aljabar boolean · 2016-10-05 · •gerbang logika •aritmatika ... dua gerbangand dan sebuah...
TRANSCRIPT
Aljabar Boolean•Boolean Variable dan Tabel Kebenaran
•Gerbang Logika
•Aritmatika Boolean
•Identitas Aljabar Boolean
•Sifat-sifat Aljabar Boolean
•Aturan Penyederhanaan Boolean
•Fungsi Eksklusif OR
•Teorema De’ Morgan
•Konversi Table Kebenaran ke Aljabar Boolean
Representasi Boolean
Representasi Boolean
Variable dan Konstanta Boolean
Tabel Kebenaran (Truth Table)
Aljabar Boolean
Sifat-sifat Aljabar Boolean
Identitas Aljabar Boolean
Penyederhanaan Rangkaian
Teorema De’Morgan
Variable Boolean
Binary 0: besar tegangan
antara 0 – 0,8 volt
Binary 1: besar tegangan
antara 2 – 5 volt
Not used: besar tegangan
antara 0,8 – 2 volt
•Not used dapat mengakibatkan error
•Nilai boolean 0 dan 1 tidak merepresentasikan nilai sebenarnya hanya merepre-
sentasikan keadaan sebuah variabel tegangan
Tabel Kebenaran
Tabel kebenaranfungsinya memberikangambaran hubunganoutput suatu rangkaiandigital terhadapkombinasi input yang diberikan
Terdapat semuakombinasi input yang mungkin (dari variable A dan B) dengan level keadaan output yang berkesesuaian
Gerbang OR (operasi OR)
Pernyataan:
◦ X=A+B X sama dengan A or B
◦ Tanda “+” operasi or tidak memilki arti
yang sama dengan aljabar penjumlahan
Aritmatika Boolean (1)
Dengan menambahkan bilangan-bilangan
biner, diperoleh:
◦
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
Aritmatika Boolean (6)
Seperti aljabar pada umumnya, aljabarboolean menggunakan huruf untukmerepresentasikan sebuah variable.
◦ Aljabar boolean menggunakan huruf CAPITAL
Karena hanya memiliki dua kemungkinannilai, yaitu 0 dan 1, maka setiap variable boolean memiliki komplementnya.
◦ Komplement ditandai dengan “bar” atau “tandapetik tunggal” yang dituliskan di atas sebuahvariable boolean
0',0,1
1',1,0
AatauAmakaAJika
AatauAmakaAJika
Identitas Aljabar Boolean (1)
Penjumlahan Dalam istilah matematika, identitas adalah
sebuah pernyataan bernilai benar untuk
semua kemungkinan nilai variable.
◦
Identitas Aljabar Boolean (2)
Penjumlahan Identitas 1 aljabar boolean adalah:
◦ Penjumlahan sebuah variable dengan 0 sama
dengan nilai variable itu sendiri
◦
Identitas Aljabar Boolean (3)
Penjumlahan Identitas berikutnya merupakan identitas
yang sangat berbeda dengan identitas
aljabar aritmatika, yaitu
◦ Penjumlahan sebuah variable dengan 1 akan
selalu menghasilkan nilai 1.
◦
Identitas Aljabar Boolean (4)
Penjumlahan sebuah variable ditambahkan denga
variable itu sendiri akan menghasilkan nilai
yang sama dengan nilai variable tersebut.
