myaminah.files.wordpress.com · web viewkarena menentukan titik-titik datanya sangat rumit, akan...
Post on 02-Mar-2019
220 Views
Preview:
TRANSCRIPT
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Permasalahan yang banyak berhubungan dengan pola suatu data adalah
fungsi yang melibatkan data.Sebagai contoh bila diketahui data-data penjualan
suatu produk, akan muncul pertanyaan adakah fungsi yang menyatakanbahwa
penjualan merupakan fungsi dari waktu.Contoh kenyatan yang menunjukkan
bahwa penjualan dipengaruhi oleh waktu ialah “penjualan es campur pada siang
hari akan lebih baik dari pada penjualan di malam hari.
Kenyataan tersebut dapat di katakana bahwa penjualan merupakan fungsi
dari waktu .Persoalannya adalah bagaiman menyajikan fungsi tersebut.Ini adalah
persoalan yang sangat tidak mudah untuk di pecahkan , karena betapa idealnya
bila diketahui suatu fungsi yang bisa menyatakan penjualan adalah fungsi waktu
atau di tuliskan dengan J = F (t ).
Untuk dapat menyajikan fungsi, yang dapat di lakukan adalah
menggunakan fungsi pendekatan , yaitu fungsi yang paling sesuai untuk
menyatakan suatu data berdasarkan model fungsi tertentu seperti model fungsi
linear , fungsi eksponensial , dan fungsi polinomial. Cara pendekatan ini bukan
untuk menyatakan fungsi tetapi untuk mencari nilai – nilai antara titik – titik yang
di ketahui sehingga pola fungsinya semakin jelas terlihat atau membentuk suatu
kurva.Cara pendekatan ini di namakan dengan interpolasi .Interpolasi di gunakan
untuk menentukan titik – titik yang lain berdasarkan fungsi pendekatan yang di
tentukan sebelumnya.
Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi
yang grafiknya melewati sekumpulan titik-titik yang diberikan. Titik-titik tersebut
mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh
dari suatu fungsi yang diketahui. adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah
untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi
mempunyai orde atau derajat.
1
Metode ini menggunakan interpolasi pangkat tiga yang diasumsikan
berlaku pada titik-titik yang terletak di antara dua titik data yang diketahui. Fungsi
yang bersangkutan kemudian diaplikasikan pada semua titik-titik data yang ada,
sehingga didapatkan persamaan simultan, yang selanjutnya dapat diselesaikan
dengan menggunakan metode matriks. Metode ini dapat pula dipergunakan untuk
menentukan turunan dari fungsinya pada titik-titik yang terletak di dalam daerah
yang diinterpolasi.
Splin tediri dari 3 jenis, yaitu splin linear, splin kuadratik, dan splin kubik.
Dalam praktiknya, splin kubik yang sering dipakai karena memberikan
aproksimasi yang lebih lebi dapat diterima dan nilai hampiranya lebih mendekati
ke nilai yang sebenarnya dibandingkan dengan linear dan kuadrik, walaupun
turunan ketiga atau yang lebih tinggi bisa diskontinu, namun biasanya tidak dapat
dideteksi secara visual sehingga dengan sendirinya dapat diabaikan. Karena
menentukan titik-titik datanya sangat rumit, akan dilakukan penjabaran rumus dari
teorema splin pangkat tiga.
1.2 Batasan Masalah
Interpolasi splin pangkat tiga merupakan bagian dari interpolasi splin yang
terdiri dari linear, kuadrik dan kubik (pangkat tiga), namun dalam pembahasan
kali ini penulis membatasi permasalahan hanya pada penjelasan interpolasi splin
pangkat tiga dan teorema interpolasi splin pangkat tiga.
