kelas xii bab 4

VEKTOR

A. Notasi VektorA. Notasi Vektor

Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu.

A

B

u

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real.

• Untuk vektor di bidang (R2) : u = (x, y) atau u =xy

xyz

• Untuk vektor di ruang (R3) : u = (x, y, z) atau u =

Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil. Misalnya: u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor.

u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujungArah anak panah = arah vektorPanjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor

u,

gambar 1

B. Aljabar VektorB. Aljabar Vektor

Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan berikut.

u

• Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. (Lihat gambar 2). v=

• Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v = 0; 0 adalah vektor nol. Jadi dua vektor saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah. (Lihat gambar 3).

u v = -u

Ю Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam gambar 4 dan 5.

gambar 2

gambar 3

Dua vektor yang sama

Dua vektor yang saling invers (berlawanan)

u

v

u+v

u

v

u+v

Dengan aturan segitiga:

• Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung vektor u;

• Vektor (u + v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung vektor v.

Dengan aturan jajargenjang:

• Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik pangkal vektor u;

• Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan u dan v;

• Vektor (u + v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.

gambar 4 gambar 5

Ю Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v. Perhatikan ilustrasi dalam gambar 6 dan 7.

uu-v

v

-v-v u

v-uv

-u

gambar 6 gambar 7 v - u = v + (-u)u - v = u + (-v)

Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar

Misalkan vektor u dan sebuah bilangan real (skalar) m. Hasil kali m dengan vektor u (mu) adalah penggandaan vektor u sebanyak m dan arah mu sama dengan arah vektor u.

u

gambar 8

u

v

-u

3u-2u2u

C. Vektor BasisC. Vektor Basis

Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

Vektor Basis dalam Bidang (R2) Vektor Basis dalam Ruang (R3)

X

Y

Z

X

Y

O

O i(1,0)

j(0,1)i(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam R2.

i : vektor satuan searah sumbu X+

j : vektor satuan searah sumbu Y+

Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam R3.

i : vektor satuan searah sumbu X+

j : vektor satuan searah sumbu Y+

k : vektor satuan searah sumbu Z+

gambar 9 gambar 10

D. Vektor PosisiD. Vektor Posisi

Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan.

222 zyx || r

Vektor Posisi dalam Bidang (R2)

R(x,y)

Titik R(x,y) adalah vektor posisi OR dalam R2 yaitu:

R(x,y,z)

Vektor Posisi dalam Ruang (R3)

X

Y

Z

X

Y

OO

Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR dalam R3 yaitu:

gambar 11 gambar 12

xi

yj

rr

yjxi

zk

r = (x,y) = xi + yj

r = (x,y,z) = xi + yj + zk

Panjang dari r :

22 yx || rPanjang dari r :

||rr

Vektor satuan dari r : e =

U(u1,u2, u3)

OU = u dan OV = v adalah vektor-vektor posisi.

Y

Z

O

gambar 13

v

u

V(v1,v2, v3)

UV = UO + OV

= -u + v

= v – u

=

Jarak atau panjang vektor UV adalah:

Jika dinyatakan dengan kombinasi linear maka:

X

v1 – u1

v2 – u2

v3 – u3

UV = v – u = (v1 – u1)i + (v2 – u2)j + (v3 – u3)k

23322

211 )u(v)uvu(v UV ()||

E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar.Didefinisikan:

u.v = |u||v| Cos

= sudut antara u dan v

v

u

gambar 14

Jika : 0o 90o maka u.v > 0

= 90o maka u.v = 0

90o 180o maka u.v < 0

X

Y

Z

Oi(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 15

i.i = | i || i | Cos 0o = 1 analog, maka:

i.i = j.j = k.k = 1

i.j = | i || j | Cos 90o = 0 (i j ) analog, maka i.j = j.k = k.i = 0

u.v = (u1i + u2j + u3k).(v1i + v2j + v3k)

= u1v1 + u2v2 + u3v3

atau secara geometris:

u.v = |u||v| Cos

Misalkan vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k). Perkalian titik kedua vektor adalah:

