buku ajar listrik magnet i
Post on 01-Mar-2018
1.387 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
1/142
k
c
E
B
Buku Ajar:
TEORI MEDAN I
Rahadi Wirawan
Oleh:
Fisika FMIPA Universitas Mataram
B2
B1
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
2/142
TEORI MEDAN I
Rahadi Wirawan
Oleh:
Fisika FMIPA Universitas Mataram
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
3/142
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas nikmat dan karuniaNya sehingga penulis
dapat menyusun Buku Ajar Teori Medan I ini hingga selesai. Penyusunan buku ini
dimaksudkan untuk membantu mahasiswa dalam memahami perkuliahan Teori Medan,
khususnya bagi mahasiswa Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Mataram.
Buku ini memaparkan tentang konsep-konsep kelistrikan dan kemagnetan yang
tersusun dalam 7 bab meliputi Analisis Vektor, Listrik Statis, Metode Analisis Potensial
Listrik, Medan Listrik dalam Bahan, Medan Magnet Statis, Medan Magnet Dalam Bahan
dan Elektrodinamika. Penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam
buku ini, oleh karena itu kritik dan saran dari pembaca sangat diharapkan untuk
penyempurnaan isi dari buku ini.
Melalui kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih atas
bantuan dan dukungan dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Mataram di dalam penyelesaian buku ini. Semoga buku ini dapat
memberikan manfaat yang besar bagi pembaca.
Desember, 2015
Penyusun
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
4/142
ii
DAFTAR ISI
Halaman Judul
Kata Pengantar
Daftar Isi
Bab 1 Analisis Vektor 11.1. Aljabar Vektor 11.2. Kalkulus Diferensial 91.3. Fungsi Delta Dirac 171.4. Teori Medan Vektor 20
Bab 2 Listrik Statis 222.1. Medan Listrik 222.2. Divergensi dan Curl Medan Listrik 302.3. Potensial Listrik 352.4. Usaha dan Energi Dalam Medan Listrik Statis 402.5. Konduktor 42
Bab 3 Metode Analisis Potensial Listrik 493.1. Persamaan Laplace dan Metode Separasi Variabel 493.2. Ekspansi Multipol 60
3.3. Metode Bayangan 66
Bab 4 Medan Listrik Dalam Bahan 704.1. Polarisasi Dalam Medium Dielektrik 704.2. Medan Dari Bahan Terpolarisasi 724.3. Perpindahan Listrik 774.4. Dielektrik Linier 794.5. Energi Tersimpan Dalam Dielektrik 824.6. Gaya Pada Dielektrik 84
Bab 5 Medan Magnet Statis 865.1. Gaya Magnetik 865.2. Medan Magnetik Arus Steady (Hukum Biot-Savart) 915.3. Hukum Ampere dan Aplikasinya 935.4. Potensial Vektor Magnetik 945.5. Syarat Batas Magnetostatis 985.6. Ekspansi Multipol Vektor Potensial 100
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
5/142
iii
Bab 6 Medan Magnet Dalam Bahan 1026.1. Magnetisasi 1026.2. Medan Magnet Untuk Benda Termagnetisasi 1066.3. Medan Auxiliary H 111
6.4. Bahan Linier dan Non Linier 114
Bab 7 Elektrodinamika 1197.1. Gaya Gerak Listrik 1197.2. Induksi Listrik Magnet 1237.3. Persamaan Maxwell 130
Daftar Pustaka
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
6/142
Teori Medan I 1
ANALISIS VEKTOR
Besaran-besaran dalam perkuliahan teori medan pada umumnya diungkapkan
dalam bentuk besaran vektor seperti halnya medan listrik, medang magnetik, potensial
vektor, vektor poynting dan sebagainya. Agar mahasiswa dapat dengan mudah
memahami formulasi yang akan dipaparkan maka pada bagian awal ini diuraikan hal-
hal yang terkait dengan analisa vektor.
Setelah mengikuti perkuliahan untuk materi analisis vektor, mahasiswa dapat
menerapkan operasi-operasi vektor dalam penyelesaian suatu permasalahan fisika
terkait. Adapun yang menjadi indikator capaian adalah dapat menyelesaikan suatuoperasi vektor dan dapat menerapkan konsep analisis vektor untuk menyelesaikan
suatu permasalahan.
I.1. ALJABAR VEKTOR
1. Definis i dan Operasi Vektor
Dalam fisika terdapat besaran-besaran yang tidak hanya diungkapkan dengan
nilai dari besaran tersebut, namun juga bagaimana orientasi besaran tersebut dalam
ruang. Besaran yang dimaksud antara lain adalah kecepatan, gaya, medan listrik, dan
sebagainya. Secara umum besaran tersebut dikenal dengan istilah vektor, yaitu
besaran yang tidak hanya memiliki nilai (skalar) akan tetapi juga mempunyai arah.
Ketika suatu operasi matematis dilakukan terhadap vektor seperti halnya operasi
penjumlahan atau perkalian, kedua faktor baik nilai maupun arah akan mempengaruhi
hasil operasi tersebut.
Penamaan sebuah vektor dtuliskan menggunakan notasi huruf tebal (a, B, d)
atau dengan menandai tanda panah di bagian atas nama sebuah vektor ( dBa
,, ).
Vektor juga digambarkan menggunakan panah dimana bagian ujung mata panah
menunjukkan arah vektor sedangkan panjang panah menunjukkan nilai suatu vektor
seperti tampak pada Gbr. 1.1.
Bab
1
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
7/142
Teori Medan I 2
Gbr. 1.1 Deskripsi Vektor
Operasi-operasi vektor meliputi operasi penjumlahan dan perkalian vektor.
Berikut ini diuraikan beberapa operasi vektor dan karakteristik dari operasi tersebut.
a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Dalam operasi penjumlahan berlaku antara lain hukum komutatif dan hukum
asosiatif, seperti ditunjukkan melalui Gbr. 1.2.
(a) Komulatif (b) Asosiatif
Gbr. 1.2 Operasi penjumlahan dua vektor
Operasi pengurangan vektor dapat diuraikan sebagai operasi penjumlahan
vektor dengan negatif dari suatu vektor.
Gbr. 1.3 Operasi pengurangan dua vektor
B
A
C
CBACBA
B
ABBA
A
B
A
ABAB
A
A
B
B
A
B
B
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
8/142
Teori Medan I 3
b. Operasi Perkalian
1. Perkalian vektor dengan skalar
Perkalian vektor dengan skalar positif tidak akan merubah arah vektor, hanya
merubah besar vektor. Sedangkan untuk perkalian dengan skalar negatif akan
merubah arah dan besar. Perkalian ini bersifat distributif dimana
BaAaBAa
)( (1.1)
2. Perkalian dot dua vektor
cos. ABBA
(1.2)
adalah sudut yang dibentuk oleh kedua buah vektor dan diperoleh nilai
skalar dari perkalian ini.
Gbr. 1.4 Operasi perkalian dot dua vektor
Dalam perkalian ini berlaku hukum komutatif
ABBA
.. (1.3)
dan hukum distributif.
CABACBA
... (1.4)
3. Perkalian cross dua vektor
nABBxA sin
(1.5)
adalah sudut yang dibentuk oleh kedua buah vektor dan n merupakan
normal bidang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Perkalian vektor ini
menghasilkan suatu vektor baru yang tegak lurus bidang
A
B
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
9/142
Teori Medan I 4
Gbr. 1.5 Operasi perkalian cross dua vektor
Pada perkalian cross vektor tidak berlaku komulatif
AxBBxA
(1.6)
namun berlaku sifat distributif perkalian
CxABxACBxA
(1.7)
4. Perkalian tiga vektor
a. Perkalian yang menghasilkan skalar
)(.)(.)(. BxACCxABCxBA
(1.8)
Gbr. 1.6 Operasi perkalian tiga vektor
b. Perkalian yang menghasilkan vektor
).().()( BACCABCxBxA
(1.9)
2. Komponen Vektor
Untuk proses operasi vektor akan lebih mudah dilakukan dengan menguraikan
vektor dalam komponen-komponen vektor yang terkait dengan koordinat yang
digunakan. Komponen vektor tidak lain merupakan proyeksi panjang vektor terhadap
A
B
n
A
B
n
C
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
10/142
Teori Medan I 5
koordinat yang menjadi acuan. Penguraian vektor dalam komponen-komponen vektor
digambarkan berikut ini.
Gbr. 1.7 Komponen vektor dalam sistem koordinat kartesian
Ax, Ay, Az adalah besar komponen-komponen vektor A
dalam arah x, y dan z untukkoordinat kartesian. Besarnya komponen-komponen vektor berdasarkan besar vektor
dituliskan melalui rumus berikut
cossinAAx
sinsinAAx
cosAAx
Berdasarkan komponen-komponen vektor tersebut, suatu vektor dapat dituliskan
(koordinat kartesian) sebagai berikut:
zAyAxAAzyx
(1.10)
dengan besar vektorA.
222
zyx AAAA (1.11)
Dalam Gbr. 1.5 diungkapkan juga adanya vektor satuan atau vektor arah atau basis
( zyx ,, ) yang menyatakan arah komponen vektor untuk masing-masing sumbu
koordinat kartesian dengan besarnya satu satuan. Vektor satuan dirumuskan sebagai
a
a
a
aa
(1.12)
Beberapa operasi vektor terkait dengan penguraian vektor dalam komponen vektor.
penjumlahan:
x
y
z
xAx
yAy
zAx A
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
11/142
Teori Medan I 6
zByBxBzAyAxABA zyxzyx
perkalian dengan skalar:
zaAyaAxaAAa zyx
perkalian dot :
zzyyxx
zyxzyx
BABABA
zByBxBzAyAxABA
..
karena untuk perkalian vektor arah 1... zzyyxx sedangkan
0...... yzzyxzzxxyyx
perkalian cross :
zByBxBxzAyAxABxA zyxzyx .
0)()()(0)()()(0 yxzBAxxzBAzxyBAxxyBAzxxBAyxxBA yzxzzyxyzxyx 0)()()(0)()()(0 xBAyBAxBAzBAyBAzBA yzxzzyxyzxyx
zBABAyBABAxBABA xyyxzxxzyzzy
karena untuk perkalian vektor arah 0 zxzyxyxxx sedangkan
zxxyyxx
yzxxxxz
xyxzzxy
Untuk koordinat acuan lainnya seperti halnya kordinat sil inder maupun koordinat
bola, suatu vektor diuraikan berdasarkan komponen-komponennya dengan vektor arah
seperti gambarkan melalui Gbr.1.8.
zAArAA zr
(koordinat silinder) (1.13)
dan
AArAA
r
(koordinat bola) (1.14)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
12/142
Teori Medan I 7
(a) Vektor arah koordinat silinder (b) Vektor arah koordinat bola
Gbr. 1.8 Sistem koordinat silinder dan bola
3. Posisi dan Vektor Perpindahan
Suatu titik ditempatkan pada ruang (x,y,z) dapat digambarkan sebagai suatu
vektor terhadap pusat sumbu koordinat.
zzyyxxr
(koordnat kartesian) (1.15)
(a) (b)
Gbr. 1.9 Vektor posisi titik dalam koordinat kartesian
dengan jarak titik
222zyxr
dan vektor arah
x
y
z
r
r
(x,y,z)1r
2r
12 rrr
x
y
z
z
r
A
x
y
z
A
r
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
13/142
Teori Medan I 8
222
zyx
zzyyxx
r
rr
(1.16)
Untuk vektor perpindahan antara titik (x,y,z) dan (x + dx, y + dy, z + dz) dituliskan
sebagai
zdzydyxdxld
(1.17)
Separasi antara dua buah vektor adalah selisih antara dua buah vektor seperti
deskripsikan melalui Gbr. 1.9b. Vektor separasi antara kedua buah vektor dituliskan
sebagai
12 rrr
(1.18)
4. Transformasi Vektor
Dalam meninjau vektor suatu titik terkadang kerangka acuan yang digunakan
bukanlah kerangka acuan yang utama (kerangka acuan inersia atau S) namun
menggunakan kerangka acuan/koordinat bayangan (S) seperti tampak pada Gbr.1.10.
Gbr. 1.10 Vektor posisi titik dalam koordinat kartesian
Oleh karenanya proses tranformasi koordinat akan mempengaruhi vektor baik dari
tinjauan arah maupun panjangnya. Berikut ini diuraikan proses transformasi vektor
tersebut. Jika vektor garis antara titik pusat sumbu dengan titik P diberi nama dengan
vektor R
. Komponen-komponen vektor R
terhadap kerangka acuan S dituliskan
sebagai
cosRRx dan sinRRy (a)
x
x
y
y
P
S
S
0
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
14/142
Teori Medan I 9
Sedangkan terhadap kerangka acuan S dengan perbedaan sudut
sinsincoscos)cos('cos' RRRRRx (b)
dan
sincoscossin)sin('sin' RRRRRy (c)
Substitusi persamaan (a) ke dalam persamaan (b) dan (c) menghasilkan hubungan
sincos' yxx RRR
cossinsincos' yxxyy RRRRR
Dalam notasi matriks hubungan antara komponen vektor dengan kerangka acuan yang
berbeda tersebut dapat ditampilkan sebagai
y
x
y
x
y
x
RRT
RR
RR
cossinsincos
'' (1.19)
dimana matriks
cossin
sincos dikenal sebagai matriks transformasinya (T). Untuk
koordinat tiga dimensi secara umum matriks transformasinya diungkapkan melalui
elemen-elemen matriks berikut:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
TTT
TTT
TTT
T (1.20)
Rumusan untuk transformasi vektor dalam bentuk umum dituliskan sebagai
3
1
'j
jiji RTR (1.21)
I.2. KALKULUS DIFERENSIAL
1. Operator del
Operator del merupakan operator vektor dan didefinisikan dalam koordinatkartesian sebagai
zz
yy
xx
(1.22a)
Dalam koordinat silinder dan bola, operator del dirumuskan sebagai berikut
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
15/142
Teori Medan I 10
zz
1
; dalam koordinat silinder (1.22b)
sin
11
rr
rr
; dalam koordinat bola (1.22c)
2. Gradien, Divergensi dan Curl
Dalam analisis diferensial terdapat adanya vektor operator diferensial yang
meliputi operator gradien, divergensi, dan curl.
Operator gradien suatu fungsi skalar T(x,y,z) atau (grad T atau T
) merupakan
operator vektor yang bekerja pada suatu fungsi skalar. Dalam koordinat kartesian
operator gradien tersusun atas tiga komponen koordinat kartesian berikut
zzTy
yTx
xTT
(1.23)
Gradien suatu fungsi T di atas diinterpretasikan sebagai perubahan nilai dari fungsi T
untuk suatu perubahan posisi (perpindahan). Diferensial fungsi T oleh perubahan
masing-masing komponennya dapat dituliskan sebagai
dzz
Tdy
y
Tdx
x
TdT
(1.24)
Diferensial di atas dapat dituliskan dalam hubungan perkalian dot antara vektor
operator del dengan vektor perpindahan
zdzydyxdxzz
Ty
y
Tx
x
TdT .
rdTgrad
. (1.25)
Sebagai suatu vektor, gradien (grad T) tentunya memiliki nilai dan arah. Berikut ini
dideskripsikan bagaimana gradien potensial V dalam tinjauan sistem koordinat
kartesian, silinder dan bola.
zz
Vy
y
Vx
x
VV
; dalam koordinat kartesian (1.26a)
Dalam koordinat silinder dan bola, operator del dirumuskan sebagai berikut
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
16/142
Teori Medan I 11
zz
VVVV
1
; dalam koordinat silinder (1.26b)
sin
11
V
r
V
rr
r
VV
; dalam koordinat bola (1.26c)
Divergensi (div) merupakan istilah yang digunakan untuk perkalian skalar
(perkalian dot) operator del dengan suatu vektor. Secara matematis untuk operator del
dalam koordinat katesian dituliskan sebagai
zuyuxuzz
yy
xx
uzyx
..
z
u
y
u
x
uzyx (1.27a)
atau dalam koordinat umum dapat dituliskan sebagai
3
1
.i i
i
x
uu
(1.27b)
Divergensi menyatakan sebaran suatu vektor dari suatu titik yang ditinjau. Hal tersebut
dapat dideskripsikan melalui gambar 1.11 berikut.
(a) Divergensi (b) Curl
Gbr.1.11 Divergensi dan curl
Dalam tinjauan divergensi, dikenal adanya teorema divergensiatau teorema
Gauss yaitu integrasi terhadap volum dari divergensi suatu medan vektor sama
dengan banyaknya aliran neto medan vektor (fluks) yang menembus permukaan
tertutup yang membentuk volum tersebut.
x
z
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
17/142
Teori Medan I 12
dSAndVAV S
.. (1.28)
dengan n merupakan arah normal permukaan bidang.
Untuk divergensi gradien menghasilkan suatu operator yang dikenal sebagai
operator Laplacian. Berikut ini dipaparkan divergensi dari gradien yang dimaksud
z
zy
yx
xz
zy
yx
x.
2
2
2
2
2
2
zyx
2
(1.29)
2 adalah operator Laplaciandan merupakan operator skalar.
Sedangkan curl merupakan perkalian vektor antara operator del dengan suatu
vektor. Secara matematis curl dituliskan sebagai
zyx uuu
zyx
zyx
ux
z
y
u
x
uy
x
u
z
ux
z
u
y
uxyzxyz
(1.30)
Curl mengungkapkan tentang banyaknya vektor yang melingkari suatu titik yang
ditinjau. Curl tersebut dideskripsikan melalui Gbr.1.11.
Terkait dengan curl, terdapat teorema yang dikenal sebagai teorema Stokes
yaitu integral garis dari suatu medan vektor sepanjang suatu lintasan tertutup sama
dengan integral luasan di atas daerah yang dibatasi oleh lintasan tertutup tersebut.
S C
drAdSAxn ..
(1.31)
3. Integral Kalkulus
Analisis matematis dalam membahas konsep maupun permasalahan dalam
listrik magnet dilakukan menggunakan teknik integrasi. Integrasi dapat dikatakan
sebagai penjumlahan yang terbatas. Suatu fungsi kontinu f yang dibatasi pada rentang
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
18/142
Teori Medan I 13
a x b. Jika rentang antara titik a dan b dibagi dalam n bagian dengan lebar
n
abx
. Integral dari fungsi fdari titik a ke b didefiniskan sebagai
b
a
n
iin
xxfdxxf1 )'(lim)(
(1.32)
dengan titik 'ix merupakan titik sampel yang berada dalam interval 1ix dan ix , seperti
tampak pada Gbr.1.12.
Gbr.1.12 Grafik suatu fungsi y=f(x)
Ada beberapa jenis integral terkait antara lain adalah integral garis, integral luas
dan integral volum.
Integral garis
Integral garis untuk suatu fungsi vektor yang dibatasi oleh dua buah dapat
dituliskan dalam bentuk
b
a
ldu
. (1.33a)
Sedangkan untuk lintasan yang bersifat tertutup (titik awal dan akhir berada pada titik
yang sama), simbol integralnya dituliskan sebagai
ldu
. (1.33b)
Integral luas
Integral suatu fungsi vektor terhadap suatu luasan bidang dituliskan sebagai
S
Sdu
. (1.34a)
y = f(x)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
19/142
Teori Medan I 14
Dalam integral fungsi vektor di atas, hasil integrasi dipengaruhi arah normal luasan
bidang dS. Untuk luasan permukaan yang tertutup
S
Sdu
. (1.34b)
Integral volum
Untuk integral volum dituliskan sebagai
V
dVT (1.35)
dengan T merupakan suatu fungsi skalar dan dV suatu elemen volum yang dapat
dideskripsikan baik dalam koordinat kartesian, sil inder maupun bola.
4. Koordinat Silinder dan Bola
Dalam beberapa ulasan vektor sebelumnya digunakan sistem koordinat
kartesian (x, y, z). Selain koordinat kartesian, pengungkapan posisi suatu titik juga
dapat dideskripsikan dalam koordinat silinder maupun koordinat bola. Dalam koordinat
silinder, posisi suatu titik dituliskan dalam komponen (, , z) sedangkan dalam
komponen koordinat bola (r, , ). Gbr.1.13 menunjukkan posisi titik P baik dalam
tinjauan koordinat kartesian, silinder maupun bola.
(a) Koordinat kartesian (b) Koordinat silinder (c) Koordinat bola
Gbr. 1.13 Posisi titik dalam tinjauan sistem koordinat
Hubungan antara koordinat silinder (, , z) dengan koordinat kartesian (x, y, z)
dituliskan sebagai
x
y
z
x
y
z
P (x,y,z) r
x
y
z
P (r,,)
x
y
z
z
P(,,z)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
20/142
Teori Medan I 15
cosx
siny
zz (1.36)
dan sebaliknya
2/122 yx
22
1
22
11 cossintanyx
x
yx
y
z
y (1.37)
dengan transformasi vektor arah
yxyx
sincossincos
(1.38a)
dan sudut bidang (sudut azimut)
yxyx cossin2
sin2
cos
(1.38b)
Dari kedua vektor arah dan pada persamaan (1.) dan (1.), tampak bahwa
keduanya merupakan fungsi dari sudut bidang . Diferensial kedua vektor arah
terhadap variabel , menghasilkan vektor arah yang berbeda berikut ini.
cossinsincos
yxyxd
d
d
d
sincoscossin
yxyx
d
d
d
d (1.39)
Dalam koordinat silinder, diferensial garis atau elemen panjang merupakan
penjumlahan dari diferensial garis untuk masing-masing vektor arah koordinat atau
zdzddld
(1.40)
dan untuk elemen volum suatu sil inder diformulasikan sebagai
dzdddV (1.41)
untuk gradien suatu fungsi dalam koordinat silinder dituliskan sebagai
zz
FFFF
1
(1.42)
Divergensi dan curl dalam koordinat silinder diungkapkan melalui formulasi
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
21/142
Teori Medan I 16
z
uuuu z
11.
