aturan pencacahan (aturan perkalian dan faktorial) oleh ade nurlaila/1200635

Alika akan pergi ke rumah nenek.

Berapa banyaknya pilihan baju,

sepatu, dan tas yang berbeda yang dapat Alika gunakan untuk pergi

ke rumah nenek?

Alika memiliki 4 potong baju, 3

pasang sepatu dan 2 buah tas.

Jadi, banyaknya pilihan baju, sepatu, dan tas yang

berbeda yang dapat Alika gunakan untuk pergi ke

rumah nenek adalah 4 x 3 x 2 = 24.

Dalam sebuah kotak yang disekat-sekat, disimpan sepotong keju

seperti terlihat pada gambar berikut ini. Ada berapa banyak cara

yang berbeda yang bisa ditempuh tikus untuk mencapai keju?

Jadi, banyaknya cara yang berbeda yang bisa ditempuh

tikus untuk mencapai keju adalah 2 x 3 x 4 = 24.

Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Bagus,

Dimas, dan Putri yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan

bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih

untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari

tiga orang menjadi pengurus OSIS?

• Jabatan Ketua OSISUntuk jabatan Ketua OSIS dapat dipilih dari ketiga kendidat sehingga untukposisi ketua dapat dipilih 3 cara.

• Jabatan Sekretaris OSISKarena satu orang telah terpilih untuk menempati posisi ketua, maka untukposisi sekretaris hanya dapat dipilih dari dua kandidat yang tersisa sehinggauntuk posisi sekretaris dapat dipilih 2 cara.

• Jabatan Bendahara OSISKarena satu orang telah terpilih pada posisi ketua dan satu orang pada posisisekretaris, maka untuk posisi bendahara hanya tersisa satu kandidatsehingga untuk posisi bendahara dapat dipilih 1 cara.

SEKRETARISBENDAHARAKETUA

BD

P

P

D

DB

P

P

B

PB

D

D

B

Hasil yang

mungkin

B, D, P

B, P, D

D, B, P

D, P, B

P, B, D

P, D, B

B = Bagus D = Dimas P = Putri

Jadi, banyaknya kemungkinan cara untuk memilih dari tiga

orang menjadi pengurus OSIS adalah 3 x 2 x 1.

Ayah ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari

4 angka, tersedia angka-angka 6, 7, 8, 9, 0 dan dalam plat nomor itu

tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor yang

berbeda yang dapat dibuat Ayah?

Pengisian Tempat Kosong

Nomor kendaraan terdiri dari 4 angka,

maka dibuat 4 kotak kosong . Misal

kotak a, b, c, d.

Kotak a dapat diisi angka 6, 7, 8, 9,

atau 0 sehingga ada 5 cara pengisian

tempat.

Kotak b dapat diisi dengan 5 – 1 = 4

cara karena 1 cara sudah dipakai untuk

mengisi kotak a.

a b c d

a b c d

5

a b c d

5 4

Pengisian Tempat Kosong

Kotak c dapat diisi dengan 5 – 2 = 3 cara

karena 1 cara sudah dipakai untuk mengisi

kotak a dan 1 cara untuk mengisi kotak b.

Kotak c dapat diisi dengan 5 – 3 = 2 cara

karena 1 cara sudah dipakai untuk mengisi

kotak a, 1 cara untuk mengisi kotak b, 1

cara untuk mengisi kotak c.

a b c d

5 4 3

a b c d

5 4 3 2

Jadi, banyaknya plat nomor yang berbeda yang dapat

dibuat Ayah adalah 5 x 4 x 3 x 2 = 120.

Sebelumnya kita telah

menghitung:

3 x 2 x 1

Ayo kita coba hitung:

1.) 4 x 3 x 2 x 1 = …

Coba yang ini juga:

2.) 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = …

3.) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 =

Coba yang ini juga:

2.) 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = …

3.) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = …

Perkalian tersebut dapat dituliskan ulang menjadi:

1.) 4 x 3 x 2 x 1 = 4!2.) 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5!3.) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 6!

Alternatif Penyelesaian

1) 3! + 5! = …

3! + 5!

= 3 × 2 × 1 + 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 6 + 120

= 126

Alternatif Penyelesaian

2) 5! − 3! = …

5! − 3!

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 − 3 × 2 × 1

= 120 − 6

= 114

Alternatif Penyelesaian

3) 3! × 5! = …

3! × 5!

= 3 × 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 6 × 120

= 720

Alternatif Penyelesaian

4)5!

3!= …

5!

3!

=5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1

= 20

Alternatif Penyelesaian

5)5!+3!

3!= …

5! + 3!

3!

=5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1

=120 + 6

6

=126

6

Ubah bentuk − bentuk berikut

menjadi bentuk faktorial.

1) 5 × 4 = …

2) 3! × 4 × 5 = …

3) 𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 3 = …

Alternatif Penyelesaian

1) 5 × 4 = …

5 × 4

=5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1

=5!

3!

Alternatif Penyelesaian

2) 3! × 4 × 5 = …

3! × 4 × 5

= 3 × 2 × 1 × 4 × 5

= 4 × 5 × 3 × 2 × 1

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 5!

Alternatif Penyelesaian

3) 𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 3 = …

𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 3

=𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 2 × 𝑛 − 3 × 𝑛 − 4 × …× 2 × 1 𝑛 − 3 × 𝑛 − 4 × …× 2 × 1

𝑛 − 2 × 𝑛 − 3 × 𝑛 − 4 × …× 2 × 1 𝑛 − 4 × …× 2 × 1

=𝑛! 𝑛 − 3 !

𝑛 − 2 ! 𝑛 − 4 !

Tentukan nilai 𝑛 jika𝑛! − 𝑛 − 2 !

𝑛 − 1 !− 1 = 0

𝑛! − 𝑛 − 2 !

𝑛 − 1 !− 1 = 0

𝑛! − 𝑛 − 2 !

𝑛 − 1 != 1

𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 2 × 𝑛 − 3 × … × 2 × 1 − 𝑛 − 2 × 𝑛 − 3 × … × 2 × 1

𝑛 − 1 × 𝑛 − 2 × 𝑛 − 3 × … × 2 × 1= 1

𝑛 × 𝑛 − 1 − 1 𝑛 − 2 × 𝑛 − 3 × … × 2 × 1

𝑛 − 1 𝑛 − 2 × 𝑛 − 3 × … × 2 × 1= 1

𝑛 × 𝑛 − 1 − 1

𝑛 − 1= 1

𝑛 × 𝑛 − 1 − 1 = 𝑛 − 1

𝑛 × 𝑛 − 1 = 𝑛

𝑛 − 1 = 1

𝑛 = 2 Jadi, nilai 𝑛 yang memenuhi persamaan𝑛! − 𝑛 − 2 !

𝑛 − 1 !− 1 = 0 adalah 2.