h s
h s
h hh p
x x h h
h hh p
y y h h
h hU hU
x h h x
hh p h p h h
h x x y y
t
(1)
Navier slip tanpa efek squeeze yaitu
2 23
2 2 23
4 12
12
4 12 2
12 2
h s h s
h s
h s h s h
h sh s
h hh p
x x h h
h h h hh p U
y y x hh h
(2)
Dengan asumsi slip terjadi pada kedua bagian yaitu shaft dan housing.
2 2
3
2 2 23
4 12
126
4 2
h s h s
h s
h s h s h
h sh s
h hph
x x h h
h h h hph
y y x hhU
h
(3)
95
Persamaan umum sesuai dengan persamaan yang didapat sebelumnya,
persamaan (3). Persamaan umum diintegralkan seluruh control volume.
3
2 2
2 2
2
3
4 12
4 2
26
1
h s h s
h s
n w
s e
n w
s e
n
h s h s
h s
h
h
w
s se
ph dxdy
x x
ph dxdy
h h
h h
h h
h h
h h
y y
U dxdyx h
6
n w n w n w
s e s e s e
p pK dxdy K dxdy U dxdy
x x y y xC
(4)
Dimana K dan C adalah variabel untuk menyederhanakan persamaan (4)
dan didefinisikan sebagai berikut:
3
2 24 12h s h s
h s
h h
hK
hh
(5)
2 h
h shh
hC
(6)
Sehingga integral persamaan umum menjadi:
6
e w n s
e w
p p p pK y K y K x K x
x x y y
U C y C y
(7)
3
P W N P P SE Pe w n s
E W
p p p p p pp pK y K y K x K x
x x y y
U C y C y
(8)
96
Diskretisasi akhir
P P E E W W N N S S ca P a P a P a P a P S (9)
Dengan koefisien
eE
ka y
x
2 E P
e
E P
K Kk
K K
wW
ka y
x
2 W P
w
W P
K Kk
K K
nN
ka x
y
2 N P
n
N P
K Kk
K K
sS
ka x
y
2 S P
s
S P
K Kk
K K
P E W N Sa a a a a (10)
3c W ES U C C y (11)
97
Jika slip hanya terjadi pada bagian housing, maka persamaan (2) akan
tereduksi menjadi
23 34 4 2
12 12 2
h h h
h h h
h h h hh p h p U
x x h y y h x h
(12)
Kemudian
23 34 4 2
6 h h h
h h h
h h h hU
p ph h
x x h y y h x h
(13)
Persamaan umum sesuai dengan persamaan yang didapat sebelumnya,
persamaan (13). Persamaan umum diintegralkan seluruh control volume.
2
3 3
6
4 4
2
n w n w
s e s e
n w
s e
h h
h h
h
h
h h
h h
p ph dxdy h dxdy
x x y y
U dxdyx
h h
h
(14)
6
n w n w n w
s e s e s e
p pK dxdy K dxdy U dxdy
x x y y xC
(15)
Dimana K dan C adalah variabel untuk menyederhanakan persamaan (15)
dan didefinisikan sebagai berikut:
3 4 h
h
h
hK h
(16)
2 h
hhh
hC
(17)
Sehingga integral persamaan umum menjadi:
6
e w n s
e w
p p p pK y K y K x K x
x x y y
U C y C y
(18)
98
3
P W N P P SE Pe w n s
E W
p p p p p pp pK y K y K x K x
x x y y
U C y C y
(19)
Diskretisasi akhir
P P E E W W N N S S ca P a P a P a P a P S (20)
Dengan koefisien
eE
ka y
x
2 E P
e
E P
K Kk
K K
wW
ka y
x
2 W P
w
W P
K Kk
K K
nN
ka x
y
2 N P
n
N P
K Kk
K K
sS
ka x
y
2 S P
s
S P
K Kk
K K
P E W N Sa a a a a (21)
3c W ES U C C y (22)
top related