defleksi balok mekanika
Post on 03-Jun-2018
277 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
1/24
62
BAB VI
DEFLEKSI BALOK
6.1.Pendahuluan
Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila
terbebani. Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh
melentur terlalu berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis
(ketakutan) pemakainya.
Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan
persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tiga
metode, yaitu metode integrasi ganda(doubel integrations), luas bidang momen
(Momen Area Method), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode
integrasi ganda sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang
bentang sekaligus. Sedangkan metode luas bidang momen sangat cocok
dipergunakan untuk mengetahui lendutan dalam satu tempat saja. Asumsi yang
dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi
yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok,
defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan panjang baloknya, dan
irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang datar walaupun
terdeformasi.
6.2.Metode Integrasi Ganda
Suatu struktur sedehana yang mengalami lentur dapat digambarkan
sebagaimana gambar 6.1, dimanayadalah defleksi pada jarak x, denganxadalah
jarak lendutan yang ditinjau, dxadalah jarak mn, dsudut mon, dan radalah jari-
jari lengkung.
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
2/24
63
Gambar 6.1. Balok sederhana yang mengalami lentur
Berdasarkan gambar 6.1. didapat besarnya
dx = r tg d
karena besarnya d relatif sangat kecil maka tg d d sajasehingga
persamaannya dapat ditulis menjadi
dx = r.d ataudx
d
r
1
Jika dx bergerak kekanan maka besarnya dakan semakin mengecil atau semakin
berkurang sehingga didapat persamaan
dx
d
r
1
Lendutan relatif sangat kecil sehinggadx
dytg , sehingga didapat persamaan
2
21
dx
yd
dx
dy
dx
d
r
Persamaan teganganEI
M
r
1, sehingga didapat persamaan
2
2
dx
yd
EI
M
Sehingga didapat persamaan M
dx
ydEI
2
2
(6.1)
d
O
r
m n
dx
y
x
d
A B
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
3/24
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
4/24
65
Momen maksimum terjadi pada x =2
L , dan pada tempat tersebut terjadi defleksi
maksimum , 0dx
dy , sehingga persamaannya menjadi
1
32
6
2
4
20 C
Lq
LqL
1
33
16480 C
qLqL
24
3
1
qL
C
Sehingga persamaan di atas akan menjadi
2464
332 qLqxqLx
dx
dyEI
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadi
2464
332 qLqxqLx
dx
dyEI
2
343
242412C
xqLqxqLxyEI
Pada x = 0, lendutan y = 0, sehingga didapat C2, dan persamaannya menjadi
0 = 0 + 0 + 0 + C2
C2= 0
0242412
343
xqLqxqLx
yEI
332224
LxLxEI
qxy
323 224
xLxLEI
qxy
Pada x =2
L akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat
32
3
max22
224
2 LLLLEI
Lq
y
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
5/24
66
8248
333
max
LLL
EI
qLy
8
5
48
3
max
L
EI
qLy
Sehingga lendutan maksimum yang terjadi di tengah bentang didapat :
EI
qLy
384
5 4
max (6.2)
6.2.2. Contoh 2 Aplikasi pada cantilever dengan beban merata
Gambar 6.3. Balok Cantilever dengan Beban Merata
Dari gambar 6.3 besarnya momen pada jarak x sebesar
Mx= -2
1q x2
Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat
22
2
21 qx
dxydEI
Diintegral terhadap x sehingga didapat
22
2
2
1qx
dx
ydEI
1
3
6C
qx
dx
dyEI
q
L
BMDx
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
6/24
67
Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi
defleksi, 0dxdy , sehingga persamaannya menjadi
1
3
60 C
qx
6
3
1
qLC
Sehingga persamaan di atas akan menjadi
66
33qLqx
dx
dyEI
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadi
66
33 qLqx
dx
dyEI
2
34
624C
xqLqxyEI
Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapat C2
