akar-akar kuadrat
Post on 06-Apr-2018
287 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
1/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Akar-akar Persamaan Non-Linear
Muhtadin, ST. MT.
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
2/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Metode Tertutup
Biseksi Regula Falsi
Metode Terbuka
Newton Method
Agenda
2
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
3/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Solusi untuk Persamaan Non Linear
Akar-akar dari persamaan (y = f(x)) nilai dari x yang menjadikan f(x) = 0.
Aljabar umum untuk persamaan sederhana, misalkan:
f(x) = 2x 3 = 0 x = 1.5
f(x) = x2 4x 5 = 0 x1 = 5 and x2 = -1
Persamaan Non Linear lebih sulit dikerjakan. h(x) = h0(sin(2x/)cos(2tv/) + e
-x
f(x) = 9.34 21.97x + 16.3x3 3.7x5 = 0
3
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
4/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Cara Menemukan Akar
Menemukan akar dari persamaan kuadrat.
02 cbxax
a
acbbx
2
42
General solution
2.1
21
sin
xe
x
x
Untuk fungsi yang kompleks
Menggunakan Metode Numerik
4
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
5/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Graphical Method
F(x) = x2 - 3
X 0 1 2 3
F(X) -3 -2 1 6-2 < 0 1 > 0
=> Terdapat sedikitnya satu akar diantara 1 dan 2.
Plot fungsi pada grafik [a, b].
5
Jika sebuah fungsi f(x) kontinyu dan f(a)f(b) < 0, maka persamaan f(x)
mempunyai paling sedikit satu akar real pada interval (a,b).
Theorema:
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
6/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Graphical Method (contd)
Plot grafik fungsi dengan menggunakan penggaris dan
pensil.
Subplot the graph
6
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
7/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Root Approximation: The Methods
Metode Tertutup (bracketing methods)
Pendekatan akar pada interval [a, b].
Menjamin menemukan minimal 1 (satu) akar.
Bisection dan regula falsi
Metode Terbuka Menebak terlebih dahulu akar yang dimaksud.
Secara iterative, mendekati akar sebenarnya, menggunakan nilai yanglama.
Terkadang bersifat difergen maupu konvergen.
Newton method
7
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
8/36
Closed Methods
Pada sebuah interval, bisa terdapar satu atau lebih akar, atau mungkin tidak
ada akar. f(a)f(b) < 0 root = odd
f(a)f(b) > 0 root = zero or even
a
b a
b
a ab b
8
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
9/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Bisection Method
Pastikan f(ai) f(bi) < 0 for i = 0,1,2,3,...
f(x)
b0
a0
m1
f(m1)>0
b1
a1
m2
=
=
9
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
10/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Example (Bisection Method)
Tentukan akar dari persamaanf(x) = -11 -22x + 17x2 -2.5x3
Dengan menggunakan metode biseksi, dengan nilai errora, hingga
mendapatkan 3 digit yang sama, dengan nilai awalxi= 0 danxu = 4
10
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
11/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
0
th
iteration: f(x) = -11 -22x + 17x2
-2.5x3
xl = 0; xu = 4;
xr = (0 + 4) / 2 = 2
f(xl) = -11; f(xr) = -7;
f(xl) f(xr) = 77
i xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl) f(xr) Ea ea0 0 4 2 -11 -7 77
11
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
12/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
xl
xu
xr
12
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
13/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
1st iteration:
xl = 2; (f(xl) f(xr) > 0) xu = 4;xr = (2 + 4) / 2 = 3
f(xl) = -7; f(xr) = 8.5;
f(xl) f(xr) = -59.5
Ea = xrnew xr
old = 3 2 = 1
ea = (xrnew xr
old) / xrnew
= (3 2) / 3 = 0.3333333
i xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl) f(xr) Ea ea0 0 4 2 -11 -7 771 2 4 3 -7 8.5 -59.5 1 0.3333333
13
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
14/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
xl
xu
xr
14
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
15/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
i xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl) f(xr) Ea ea0 0 4 2 -11 -7 771 2 4 3 -7 8.5 -59.5 1 0.33333332 2 3 2.5 -7 1.1875 -8.3125 -0.5 -0.23 2 2.5 2.25 -7 -2.91406 20.39844 -0.25 -0.11111114 2.25 2.5 2.375 -2.91406 -0.85059 2.478661 0.125 0.05263165 2.375 2.5 2.4375 -0.85059 0.173462 -0.14754 0.0625 0.0256416 2.375 2.4375 2.40625 -0.85059 -0.33754 0.287106 -0.03125 -0.0129877 2.40625 2.4375 2.421875 -0.33754 -0.08175 0.027595 0.015625 0.00645168 2.421875 2.4375 2.429688 -0.08175 0.045928 -0.00375 0.007813 0.00321549 2.421875 2.429688 2.42578 -0.08175 -0.0179 0.001463 -0.0039 -0.001610310 2.4257813 2.429688
Lanjutkan iterasi hingga dihasilkan nilai pembulatan xl dan xumenghasilkan 3 digit yang sama
Jawaban : x = 2.43
15
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
16/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Comments on Bisection Methods
Two-point method, Bracketing Method.
Nilai yang dihitung hanya berdasarkan tanda dari nilai fungsi. Pasti konvergen.
Tingkat konvergen rendah.
Setiap step menghasilkan peningkatan akurasi satu binary digit.