Didefinisikan:

u x v = |u||v| Sin

= sudut terkecil antara u dan v

Arah u x v ditentukan berdasarkan arah putaran tangan kanan.

v

u

gambar 16

X

Y

Z

Oi(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 17 i x i = |i||i| Sin 0o = 0 analog, maka:

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = |i||j| Sin 90o = 1 ( i j )

Berdasarkan definisi maka:

i x j = k j x k = i k x i = j

j x i = -k k x j = -i i x k = -j

Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.

u x v

v

u

v x u

F. Perkalian Silang VektorF. Perkalian Silang Vektor

Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah cara Sarrus.

Vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k).

u x v =

21

21

321

321

321

321

vv

uu

vvv

uuu

vvv

uuu

jikjikji

u x v =

1221

3113

2332

vuvu

vuvu

vuvu

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

( u2v3i + u3v1j + u1v2k ) – ( u2v1k + u3v2i + u1v3j )

u x v =

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (RG. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R33))

X

YO

gambar 18Z

u

sudut antara vektor satuan i dengan vektor u.

Jika u = u1i + u2j + u3k maka :

X

YO

gambar 19

Z

Vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k maka sudut antara kedua vektor:

||||

. Cos

ba

ba

23

22

21

23

22

21

332211

bbb.aaa

bababa Cos

a

A(a1,a2,a3)

b

B(b1,b2,b3)

uiui.u 1u

Cos

ukuk.u 3u

Cos

ujuj.u 2u

Cos

sudut antara vektor satuan j dengan vektor u.

sudut antara vektor satuan k dengan vektor u.

Contoh SoalContoh Soal

1. Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2)a) Nyatakan komponen dari PQb) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basisb) Hitung panjang PQ

Penyelesaian:

X

YO

Z

q

pQ(1,5,2)

P(2,3,5)

a) PQ = PO + OQ = -p + q = q - p

3

2

1

5

3

2

2

5

1

PQ

b) Bila dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor basis, maka:

PQ = – i + 2j – 3k

222 )3(2)1(

|PQ|c)222 )52()35()21(

14

|PQ|

|PQ|

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Contoh SoalContoh Soal

2. Tentukan besar sudut antara vektor u = 3i – 2j + k dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:

Misalkan: sudut antara vektor u dengan sumbu X sudut antara vektor u dengan sumbu Y sudut antara vektor u dengan sumbu Z

141)2(3|| 222 u

o1 7,3614143

cosarc14143

14

3||

Cos

uu

o2 3,12214142

cosarc14142

14

2||

Cos

uu

o3 5,741414

cosarc1414

14

1||

Cos

uu

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

X

Y

Z

3

-2

(3,-2,1)

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Contoh SoalContoh Soal

3. Diketahui vektor a = (–1, 0, 2) dan b = (–3, 0, 1). Tentukan besar sudut antara vektor a dan b.

Penyelesaian:

Misalkan:

adalah sudut antara vektor a dan b

o45221

cosarc

222222 10)3(.20)1(

)1(2)0(0)3(1Cos

221

25

5

10.5

5Cos

Jadi besar sudut antara vektor a dan b = o45

||||

. Cos

ba

ba

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

X

Y

Zab

41

23

341

223

341

223

jikjikji

Contoh SoalContoh Soal

4. Ditentukan vektor a = –3i + 2j – 2k dan b = i – 4j + 3k. Hitunglah a x b.

Penyelesaian:

a x b =

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

a x b = ( 2(3)i + (-2)1j +(-3)(-4)k ) – ( 2(1)k + (-2)(-4)i + (-3)3j )

= ( 6i – 2j + 12k ) – ( 2k + 8i – 9j )

= – 2i + 7j + 10k

= (6 – 8)i + (– 2 + 9)j + (12 – 2)k

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Lihat jawaban?Lihat jawaban?Coba lagi?Coba lagi?