2
44
6240 CqLqL
8
4
2
qLC
Persamaannya menjadi
8624
434 qLxqLqxyEI
434
3424 LxLxEI
q
y
Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat
4max 30024
LEI
qy
EI
qLy
24
3max
Sehingga lendutan maksimum cantilever (pada ujung batang) didapat :
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
7/24
68
EI
qLy
8
4
max (6.3)
6.2.3. Contoh 3 Aplikasi pada cantilever dengan titik
Gambar 6.4. Balok Cantilever dengan Beban Titik
Dari gambar 6.4 besarnya momen pada jarak x sebesar
Mx= - Px
Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat
Pxdx
ydEI
2
2
Diintegral terhadap x sehingga didapat
Px
dx
ydEI
2
2
1
2
2C
Px
dx
dyEI
Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi
defleksi, 0dx
dy, sehingga persamaannya menjadi
1
2
20 C
PL
P
L
BMDx
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
8/24
69
2
3
1
PLC
Sehingga persamaan di atas akan menjadi
22
22 PLPx
dx
dyEI
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadi
22
22 PLPx
dx
dyEI
2
23
26 CxPLPx
yEI
223 36
CLLPx
yEI
Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapat C2
222 36
0 CLLPL
3
3
2
PLC
Persamaannya menjadi
3
36
323 PL
LxPx
yEI
323 236
LxLxP
yEI
323 236
LxLxEI
qy
Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat
32006
LEI
qy
EI
PLy
3
3
max
Sehingga lendutan maksimum cantilever dengan bebat titik (pada ujung batang)
didapat :
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
9/24
70
EI
qLy
8
4
max (6.4)
6.2.4. Contoh 4 Aplikasi pada balok sederhana dengan beban titik
Gambar 6.5. Balok Sederhana dengan beban titik
Dari gambar 6.5 besarnya reaksi dukungan dan momen sebesar
L
PbRA , dan
L
PaRB
Mx=L
Pbx untukx a
Mx=L
Pbx-P(x-a) untukx a
Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 persamaan garis elastis
sehingga didapat
untukx aL
Pbx
dx
ydEI
2
2
untukx a )(2
2
axPL
Pbx
dx
ydEI
Diintegral terhadapxsehingga didapat
1
2
2C
L
Pbx
dx
dyEI
P
L
BA
xBMD
a b
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
10/24
71
2
22
2
)(
2C
axP
L
Pbx
dx
dyEI
Padax= a, dua persamaan di atas hasilnya akan sama.
Jika diintegral lagi mendapatkan persamaan :
31
3
6CxC
L
PbxyEI untukx a
42
33
6
)(
6CxC
axP
L
PbxyEI
untukx a
Pada x = a, maka nilai C1 harus sama dengan C2, maka C3 = C4, sehingga
persamaannya menjadi :
31
33
6
)(
6CxC
axP
L
PbxyEI
Untukx= 0, makay= 0, sehingga nilai C3= C4= 0
Untukx=L, makay= 0, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi :
06
)(
60 1
33
LCaLP
L
PbL
BesarnyaLa= b
L
PbPbLC
66
3
1
2216
bLL
PbC
Sehingga setelah disubstitusi menghasilkan persamaan :
222
6
xbL
EIL
Pbxy untukx a
EI
axPxbL
EIL
Pbxy
66
3
222 untukx a (6.5)
6.3.Metode Luas Bidang Momen
Pada pembahasan di atas telah dihasilkan lendutan yang berupa persamaan.
Hasil tersebut masih bersifat umum, namun mempunyai kelemahan apabila
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
11/24
72
diterapkan pada struktur dengan pembebanan yang lebih kompleks, maka dirasa
kurang praktis, karena harus melalui penjabaran secara matematis.
Metode luas bidang momen inipun juga mempunyai kelemahan yang sama
apabila dipakai pada konstruksi dengan pembebanan yang lebih kompleks. Namun
demikian metode ini sedikit lebih praktis, karena proses hitungan dilakukan tidak
secara matematis tetapi bersifat numeris.
Gambar 6.6. Gambar Balok yang mengalami Lentur
Dari gambar 6.6 tersebut didapat persamaan
dx
d
r
1=EI
M
atau dapat ditulis menjadi
d
O
r
m n
dx
d
A B B
B
ABd
BMD
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
12/24
73
dxEI
Md (6.6)
Dari persamaan 6.6 dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi I : Elemen sudut d yang dibentuk oleh dua tangen arah pada dua titik
yang berjarak dx, besarnya sama dengan luas bidang momen antara
dua titik tersebut dibagi dengan EI.