(one decimal digit / 3.3 steps)
16
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
17/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Hitung persamaan f(x) = -4 -2x - x2 + x3
Dengan nilai awal xi=2 dan xu=3 hingga mendapatkan xi dan xu
mempunyai nilai 3 digit yang sama
17
Tugas
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
18/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Regula Falsi
18
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
19/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Regula Falsi Method (False-position Method)
f(x)
xuxr
xl
S
)()(
)()(
lu
luulr
xfxf
xfxxfxx
)()(
)(
lu
l
lu
l
xfxf
xfy
xx
xx
rxxydengan ,0
19
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
20/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Algorithm of False-position method
Pilihlah inisialisasi awal f(xr) f(xl) < 0 dan
Ulangi sehingga
)()(
)()(
lu
luul
r xfxf
xfxxfx
x
Jika f(xr) = 0, maka x = xr adalah akar persamaan, STOP
Jika f(xl) f(xr) < 0, gantikan xu dengan xr.
Jika f(xr) f(xu) > 0, gantikan xl dengan xr.
Kembali ke perulangan
)( rxf
20
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
21/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
0th iteration:f(x) = -11 -22x + 17x2 -2.5x3
xl = 0; xu = 4;
xr = = 1.833333
f(xl) = -11; f(xr) = -9.59954;
f(xl)f(xr) = 105.5949
i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f(xr) Ea ea0 0 4 1.833333 -11 13 -9.59954 105.5949
)()(
)()(
lu
luul
xfxf
xfxxfx
False-position Example
21
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
22/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
xl
xu
xr
22
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
23/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
1st iteration:
xl = 1.833333; (f(xl) f(xr) > 0) xu = 4;xr = = 2.753662
f(xl) = -9.59954; f(xr) = 5.12439;
f(xl)f(xr) = -49.1918
Ea = xrnew xr
old = 2.753662 1.833333 = 0.920328
ea = (xrnew xr
old) / xrnew
= (2.753662 1.833333) / 2.753662 = 0.3342199
i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f(xr) Ea ea0 0 4 1.833333 -11 13 -9.59954 105.59491 1.8333333 4 2.753662 -9.59954 13 5.12439 -49.1918 0.920328 0.3342199
)()(
)()(
lu
luul
xfxf
xfxxfx
23
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
24/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
xl
xu
xr
24
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
25/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f(xr) Ea ea0 0 4 1.833333 -11 13 -9.59954 105.59491 1.8333333 4 2.753662 -9.59954 13 5.12439 -49.1918 0.920328 0.33421992 1.8333333 2.753662 2.433359 -9.59954 5.12439 0.105874 -1.01635 -0.3203 -0.13163013 1.8333333 2.433359 2.426813 -9.59954 0.105874 -0.00103 0.009928 -0.00655 -0.00269724 2.426813 2.433359 2.42688 -0.00103 0.105874 5E-07 -5.2E-10 6.3E-05 2.609E-055 2.426813 2.426876
Lanjutkan iterasi hingga xl dan xu memiliki pembulatan 3
angka yang sama
Jawab: x = 2.43
25
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
26/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Comment to False-position
Merupakan two-point method, Bracketing Method.
Pada umumnya, lebih cepat menuju konvergen dibandingkan dengan
biseksi
26
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
27/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Metode Newton-Raphson
27
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
28/36
Newton-Raphson Method
)(xf
)f(x-= xx
i
iii
1
f(x)
f(xi)
f(xi-1)
xi+2 xi+1 xiX
iixfx
,
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
29/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Derivation
f(x)
f(xi)
xi+1 xi
X
B
C A
)('
)(1
i
i
iixf
xfxx
1
)()('
ii
ii
xx
xfxf
AC
ABtan(
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
30/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Diperlukan SATU HARGA AWAL (dapat berupa tebakan), dan tebakan
harga awal tersebut tidak menyebabkan harga fungsi menjadi tak
berhingga.
Persamaan y = f (x) mempunyai turunan yang dapat disebut sebagai y
= f(x) dan harus kontinyu di daerah domain jawab.
Turunan fungsi tersebut tidak berharga nol, y 0 , pada harga xk (pada
iterasi ke-k) yang diinginkan
30
Prasyarat Metode Newton-Raphson
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
31/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Bilamana SALAH SATU dari syarat berikut ini terpenuhi :
Selisih harga xk(pada iterasi terbaru) dengan xk-1 (pada iterasi
sebelumnya) lebih kecil atau sama dengan harga , atau dapat
dituliskan sebagai:
, atau
Harga fungsi f(xk) (dengan menggunakan harga x pada iterasi terbaru)
sudah sangat kecil dan menuju nol atau dapat dikatakan juga lebih
kecil atau sama dengan harga , yang dapat dituliskan sebagai:
31
Kriteria Penghentian
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
32/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Tentukan Nilai Awal
Hitung nilai f(x)
Hitung nilai estimasi akar untuk iterasi selanjutnya,
Hitung absolut error :
Ulangi hingga memenuhi syarat kriteria penghentian iterasi
32
Algoritma Newton-Raphson
)f'(x
)f(x-= xx
i
iii 1
010x1
1 x
- xx=
i
iia
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
33/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 33
Tabel Newton-Raphson
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
34/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Hitunglah :f(x) =x6x1
Menggunakan :
Regula Falsi
Newton-Raphson
34
Tugas
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
35/36
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
www.cse.cuhk.edu.hk/~csc2800/tuto/tutorial_03.ppt, By Albert
35
Reference
-
8/2/2019 Akar-akar Kuadrat
36/36
Metode Numerik & Komputasi By Muhtadin
TERIMA KASIH
36
top related