1.3 Tujuan Masalah
Tujuan dari pembahasan fungsi polinomial interpolasi splin pangkat tiga ini
yaitu sebagai berikut :
1.3.1 Untuk mengetahui lebih jauh mengenai interpolasi splin pangkat tiga.
1.3.2 Untuk mengetahui teorema splin pangkat tiga.
1.4 Sistematika Penulisan
Makalah ini dirumuskan menjadi laporan yang dibagi menjadi empat
bab. Pada bab I, pendahuluan yang berisikan latar belakang yang isinyadituangkan
2
berbagai informasi dan argumentasi mengenai interpolasi splin pangkat tiga,
kenapa judul ini diambil , apa keunikan judul ini dan mengapa layak untuk
diseminarkan.
Pada bab II diuraikan tentang materi pendukung terhadap judul dari
makalah ini. Dimana materi pendukung itu sendiri yaitu Kalkulus Differensial dan
Interpolasi Splin lainya.
Pada bab III diuraikan tentang pembahasan, yaitu pembahasan tentang
interpolasi, interpolasi splin pangkat tiga, dan teoremanya.
Pada bab IV tertuang tentang penutup, dimana penutup tersebut terdiri dari
kesimpulan dan saran. Kesimpulan berisi penjelasan dari rumusan masalah pada
bab pendahuluan, sedangkan saran berisi nasihat-nasihat penulis untuk pembaca
agar lebih memahami materi ini.
3
BAB II
TEORI PENDUKUNG
2.1 Kalkulus Differensial[ 1 ]
Bentuk dari sistem persamaan differensial ordo n yaitu :
y '1=a11 y1+a12 y2+⋯+a1 n yn
y ' '2=a21 y1+a22 y2+⋯+a2n yn
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
ynn=an 1 y1+an 2 y2+⋯+ann yn
Dimana dapat dituliskan dalam notasi matriks, yaitu :
[ y ' 1
y ' ' 2
⋮yn
n]=[ a11 a12 ⋯ a1 n
a21 a22 ⋯ a2 n
⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 ⋯ ann
]Atau secara lebih ringkas dapat ditulis yn=Ay
2.1 Interpolasi Spline[ 6 ]
Interpolasi spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan
turunan-turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu. Ketika k=1 ,
spline dinamakan spline linear. Ketika k=2, spline dinamakan spline kuadratik.
Ketika k=3 ,spline dinamakan spline kubik.
2.2.1 Spline Linear
Akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i )
untuk 0 ≤ i≤ n. Diambil
Sx={ S0 ( x ) ; xϵ [x1 , x2]S1 ( x ) ; xϵ [ x1 , x2 ]
⋮ ⋮Sn−1 ( x ); xϵ [ xn−1 , xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier. Diperhatikan fungsi linear Si ( x ). Garis
inimelalui titik (x i , y i) dan (x i+1 , y i+1), sehingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu:
4
mi=y i+1− yi
x i+1−x i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i , y i) dan ¿untuk
sembarang x∈[ x i , x+1 i], sehingga:
mi=S i (x )− y i
x−x i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( x−xi )¿ y i+yi+1− y i
xi+1−x i( x−x i )
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua
spline bertemu,kemiringannya berubah secara mendadak. Secara formal ini berarti
bahwa turunanpertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik
tersebut.Kelemahan ini diatasi olehpenggunaan polinomial spline orde yang lebih
tinggi.
2.2.2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear, spline kuadratik tidak didefenisikan
sepenuhnya oleh nilai-nilai di x i. Karena Spline kuadratik didefnisikan oleh:
Si(x )=ai x2+bi x+c i
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mende.nisikan S(x ).Diperhatikan titik-titik data:
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini.
1. Setiap subinterval [ x i , x i+1 ] untuk i=0,1,2 , …, n−1 memberikan dua
persamaan berkaitan dengan Si(x ), yaitu :
Si ( xi)= y i dan S i ( xi+1 )= y i+1
jadi, disini didapatkan 2 n persamaa.
2. Syarat pada kontinuitas dari S' (x) memberikan suatu persamaan tunggal
untuk setiap titik dalamx i , i=0,1,2 ,…,n−1 yaitu:
S'i−1 ( x i )=S '
i(x i)
5
Jadi dari sini dipunyai n−1 persamaan. Sekarang totalnya terdapat 3n−1
persamaan, tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka
systemmempunyai kekurangan ketentuan.
3. Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan
yaitu:
S'❑ ( x0 )=0 atau S ( {x} rsub {0} )=
Sekarang dimisalkan z i=S'i ( xi ) . karena Si ( x i)= y i, S
'i ( x i )=zi, dan
S'i ( x i+1)=z i+1, maka kita dapat mendefinisikan :
Si ( x )=z i+ 1−z i
2 ( x i+1−x i )( x−x i )
2+zi ( x−x i )+ y i
Selanjutnya, dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1−z i
2 ( x i+1−x i )( x−x i )
2+zi ( x−xi )+ y i
y i+1− y i=zi+1−zi
2 ( x−x i )❑+z i ( x−xi ) y i+1− y i=
zi+1−z i
2 ( x−x i )❑
Jadi, kita dapat menentukan z i+1 dari zi:
z i+1=2y i+1− y i
x i+1−x i−zi
6
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Interpolasi Splin Pangkat Tiga
Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi
yang grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan. Titik-titik tersebut
mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh
dari suatu fungsi yang diketahui.adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah
untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi
mempunyai orde atau derajat.
Untuk n+1 akan tedapat polinom interpolasi orde ke-n yang dapat
dihasilkan untuk menginterpolasi nilai suatu fungsi di dalam selang titik data.
Namun terkadang hal ini tidak memberikan kecocokan yang bagus. Pendekatan
lainnya adalah dengan menerapkan polinom interpolasi yang lebih rendah pada
sebagian titik data. Polinom demikian dikenal sebagai polinom Interpolasi Splin.
Jika diantara dua titik data di bangun suatu polinom orde tiga, maka kurva nya di
sebut splin kubik (cubic spline)atau pangkat tiga.[ 2 ]
Terdapat n+1 data pasangan bilangan(x 0 , f 0), ( x1 , f 1 ) , …,(xn , fn)
dengan x 0 , x 1, x2 ,…, xn nilainya berbeda jika ingin memperoleh sebuah
polinom Pn (x0)yang bernilai f j di x j ,dengan kata lain :
Pn (x0) = , f 0 , Pn (x1) = f 1, . . . , Pn (xn) = f n
Dan berderajat n atau kurang. Polinom , Pn sering dinamakan polinom
penginterpolasi.x j sering dinamakan simpul. Besaran f j mungkin saja merupakan
nilai fungsi matematis f (x) tertentu sehingga f (xj) = f i dengan demikian Pn (x) ini
digunakan untuk mempeoleh nilai bagi semua x yang merupakan nilai hampiran
bagi f (x). Jika x yang ingin dicari teletak diantara simpul-simpul tersebut maka
dinamakan intepolasi.[ 5 ]
7
y
3.2 Teorema Splin Pangkat Tiga[ 1. h. 169 ]
Teorema Interpolasi Splin Pangkat Tiga
Jika diketahui n titik-titik (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), dengan xi+1-xi
¿h ,dimana i=1 ,2 , . .. , n , diperoleh suatu persamaan :
S ( x )=¿
Yang menginterpolasi titik-titik tersebut mempunyai koefisien-koefisien yang
dinyatakan dengan :
a i=( M i+1 – M i )16 h
b i=M i
2
c i=( yi+1− y i)
h−¿
d i= yi
Untuk i=1 ,2 ,3 , …,n−1 dimana Mi = S' '(x i), i=1 , 2 ,…,n.
Bukti :
Karena polinomial itu banyak, maka anggaplah terdapat n titik pada
bidang xy pada gambar 1, (x1 , y1),(x2 , y2) , .. . ,(xn , yn). Misalkan setiap x titik-
titik tersebut sama dengan h, maka diperoleh :x2−x1=x3−x2=. . .=xn−xn−1=h.