◦
Identitas Aljabar Boolean (5)
Penjumlahan Identitas berikut ini berhubungan dengan
sifat komplement bilangan biner, yaitu
◦ Sebuah variable ditambahkan dengan
komplement variable tersebut
Identitas Aljabar Boolean (6)
Perkalian Terdapat juga empat identitas untuk
perkalian aljabar boolean, yaitu:
◦ A x 0, A x 1, A x A, and A x A‘
Identitas Aljabar Boolean (10)
Identitas penjumlahan dan perkalian dalam
aljabar boolean dapat dirangkum sebagai
berikut:
Identitas Dasar Aljabar Boolean
Penjumlahan Perkalian
A + 0 = A
A + 1 = 1
A + A = A
A + A = 1
0A=0
1A=A
AA=A
AA=0
Sifat-sifat Aljabar Boolean (1)
Jenis lain dari sebuah identitas dalam
istilah matematika adalah sifat atau hukum
(aturan)
Sifat-sifat (hukum-hukum) aljabar boolean
adalah:
◦ Kamutatif, asosiatif, dan distributif
Sifat-sifat Aljabar Boolean (5)
Sifat-sifat aljabar boolean dapat dirangkum
sebagai berikut:
Sifat-sifat Dasar Aljabar Boolean
Penjumlahan Perkalian
A + B = B + A
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
AB = BA
A(BC) = (AB)C
A ( B + C ) = AB + AC
Aturan Penyederhanaan Aljabar
Boolean (1) Dengan menggunakan identitas dan sifat
aljabar boolen dapat digunakan untuk
menyederhanakan persamaan aljabar
boolean yang lebih kompleks
Aturan Penyederhanaan Aljabar
Boolean (3) Aturan ini dapat dibuktikan dengan
langkah-langkah:
◦ Faktorkan A, terapkan identitas A + 1 = 1, dan
terapkan identitas 1A=A
Perhatikan: identitas A + 1 =1 digunakan untuk mereduksi
(1 + B) = 1. Dengan demikian dapat disimpulkan ABC + 1
juga akan menghasilkan nilai 1 dengan menggunakan
identitas tersebut
Aturan Penyederhanaan Aljabar
Boolean (5) Untuk membuktikan aturan
penyederhanaan di atas dilakukan dengan
cara:
◦ A diekspand, faktorkan B, gunakan identitas A
+ A’ = 1, dan gunakan identitas 1A = A
Perhaitkan bahwa (A+AB) digunakan untuk
mengekspand A menjadi “A+AB”. Langkah ini
disebut “backward”. Kadang kala di dalam
matematika, langkah “backward” diperlukan untuk
memperoleh solusi yang baik.
Aturan Penyederhanaan Aljabar
Boolean (6) Aturan penyederhaan pada contoh
berikut melibatkan sifat distributif
Sederhanakan: (A+B)(A+C)
Aturan Penyederhanaan Aljabar
Boolean (7) Bukti aturan penyederhaan di atas adalah:
Langkah-langkahnya adalah:
-Distribusikan
-Gunakan identitas AA = A
-Gunakan aturan A + AB = A untuk mereduksi A + AC
-Gunakan aturan A + AB = A untuk mereduksi A + AB
Aturan Penyederhanaan Aljabar
Boolean (8) Beberapa aturan penyederhanaan dapat
dirangkum sebagai berikut:
Aturan Penyederhanaan yang Sering Digunakan
A + AB = A
A + AB = A + B
(A + B)(A + C) = A + BC
Fungsi Eksklusif OR (1)
Selain fungsi-fungsi yang telah dibahas,
terdapat fungsi yang cukup penting adalah
fungsi eksklusif OR
Jika fungsi OR ekuivalen dengan aljabar
penjumlahan, fungsi AND ekuivalen
dengan aljabar perkalian dan fungsi NOT
ekuivalen dengan aljabar kompelementer,
maka untuk fungsi Eksklusif OR tidak ada
tidak ada ekuivalen secara langsung
Fungsi Eksklusif OR (2)
Fungsi eksklusif OR (XOR)
direpresentasikan dengan simbol:
Fungsi tersebut:
◦ AB ekuivalen dengan AB’ +A’B
Fungsi Eksklusif OR (3)
Dalam bentuk rangkaian,
Ekuivalensi aljabar boolean ini
sangat membantu dalam proses
penyederhanaan rangkaian:
Suatu pernyataan boolean yang
berbentuk AB’+A’B ( atau
sebuah rangkain yang terdiri dari
dua gerbang AND dan sebuah
gerbang OR) dapat diwakili oleh
AB (atau gerbang XOR
Aturan De’Morgan (1)
Jika semua input suatu gerbang AND
diinvers, maka fungsi gerbang tersebut
sama seperti fungsi gerbang NOR
Jika semua input suatu gerbang OR
diinvers, maka fungsi gerbang tersebut
sama seperti fungsi gerbang NAND
Aturan De’Morgan memiliki prinsip yang
sama, tetapi yang diinvers adalah
outputnya.
Teorema De’Morgan (1)
Teorema De’Morgan dapat diilustrasikan
sebagai pemisah simbol “bar” yang
panjang,
Teorema De’Morgan (2)
Jika terdapat lebih dari satu “bar” untuk
suatu variable (atau beberapa variable),
pemisahan “bar” hanya boleh dilakukan
satu per satu
Untuk mempermudah penyederhanaan
rangkaian, pemisahan “bar” dilakukan
pertama kali untuk “bar” paling panjag
(paling atas)
Teorema De’Morgan (3)
Sebagai ilustrasi, misal
sebuah pernyataan
boolean:
◦ (A + (BC))
◦ Disederhanakan
menggunakan aturan
de’Morgan
◦