bahan ajar kalk integral.pptx

BAHAN AJAR KALKULUS INTEGRALOleh: ENDANG LISTYANI

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Masalah:Tentukanlah persamaan suatu kurva y= f(x) yang melalui titik (1,3) dan kemiringan garis singgung di sebarang titik pada kurva samadengan empat kali absis titik itu

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Penyelesaian Misalkan persamaantersebut y = f(x) Kemiringan garis singgung kurva di (x,y)

Akan dicari suatu fungsi y=f(x) yang memenuhi persamaan

dengan syarat y=3 jika x=1

xdxdy 4

xdxdy 4

xdxdyxdxdy 44

CxyCxCy 22

21 22

C 21.23maka(1,3),titikmelaluiKurva

dimaksudyangkurvapersamaanJadi12xy 2

xdxdy 4

1C

PERSAMAAN DIFERENSIAL Sebarang persamaan dengan yang tidak

diketahui berupa suatu fungsi dan melibatkan turunan atau diferensial dari fungsi yang tidak diketahui tersebut

Menyelesaikan suatu persamaan diferensial berarti menentukan fungsi yang tidak diketahui tersebut

Persamaan Diferensial Contoh

0 xydxdy

yx

dxdy

Solusi 5.218) Diket: a = Ditanyakan v(2) dan S(2) Jawab:

10,0,)1( 04

oSvt

Cttvadtdvdtdva 3)1(

31)(

31)01(

310)0( 3 CCv

31)1(

31)( 3 ttv

Solusidet/

8126)2(

31)21(

31)2( 3 cmvv

dttSdvdtdSdtdSv ]

31)1(

31[ 3

PENDAHULUAN LUAS Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

Misalkan Daerah R dibatasi kurva sumbu-x dan garis x = 2. Akan dicari luas

daerah R

Dibuat partisi pada [0,2] menjadi n selang bagian, dengan panjang selang bagian

2xy

nx 2

PENDAHULUAN LUAS Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

nxx

nxxx 2.2.2,2,0 210

nxx 2.3.33

nixixi

2..

5.2 no 25 Laju perubahan volume

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

)( 1ixf

1ix ix

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

Luas daerah R dapat dihitung sbbxxfxxfxxfL nR )(...)()( 110

xxf i )( 23

22 82.2 i

nnnixxi

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

23

23

23

23 )1(8...)2(8)1(8)0(8

nnnnn

LR

])1(...21[8 2223 n

n

]6

)12()1([83

nnnn

Rumus 2, hal, 323 dengan n diganti n-1

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

2344

38

nnLR

2344

38limlim

nnL

nRn 38

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

Dengan cara sama dibuat PP luar

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

)( ixf

1ix ix

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

xxfxxfxxfL nR )(...)()( 21

23

23

23

23 )(8...)3(8)2(8)1(8 n

nnnnLR

]...21[8 2223 n

n

PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

]6

)12)(1([83

nnnn

LR

]132[68

2nnLR

2

13234limlim

nnL

nRn 38

INTEGRAL TENTUMisalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b]Dibuat persegi panjang dengan lebar dan tinggi dan pada selang , seperti pada gambar

berikut:

ix )( *ixf

*ix ],[ 1 ii xx

*1x

*2x

*ix

INTEGRAL TENTU

Dibentuk pejumlahan

disebut jumlah Riemann

i

n

iinn xxfxxfxxfxxf

1

**2

*21

*1 )()(...)()(

Pi

n

ii Rxxf

1

*)(

INTEGRAL TENTU

DEFINISI INTEGRAL TENTUMisalkan f suatu fungsi terdefinisi pada selang [a,b]. Jika

maka dikatakan f terintegralkan di [a,b]Selanjutnya

disebut integral tentu atau integral Riemann f dari a ke b

adaxxfn

iii

P

1

*0

)(lim

b

a

dxxf )(

n

iiiPxxf

1

*

0)(lim

terpanjangbagianselangpanjangP

Contoh Integral tentu dengan definisiHitunglah integral tentu berikut dengan definisi.

1

2

2 )1( dxx

Penyelesaian

1

2

2 )1( dxx

menjadiselangpadapartisiDibuat ]1,2[xpanjangsamabagianselangn

n3

iiii xxgunakanxxselangtiapDalam *

1 ],[

2, 0 xMaka 1x nx 322

2x n322 ix n

i 32

)( ixf 12 ix 1)32( 2 n

i

Penyelesaian1)32(1)( 22

nixxf ii

xxfxxfSehinggan

ii

n

iii

11

* )()(nn

in

i

31321

2

1)9124(3

12

2

n

i ni

ni

n

n

i

n

i

n

ii

ni

nn 1 1

22

1

91253

1

2

2 )1( dxx

Penyelesaian

n

ii xxf

1)( n

n5.3

2)1(.12.3

nn

nn 6)12)(1(.9.3

2

nnnnn

15n1818 22

92279

nn

229

227186

nnn

1

2

2 )1( dxx

Penyelesaian

)29

227186(lim)(lim 2

1

*

0 nnnxxf

n

n

iiiP

6

1

2

2 )1( dxx

Hitunglah dengan menggunakan definisi integral tentu

2

1)12()1 dxx

1

2

2 )23()2 dxx

TEOREMA DASAR KALKULUSTEOREMAMisalkan f kontinu (shg f terintegralkan) pada

[a,b], dan misalkan F sebarang anti turunan dari f pada [a,b], maka

)()()( aFbFdxxfb

a

Bukti Teorema dasar kalkulusDibuat partisi pada selang [a,b]

bxxxxa ni ......10

)()()()( 0xFxFaFbF n )()(...)()()()( 01211 xFxFxFxFxFxF nnnn

)]()([ 11

i

n

ii xFxF

Bukti Teorema dasar kalkulus (lanjutan)