Jawaban Anda Belum Benar

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Lihat jawaban?Lihat jawaban?

Jawaban Anda Benar

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Penyelesaian:

Misalkan titik ujung vektor a adalah (a1, a2, a3)

Jadi titik ujung vektor a adalah (8, 5, 2)

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

(3, -2, 4)

(a1, a2, a3)komponen a (5, 7, -2)

Komponen suatu vektor = titik ujung – titik pangkal

2a24a5a72a8a53a

3322

11

Komponen vektor a = titik ujung vektor a – titik pangkal vektor a

275

4)2(

3

aaa

32

1

2. Diketahui vektor u = – 2i + 4j – 6k. Tentukan besar sudut antara vektor u dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:Misalkan: sudut antara vektor u dengan sumbu X sudut antara vektor u dengan sumbu Y sudut antara vektor u dengan sumbu Z

14256)6(4)2(|| 222 u

o1 5,1051414

cosarc1414

142

2||

Cos

uu

o2 7,57714

cosarc714

142

4||

Cos

uu

o3 3,14314143

cosarc14143

142

6||

Cos

uu

Uji KompetensiUji Kompetensi

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

X

YO

Z

u(-2, 4, -6)

3. Posisi sebuah pesawat pada waktu t jika disimulasikan dalam ruang ditentukan oleh vektor (t, 2t, –t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B.

Penyelesaian:

Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, –1)Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, –2)

Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah satuan panjang.6

Uji KompetensiUji Kompetensi

6))1(2()24()12(|AB| 222 Jarak A dan B:

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

X

YO

Z

A(1, 2, -1)

B(2, 4, -2)

73

24

173

124

173

124

jikjikji

Uji KompetensiUji Kompetensi

4. Ditentukan vektor a = (4, – 2, 1), b = (–2, 3, –2), dan c = (–1, 4, 3) . Hitunglah a x (b + c).

Penyelesaian:

a x (b+c) =

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

( (-2)1i + 1(-3)j + 4(7)k ) – ( (-2)(-3)k + 1(7)i + 4(1)j )

= ( – 2i – 3j + 28k ) – ( 6k + 7i + 4j )

= ( – 2 – 7)i + ( – 3 – 4)j + (28 – 6)k

b + c =

173

341

232

= – 9i – 7j + 24k

a x (b+c) =

= ( – 9, – 7, 24 )

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

ReferensiReferensi

Ю Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999.

Ю Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.

Ю Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 3A, Erlangga, Jakarta, 2004.

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Biodata TimBiodata Tim

NamaNama :: Teopilus Malatuni, S.Pd.Teopilus Malatuni, S.Pd.N I PN I P :: 132 225 903132 225 903PekerjaanPekerjaan :: Guru SMA Negeri 1 Kaimana,Guru SMA Negeri 1 Kaimana,

Provinsi Irian Jaya BaratProvinsi Irian Jaya BaratTugasTugas :: Mengajar Mata Pelajaran Matematika,Mengajar Mata Pelajaran Matematika,

Teknologi Informasi & KomunikasiTeknologi Informasi & Komunikasi

AlamatAlamat :: Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654Telp/FaxTelp/Fax :: Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP 081344039940081344039940E-mailE-mail :: teo_malatuni@yahoo.co.idteo_malatuni@yahoo.co.id

NamaNama :: Ani JuniatiAni JuniatiN I PN I P :: PekerjaanPekerjaan :: Staf Administrasi SMA Negeri 1 Staf Administrasi SMA Negeri 1 Kaimana,Kaimana,

Provinsi Irian Jaya BaratProvinsi Irian Jaya BaratTugasTugas :: Menangani dan mengoperasikan komputer Menangani dan mengoperasikan komputer pada pada bagian Tata Usahabagian Tata UsahaAlamatAlamat :: Jalan Pedesaan KaimanaJalan Pedesaan Kaimana

Telp/FaxTelp/Fax :: Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP 081344043041081344043041E-mailE-mail :: anij@telkom.netanij@telkom.net

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi