aljabar himpunan

ALJABAR

OLEH :

DRS. H. CECE KUSTIAWAN, M.Si.

Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Meliputi :

• Himpunan

• Fungsi

• Logika Matematika


I. HIMPUNAN

• Pengertian Himpunan

• Macam-macam Himpunan

• Relasi Antar Himpunan

• Diagram Himpunan

• Operasi pada Himpunan

• Aljabar Himpunan

Back


Pengertian Himpunan

1. Apa yang dimaksud dengan himpunan ?

2. Berikan contoh himpunan

3. Berikan contoh yang bukan himpunan


Definisi

• Himpunan adalah Kumpulan objek-objek (benda-benda real atau abstrak) yang didefinisikan dengan jelas.


Contoh Himpunan

• Kumpulan mahasiswa Jurusan Pendidikan Biologi FPMIPA UPI

• Kumpulan anak-anak SD Isola

• Kumpulan mahasiswa UPI yang berumur kurang dari 10 tahun


Contoh bukan himpunan

• Kumpulan anak-anak yang berambut gondrong

• Kumpulan makanan yang lezat-lezat

• Kumpulan anak-anak yang pandai


Notasi Himpunan

• Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kapital ; A, B, C, … atau ditandai oleh dua kurung kurawal, { … }

Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakandalam huruf kecil ; a, b, c, …

• Jika x anggota himpunan A, maka ditulis x A

• Jika y bukan anggota himpunan B, maka ditulis y B

• Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A)


Macam-macam Himpunan

• Coba anda sebutkan macam-macam himpunan



• Himpunan kosong

• Himpunan semesta

• Himpunan Bilangan

• Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga(infinite)

• Himpunan Terhitung (countable) dan TakTerhitung (uncountable)



• Himpunan kosong

Yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulisdengan simbol ø atau { }.

• Himpunan semesta

Yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedangdibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S.

• Himpunan Bilangan, terdiri dari ;

Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, … }

Himpunan Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, … }

Himpunan Bilangan Bulat : Z = { … , -1, 0, 1, … }

Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q Z, q 0}

Himpunan Bilangan Real : R


Macam-macam Himpunan (lanjutan)

• Himpunan terhingga (finite) dan takterhingga (infinite)Himpunan terhingga (finite) adalahhimpunan yang banyak anggotanyaterhingga, yaitu himpunan kosong atauhimpunan yang mempunyai n elemen.

• ContohA = {a, b, c, d} , B = = { }



• Himpunan tak terhingga (infinite atau denumerable) adalah himpunan yang berkorespondensi satu-satudengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyakanggotanya tak terhingga.

• Contoh

Himpunan bilangan genap, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan bulat, himpunan bilanganrasional, dsb.



• Himpunan Terhitung (countable) dan TakTerhitung (uncountable)

Himpunan Terhitung adalah himpunan terhinggaatau denumerable. Jadi

Contoh ;

A = {1, 2, 3, 4}

B = himpunan bilangan ganjil

Himpunan TerhitungHimpunan terhingga

Himpunan denumerable



• Himpunan tak Terhitung (uncountable) adalahadalah himpunan yang tidak terhitung.

Contoh :

R = Himpunan bilangan real


Relasi Antar Himpunan

• Himpunan sama

Yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya.

• Himpunan equivalen

Yaitu dua buah himpunan yang memiliki banyak anggota yang sama. Jika A equivalen B, maka ditulis A ~ B

• Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A termasuk anggota B, ditulis A B

• Himpunan Kuasa

Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan


Contoh Himpunan Kuasa

Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dariA adalah :

2A = { ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}

Jika m adalah banyaknya anggota himpunanA, maka banyaknya anggota himpunankuasa dari A adalah 2m


Diagram Himpunan

Terdiri dari :

• Diagram Venn

• Diagram Garis

• Diagram Cartess


Diagram Venn

Cara penulisan diagram Venn

A

BC


Diagram Garis

Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis sbb;

A B

D

C


Diagram Cartess

Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan. Garis bilangan ini disebut garis bilangan Cartess.