Menurut Teorema rata-rata pada turunanterdapat ],[ 1

*iii xxselangpadax

)).((')()( 1*

1 iiiii xxxFxFxFsehingga

ii xxf )( *

n

iii

n

iii xxfxFxFaFbFJadi

1

*

11 )(])()([)()(

Bukti Teorema dasar kalkulus (lanjutan)

ii

n

iPPxxfaFbF

)(lim)]()([lim *

100

b

a

dxxfaFbF )()()(terbukti

Teorema dasar kalkulusNotasiF(b) – F(a) =Contoh

baxF )(

71233)1()2(3 33

2

1

32

1

2

xFFdxx

Dibuat partisi pada selang menjadi n selang bagian dengan panjang

],0[ n

xi

nix

nx

nxxx i

,2,,0 210

22 )(sin)(sin)(n

ixxf ii

Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x

b

dxx0

x

Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus

b

b

1 2 3 4 b b -1

b

dxx0

Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus

b b

b b

Luas = {b - }( ) b

b

dxx0

Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus

bbbbdxxb

)()1(...3210

bbbbb

2

)1(

b

dxx0

Contoh: Hitunglah

2,3

3

3

2

2

1

1

0

2,3

03210 dxdxdxdxdxx

dxx2,3

0

2,333210 x 6,3

2,3)2,32,3(2

2,3)(12,3(2,3

0

x

rumusDengan

6,3)3)(32,3(2

)3)(13(

SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA A: PENAMBAHAN SELANG Jika f terintegralkan pada suatu selang

yang mengandung tiga titik a, b, dan c, maka

bagaimanapun urutan dari a, b, dan cContoh

c

b

b

a

c

adxxfdxxfdxxf )()()(

5

6

6

2

5

4

4

2

5

2

22

222

xdxxdxatau

xdxxdxxdx

SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA B: PEMBANDINGANJika f dan g terintegralkan pada [a , b] dan

jika f(x) g(x) untuk semua x dalam [a,b]Maka

b

a

b

adxxgdxxf )()(

SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA C: KETERBATASANJika f terintegralkan pada [a , b] dan jikam f(x) M untuk semua x dalam [a,b]Maka

)()()( abMdxxfabmb

a

SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA D: PENDIFERENSIALAN INTEGRAL TENTU

Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a , b] dan x titik dalam (a , b)Maka

Carilah dengan dua cara

)()( xfdttfDx

ax

x

x dttD2

)1(

jawab Cara I

Jadi

x

x dttD2

)1(

421]

21[)1( 2

22

2 xxttdtt x

x

1]421[ 2 xxxDx

x

x dttD2

)1( 1x

jawab Cara II dengan teorema D

x

x dttD2

)1(

x

x dttD2

)1( 1x

Soal 1: tentukan JawabTeorema D hanya berlaku untuk variabel

batas yang linearMisalkan ,Menurut aturan rantai

2xu

]12[2

0dttD

x

x

dttDx

x 2

012[ )(].12[ 2

0xDdttD x

u

u

dttyu

0

12

uDyDyD xux .

Soal 2: tentukan Jawab

Misal

])(sin[2

3 dttDxx

xx

])(sin[2

3 dttDxx

xx

])(sin)(sin[2

0

30

3 dttdttDxx

xx

])(sin)(sin[2

0

3

0

3 dttdttDxxx

x

)(].)(sin[])(sin[ 2

0

32

0

3 xxDdttDdttD x

u

u

xx

x

xxu 2

)(].)(sin[])(sin[ 2

0

32

0

3 xxDdttDdttD x

u

u

xx

x

)(sin)12(

)12().(sin23

3

xxx

xu

Jadi

])(sin[2

3 dttDxx

xx

)(sin)12()(sin 233 xxxx

Bentuk Substitusi hasil22 xa tax sin tacos

tax tan22 xa tasec

22 ax tax sec ta tan

Contoh 1. dxx225

SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN

Bentuk Substitusi•

22 xa

PENGINTEGRALAN PARSIAL (548)

Metode ini didasarkan pada rumus turunan hasilkali dua fungsi

Misalkan )()( xvvxuu

)(')(' xvdxdvxu

dxdu

dxxvdvdxxudu )(')('

)(')()(')())()(( xvxuxuxvdx

xvxud

dxxvxudxxuxvxvxud )(')()(')())()(( udvvduuvd )(

udvvduuvd )(

udvvduuv

vduuvudv

Contohdxxln

vduuvudv

dxdvxuMisal ln

xvdxx

du 1

dxx

xxxdxx 1.lnln

Cxxxdxx lnln