Dari gambar 6.6, apabila dxadalah panjang balok AB, maka besarnya sudut yang
dibentuk adalah :
L
AB dxEI
M
0
Berdasarkan garis singgung mdan nyang berpotongan dengan garis vertikal yang
melewati titik B, akan diperoleh :
dxEI
xMdxdBB
.."' (6.7)
Nilai M.dx = Luas bidang momen sepanjang dx.
M.x.dx = Statis momen luas bidang M terhadap titik yang berjarak x dari
elemen M.
Sehingga dari persamaan 6.7 dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi II : Jarak vertikal pada suatu tempat yang dibentuk dua garis singgung
pada dua titik suatu balok besarnya sama dengan statis momen luas
bidang momen terhadap tempat tersebut dibagi dengan EI.
Jarak L
dxEI
xMBB
0
' .
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut yang menjadi persoalan adalah letak
titik berat suatu luasan, karena letak titik berat tersebut diperlukan dalam
menghitung statis momen luasM.dx.x. Letak titik berat dari beberapa luasan dapat
dilihat pada gambar 6.7.
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
13/24
74
(a) Segi empat (b) Segi tiga
(c) Parabola pangkat 2 (d) Parabola Pangkat 2
(e) Parabola pangkat n (f) Parabola Pangkat nGambar 6.7. Letak titik berat
6.3.1. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Merata
Hitung defleksi maksimum (C) yang terjadi pada struktur balok sederhana
yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.8, dengan
metode luas bidang momen.
b
h
b2
1
A = bh
b
b3
1
h
A = bh/2
b
h
b8
3
A = (2/3)bh
b4
1
h
bA = bh/3
h
b
bn
n
22
1
bhn
nA
1
h
b
n 2
1
b
bhn
A1
1
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
14/24
75
Gambar 6.8. Balok sederhana yang menahan beban merata
Penyelesaian :
Besarnya momen di C akibat beban merata sebesarMC=2
8
1qL
Letak titik berat dari tumpuan A sebesar = LL
16
5
2.
8
5
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar :
EI
momenbidangLuasC
EI
LqL
C2
.8
1.
3
2 2
EI
qLC
24
3
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar :
CC= C=EI
bidangluasmomenStatis
EI
LLqL
C16
5.
2.
8
1.
3
2 2
EI
qLC
384
5 4
q
L/2
BA
2
8
1qL
BMD
2
.
8
5 L
C
CC
C
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
15/24
76
6.3.2. Contoh 2 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban MerataHitung defleksi maksimum (B) yang terjadi pada struktur cantilever yang
menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.9, dengan
metode luas bidang momen.
Gambar 6.9. Cantilever yang menahan beban merata
Penyelesaian :
Besarnya momen di A akibat beban merata sebesarMA= - 2
2
1qL
Letak titik berat ke titik B sebesar = L4
3
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah sebesar :
EI
momenbidangLuasB
EI
qLL
B
2
2
1.
3
1
EI
qLB
6
3
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar :
BB= B=EI
bidangluasmomenStatis
q
L
BMD
L4
3
A BB B
2
21 qL
B
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
16/24
77
EI
LqLL
B
4
3.
2
1.
3
1 2
EI
qLB
8
4
6.3.3. Contoh 3 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Titik
Hitung defleksi maksimum (B) yang terjadi pada struktur cantilever yang
menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.10, dengan
metode luas bidang momen.
Gambar 6.10. Cantilever yang menahan beban titik
Penyelesaian :
Besarnya momen di A akibat beban merata sebesarMA= -PL
Letak titik berat ke titik B sebesar = L
3
2
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah sebesar :
EI
momenbidangLuasB
EI
PLL
B
.2
1
EI
PL
B 2
2
P
L
BMD
L3
2
A BB B
PL
B
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
17/24
78
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar :
BB= B=EI
bidangluasmomenStatis
EI
LPLL
B3
2..
2
1
EI
PLB
3
3
6.3.4. Contoh 4 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Titik
Hitung defleksi maksimum (C) yang terjadi pada struktur balok sederhana
yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.11, dengan
metode luas bidang momen.