; divergensi (1.43a)
zu
uu
z
u
z
uuux zz
11
; curl
(1.43b)
Laplacian untuk koordinat silinder dituliskan
2
2
2
2
2
2 11
z
FFFF
(1.44)
Transformasi vektor arah dari koordinat kartesian ke dalam koordinat silinder
dapat dituliskan dalam bentuk matriks transformasi berikut:
zy
x
z
1000cossin
0sincos
(1.45)
Selain koordinat kartesian dan silinder, juga terdapat sistem koordinat bola.
Transformasi dari sistem koordinat bola menjadi koordinat kartesian diuraikan melalui
hubungan
cossinrx
sinsinry
cosrz (1.46)
dan sebaliknya
2/1222 zyxr
z
yx 22
1tan
z
y1tan (1.47)
Adapun untuk transformasi vektor arah keduanya dirumuskan sebagai berikut
zyxr cossinsincossin
zyx sinsincoscoscos
yx cossin (1.48)
atau dalam bentuk matriks transformasi berikut
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
22/142
Teori Medan I 17
z
y
xr
0cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
(1.49)
Untuk tinjauan diferensial garis, elemen volum, gradien, divergensi, curl serta
Laplacian dalam koordinat bola dituliskan sebagai berikut:
sin drrdrdrld
; diferensial garis
rddrdrdV sin ; elemen volum
sin
11
F
r
F
rr
r
FF
; gradien
u
ru
rur
rru
rsin1sin
sin11. 2
2
; divergensi
1
sin
11sin
sin
1
rr u
urrr
rur
u
rr
uu
rux
;
curl
2
2
222
2
2
2
sin
1sin
sin
11
F
r
F
rr
Fr
rrF ; Laplacian
(1.50)
I.3 FUNGSI DELTA DIRAC
I.3.1 DEFINISI
Fungsi delta dirac didefinisikan sebagai suatu fungsi yang memiliki ketinggian
(puncak) infinit pada nilai x=0 dengan luasan kurva tersebut adalah satu. Secara
matematis fungsi delta diracdituliskan dalam bentuk
00
0)(
x
xx (1.51)
dengan
1)(
dxx
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
23/142
Teori Medan I 18
(a) (b)
Gbr 1.14 Fungsi delta dirac
Dalam tinjauan koordinat satu dimensi (sumbu x) jika suatu fungsi kontinu f(x),
dimana hasil perkalian fungsi tersebut dengan delta dirac bernilai nol pada sembarang
titik kecuali pada posisi x=0 diungkapkan melalui hubungan
)()0()()( xfxxf (1.52)
dengan generalisasi fungsi tersebut pada nilai x=0
)0()()0()()( fdxxfdxxxf
Posisi puncak dalam fungsi delta dirac dapat bergeser ke posisi lainnya
(misalnya pada x=a) seperti tampak pada Gbr.1.14. Hal tersebut dituliskan dalam
bentuk
axuntuk
axuntukax
0)( (1.53)
dengan
1)(
dxax
Untuk fungsi f(x)dxmaka
)()()()( axafaxxf (1.54a)
(x)
x
0
Luas daerahdiarsir =1
(x-a)
x
a
Luas daerahdiarsir =1
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
24/142
Teori Medan I 19
sehingga untuk integrasi
)()()( afdxaxxf
(1.54b)
Contoh:
a. Buktikan bahwa )())(( xxdx
dx
b. Bila (x) merupakan fungsi tangga
0,0
0,1)(
xuntuk
xuntukx
buktikan bahwa )(xdx
d
Solusi:
a.
dxxxxf
dx
dxxxfdxx
dx
dxxf )())()()()()(
dxxfdx
dfx )(0
dxxxff )()()0(0
sehingga dapat disimpulkan bahwa )()( xxdx
dx
b.
dxxdx
dfxxfdx
dx
dxf )()()()(
dxxxf
f
fff
dxdx
dff
)()(
)0(
)0()()(
)(0
Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa )(xdx
d
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
25/142
Teori Medan I 20
I.3.2 FUNGSI DELTA DIRAC TIGA DIMENSI
Dalam ruang tiga dimensi delta dirac diuraikan berdasarkan kooordinat yang
digunakan, seperti halnya dalam koordinat kartesian berikut delta dirac dituliskan
sebagai
)()()()(3 zyxr
(1.55)
yang bernilai nol di semua titik terkecuali pada titik pusatnya (0,0,0). Pada titik ini,
delta dirac memiliki nilai yang sangat besar dan memiliki nilai integrasi volum sebesar
1.
V V
dxdydzzyxdVr 1)()()()(3
(1.56)
dimana V merupakan volume seluruh ruang.
Secara umum, delta dirac dapat diungkapkan melalui persamaan integrasiberikut:
V
afdVarrf )()()( 3
(1.57)
I.4 TEORI MEDAN VEKTOR
Hukum-hukum kelistrikan dan kemagnetan pada umumnya diungkapkan dalam
rumusan medan listrik E (atau E
) dan medan magnetik B (atau B
). Kedua besaran
tersebut merupakan besaran vektor sehingga dalam berbagai formulasi fisika yang
diungkapkan selalu melibatkan derivatif vektor seperti divergensi dan curl. Maxwell
kemudian mengungkapkan hukum-hukum kelistrikan dan kemagnetan tersebut dalam
empat persamaan matematis dalam bentuk hubungan curl maupun divergensi dari
besaran Edan B yang dikenal sebagai persamaan Maxwell. Secara umum hubungan
tersebut dapat dipahami sebagai berikut: Jika divergensi suatu vektor F
(baik itu
medan listrik E (atau E
) dan medan magnetik B (atau B
), menghasilkan suatu produk
fungsi skalar dan curlnya menghasilkan suatu fungsi vektor berikut.
SF
. (1.58)
dan
CFx
(1.59)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
26/142
Teori Medan I 21
Oleh karena divergensi dari suatu curl selalu nol,
0. C
(1.60)
maka solusi fungsi-fungsi F
merupakan solusi trivial untuk F
. Selain itu untuk
penyelesaian persamaan diferensialnya diterapkan suatu syarat batas.
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
27/142
Teori Medan I 22
LISTRIK STATIS
Dalam bab ini diuraikan tentang tinjauan kelistrikan statis yang meliputi medan
listrik, operasi vektor medan listrik, potensial listrik, usaha dan energi yang tersimpan
dalam medan listrik, konduktor. Setelah mengikuti perkuliahan listrik statis ini,
mahasiswa dapat mengaplikasikan konsep-konsep listrik statis dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait. Indikator capaian untuk
perkuliahan ini adalah dapat menentukan arah orientasi medan listrik, menghitung
besarnya suatu medan dan besarnya potensial serta menghitung besarnya usaha
dan energi dalam medan listrik statis.
II.1 MEDAN LISTRIK
1. Hukum Coulomb
Adanya dua buah partikel bermuatan dalam suatu ruang akan menimbulkan
interaksi diantara kedua partikel tersebut. Interaksi antara keduanya dideskripsikan
melalui adanya gaya interaksi Coulomb. Besarnya gaya interaksi Coulomb yang
dialami suatu muatan Q (sebagai muatan uji) akibat adanya medan listrik yang
ditimbulkan muatan q yang terpisah sejauh r dirumuskan melalui persamaan
rr
qQF
4
12
(2.1)
dengan merupakan permitivitas listrik medium dimana = r0; r permitivitas
relatif dan 0permitivitas listrik vakum 8,854 x 10-12N-1m-2C2, rmerupakan vektor
arah dimanar
rr
dimana r
adalah vektor separasi antara muatan q dengan
muatan Q sedangkan r merupakan panjang vektor r
seperti tampak pada Gbr. 2.1.
Bab
2
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
28/142
Teori Medan I 23
Gbr. 2.1 Vektor separasi antara muatan q dan Q dalam koordinat kartesian
Untuk sekumpulan muatan-muatan q1, q2, q3, qi, .....,qn (Gbr. 2.2), besarnya
gaya interaksi yang dialami oleh muatan Q merupakan jumlah total pasangan
interaksi individual terhadap muatan Q.
Gbr. 2.2 Gaya yang ditimbulkan oleh sebaran muatan q1, q2,....qn
Besarnya gaya total tersebut dituliskan melalui persamaan
ni FFFFFF
...321
2222
222
1
11 .....
4 n
nn
i
ii
r
rq
r
rq
r
rq
r
rqQF
n
i i
ii
r
rqQF
1
2
4
(2.2)
Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan representasi hukum Coulomb yang
menjelaskan tentang adanya gaya interaksi antara dua buah muatan tunggal atau
interaksi antara muatan tunggal dengan muatan terdistribusi.
Q
qi
(titik reference)
ir
r
ir
q1
q2q3
q4FQ
(x2, y2, z2)Q
q
(x1, y1, z1)
(0, 0, 0)
1r
2r
12 rrr
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
29/142
Teori Medan I 24
Terkait dengan faktor medium dimana terjadinya interaksi, memberikan
pengaruh terhadap besarnya gaya interaksi. Untuk vakum atau udara dengan
permitivitas relatif r = 1, formulasi gaya Coulomb pada persamaan (2.1) dituliskan
kembali dalam bentuk
rr
qQF 4
12
0
(2.3a)
dimana dari definisi vektor arahr
rr
, maka
rr
qQF
304
1
(2.3b)
Contoh :
1. Muatan q, 2q, -4q and -2q (q positif) berada pada keempat titik sudut kubus
dengan panjang sisi 2L, dengan pusat kubus berhimpit pada pusat sistem
koordinat.
(a) Hitunglah besarnya gaya netto pada muatan q akibat dari pengaruh muatan
lain?
(b) Tentukan besarnya gaya yang dialami muatan Q yang ditempatkan pada pusat
sumbu koordinat.
Solusi :
FL
qk
L
qkF
2
1
4
2
)2(
22
2
2
2
12 dimana
FL
qkF
FL
qkF
L
qkF
2
1
4
2
2
1
8
4
2
2
14
2
2
13
2
2
+ +
_ _
2qq
-4q-2q
L
L
F12F13
F14
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
30/142
Teori Medan I 25
+
qF12
F14F13
F13x
F13y
)707,1(2112221
)293,0(2
1
2
21
2
1
22
1.
2
1
1413
1213
1313
FFFFF
FFFFF
FFF
yy
xx
yx
293,0
707,1arctanarctan
)707,1()293,0(2
1 2222
x
y
yx
F
F
NFFFF
2. Muatan Q terdistribusi secara uniform pada kawat dengan panjang 2L. Carilah
besarnya gaya Coulomb yang dialami muatan q pada jarak a dari sumbu kawat
tersebut.
Solusi :
Vektor arah
2/122 yajyia
r
jyiayady
kq
jyiaya
dqkqdF
2/322
2/322
j
ya
ydyi
ya
adykqdF
2/3222/322
Untuk integral pertama digunakan hubungan
L/4
a
Garis sumbu
q
-L
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
31/142
Teori Medan I 26
y = a tan dan dy = a sec2d,
sedangan untuk integral kedua a2+ y2= b dan 2ydy = db
sehingga diperoleh
jLaLa
iLaLaa
Lkq
j
LaLa
i
LaLa
La
kq
jya
iya
y
akq
jb
ia
kqF
jdbbida
kq
jb
dbi
a
dakqdF
L
L
L
L
L
L
2/1222/1222/1222/122
2/1
22
2/1
22
2/1
22
2/1
22
4
3
4
52/122
4
3
4
52/122
4
3
4
5
2/3
2/333
22
2516
1
916
14
2516
5
916
3
16
25
1
16
9
1
16
25
4/5
16
9
4/31
11
1sin
1
2
1cos
1
2/
sec
sec
2. Medan Listrik
Besarnya gaya interaksi Coulomb pada persamaan (2.2) dapat dituliskan sebagai
hubungan antara muatan Q dan medan listrik E
EQF
dimana medan listrik E
adalah kuat medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan-
muatan q1, q2,....qn. Dari persamaan di atas medan listrik dapat didefinisikan sebagai
suatu daerah dimana suatu muatan titik masih mengalami suatu gaya interaksi
Coulomb.
Q
FE
(2.4)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
32/142
Teori Medan I 27
Besarnya medan pada suatu titik bergantung pada muatan yang menyebabkan
timbulnya medan tersebut dan kuadrat jarak suatu titik terhadap muatan
penyebabnya. Berdasarkan hukum Coulomb dapat dituliskan sebagai
r
r
qE
4
1
20
untuk muatan tunggal (2.5a)
dan
n
i
i
i
in
i
i rr
qEE
12
01
4
1
untuk n jumlah muatan (2.5b)
Sedangkan untuk muatan yang terdistribusi secara kontinyu
rr
dqE
4
12
0
(2.5c)
Semakin jauh posisi titik pengukuran suatu medan yang ditimbulkan oleh suatu
muatan baik itu muatan titik atau sekumpulan muatan, maka besarnya medan
semakin kecil yang sebanding dengan seper kuadrat jarak titik terhadap posisi
muatan sumber atau
2
1
rE .
3. Dist ribus i Muatan
Medan listrik yang ditimbulkan oleh banyak muatan dipengaruhi oleh distribusi
muatan-muatan tersebut. Distribusi muatan digolongkan dalam distribusi muatan
garis, distribusi muatan permukaan, dan distribusi muatan volum.
Distribusi muatan garis
Rapat muatan garis dituliskan dalam rumusdl
dq , dan banyaknya muatan
yang terdistribusi dlq . Besarnya medan listrik pada suatu titik yang ditimbulkan
oleh muatan yang terdistribusi dalam suatu garis seperti tampak pada Gbr.2.3
berdasarkan persamaan (2.5c) adalah
rr
dl
rr
dq
E
4
1
4
1
20
20
dldq
r
P
dE
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
33/142
Teori Medan I 28
Gbr. 2.3 Diferensial medan akibat distribusi muatan
garis
Distribusi muatan permukaan
Untuk rapat muatan permukaan dituliskan dalam rumusdA
dq , dan
banyaknya muatan yang terdistribusi dAq . Medan listrik pada suatu titik yang
ditimbulkan oleh muatan-muatan yang terdistribusi pada permukaan ditentukan
dengan rumus
rrdA
rr
dqE
A
4
1
4
1
20
20
Gbr. 2.4 Diferensial medan akibat distribusi muatan
permukaan
Distribusi muatan volum
Dalam distribusi muatan volum, besarnya rapat muatan volum dituliskan
dalam rumus dV
dq
, dan banyaknya muatan yang terdistribusi adalah dVq .Medan listrik pada suatu titik yang ditimbulkan oleh muatan-muatan yang terdistribusi
pada suatu volum tertentu ditentukan dengan rumus
rr
dV
rr
dqE
V
4
1
4
1
20
20
Gbr. 2.5 Diferensial medan akibat distribusi muatan
volum
dAdq
r
P
dE
A
dVdq
r
P
dE
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
34/142
Teori Medan I 29
Contoh:
Tentukan besarnya medan listrik pada titik P yang ditimbulkan oleh cakram dengan
radius R seperti tampak pada gambar. Cakram bermuatan total Q yang tersebar
secara uniform pada permukaannya.
Berapakah besarnya medan jika R >> x dan
sebaliknya untuk x >> R.
Solusi:
xa
x
a
dAkx
a
dAkdE
x cos
2/122
dengan dA = 2rdr dan a =(r2+ x2)1/2
x
xR
xk
xxRx
xk
xxr
xk
xbxk
xb
dbxk
xxr
rdrxkE
xa
rdrxkdE
Rr
r
Rr
r
x
x
12
112
1
2
).2.(2
2
2
2
2
2
2/122
2/122
0
2/122
0
2/1
2/3
2/322
2/3
r
Rx
a
PdEx
dqdA
Rx P
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
35/142
Teori Medan I 30
II.2 DIVERGENSI dan CURL MEDAN LISTRIK
1. Garis-garis Medan dan Fluks Medan Listr ik
Medan listrik pada suatu daerah dimana terdapat muatan-muatan sumber
dideskripsikan melalui garis-garis medan yang dihasilkan oleh suatu muatan sumber.
Medan yang ditimbulkan oleh suatu muatan tunggal positif digambarkan dengan
arah garis medan (arah panah) keluar atau menjauhi muatan titik ke segala arah,
sedangkan untuk arah medan yang ditimbulkan oleh muatan titik negatif
digambarkan dengan arah garis medan menuju muatan titik tersebut. Gambar
berikut mendeskripsikan medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik dan arah
garis-garis medan ketika timbul gaya interaksi antara muatan-muatan titik.
Gbr. 2.6a. Garis-garis medan untuk
muatan titik positif.
Gbr. 2.6b. Garis-garis medan untuk muatan titik
negatif.
Gbr. 2.6c. Garis-garis medan untuk
pasangan muatan titik yang berlawanan
jenis.
Gbr. 2.6d. Garis-garis medan untuk pasangan
muatan titik yang sejenis.
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
36/142
Teori Medan I 31
Perbedaan panjang garis pada Gbr. 2.6a. mendeskripsikan besarnya medan,
dimana semakin dekat dengan sumber besarnya medan listriknya semakin besar.
Fluks medan listrik menyatakan tentang banyaknya garis-garis medan listrik
yang melalui suatu luasan bidang dA. Gambar berikut mendeskripsikan hal tersebut.
Gbr. 2.7 Fluks medan listrik
Besarnya fluks medan listrik (E) bergantung pada besarnya medan listrik dalam
suatu daerah yang diungkapkan melalui rumusan
S
E AdE
. (2.6)
Besaran densitas fluks listrik (D
) digunakan untuk menyatakan banyaknya fluks
medan listrik yang melalui suatu permukaan.
ndA
dD
(2.7)
dengan n adalah normal bidang permukaan.
2. Hukum Gauss dan Divergensi Medan Listr ik E
Medan listrik ditimbulkan oleh adanya muatan, dan ketika muatan tersebut
dilingkupi oleh suatu permukaan maka dapat dikatakan bahwa total fluks yang keluar
melalui permukaan sebanding dengan besarnya muatan yang dilingkupi oleh
permukaan tertutup tersebut. Hal tersebut dikenal sebagai hukum Gauss.
E
dA
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
37/142
Teori Medan I 32
Gbr. 2.8 Fluks medan listrik E yang ditimbulkan oleh muatan tunggal q yang terlingkupi oleh
permukaan dengan luasan A (Hukum Gauss)
Hukum Gauss diaplikasikan untuk menentukan besarnya medan listrik yang
ditimbulkan oleh suatu muatan. Faktor yang perlu dipertimbangkan dalam
menentukan besarnya medan listrik menggunakan hukum Gauss adalah pemilihanpermukaan tertutup Gaussian.
Besarnya medan listrik pada jarak r yang diakibatkan oleh sebuah partikel
bermuatan q yang berada pusat sumbu koordinat, ditentukan melalui persamaan
(2.8a)
0
.
qAdE
A
dengan pemilihan permukaan Gaussian untuk koordinat bola rddrAd sin2
diperoleh
qrddrrr
qAdE
A 0
2
20
1sin.
4
1.
Jika terdapat n muatan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup Gaussian tersebut,
maka besarnya medan yang dideskripsikan melalui banyaknya fluks yang keluar
melalui permukaan tertutup tersebut adalah jumlah total dari medan individual
n
i
iEE
1
n
i
i
n
i AA
qAdEAdE1 01
1..
atau dapat dituliskan sebagai
total
A
QAdE0
1.
(2.8)
+dA
E
q
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
38/142
Teori Medan I 33
denganQtotal adalah jumlah muatan total yang terlingkupi oleh permukaan tertutup
dan A adalah luasan tertutup (permukaan Gaussian). Persamaan (2.8) merupakan
ungkapan matematis dari hukum Gauss. Dalam hubungan dengan densitas fluks
medan listrik hukum Gauss dituliskan sebagai
total
A
QAdD
. (2.9)
Integrasi medan listrik terhadap luasan permukaan pada bagian kiri dari persamaan
(2.8) dapat dituliskan dalam bentuk divergensi medan listrik berdasarkan teorema
divergensi berikut
VA
dVEAdE
..
Dan penentuan muatan berdasarkan distribusi muatan volum V
total dVQ , maka
persamaan (2.8) dapat dituliskan kembali sebagai
VV
dVdVE0
.
Dan diperoleh hubungan diferensial hukum Gauss dalam bentuk
0
.
E
(2.10a)
Atau
D
. (2.10b)
Dari persamaan (2.10a) terungkap bahwa divergensi atau sebaran medan
listrik E
sebanding dengan distribusi muatan yang menimbulkan medan listrik.
Secara fisis dapat dikatakan bahwa terdapat adanya sebaran medan dari suatu
sumber muatan titik ataupun muatan terdistribusi. Tinjauan pada sebuah bola
bermuatan yang tersebar di permukaannya dengan distribusi muatan seperti
tampak pada Gbr. 2.9.
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
39/142
Teori Medan I 34
Gbr. 2.9 Bola dengan distribusi muatan permukaan
Pada gambar di atas tampak bahwa tidak ada muatan yang terlingkupi oleh
permukaan Gaussian 1 dimana 0. E
sehingga dapat disimpulkan bahwa 0E
,
sedangkan permukaan Gaussian 2 melingkupi muatan yang tersebar dengan
distribusi sehingga disimpulkan bahwa terdapat medan E
yang tersebar secara
radial. Besar medannya ditentukan melalui hubungan AA
dAAdE 0
1.