Jika A = {x : 0 x < 3}, maka digambarkan dalam garis bilangan sbb;

0 1 2 3


Operasi pada Himpunan

• IrisanA ∩ B = {x : x A dan x B}

• GabunganA B = {x : x A atau x B}

• PenjumlahanA + B = {x : x A, x B, x (A∩B)}

• PenguranganA – B = A \ B = {x : x A, x B}

• KomplemenAc = {x : x A, x S}


Penjumlahan dan Pengurangan dalam Diagram Venn

• A + B = {x : x A, x B, x (A∩B)}

• A – B = {x : x A, x B}

A B

BAA


Sifat-sifat Operasi Himpunan

• Sifat komutatifA B = B A dan A B = B A

• Sifat asosiatifA (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

• Sifat distributifA (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

• Sifat KomplemenA Ac = ø, A Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø, øc = S(A B)c = Ac Bc dan (A B)c = Ac Bc


Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)

• Sifat penguranganA - A = ø, A – ø = A, A – B = A Bc

A - (B C) = (A - B) (A - C)A - (B C) = (A - B) (A - C)

• Sifat identitasA ø = ø, A S = A, A ø = A, A S = S

• Sifat idempotenA A = A, A A = A

• Sifat himpunan bagian(A B) A, (A B) B, (A - B) AJika A B, maka A B = A, A B = B, Bc Ac dan A (B – A) = B


Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)

• Sifat refleksifA = A, A A, A ~ A

• Sifat simetrikJika A = B, maka B = AJika A ~ B, maka B ~ A

• Sifat transitifJika A = B dan B = C, maka A = CJika A B dan B C, maka A CJika A ~ B dan B ~ C, maka A ~ C


Aljabar Himpunan

• Sifat-sifat aljabar himpunan

• Prinsip dualitas

• Himpunan Berindeks

• Partisi

• Himpunan bersarang


Sifat-sifat aljabar himpunan

• Hukum idempoten

A A = A, A A = A

• Hukum asosiatif

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

• Hukum komutatif

A B = B A dan A B = B A

• Hukum distributif

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)


Sifat-sifat aljabar himpunan (lanjutan)

• Hukum identitas

A ø = ø, A S = A, A ø = A, A S = S

• Hukum komplemen

A Ac = ø, A Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø, øc = S

• Hukum De Morgan

(A B)c = Ac Bc dan (A B)c = Ac Bc


Prinsip dualitas

• Jika kita menukar dengan dan S dengan ø dalam setiap pernyataan tentang himpunan, maka pernyataan baru tersebut disebut dualdari pernyataan aslinya.

• Contoh

Dual dari (S B) (A ø) = A adalah (ø B) (A S) = A


Himpunan Berindeks

• J = {1, 2, 3, 4} disebut himpunan indeks

• {A1, A2, A3, A4} disebut himpunan berindeks dan ditulis;

{Ai : i J} = {A1, A2, A3, A4}

• Jika K = {1, 2, 3, … n}, maka

{ i Ai : i K} = {A1 A2 … An}

• Jika K = {1, 2, 3, … }, maka

{ i Ai : i K} = {A1 A2 … }


Contoh himpunan berindeks

Jika A1 = {1 }

A2 = {1, 2}

…

An = {1, 2, … , n}

Tentukan { i Ai : 1 i n} dan { i Ai : 1 i n}

{ i Ai : 1 i n} = {A1 A2 … An}= An

{ i Ai : 1 i n} = {A1 A2 … An}= A1


Partisi

β = {B1, B2, … , Bn} disebut partisi dari A, jika memenuhi kedua sifat berikut ;

1) A = B1 B2 … Bn

2) Bi Bj = ø, untuk setiap i ≠ j, 1 i n,

1 j n


Contoh partisi

P = {1, 2, 3, …}, Q = {1, 3, 5, …} dan R {2, 4, 6, …}, maka Q dan R adalah partisi dari P, sebab Q R = P dan Q R = ø


Himpunan Bersarang

• A1, A2, … , An, … disebut himpunan bersarangjika memenuhi ;

A1 A2 … An …

• Contoh

A1 = [0,1] , A2 = [0, 1/2] … , An = [0, 1/n], …

A1, A2, … , An, … merupakan himpunanbersarang, sebab A1 A2 … An …


Soal latihan

1. Jika A dan B suatu himpunan buktikan bahwa A (A B) = A

2. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli}, tentukan A4 A6

3. Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan A3A4 dan A3 A4

4. Misalkan Dn = (0, 1/n), n {bil asli}, tentukan D3D7 dan D3 D7

5. Cari semua partisi dari W = {1, 2, 3}


Soal-soal

1. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli}, tentukan i P Ai , P = bil prima

2. Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan

i Ai

3. Misalkan Dn = [0, 1/n], n A={bil asli}, tentukan i A Di

4. Misalkan Dn = (-1/n, 1/n), n A={bil asli}, tentukan i A Di

Back


aljabar himpunan

Documents