Gambar 6.11. Balok sederhana yang menahan beban titik
Penyelesaian :
Besarnya momen di C akibat beban merata sebesarMC= PL4
1
Letak titik berat dari tumpuan A sebesar = LL
3
1
2.
3
2
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar :
P
L/2
BA
PL4
1
BMD
2.
3
2 L
CC
C
C
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
18/24
79
EI
momenbidangLuasC
EI
PLL
C4
1.
2
1.
2
1
EI
PLC
16
2
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar :
CC= C=EI
bidangluasmomenStatis
EI
LPLL
C
23
2.
4
1.
2
1.
2
1
EI
PLC
48
3
6.4.Metode Luas Bidang Momen Sebagai Beban
Dua metoda yang sudah dibahas di atas mempunyai kelemehana yang
sama, yaitu apabila konstruksi danpembebanan cukup kompleks. Metode Bidang
Momen Sebagai Beban ini pun dirasa lebih praktis dibanding dengan metode
yang dibahas sebelumnya.
Metode ini pada hakekatnya berdasar sama dengan metode luas bidang
momen, hanya sedikit terdapat perluasan. Untuk membahas masalah ini kita ambil
sebuah konstruksi seperti tergambar pada gambar 6.12, dengan beban titik P,
kemudian momen dianggap sebagai beban.
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
19/24
80
Gambar 6.12. Konstruksi Balok Sederhana dan Garis Elastika
Dari gambar 6.12, W adalah luas bidang momen, yang besarnya
2..
2
1 Pab
L
PabLW
Berdasarkan definisi II yang telah dibahas pada metode luas bidang momen, maka
didapat :
1=EI
BterhadapmomenbidangluasmomenStatis
EI
bLPab 1
3
1
21
EI
bLPab
61
a b
3
x
n
A B
1
L
Pab
BMD
P
k
i
m
2
PabW
)(
3
1bL
A
B
L
bLPabRA
6
L
aLPabRB
6
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
20/24
81
Pada umumnya lendutan yang terjadi cukup kecil, maka berdasarkan pendekatan
geometris akan diperoleh :
LA.1 atauL
A1
EI
R
EIL
bLPab AA
6
Dengan cara yang sama akan dihasilkan :
EI
R
EIL
aLPab BB
6
Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa : Sudut tangen di A dan B
besarnya sama dengan reaksi perletakan dibagi EI.
Berdasarkan gambar 6.12 sebenarnya yang akan dicari adalah defleksi
pada titik Csejauh x meter dari dukunganA (potongan i-j-k) yaitu sebesarZc.
Zc = ij = ikjk
Berdasarkan geometri, maka besarnya ik = A. x, maka
xEI
Rik A
Sedangkan berdasarkan definisi II adalah statis momen luasan A-m-n terhadap
bidang m-ndibagiEI, maka
jk =EI
xnmAluas
3.
Sehingga lendutanZC yang berjarakxdariA, adalah :
Zc = ij = ikjk
3.
1 xAmnluasxR
EIZ AC (6.8)
Berdasarkan persamaan 6.8 didapat definisi III sebagai berikut :
Definisi III : Lendutan disuatu titik didalam suatu bentangan balok sedrhana
besarnya sama dengan momen di titik tersebut dibagi dengan EI
apabila bidang momen sebagai beban.
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
21/24
82
6.4.1. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Merata
Hitung defleksi maksimum (
C) yang terjadi pada struktur balok sederhanayang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13,
dengan metode luas bidang momen sebagai beban.
Gambar 6.13. Balok sederhana yang menahan beban merata
Penyelesaian :
Langkah untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah mencari momenterlebih dahulu, hasilnya sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.b. Hasil
momen tersebut kemudian dijadikan beban, sebagaimana diperlihatkan pada
gambar 6.13.c. Kemudian dicari atau dihitung besarnya reakasi dan momennya.
Besarnya Aadalah sebesarRAakibat beban momen dibagi denganEI, sedangkan
B adalah sebesar RB akibat beban momen dibagi dengan EI, dan besarnya max
adalah sebesar MC akibat beban momen dibagi dengan EI. Untuk lebih jelasnya
dapat dilihat pada penyelesaian dibawah ini.
q
BA
BMD
L/2
2
8
1qL
C
CC
C
2.