3. Curl Medan Listr ik E
Jika sebelumnya diungkapkan tentang divergensi dari medan listrik, bagaimana
halnya dengan curl dari medan listrik tersebut. Berikut ini diuraikan curl dari medan
listrik E
, dimana medan listrik ditimbulkan oleh sebuah muatan titik (persamaan
2.5a)
rr
qE
4
12
0
Sebelum menentukan curl medan, terlebih dahulu ditinjau bagaimana integrasi
divergensi medan terhadap lintasan B
A
ldE
. seperti tampak pada Gbr. 2.10. Untuk
muatan titik diferensial lintasan dituliskan dalam koordinat bola
sin drdrrdrld
.
Permukaan Gaussian 1
Permukaan Gaussian 2
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
40/142
Teori Medan I 35
Gbr. 2.10 Diferensial lintasan
Penyelesaian permasalahan di atas dapat dituliskan sebagai berikut
B
A
B
A
drdrrdrrr
qldE
sin.
4
1.
20
B
A
dr
r
q2
04
1
BA rr
q 11
4 0
dengan rA dan rB jarak titik dari titik pusat acuan muatan sumber. Untuk lintasan
tertutup dimana jarak radial antara kedua titik terhadap pusat sumbu sama (rA= rB),
hasil integrasi medan terhadap lintasan muatan adalah nol.
0. ldE
(2.11)
Berdasarkan teorema Stokes untuk curl ldEAdExlA
..
diperoleh curl dari medan
listrik
0 Ex
(2.12)
Persamaan (2.12) secara fisis menegaskan tidak adanya curl dari medan listrik yang
ditimbulkan oleh muatan statis yang menimbulkan medan tersebut.
II.3 POTENSIAL LISTRIK
1. Potensial Listr ik
Potensial listrik merupakan karakteristik skalar dari medan listrik. Potensial
listrik pada sembarang titik dalam medan listrik adalah usaha persatuan muatan
untuk memindahkan sebuah muatan positif dari tak terhingga (titik reference) ke titik
tujuan. Secara matematis potensial listrik dirumuskan sebagai
x
y
z
rA
rB
qdl
A
B
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
41/142
Teori Medan I 36
r
ldErV
.)( (J/C atau volt) (2.13)
dengan r posisi titik potensial listrik. Beda potensial antara dua titik potensial listrik
dapat ditentukan melalui
BA
r
r
BAAB
rr
qldE
rVrVV
A
B
11
4.
)()(
0
Hubungan antara potensial listrik dan
medan listrik dapat ditentukan
berdasarkan teorema gradien,
dimana diungkapkan
A
B
r
r
BA ldVrVrV
.)()( Gbr. 2.11 Lintasan antara antara dua titik
medan.
dan
A
B
r
r
ldE
. A
B
r
r
ldV
.
Sehingga diperoleh hubungan
VE
Dari persamaan di atas diungkapkan bahwa medan listrik merupakan gradien
potensial listrik skalar.
Formulasi potensial listrik untuk muatan titik yang terdistribusi dapat dibangun
dari persamaan potensial listrik untuk muatan titik berikut
r
qrV
04
1)(
(2.14)
Untuk sekumpulan muatan-muatan individual yang terlokalisasi pada suatu daerah,
potensial listrik pada suatu titik tertentu adalah
N
i i
iq
rV104
1)(
r (2.15)
dan untuk muatan yang terdistribusi kontinu seperti tampak pada Gbr.2.12, besarnya
potensial listrik pada titik P dapat ditentukan melalui formulasi berikut
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
42/142
Teori Medan I 37
dqrVr
1
4
1)(
0 (2.16)
Gbr. 2.12 Potensial dititik P akibat distribusi muatan dq
Untuk muatan dengan distribusi volum, pada titik P diperoleh besarnya potensial
listrik
')(
4
1
)( 0 dV
r
rV r
(2.17)
distribusi ruang
')(
4
1)(
0
dAr
rVr
(2.18)
dan untuk distribusi garis
')(
4
1)(
0
dlr
rVr
(2.19)
Contoh:
1. Tentukan potensial listrik pada titik P, dimana muatan terdistribusi secara uniform
pada cakram dengan densitas .
Solusi :
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
43/142
Teori Medan I 38
Diferensial muatan untuk model cincin cakram rdrdAdq 2 , potensial
listrik V untuk titik P akibat muatan cincin
xxa
rdrxa
drrxr
V
dqrV
a
a
P
2/122
0
0
2/122
0
022
0
0
)2(4
1
24
)2(14
1
1
4
1)(
r
2. Sebuah batang dengan panjang l memiliki distribusi muatan uniform lQ /
ditempatkan pada garis sumbu harisontal x dari pusat sumbu koordinat. Carilahpotensial pada titik P yang berada pada sumbu vertikal y yang berjarak a, seperti
tampak pada gambar dibawah.
Solusi :
Posisi elemen panjang batang dx diketahui berjarak 22 axr terhadap titik
P dengan muatan dq = dx. Berdasarkan formulasi potensial listrik akibat distribusi
muatan kontinu (persamaan 2.16)
dqrV r14 1)( 0
diperoleh
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
44/142
Teori Medan I 39
a
alax
a
dx
dxa
rV
l
l
l
2
0
02
0
02
0
02
0
ln4
ln4
4
1
4
1)(
2
2
2
2
lx
x
x
2. Syarat Batas Dalam Lis trik Statis
Ketika suatu medan listrik melewati suatu permukaan dengan distribusi
muatan , terjadi diskontinuitas medan vertikal. Hal tersebut diungkapkan melalui
hukum Gauss dengan pendekatan permukaan Gaussian dengan luasan A.
0
bawahatas EE (2.20)
Gbr. 2.17 Bidang Batas Permukaan dengan Distribusi Muatan
dengan atasE danbawahE menyatakan komponen medan listrik yang tegak lurus
permukaan untuk permukaan atas dan bawah. Sedangkan untuk komponen medan
listrik tangensial dengan permukaan terjadi kontinuitas medan. Hal tersebut
diungkapkan melalui persamaan (2.11)
0. ldE
dimana untuk bagian tepi kotak Gaussian terdapat medan tangensial, dan diperoleh
hubungan
0|||| bawahatas EE atau||||bawahatas EE (2.21)
A
atasE
bawahE
||bawahE
||atasE
d
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
45/142
Teori Medan I 40
dan untuk potensial listrik terkait dengan persamaan (2.21)
bawahatas VV (2.22)
Dari kedua persamaan (2.20) dan (2.21) dapat disimpulkan menjadi satu
persamaan umum untuk syarat batas bagi medan listrik yang melalui suatu
permukaan dengan distribusi muatan adalah
nEEbawahatas
0
(2.23)
Hubungan antara medan listrik yang dinyatakan dengan gradient potensial
listrik ( VE
), memberikan peluang untuk melakukan perubahan bentuk
persamaan (2.28) dalam bentuk persamaan gradien potensial listrik berikut
nVVbawahatas
0
atau
0
n
V
n
V bawahatas
dengan
nVn
V.
(2.24)
II.4 USAHA dan ENERGI DALAM MEDAN LISTRIK STATIS
Dalam proses perpindahan partikel muatan tentunya melibatkan parameter
energi dan usaha. Gbr 2.13 mendeskripsikan perpindahan partikel bermuatan antara
dua titik.
Gbr. 2.13a Pergerakan muatan Q dari
titik a ke titik b
Gbr. 2.13b Gaya yang bekerja dalam
perpindahan muatan
Q
q1
q2
q3
q4
a
bE
Q
F
'F
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
46/142
Teori Medan I 41
Besarnya gaya listrik yang ditimbulkan oleh medan listrik E
adalah EQF
sedangkan untuk mengimbangi gaya agar muatan Q dapat diam diperlukan gaya
EQF
' . Besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan dalam
rentang lintasan ld
oleh gaya 'F
adalah
ldEQldFW
.'.
dengan lintasan ld
dapat diuraikan dalam sistem koordinat kartesian
kdzjdyidxld
, untuk koordinat silinder zdzrdrdrld
, atau dalam
koordinat bola sin rddrrdrld
.
Untuk memindahkan muatan dari titik a ke titik b seperti tampak pada Gbr.
2.13 diperlukan usaha sebesar
)()(
.'.
aVbVQ
ldEQldFW
b
a
b
a
(2.25)
Perbedaan potensial listrik antara titik a dan b dikaitkan dengan usaha yang
diberikan dapat dituliskan dalam hubungan berikut
)()( aVbVQ
W (2.26)
Persamaan di atas menjelaskan bahwa beda potensial antara titik a dan b sama
dengan usaha persatuan muatan yang diperlukan untuk memindahkan/ membawa
muatan dari titik a ke titik b.
Untuk sekumpulan muatan, interaksi antara muatan-muatan individu
mempengaruhi besarnya total usaha yang dilakukan. Jika kumpulan muatan tersebut
terdiri atas muatan q1, q2, q3, q4. Usaha totalnya diperoleh melalui hubungan
3,42,41,444,32,31,334,23,21,224,13,12,112 VVVqVVVqVVVqVVVqW
dimana besarnya potensial masing-masing
4,13,12,11 VVVV
4,23,21,22 VVVV
4,32,31,33 VVVV
3,42,41,44 VVVV
dengan 2,1V potensial pada titik 1 akibat muatan 2 pada posisi 2 , diperoleh usaha
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
47/142
Teori Medan I 42
n
i
iiVq
VqVqVqW
1
332211
2
1
2
1
atau
i
n
i
i
n
ijj ij
jn
i
i rVq
qqW
11 01 2
1
4
1
2
1
r (2.27)
Untuk muatan terdistribusi seperti halnya muatan dengan distribusi volum, usaha
pada persamaan di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk
dVW 21
(2.28a)
Untuk muatan terdistribusi luas dan garis
daVW 21 (2.28b)
dan dlVW 21
(2.28c)
Usaha menyatakan energi yang tersimpan dalam medan listrik statis.
Persamaan usaha di atas dapat dituliskan kembali dalam hubungannya dengan
medan listrik melalui hubungan divergensi medan listrik yang diungkapkan dalam
hukum Gauss, dimana E
.0 . Untuk distribusi muatan volum
dVEW
.
2
0
SV
daEVdE
daEVdVEW
.2
.).(2
20
0
ruangSeluruh
dEW 20
2 (2.29)
II.5 KONDUKTOR
1. Konduktor
Konduktor merupakan bahan suatu penghantar arus listrik. Dalam konduktor
elektron-elektron pembawa muatan bebas bergerak. Konduktor ideal memiliki
beberapa karakteristik antara lain:
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
48/142
Teori Medan I 43
a. Medan listrik di dalam konduktor adalah nol ( 0E
). Hal ini dapat dijelaskan
melalui Gbr. 2.14. Adanya medan eksternal (E
) yang diberikan pada
konduktor menyebabkan pergerakan muatan-muatan sehingga membentuk
dipol muatan pada bagian tepi konduktor.
