assalamualaikum wr . wb

Assalamualaikum Wr. Wb

DIFERENSIALOleh Kelompok 11 :

Rika Farhani (09320011)Noor Syahrida (09320019)

Yesi Priska Marina (09320033)

Konsep Turunan

Titik Kritis

Interval Naik Turun

Titik Belok

Titik Balik

Menggambar Grafik

Lets go to the questions

Definisi Turunan

• Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang nilai c adalah :

• Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialkan.

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

Bentuk Lain Notasi Turunan

• untuk menyatakan turunan dari fungsi dapat digunakan satu diantara notasi=notasi berikut.

Sifat – Sifat Turunan

1. jika dengan c dan n konstanta real, maka

2. jika dengan c R maka 3. Jika maka

4. Jika maka

1 ncnxdx

dy

0dx

dy

)()( xgxfy

cy

)(')(' xgxfdx

dy

)().( xgxfy )().(')().(' xfxgxgxfdx

dy

5. Jika maka

6. Jika maka

7. Jika maka

8. Jika maka

)(

)(

xg

xfy 2)(

)().(')().('

xg

xfxgxgxf

dx

dy

nxfy )( )('.)( 1 xfxfndx

dy n

)(sin xfy )('.)(cos xfxfdx

dy

)(cos xfy )(')(sin xfxfdx

dy

Turunan Ke-n dari suatu fungsi

• Notasi Yang Digunakan

Turunan Pertama y’ atau f’(x) atau atau

Turunan kedua y’’ atau f’’(x) atau atau

………………………. …. ….. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

Turunan ke-n atau atau atau

dx

dy

dx

df

²

d²f

dx

)(ny )()( xf n

n

n

dx

yd

²

d²y

dx

n

n

dx

fd

Contoh soal

1.Carilah turunan dariJawab:

2. Carilah turunan dariJawab:

23 2xxy

xxdx

dyxxy 432 223

)2( 22 xxy

xxxxxxy

xxgxxg

xxfxxf

xxy

44)(2)2(2'

2)('2)(

2)(')(

)2(

322

2

2

22

3. Carilah turunan dariJawab:

)1sin()( 2 xxf

)1cos(22.)1cos(

2)('1)(

)1sin()(

22

2

2

xxxxdx

dy

xxfxxf

xxf

Titik kritis

• Definisi titik kritis Definisi titik kritis adalah titik interior dalam f

dimana f ‘ 0 atau tidak ada.

Contoh• f(x) = 4x – 3x2 + 1 ; x [2,1] , tentukan nilai ekstrim fungsi f !

a. titik –titik ujung adalah x = 2 dan x = 1X = 2f(2) = 4(2) – 3(2)² +1 = 8 – 12 + 1= -3x = 1f(1) = 4(1) – 3(1)² +1 = 4 – 3 + 1 = 2

b. Titik kritis f(x) = 4x – 3x² - 1f’(x) = 4 – 6xf’ (x) = 04 – 6x = 04 = 6x 4/6 = x, maka tidak mencapai titik kritis

Nilai minimum = { -3, 2}, nilai maksimum = {-3, 2 } = 2

Interval naik turun

• Kurva naik untuk dan turun untuk Interval yang memenuhi dan dapat ditentukan dengan menggambarkan garis bilangan dari

Contoh

Tentukan interval fungsi naik dan turun dari

Jawab :

Dapat diketahui bahwa untuk atau dan untuk jadi fungsi naik untuk atau dan fungsi turun untuk

2:4 21 xx

243)( 23 xxxfy )2)(4(3823 2 xxxx

.243 23 xxxy

Titik balik

• Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Grafik berikut menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Titik Belok

• Definisi titik belok fungsi Jika pada titik (a, f(a)) terjadi perubahan

kecekungan grafik fungsi y=f(x) (dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas atau sebaliknya) maka titik (a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y= f(x).

Perhatikan Grafik disamping

Menggambar Grafik

Langkah-langkah untuk memggambar grafik fungsi:Langkah I

1. tentukan koordinat-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat2. tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari

fungsi , yaitu f’(x) dan f’’(x)3. jika fungsi didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval.4. jika diperlukan, tentuakan beberapa titik tertentu.

Langkah II Titik-titik yang diperoleh pada langkah I digambarkan pada bidang cartesius.

Langkah III Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada langkah II dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi dan kecekunga fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan

Soal – Soal Latihan

1. Carilah turunan dari

2. Carilah turunan dari y = x² sin 3x

3. Carilah turunan dari y =

4. Carilah nilai balik maksimum dan nilai balik minimum pada fungsi f(x)=x⁴ - 2x²

5. Tentukan koordinat-koordinat titik belok fungsi f(x)= x⁴ -8x³ +18x²+12x-25 dalam daerah asal Df = {x/XєR}

12 x

xy

112 xx