8
5 L
2
8
1qL
A B
(a)
(c)
(b)
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
22/24
83
Berdasarkan gambar 6.13.a. didapat momen sebagaimana digambarkan pada
gambar 6.13.b, yang besarnya sebesarMC=2
8
1
qL
Dari bidang momen yang didapat pada gambar 6.13.b dibalik dan dijadikan beban
sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.c. Dari gambar 6.13.c didapat reaksi
yang besarnya :
32
24
1
23
2
8
1qL
LqLRR BA
(besarnya sama denganAmn = W)
Dengan demikian sudut kelengkunagannya dapat dihitung, yaitu sebesar :
EI
qL
EI
RABA
24
3
Dari gambar 6.13.c. didapat juga momen dititik C, yaitu sebesar :
384
5
2.
8
3.
242.
23
433 qLLqLLqLMC
Besanya maxdapat dihitung yaitu sebesar :
EI
McC
EI
qLC
384
5 4
6.4.2. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Titik
6.4.3. Contoh 1 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Merata
6.4.4. Contoh 1 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Titik
6.5. Hubungan Kurva Elastis dan Regangan Linier
Sebuah segmen balok yang semula lurus diperlihatkan dalam keadaan
terdeformasi, sebagaimana ditunjukan pada gambar 6.1. Gambar tersebut serupa
dengan gambar 2.2 yang digunakan untuk mendapatkan distribusi tegangan dalam
balok yang disebabkan oleh lenturan. Pada gambar 6.1 dapat dilihat bahwa dalam
balok yang melentur sudut yang berdampingan antara dua iridan adalah Bila
jarak y dari permukaan garis netral terhadap serat yang ditinjau, maka deformasi
udari setiap serat didapat :
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
23/24
84
u= -y
Berdasarkan persamaan tersebut dapat ditentukan besarnya regangan, yaitu sebesar
fdpanjang
u
Gambar 6.1. Deformasi Segmen Balok dalam Lenturan
Contoh 1: Balok bertingkat seperti ditunjukkan pada Gambar 6.2(a) terbuat dari baja dengan
modulus elastisitas Young 200 GPa; luas penampang A1= 8.10-6
m2, A2= 16.10
-6m
2; panjang
l1= 1 m, l2= 0,8 m. Pada tingkatnya dipasang cincin yang sangat kaku untuk menerapkan
beban F = 4 kN. Hitunglah: (1) Reaksi titik-titik tumpuan A dan B, (2) tegangan-tegangan
yang terjadi pada penampang A1dan A2, (c) perpindahan titik C.
Mxz Mxz
r
A
B
x
a b
f uy
e
O
C
B
d
-
8/12/2019 Defleksi Balok mekanika
24/24
85
Penyelesaian:
E = 200 (GPa) A2 = 16.10-6
(m2)
l1 = 1 (m) A1 = 0.8 (m)
Titik A dan B tetap, tidak berpindah.
(a) l1 = ? l2 = ?
(b) Perpindahan titik C = ?
Fh = 0 ===> RA + F RB = 0
RB = FRA
=400RA
1
1 80 125
A AA
R
A
RR, (MPa)
2
2
4000
16
250 0 0625
B A
A
R
A
R
R MPa,
Hukum Hooke:
Gambar 6.2. Superposisi: Balok Bertingkat1
11
5
4
0 125
2 10
6 2510
lE
lR
R mm
A
A
,
.
, . ( )
22
25
4250 0,0625
2.10800 1 2 510l
E l
RR mm
A
A
( ), . ( )
Panjang pada deformasi: l1 = l1+ l1 (6.3a)
l2 = l2+ l2 (6.3b)
Titik A dan B tidak berpindah ==> panjang total batang tetap, l1+ l2 tetap, sehinggal1 + l2 = l1+ l2 ==> (l1+ l1 ) + (l2+ l2) = l1+ l2
atau l1+ l2 = 0 ===> 6,25.10-4
RA- 1 + 2,5.10-4
RA= 0
atau RA= ( 1 / 8,5. 10-4
) = 1176,5 (N)
Sehingga: 1 = 0,125 RA = 147.06 (MPa)
2 = - ( 250 - 0,0625 RA ) = -176,47 (MPa)
Perpindahan titik C = 6,25.10-4
RA = 0,735 (mm)
top related