Misalkan y=S (x) , x1 ≤ x ≤ xn yang menyatakan kuva penginterpolasi. Asumsikan
bahwa kurva ini menggambarkan bentuk perpindahan splin penggambar yang
8
x
menginterpolasi n titik-titik ketika pemberat mempertahankan posisi splin berada
di n titik tersebut seara tepat.
Diketahui dari teori berkas linear (linear beam theory), bahwa untuk
perpindahan kecil, turunan keempat dai perpindahan suatu berkas akan
mempunyai nilai 0 pada interval manapun sepanjang sumbu x pada interval
manapun yang tidak mengandung gaya-gaya eksternal yang bekerja pada berkas
tersebut. Jika kita memperlakukan splin penggambar ini sebagai berkas cahaya
tipis dan mengetahui bahwa satu-satunya gaya eksternal yang bekerja pada berkas
tersebut berasal dari beban-beban pada n titik-titik tertentu, maka kita akan
memperoleh :
S(iv) (x)≡ 0(1)
Untuk nilaix yang terletak pada n−1 interval-interval terbuka
(x1 , x2) ,(x2 , x3), . . ., (xn−1 , xn) ,di antara n titik-titik.Kita juga membutuhkan hasil
dari teori berkas linear yang menyatakan bahwa untuk berkas yang hanya dikenai
oleh gaya-gaya eksternal, maka perpindahannya harus mempunyai dua turunan
yang kontinu. Dalam hal dimana kurva menginterpolasi y=S (x) dibuat dengan
splin penggambar, ini berarti bahwa S ( x ) , S' (x ) , dan S ' ' (x ) harus kontinu pada x1
≤ x≤ xn.
Untuk menentukan bentuk matematis dari fungsi S(x ), kita mengamati
bahwa karena S(iv) (x)≡ 0dalam interval-interval antara n titik tertentu, maka
dengan mengintegralkan empat kali persamaan ini kita dapat bahwa S(x ) harus
berupa polinomial kubik atau polinomial pangkat tiga di dalam x pada tiap
interval semacam ini. Pada umumnya S(x ) berbentuk polinomial pangkat tiga
yang berbeda untuk setiap interval, sehingga S ( x ) harus mempunyai bentuk :
9
Gambar 1[ 1.h ,165 ]
S ( x )={ S1 ( x ) x1 ≤ x ≤ x2
S2 ( x ) x2 ≤ x ≤ x3
⋮Sn−1 ( x ) xn−1 ≤ x ≤ xn
Dimana S 1(x) , S2( x) ,. . . , Sn−1(x) adalah polinomial-polinomial pangkat tiga.
Untuk memudahkan, kita akan menulis polinomial-polinomial pangkat tiga
tersebut bedasarkan segitiga pascal, yaitu :
an−1¿
Setelah kita bentuk dalam polinomial-polinomialnya, subtitusi bentuk polinomial-
polinomial tersebut kedalam persamaan (2), sehingga didapatkan:
¿
Dari persamaan (2) dan (3), kita peroleh persamaan (4):
¿
Dari persamaan ke (4), maka turunan pertamanya didapatlah :
¿Kemudian, dari turunan kedua persamaan ke (4), di dapat :
S ' ' ( x )=S ' '1 ( x )=6 a1(x−x1)+2 b1 , x1 ≤ x ≤ x2
S ' ' ( x )=S' '2 ( x )=6a2( x−x2)+2 b2 , x2 ≤ x ≤ x3
⋮S ' ' ( x )=S' '
n−1 ( x )=6an−1( x−xn−1)+2bn−1
,,
⋮xn−1≤ x≤ xn
Sekarang kita akan
menggunakan persamaan-persamaan tersebut dan empat sifat dari splin pangkat
tiga yang dinyatakan sebelum ini untuk merumuskan koefisien-koefisien yang tak