Gbr. 2.14 Medan induksi dalam konduktor
Dipol ini menyebabkan adanya medan induksi dalam konduktor yang arahnya
berlawanan dengan medan eksternal. Medan induksi yang melawan medan
eksternal menyebabkan resultan medan dalam konduktor menjadi nol.
b. Berdasarkan pada hukum Gauss dimana divergensi medan listrik sebanding
dengan densitas muatan0
.
E
, sehingga dapat dikatakan bahwa densitas
muatan di dalam konduktor adalah nol ( = 0).
c. Muatan-muatan konduktor berada pada permukaan konduktor dan medan
listrik pada permukaan luar konduktor memiliki orientasi tegak lurus terhadap
permukaan.
Gbr. 2.15 Arah medan listrik pada permukaan luar konduktor
+++
+++
+
-------
E
iE
Konduktor E = 0
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
49/142
Teori Medan I 44
d. Karena medan di dalam konduktor nol maka dapat dikatakan adanya
ekuipotensial. Jika a dan b adalah titik-titik yang berada dalam konduktor, dan
medan di dalam konduktor nol maka berdasarkan hubungan beda potensial
antara dua titik 0.)()( ldEaVbVb
a
sehingga )()( aVbV .
Ketika suatu muatan listrik didekatkan pada sebuah konduktor, maka timbul
adanya muatan induksi. Apabila muatan tersebut bermuatan positip, muatan-muatan
negatif pada konduktor bergerak ke sisi terdekat dengan muatan positif tersebut
sedangkan muatan-muatan positif bergerak menjauhi. Pada Gbr. 2.16 ditampilkan
sebuah muatan yang berada dalam sebuah rongga konduktor.
Gbr. 2.16 Muatan yang dilingkupi oleh konduktor berongga
Adanya muatan positif yang terisolasi tersebut menimbulkan adanya muatan
induksi pada kedua permukaan konduktor. Medan listrik yang terdapat di dalam
konduktor adalah nol, dikarenakan medan yang ditimbulkan oleh muatan positif
terisolasi dihilangkan oleh medan listrik muatan terinduksi. Hal tersebut dapat
jelaskan dimana total muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gaussian adalah nol
0. AdEA
. Besarnya muatan terinduksi pada permukaan bagian dalam konduktor
dapat diperoleh dari total muatan terlingkupi permukaan Gauss Qnetto= q + qinduksi = 0
atau qinduksi = -q. Sedangkan untuk medan listrik diluar konduktor sebanding dengan
total muatan yang terlingkupi (Q = q + q-+ q+= q).
q
E 0
+++
+
+
++ + + + + +
++
+
++
++++++
- - --
-
--
----
--
-----
--
--
- Permukaan Gaussian
Permukaan konduktor
E = 0
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
50/142
Teori Medan I 45
2. Kapasitor
Kapasitor merupakan suatu komponen elektronika yang banyak dijumpai
diberbagai peralatan listrik. Kapasitor tersusun atas dua buah keping
konduktor/elektroda yang dipisahkan oleh bahan dielektrik seperti halnya mika, kaca,
udara, kertas, dan lain-lain seperti tampak pada Gbr. 2.17.
Gbr. 2.17 Beberapa jenis kapasitor
Dalam kapasitor energi tersimpan dalam medan listrik. Kemampuan kapasitordalam menyimpan energi diungkapkan melalui nilai kapasitansinya, secara
matematis dirumuskan sebagai
V
QC (farad) (2.30)
Dengan Q menyatakan muatan total dan V adalah beda potensial antara kedua
elektroda.
Pada Gbr. 2.18 ditampilkan kapasitor yang tersusun atas dua buah pelat
logam bermuatan + dan yang terdistribusi uniform dan dipisahkan oleh jarak d.Besarnya medan listrik yang timbul pada salah satu pelat bermuatan (dengan
menggunakan hk. Gauss) adalah /20. Oleh karenanya ketika dua buah lempeng
dengan densitas muatan yang sama ditempatkan pada posisi sejajar maka resultan
medan listrik diantara kedua pelat tersebut adalah E = /0.
Gbr. 2.18 Dua keping pelat kapasitor
Beda potensial listrik yang timbul diantara kedua pelat adalah
- - - - - - - - -
Keping konduktor
d
+
-
/0
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
51/142
Teori Medan I 46
00
0
.
A
dQd
ldEVVV
d
Besarnya kapasitansi kapasitor dapat ditentukan berdasarkan formulasi
d
A
V
QC 0
(2.31)
Dalam proses pengisian kapasitor, usaha yang dilakukan untuk menjauhkan elektron
agar tidak menuju pelat positif . Dalam proses perpindahan muatan sejumlah muatan
q, beda potensial antara dua pelat konduktor adalah q/C dan diperlukan usaha
memindahkan total muatan Q sebesar
22
0
2
1
2
1CV
C
Q
dq
C
qW
Q
(2.32)
Energi yang dapat tersimpan dalam kapasitor adalah sebanding dengan usaha
tersebut di atas.
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
52/142
Teori Medan I 47
Soal-soal Latihan
1. Tentukan besarnya medan listrik pada titik P yang berada pada jarak z diatas
pusat bidang yang dibentuk kawat segiempat dengan panjang sisi a=4 cm. Kawat
mengandung muatan sebesar 4q yang tersebar uniform.
2. Besarnya medan listrik pada suatu daerah E = rar 4
1 2 , dimana a adalah
konstanta.
(a) Carilah rapat muatan .
(b) Carilah besarnya muatan total yang dilingkupi oleh bola berjari-jari Rdengan poisisi pusat bola berada pada pusat sumbu koordinat.
3. Sebuah bola berongga memiliki rapat muatan a < r < b (dimana a jari-jari bagian
dalam kulit bola, b jari-jari kulit luar bola) sebesar3r
c . Carilah besarnya medan
listrik pada daerah (i) r < a, (ii) a < r < b, (iii) r > b. Plotkan grafik antara IEI
sebagai fungsi dari r.
4.Sebuah bola pejal dengan jari-jari R memiliki muatan total sebesar a yang
tersebar merata pada seluruh bagian bola.a. Tentukan besarnya potensial untuk r < R dan r > R serta gambarkan grafik V(r)
b. Tentukan gradient fungsi potensial V untuk daerah r < R dan r > R. (Gunakan
titik referensinya titik pada tak hingga).
5. Suatu fungsi potensial dituliskan dalam bentuk persamaan
''
4
1)(
0
dVr
rV r
Hitunglah besarnya potensial pada daerah dibagian dalam bola padat dengan
muatan total q yang terdistribusi secara kontinu.
6.Sebuah silinder berongga dengan jari-jari R memiliki muatan total q yang
terdistribusi kontinu. Tentukan besarnya potensial pada permukaan silinder.
7. Sebuah bola logam dengan radius R bermuatan q, diselubungi oleh bola
berongga tipis dengan titik pusat yang sama (jari-jari dalam a dan jari-jari luar b).
Muatan netto dari kulit bola pelindung nol.
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
53/142
Teori Medan I 48
(a) Carilah besarnya rapat muatan pada
permukaan R, a dan b.
(b) Carilah besarnya potensial listrik pada
pusat bola bagian dalam, dimana titik
referensinya pada titik di tak hingga.
(c) Jika permukaan bagian terluar bolapelindung ditanahkan. Carilah besarnya
potensial listrik pada pusat bola bagian
dalam.
R
ab
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
54/142
Teori Medan I 49
METODE ANALISIS POTENSIALLISTRIK
Dalam bab ini diuraikan tentang metode-metode penentuan potensial listrik yang
meliputi aplikasi persamaan Laplace, separasi variabel, metode ekspansi multipol dan
metode bayangan. Setelah mengikuti perkuliahan metode analisis potensial listrik,
mahasiswa dapat mengaplikasikan metode-metode penentuan potensial listrik dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait. Indikator capaian untuk
perkuliahan ini adalah dapat menghitung besarnya potensial listrik menggunakan
persamaan Laplace, menghitung besarnya potensial listrik menggunakan metode
separasi variabel, menghitung besarnya potensial listrik menggunakan metode
ekspansi multipole, menghitung besarnya potensial listrik menggunakan metode
bayangan.
III.1 PERSAMAAN LAPLACE dan METODE SEPARASI VARIABEL
1. Persamaan Laplace
Dalam bab II sebelumnya diungkapkan bahwa medan listrik merupakan negatif
gradien potensial listrik yang diungkapkan melalui VE
dan divergensi dari medan
listrik0
.
E
serta curl medan listrik 0 Ex
. Melalui substitusi persamaan medan
listrik dengan gradien potensial menghasilkan hubungan berikut:
0
.
V
0
2
V atau
0
2
V (3.1)
Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan Poisson. Untuk suatu daerah dimana
tidak terdapat adanya muatan atau = 0, persamaan Poisson tereduksi menjadi
persamaan Laplaceberikut
02 V (3.2)
Bab
3
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
55/142
Teori Medan I 50
Baik persamaan Poisson dan persamaan Laplace, keduanya digunakan dalam
menentukan fungsi potensial maupun potensial listrik dengan penerapan syarat-syarat
batas untuk kasus yang dihadapi. Persamaan Laplace dapat dituliskan dalam berbagai
bentuk, terkait dengan pemilihan basis koordinat di dalam penyelesaian suatu
permasalahan. Berikut ini dituliskan persamaan Laplace untuk masing-masing koordinat
kartesian, silinder dan bola.
Untuk koordinat kartesian:
2 2 22
2 2 20
V V VV
x y z
(3.3a)
koordinat silinder:
2 22
2 2 2
1 10
V V VV r
r r r r z
(3.3b)
dan untuk koordinat bola:
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sin
V VVV r
r r r r r
(3.3c)
Untuk kasus satu dimensi dimana dimisalkan potensial listrik hanya bergantung
pada variable x, persamaan Laplace untuk tiga dimensi mengalami reduksi menjadi
02
22
x
VV
dengan solusi umumnya dalam koordinat kartesian merupakan fungsi linier potensial
listrik V(x) = mx + b.
Untuk koordinat silinder, dimana dimisalkan besarnya potensial listrik bergantung pada
jarak radial (r) atau
012
r
Vr
rrV
Solusi persamaan Laplace di atas dapat diturunkan sebagai berikut:
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
56/142
Teori Medan I 51
CrArV
rA
rVA
rVr
drr
Vr
r
Vr
rr
ln)(
atau
0
01
(3.4)
dimana A dan C merupakan konstanta yang dapat ditentukan berdasarkan syarat batas
yang diterapkan pada permasalahan yang dihadapi.
Metode yang sama juga digunakan untuk variable-variabel lainnya dalam
koordinat silinder maupun koordinat bola namun dengan memperhatikan hubungan
antar variabel pada persamaan Laplace untuk pemilihan koordinat yang digunakan
dalam penyelesaian masalah.
