analisis vektor

ANALISIS VEKTOR

9.1. Skalar dan Vektor SKALAR

Satuan yang ditentukan oleh besaran

Contoh: panjang, voltase, temperatur

VEKTOR

Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah

Contoh: gaya, velocity

Vektor NOTASI

Huruf kecil tebal

Contoh: ,

Huruf kecil dengan panah

Contoh: ,

TITIK AWAL

Pangkal vektor

TITIK AKHIR

Ujung vektor

Komponen VektorMisal vektor dengan titik awal dan titik akhir . Maka tiga beda koordinat

disebut komponen dari vektor terhadap sistem koordinat, dinotasikan dengan

Panjang dari vektor adalah

Vektor PANJANG VEKTOR (NORM)

Panjang vektor dari titik awal sampai titik ujung

Notasi:

Contoh

Vektor VEKTOR SATUAN

Vektor dengan panjang satu

Contoh

Definisi Persamaan VektorDua buah vektor dan dikatakan sama, ditulis , jika keduanya mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama.

Arah Vektor

Dua buah vektor yang sama (sama besar dan arahnya)

Dua buah vektor dengan panjang sama tetapi berbeda arah

Dua buah vektor dengan arah yang sama tetapi panjang berbeda

Dua buah vektor dengan panjang dan arah yang

berbeda

Definisi Penjumlahan VektorJumlahan dari dua buah vektor

dan

diperoleh dengan menjumlahkan masing-masing komponen yang bersesuaian, yaitu

Contoh

dan

Sifat Dasar Penjumlahan

Definisi Perkalian SkalarPerkalian vektor dengan skalar adalah vektor yang diperoleh dengan cara mengalikan masing-masing komponen dengan skalar, yaitu

Sifat Dasar Perkalian Skalar

9.2. Definisi Dot ProductDot product dari dua buah vektor

dan

diperoleh dari perkalian panjang masing-masing vektor dengan cosinus sudut keduanya

jika

jika atau

Dot Product Sudut dua buah vektor

Teorema 1OrtogonalitasDot product dua buah vektor taknol adalah 0 jika dan hanya jika dua vektor tersebut saling tegak lurus

9.3. Definisi Perkalian VektorCross Product

Perkalian vektor dari dua buah vektor dan adalah vektor

dimana jika dan mempunyai arah yang sama atau arah yang berlawanan, atau jika atau , maka . Selain itu mempunyai panjang

adalah sudut antara kedua vektor. Arah adalah tegak lurus terhadap vektor dan .

Cross Product

Cross Product

Teorema 1Untuk setiap skalar

Hukum distributif

Antikomutatif

Tidak asosiatif

Scalar Triple ProductScalar Triple Product dari tiga vektor didefinisikan sebagai

Proyeksi Vektor Misalkan diberikan vektor dan . Dan adalah proyeksi vektor ke , maka vektor dapat digambarkan sebagai berikut

𝒃

𝒂

𝒄 Maka vektor proyeksi dari ke adalah

Fungsi FUNGSI SKALAR

Fungsi dengan daerah hasil himpunan skalar.

Contoh:

FUNGSI VEKTOR

Fungsi dengan daerah hasil himpunan vektor

Contoh:

Grad (gradien dari fungsi skalar) Gradien dari fungsi skalar dinotasikan grad atau (dibaca nabla ) dan didefinisikan

Div (divergensi dari fungsi vektor) Misal diketahui fungsi

Fungsi

disebut divergensi dari .

Notasi lain

Curl (curl dari fungsi vektor) Curl dari fungsi vektor didefinisikan sebagai

Sifat-sifat dasar Analisis Vektor

Sifat-sifat dasar Analisis Vektor

Contoh Soal 1Diketahui dua buah fungsi

Hitunglah nilai dari

Solusi no 1a. turunan fungsi terhadap , sehingga dan

dianggap konstanta

turunan fungsi terhadap , sehingga dan

dianggap konstanta

Solusi no 1b.

Solusi no 1c.

Solusi no 1d.

Solusi no 1e.

Solusi no 1f.

Solusi no 1g.