diketahui ai, bi, c i, dan di, i=1 , 2, 3 , . .. , n−1, koordinat-koordinat y i, y2, . . . , yn
yang diketahui. Empat sifat dari splin pangkat tiga adalah:
1. S(x ) menginterpolasi titik-titik (x i, y i), i=1,2 , .. . , n . Karena S(x )
menginterpolasi titik-titik (x i, y i), i=1,2 , .. . , n, maka kita mempunyai :
S ( x )= y1 , S ( x )= y2 , …, S ( xn )= yn……… ………..(7)
Dari n−1 persamaan yang pertama ini dan (4) kita memperoleh:
d1= y1 , d2= y2 ,⋯ , dn−1= yn−1 ................... (8)
Dari persamaan terakhir dalam (7), persamaan terakhir dalam (4), dan
kenyataan bahwa xn−xn-1 =h, kita mendapatkan :
10
..................... (2)
......... (3)
......... (5)......... (6)
an−1h3+bn−1h2+cn−1 h+dn−1= yn ………………… (9)
2. S(x ) kontinu pada [ x1 , xn ]
Karena S(x ) kontinu untuk x1≤ x≥ xn, maka tiap titik x i pada himpunan x2, x
3, ... , xn-1, kita harus mempunyai:
Si−1 ( xi )=S i ( xi ) , i=2 , 3 ,…,n−1 ………………(10)
Maka dari (10) atau (4) kita dapatkan :
a1h3+b1h2+c1 h+d1= y2
a2h3+b2h2+c2 h+d2= y2
⋮
an−2h3+bn−2h2+cn−2 h+dn−2= y2 ........................... (11)
3. S' (x ) kontinu pada [ x1 , x2 ]Karena S' (x )kontinu pada x1 ≤ x≤ xn , maka :
S 'i−1 ( xi )=S 'i ( xi ) , i=2 ,3 ,…,n−1
Atau dari persamaan (5) diperoleh:
3 a1 h3+2 b1 h2+c1=c2
3 a2 h3+2 b2 h2+c2=c3
⋮
3 an−2 h3+2 bn−2 h2+cn−2=cn−1............................ (12)
4. S' ' (x ) kontinu pada[ x1, x2 ]Karena S' ' (x ) kontinu pada x1≤ x≤ xn, maka :
S ' 'i−1 ( xi )=S ' 'i ( x i) , i=2 , 3 ,…,n−1
Atau dari persamaan (6) kita peroleh:
6a1h+2b1=2b2
6 h+2 b2=2 b3
11
⋮
6 an−2h+2 bn−2=2bn−1 ..................................(13)
Persamaaan (8), (9), (1), (12), dan (13) membentuk sebuah sistem dari 4n-
6 persamaan linear dengan 4n-4 koefisien-koefisien yang tidak diketahui untuk ai,
bi, c i, dan di, i=1 , 2, 3 , . .. , n−1. Knsekuensinya kita membutuhkan dua persaman
tambahan untuk menentukan koefisien-koefisien tersebut secara unik. Namun
demikian sebelim mendapatkan persamaan-persamaan tambahan ini kita dapat
menyederhnakan sistem yang telah ada dengan menyatakan ai, bi, c i, dan di, yang
tak di”ketahui dalam bentuk kuantitas tak diketahui yang baru, yatu :
M 1=S' ' ( x1 ) , M 2=S ' ' ( x2 ) , …, M n=S' ' (xn)
Dan kuantitas yang diketahui, yaitu : y1 , y2, . . . , yn
Sebagai contoh, dari persamaan (6) diperoleh :
M 1=2b1
M 2=2 b2
⋮❑
M n−1=2bn−1
Sehingga :
b1=12
M 1 , b2=12
M 2 ,… ,bn−1=12
M n−1
Kita telah mengetahui dari persamaan (8) bahwa:
d1= y1 , d2= y2 ,…, dn−1= yn−1
Diperoleh suatu persamaan :
S ( x )=¿
a i=( M i+1 – M i )16 h
b i=M i
2
c i=( yi+1− y i)
h−¿ (14)
d i= yi
12
Untuk i=1 ,2 ,3 , …,n−1 dimana Mi = S' '(x i), i=1 , 2 ,…,n. Subtitusikan
persamaan (14) ke (12) , diperoleh :
M 1+4 M 2+M 3=6 ( y1 – 2 y2+ y3 )
h2
M 2+4 M 3+M 4=6 ( y2 –2 y3+ y4 )
h2