Contoh :
Dua buah silinder dengan jari-jari yang berbeda ditempatkan dengan posisi
konsentris satu dengan lainnya. Silinder bagian dalam memiliki jari jari a diketahui
memiliki potensial V=0. Silinder bagian luar memiliki jari-jari b dan besarnya potensial
listriknya adalah V, seperti tampak pada Gbr.3.1.
a. Tentukan fungsi potensial dalam daerah di antara kedua lapisan silinder tersebut.b. Tentukan besarnya kuat medan listrik pada daerah yang dimaksud dalam point (a).
Gbr. 3.1 Dua silinder kosentris dengan potensial V dan V=0
z
x
y
V=0
V=V
ab
0
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
57/142
Teori Medan I 52
Solusi :
Koordinat yang digunakan adalah koordinat silinder
a. Fungsi potensial
Persamaan Laplace dalam koordinat silinder dituliskan
sebagai berikut
2 22
2 2 2
1 10
V V VV r
r r r r z
Karena nilai potensial hanya bergantung pada r
maka,
10 atau 0
V Vr r
r r r r r
melalui integrasi 0V
r drr
diperoleh konstanta C
atauV V C
r Cr r r
sehingga diperoleh fungsi potensial ln + DC
V dr C r r
atau DrCrV ln)(
Untuk menentukan nilai masing-masing konstanta, baik itu konstanta C maupun
D digunakan syarat batas, dimana
Syarat batas 1 : V = 0 pada r = a
diperoleh )ln()ln(0 aCDDaC
dan untuk syarat batas 2 diketahui bahwa V = V pada r = b, dan diperoleh
R1
R2
x
y
z
0
V=V0
V=0
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
58/142
Teori Medan I 53
a
b
VCaCbCV
DbCV
ln
lnln
ln
Sehingga fungsi potensial listrik pada a< r < b dapat dituliskan sebagai berikut
ar
a
b
VrV lnln
ln
)(
b. Medan listrik
r
a
b
V
r
rarr
a
b
V
zz
VV
rr
r
V
VE
ln
1
lnln
ln
1
Besarnya medan listrik pada a < r < b adalah r
a
b
V
rE
ln
1
2. Metode Separasi Variabel
Suatu fungsi potensial yang bergantung lebih dari satu variabel, misalnya
bergantung pada dua variabel dimana dalam koordinat kartesian V=V(x,y). Persamaan
Laplace untuk fungsi potensial tersebut dapat dituliskan sebagai
02
2
2
2
y
V
x
V (3.5)
Jika fungsi potensial tersebut dapat dituliskan sebagai fungsi V= X(x)Y(y), maka
fungsi potensial tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode separasi
variabel. Metode separasi variabel merupakan suatu cara penyelesaian persamaan
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
59/142
Teori Medan I 54
Laplace dengan cara menentukan solusi persamaan melalui perkalian dari fungsi-fungsi
yang hanya bergantung pada satu variabel.
A. Solusi persamaan Laplace untuk koordinat kartesian
Solusi dua dimensi untuk koordinat kartesian
Penggunaan metode separasi variabel untuk menentukan fungsi potensial dapat
diikuti melalui penyelesaian permasalahan berikut. Pada Gbr. 3.2 diilustrasikan dua
buah pelat logam ditanahkan yang terletak pada bidang XZ yang dibatasi oleh suatu
kondisi dimana pada y =0 dan y = a potensial V = 0; V=V0(y)pada x = 0 serta V = 0
pada x = .
Gbr. 3.2 Dua pelat logam sejajar
Untuk menentukan fungsi potensial diantara kedua pelat logam tersebut, fungsi
potensialnya dituliskan sebagai suatu fungsi yang bergantung pada variabel x dan y
terpisah.
)()(),( yYxXyxV (3.6)
Persamaan Laplace untuk variabel dua dimensi (x,y)
02
2
2
22
y
V
x
V
V
02
2
2
2
y
YX
x
XY
011
2
2
2
2
y
Y
Yx
X
X
(3.7)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
60/142
Teori Medan I 55
Persamaan di atas secara sederhana dapat dituliskan sebagai
C1+ C2= 0 atau C1= -C2
dengan mendefinisikan XkC 21 dan YkC2
2 diperoleh hubungan
XkxX 2
2
2
dan Yk
yY 22
2
(3.8)
Solusi untuk kedua persamaan di atas merupakan fungsi eksponensial dan fungsi
sinus/cosinus berikut
-kxkx + B e= A exX )( (3.9a)
)cos()sin()( ky+ DkyCyY (3.9b)
Fungsi potensial yang diperoleh dari kedua solusi tersebut adalah
)()(),( yYxXyxV
)cos()sin( ky+ DkyC+ B eA e -kxkx (3.10)
Berdasarkan kondisi atau syarat batas dari permasalahan yang dihadapi, dimana
diketahui bahwa
1. Syarat batas I : potensial V = 0 pada y = 0 dan y = a;
0)cos()sin( ky+ DkyC
disyaratkan bahwa konstanta D = 0, karena cos (ka) 0 ; dan sin(ka) = 0dengan
ank (n=1, 2, 3, )
2. Pada x = besarnya potensial V = 0
0-kxkx + B eA e
disyaratkan bahwa konstanta A = 0 karena Be-kx = 0, sehingga diperoleh solusi
untuk fungsi potensial
)sin(.),( kyCBeyxV kx
)/sin(./ ayneF axn
Dari hasil penerapan syarat batas tersebut diperoleh solusi umum untuk fungsi
potensialnya adalah
1
/)/sin(),(
n
axn
n ayneFyxV
(3.11)
V=V0(y) pada x = 0
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
61/142
Teori Medan I 56
)()/sin(),0( 01
yVaynFyVn
n
Untuk penentuan konstanta Fn
dyaymyVdyaymaynF
a
n
a
n
0 0
10 )/sin()()/sin()/sin(
nmanm
dyaymayna
,2
,0)/sin()/sin(
0
ganjilnuntukn
V
genapnuntuk
n
Vdyayn
a
V
dyaynyVa
F
a
a
n
,4,0
cos12
)/sin(2
)/sin()(2
00
0
0
00
(3.12)
Fungsi potensial yang diperoleh adalah
,...3,1
/0
1
/
)/sin(14
)/sin(),(
n
axn
n
axn
n
aynen
V
ayneFyxV
(3.13)
(a) (b)
Gbr. 3.3 Grafik solusi fungsi potensial
,...3,1
/0 )/sin(14
),(n
axn aynen
VyxV
Pada Gbr. 3.3b tampak grafik (a) untuk fungsi potensial (V/V0) dengan n = 1,
grafik (b) untuk fungsi potensial (V/V0) sampai dengan n = 3, (c) penjumlahan untuk 10
suku pertama, (d) untuk 100 suku pertama.
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
62/142
Teori Medan I 57
Solusi tiga dimensi untuk koordinat kartesian
Seperti halnya solusi persamaan dua dimensi, dalam penyelesaian kasus
persamaan Laplace untuk fungsi potensial yang bergantung pada tiga variabel
),,( zyxVV . Solusi separasi variabel fungsi potensialnya dituliskan sebagai
)()()(),,( zZyYxXzyxV dan persamaan Laplacenya dapat dituliskan sebagai
0111
2
2
2
2
2
2
dz
Zd
Zy
Y
Yx
X
X
(3.14)
Dengan tiga konstanta separasi
2
2
32
2
22
2
1
1;
1;
1
dz
Zd
ZC
y
Y
YC
x
X
XC
(3.15)
Penyelesaian selanjutnya tidak jauh berbeda dengan kasus dua dimensi, dimana
diperoleh tiga solusi umum awal untuk X(x), Y(y), Z(z). Penerapan syarat batas pada
kasus yang dihadapi untuk solusi awal tersebut pada akhirnya akan menghasilkan
suatu fungsi potensial untuk 3 variabel ),,( zyxV .
B. Solusi persamaan Laplace untuk koordinat silinder
Dalam koordinat silinder, solusi fungsi potensial dituliskan sebagai
)()()( zZrRV dengan persamaan Laplace
02
2
2
2
2
z
ZR
r
RZ
r
Rr
rr
Z
(3.16)
dengan membagi persamaan tersebut dengan ZR diperoleh
2
2
2
2
22
2 1111
z
Z
Zrr
R
Rrr
R
R
(3.17)
dan dimisalkan untuk parameter
2
2
21
bz
Z
Z
(3.18)
Solusi untuk variabel Z adalah
-bzbz + B e= A ezZ )( (3.19)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
63/142
Teori Medan I 58
Sehingga persamaan (3.17) dapat dituliskan kembali sebagai
2
222
2
22 1
rb
r
R
R
r
r
R
R
r (3.20)
dengan memisalkan
2
2
21a
(3.21)
diperoleh solusi untuk variabel
)sin()cos( kaDkaC (3.22)
Persamaan Laplace dalam fungsi variabel r berdasarkan kedua permisalan parameter
sebelumnya (persamaan (3.18) dan (3.21)).
01
2
22
2
2
Rr
a
br
R
rr
R
(3.23)
Persamaan di atas tidak lain merupakan persamaan dalam bentuk diferensial Bessel,
dengan solusi fungsi untuk variabel R adalah
)()( brNFbrJER aa (3.24)
dengan
0
2
)1(!
2
1)1(
)( m
ma
m
a mam
br
brJ (3.25a)
a
brJbrJabrN aaa
sin
)()()(cos)(
(3.25b)
dimana )(brJa dan )(brNa merupakan fungsi Bessel I dan fungsi Bessel II.
C. Solusi persamaan Laplace untuk koordinat bola
Dalam sistem koordinat bola, persamaan Laplace dituliskan seperti pada
persamaan (3.3c)
0sin
1sin
sin
112
2
222
2
2
V
r
V
rr
Vr
rr
(3.26)
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
64/142
Teori Medan I 59
Dalam kasus dimana fungsi potensial bergantung pada variabel r dan atau
),( rVV dengan solusi )()( rRV . Berdasarkan kondisi tersebut, persamaan
Laplace mengalami reduksi
0sinsin
12
V
r
Vr
r
(3.27)
Dengan penerapan solusi fungsi potensial untuk persamaan di atas diperoleh
0sinsin
11 2
r
Rr
rR
(3.28)
Persamaan di atas menunjukkan dimana bagian pertama hanya mengandung variabel
r, sedangkan bagian kedua bergantung pada saja.
)1(1 2
aa
r
Rr
rR
(3.29a)
dan
)1(sinsin
1
aa
(3.29b)
Untuk mendapatkan solusi parameter R, persamaan (3.29a) dituliskan kembali sebagai
Raar
Rr
r)1(2
Dengan solusi umum
)1(
21)( aa rCrCrR (3.30)
Sedangkan untuk persamaan parameter
sin)1(sin aa
(3.31)
dengan solusi untuk dalam bentuk polinomial Legendre sebagai fungsi cosinus
)(cos)( aP (3.32)
dimana aa
a
aa x
dx
d
axP 1
!2
1)( 2 yang lebih dikenal sebagai formulasi Rodrigues. Dari
formulasi Rodrigues, polinomial untuk orde ke 3,2,1,0a adalah 1)(0 xP ; xxP )(1 dan
2/13)( 22 xxP .
