analisis vektor ( bidang )

BIDANG

Persamaan Bidang

Bidang Normal

Bidang Sejajar

Bidang Tegak Lurus

Diberikan titik P0 ( x0, y0,z0 ), P (x, y, z) dan vektor tak nol n = ( a, b, c ) sedemikian hingga

tegak lurus terhadap n

Sehingga dapat ditulis

n = 0

Persamaan Bidang

P0P

n

P0 = r0 dan P = r, maka = ( r - r0 ) maka persamaan diatas menjadi :

n ( r - r0 ) = 0

Persamaan Bidang

P0P

n

( r - r0 )Persamaan ini disebut dengan vektor persamaan bidang dan n disebut vektor normal

r0 = ( x0, y0,z0 ) dan r = ( x, y, z ) dan n ( a, b, c ) maka ( r - r0 ) = ( x - x0, y - y0, z - z0 ) sehingga persamaan diatas menjadi :

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

Persamaan Bidang

P0P

n

( r - r0 )Persamaan ini merupakan bentuk umum persamaan bidang

Contoh Soal

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (3, -1, 4) dan memiliki normal vektor (2, 5, -3)!

2(x – 3) + 5(y + 1) – 3(z – 4) = 0

Bentuk sederhananya: 2x + 5y - 3z + 11 = 0

Dari bentuk umum persamaan bidang dan bentuk sederhana yang didapatkan dari contoh diatas, didapatkan persamaan baru:ax + by + cz + d = 0

Dengan d = - (ax0 + by0 + cz0)

Contoh :Carilah persamaan bidang yang terdiri dari titik P (1, 0, -3),Q (2, -5, -6) dan R (6, 3, -4)

Vektor Normal

R

Q

Vektor normal tidak selalu diberikan secara jelas tetapi dapat ditemukan dari informasi yang diberikan. Caranya dengan menggunakan cross product

P

Pembahasan

Vektor dan terletak pada bidang, sehingga vektor normalnya dapat dicari dengan cross product

= (1, -5, -3)= (5, 3, -1)

R

Q

P

karena setiap vektor tak nol yang tegak lurus terhadap bidang adalah vektor normal, maka kita bisa menentukan vektor n agar lebih mudah pengerjaannya:

n =

Dengan menggunakan titik P, didapatkan persamaanbidang sebagai berikut :( x - 1 ) - ( y – 0 ) + 2 ( z + 3 ) = 0x – y + 2z + 5 = 0

Bidang Sejajar

Dua buah bidang dikatakan sejajar ( // ) jika n1 = n2atau berkelipatan, sehingga:(a1, b1, c1) = λ (a2, b2, c2) dengan λ ≠ 0

Contoh Soal

Tentukan persamaan bidang V2 yang sejajar dengan bidang V1 = x + y + 5z = 9 dan bidang V2 melalui titik (0,2,1) !

Pembahasan

V1 = x + y + 5z = 9, karena V1 sejajar V2 maka :n1 = n2n1 = (1, 1, 5) maka V2 = x + y + 5z + d = 0Karena V2 melalui titik ( 0, 2, 1 ), maka :V2 = x + y + 5z + d = 0 0 + 2 + 5(1) + d = 0

7 + d = 0 d = -7Sehingga persamaan bidang V2 = x + y + 5z – 7 = 0

Bidang Tegak Lurus

Dua buah bidang dikatakan tegak lurus ( ) ketika n1.n2 = 0 sehingga (a1 a2 + b1 b2 + c1 c2) = 0

Contoh :Tentukanlah apakah bidang – bidang x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 tegak lurus.

Pembahasan

Jawab :V1 = x – y – 3z = 5, maka n1 = ( 1, -1, -3 )V2 = 2x – y + z = 1, maka n2 = ( 2, -1, 1 ).Kedua normal bidang merupakan vector – vector orthogonal, n1.n2 = 0Maka : (1) (2) + (-1)(-1) + (-3) (1) = 0.Jadi bidang V1 dan bidang V2 saling tegak lurus.

Latihan Soal1. Tentukan vektor normal dan persamaan bidang yang

melalui garis r= (2 – t , 3 + 4t , - 1 - 2t ) dan titik (5, -2, 7)!

2. Tentukan persamaan bidang V2 yang tegak lurus pada bidang V1 = x + y + z = 1 serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) !

3. Cari persamaan bidang melalui ( -2, 1, 5 ) yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5

4. Tentukanlah apakah bidang – bidang x + 2y – 2z = 5 dan 6x -3y + 2z = 8 sejajar.