⋮
M n−2+4 M n−1+M n=6 ( yn−2 – 2 yn−1+ yn )
h2 ………………………(15)
Persamaan (15) dapat di bentuk kedalam matriks, yaitu :
[1 4 1 00 1 4 10 0 1 4
⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
⋮ ⋱ ⋮0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
⋯4 1 0 01 4 1 00 1 4 1
][M 1
M 2
M 3
M 4
⋮M n−3
M n−2
M n−1
M n
]= 6h2 [
y1−2 y2+ y3
y2−2 y3+ y4
y3−2 y4+ y5
⋮yn−4−2 yn−3+ yn−2
yn−3−2 yn−2+ yn−1
yn−2−2 yn−1+ yn
]
13
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Kesimpulan dai pembahasan makalah ini yaitu, sebagai berikut:
1. Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi
yang grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan.Misalkan
x0<x1<. . .. .<xn adalah serangkaian titik. Fungsi S merupakan spline
berderajat k jika:
a. Sadalah polinomial berderajat tidak lebih dari k pada tiap subinterval
[ xi , xi+1] .
b. S ,S ' ,…,Sk−1semuanya kontinyu pada interval [ x0 , xn]
2. Jika diantara dua titik data dibangun suatu polinom orde tiga, maka hal ini
di sebut sebagai splin pangkat tiga. Polinom orde tiga itu dalam bentuk :
S ( x )={ S1 ( x ) x1 ≤ x ≤ x2
S2 ( x ) x2 ≤ x ≤ x3
⋮Sn−1 ( x ) xn−1 ≤ x ≤ xn
3. Teorema Interpolasi Splin Pangkat Tiga yaitu :
Jika diketahui n titik-titik (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), dengan
x i+1−x i=h ,dimana i=1 , 2 ,. . . , n , diperoleh suatu persamaan :
S ( x )=¿
Yang menginterpolasi titik-titik tersebut mempunyai koefisien-koefisien yang
dinyatakan dengan :
a i=( M i+1 – M i )16 h
b i=M i
2
14
c i=( yi+1− y i)
h−¿
d i= yi , Untuk i=1 , 2 ,3 , …, n−1 dimana Mi = S' '(x i), i=1 , 2 ,…, n.
4.2 Saran
Dalam pembahasan makalah mengenai interpolasi splin pangkat tiga ini lebih
ke aljabar linear elementer yang mencari nilai fungsi yang turunan dan fungsinya
tidak diketahui, penulis menyarankan ketika anda ingin mencari nilai fungsi eror
dan ingin menghasilkan galat yang kecil maka gunakanlah splin pangkat tiga
dengan metode numerik.
15
DAFTAR PUSTAKA
[ 1 ]Anton, H & Chris Rorres. Aljabar Linear Elementer, edisi ke-delapan jilid II.
2004. Jakarta : Erlangga.
[ 2 ]Setiawan, Agus. Pengantar Metode Numerik. 2006. Yogyakarta : ANDI.
[ 3 ]Jayanti, Anastasia Vrysca .Skripsi Perbandingan Interpolasi dalam Metode
Splin, 2007, Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.
[ 4 ]Sihabuddin,agus dan Dalijo.elisa.ugm.ac.id/user/archive/download/50633/f
307ce8807a52c61856596ba9d8ea, diakses 30 november 2016, pukul
12:15
[ 5 ]Silalahi, L,
2011.http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/28322/3/Chapter
%20II.pdf / Jurnal Matematika. Dikutip pada 30 November 2016, pukul
9.40
[ 6 ]Hariyanto,Andri.https://www.academia.edu/8738105/interpolasi_defenisi_dan _ macam _macamny. Dikutip pada 27 desember 2016, 05:47
16
17
top related