Solusi umum persamaan Laplace dengan metode separasi untuk kasus di atas adalah
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
65/142
Teori Medan I 60
)()( rRV
0
)1(
21 )(cos),(a
a
aa PrCrCrV
(3.33)
III.2 Ekspansi Multipol
1. Fungsi potensial Listrik
Penentuan pontensial listrik yang ditimbulkan oleh sekumpulan muatan yang
terdistribusi dapat dilakukan melalui suatu pendekatan pengembangan multipol. Dalam
pendekatan ini, kumpulan muatan tersebut dapat ditinjau sebagai muatan titik tunggal
(monopol), pasangan muatan (dipol), pasangan dipol (quadrupol), pasangan quadrupol
(oktapol) yang masing-masing memberikan kontribusi terhadap potensial listrik. Untuk
lebih memahami tentang konsep pendekatan ekspansi multipol, berikut ini diuraikan
penentuan fungsi potensial listrik pada titik P (Gbr 3.4) yang berjarak r dari sekumpulan
muatan. Fungsi potensial listriknya dituliskan dalam rumus
')(1
4
1)(
0
dVarV r
(3.34)
dengan kuadrat jarak elemen volum yang diamati terhadap titik P adalah
'cos21cos2
2
2222
r
a
r
arraarr
Gbr. 3.4 Potensial di titik P oleh distribusi muatan
Jarak antara elemen volum dVdengan titik potensial di P dapat tuliskan dalam bentuk
2/11 rr
P
dV
r
a
r
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
66/142
Teori Medan I 61
dengan
cos2
r
a
r
a
dimana sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh r
dan a
. Jika titik potensial
berada diluar distribusi muatan, maka pendekatan untuk nilai lebih kecil dari 1. Untuk
r
1dilakukan pendekatanderet binomial
...
16
5
8
3
2
11
11
11 322/1 rrr
Substitusi parameter kedalam persamaan di atas, dihasilkan
...
2
)cos3cos5(
2
)1cos3()(cos1
113322
r
a
r
a
r
a
rr
0
)(cos11
n
n
n
Pr
a
r
r (3.35)
Persamaan (3.35) tidak lain merupakan bentuk polinomial Legendre. Dari solusi
persamaan untukr
1, fungsi potensial pada persamaan (3.35 ) dapat dituliskan kembali
dalam bentuk ekspansi multipol berikut:
')(
1
4
1)(
0
dVarV
r
')()(cos1
4
1
01
0
dVaPar
n
n
nn
(3.36)
dimana n=0 untuk monopol; n=1 untuk dipol; n=2 untuk quadrupol, dan seterusnya.
Contoh :
Bola berjari jari R memiliki rapat muatan pembawa sebesar sin),(20 r
Rr
dimana 0 merupakan suatu konstanta. Tentukanlah aproksimasi potensial di suatu titik
pada sumbu z yang letaknya cukup jauh dari bola tersebut ! (pendekatan hanya
menggunakan monopol, dipol dan quadrupol).
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
67/142
Teori Medan I 62
Solusi : Bola berjari jari a memiliki rapat muatan pembawa sebesar
sin),(2r
Rr o dengano: konstanta
Ekspansi multipol :
')()(cos14
1)(0
10
dVaPar
rV nn
nn
(i). Untuk kontribusi monopol
r
R
r
R
dr
Rd
r
R
dddrr
R
dddrr
r
R
r
dr
dPrr
rV
oo
oo
R
o
o
2
000
2
0
0
2
00
2
2
0
2
0 0
2
00
2
2
0
0
0
0
0
4
12sin
2
1
4
1
2cos12
1
2
1sin
2
1
sin'4
1
'sin'sin
'
1
4
1
1
4
1
cos'1
4
1)(
(ii). Kontribusi dipol
0sin3
1
4
1
sinsin2
'
4
1
cossin''4
1
'sin'cos'sin'
1
4
1
cos'1
4
1
cos'1
4
1)(
0
3
2
3
0
0
22
0
0
2
2
0
2
0 0
2
0
2
0
2
22
0
2
0
1
1
2
0
r
R
dr
r
R
dddrrr
R
dddrrrr
R
r
drr
dPrr
rV
o
R
o
R
o
o
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
68/142
Teori Medan I 63
(iii). Quadrupol
0
222
0
0
3
3
0
2
0 0
22
0
2
3
0
22
2
23
0
22
3
0
2
2
3
0
1cos3sin21
3'
41
2
1cos3sin''
4
1
'sin'2
1cos3'sin
'
1
4
1
2
1cos3'
1
4
1
cos'1
4
1)(
drrR
dddrrr
R
dddrrrr
R
r
drr
dPrrrV
R
o
R
o
o
untuk integral bagian III dari persamaan potensial di atas
2 2 2 2
0 0
2 2
0
2 4
0 0
3cos 1 sin 3 3sin 1 sin
= 2 3sin sin
= 2sin 3sin
d d
d
d d
200 0
1 12 sin 2 1 cos2 sin 2
2 2d d
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
69/142
Teori Medan I 64
2
4
0 0
2
0
2
0
2
0
13 sin 3 1 cos 2
2
3 = 1 2cos 2 cos 2
4
3 = 1 2cos 2 1 sin 2
4
3 = 2 2cos 2 sin 2
4
d d
d
d
d
0
0
3 1 = 2 2cos 2 1 cos 4
4 2
3 2 1 1 = 2 sin 2 sin 4
4 2 2 8
3 1 = 2
4 2
9 =
8
d
Jadi hasil integral untuk 2 20
93cos 1 sin
8 8d
Fungsi potensial listrik oleh quadrupol
244
1
82
12
34
1)(
3
4
0
3
3
0
r
R
R
r
RrV
o
o
Fungsi potensial listrik yang diperoleh melalui kontribusi monopol, dipol dan quadrupol
adalah
244
10
4
1)(
3
4
0
2
0
r
R
r
RrV oo
2. Potensial Monopol dan Dipol serta Medan Lis trik Dipol
Seringkali pendekatan fungsi potensial yang digunakan dalam penggunaan
metode ekspansi multipol adalah fungsi potensial monopol, khususnya untuk jarak titik
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
70/142
Teori Medan I 65
potensial (r) yang cukup besar. Dari persamaan (3.36), bentuk potensial monopol dapat
dituliskan sebagai
')(1
4
1)(
0
dVar
rV monopol
r
Q
04
1
(3.37)
Untuk kasus ekspansi multipol dengan tinjauan khusus pendekatan potensial
dipol, fungsi potensialnya dituliskan sebagai
')(cos1
4
1)( 1
1
2
0
dVaPar
rV dipol
')(cos14 1 20dVaa
r
(3.38)
Variabel cosa dapat dikonversikan dalam bentuk ar
. seperti tampak melalui Gbr.3.3,
sehingga persamaan (3.38) dapat dituliskan kembali dalam bentuk
')(1
4
1)(
2
0
dVaarr
rV dipol
(3.39)
dimana bagian integral merupakan bagian yang terpisah dan tidak bergantung pada r.
Bagian integral ini merupakan tinjauan momen dipol dari distribusi muatan. Oleh karena
itu fungsi potensial dengan tinjauan momen dipol dan rumusan pada persamaan (3.39)
dapat tuliskan secara lebih sederhana menjadi
2
0
.
4
1)(
r
rprV dipol
(3.40)
dengan besarnya momen dipol ')( dVaap
. Momen dipol ditentukan oleh geometri
dari distribusi muatan. Untuk sekumpulan muatan titik momen dipol dinyatakan sebagai
n
i
iiaqp1
(3.41)
Jika persamaan (3.40) mendefinisikan fungsi potensial karena tinjauan momen
dipol suatu distribusi muatan, bagaimana halnya dengan medan yang ditimbulkan oleh
adanya dipol tersebut. Untuk itu marilah kita uraikan kembali persamaan (3.40) terkait
dengan variabel-varibel yang terikat pada persamaan.
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
71/142
Teori Medan I 66
20
20
cos
4
1.
4
1)(
r
p
r
rprV dipol
Dari persamaan di atas, tampak bahwa fungsi potensial listrik bergantung pada r dan
atau V(r,). Besarnya medan listrik yang tidak lain merupakan negatif gradien fungsi
potensial listrik ( VE
) dalam sistem koordinat bola diungkapkan sebagai berikut
3
0
cos2
4
1
r
p
r
VEr
3
0
sin
4
11
r
pV
rE
0sin
1
V
rE
dan besarnya medan listrik total
sincos24
),(3
0
rr
prEdipol (3.42)
Secara grafis medan listrik tersebut dideskripsikan garis-garis medan listrik seperti
tampak pada gambar berikut
Gbr. 3.5 Garis-garis medan dipol
III.3 Metode Bayangan
Metode banyangan merupakan suatu metode penentuan fungsi potensial
dengan memisalkan terdapatnya muatan titik pasangan yang berlawanan tandanya
dengan muatan titik di atas bidang permukaan dengan potensial nol (seperti tampak
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
72/142
Teori Medan I 67
pada gambar 3.6b). Untuk lebih memahami tentang metode bayangan, tinjau kasus
berikut, dimana terdapat sebuah muatan q yang berada pada jarak s di atas bidang
permukaan konduktor tak terhingga yang ditanahkan (potensial V=0) pada sumbu z,
seperti ditunjukkan pada Gbr. 3.6a.
(a) (b)
Gbr. 3.6 Metode bayangan
Berapakah potensial listrik di atas permukaan konduktor tersebut?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, hal yang perlu diperhatikan tidak hanya muatan
titik pada s namun juga dipengaruhi oleh muatan-muatan terinduksi pada permukaanatas bidang konduktor.
Kondisi yang disyaratkan untuk permasalahan di atas adalah:
1. Besarnya potensial pada z = 0 adalah nol (V = 0)
2. Untuk titik-titik di atas permukaan konduktor yang cukup jauh dari titik P ( x2+ y2
+ z2>> s2) nilai potensialnya mendekati nol.
Dari kondisi tersebut dapat dikatakan bahwa di antara bidang permukaan dan muatan
titik terdapat suatu fungsi potensial tertentu. Oleh karenanya diperkenalkan metode
bayangan dimana terdapat pasangan muatan titik seperti tampak pada Gbr. 3.4b.
Persamaan fungsi potensial dituliskan sebagai
2222220 )()(4
1),,(
szyx
q
szyx
qzyxV
Dari persamaan di atas tampaknya memenuhi permasalahan di atas, dimana:
x
y
z
q
s
-q
s
x
y
z
q
s
V=0
P
-
7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I
73/142
Teori Medan I 68
1. Pada z=0 diperoleh besarnya potensialnya nol (V=0);
2. Potensial mendekati nol untuk titik pada jarak yang cukup jauh dimana x2+ y
2
+ z2>> s
2
Setelah diketahuinya fungsi potensial, dapat diperoleh informasi tentang jumlah
muatan yang ter
top related