alja barlini er

of 32 /32
HAND OUT KULIAH ALJABAR LINIER (Terjemahan: Linear Algebra, by Sterling K.Berberian) OLEH SYAMSUDHUHA PRODI PASCA SARJANA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU PEKANBARU 2013

Author: rojer-rokan

Post on 21-Jan-2016

55 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • HAND OUT KULIAH

    ALJABAR LINIER(Terjemahan: Linear Algebra, by Sterling K.Berberian)

    OLEH

    SYAMSUDHUHA

    PRODI PASCA SARJANA MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS RIAUPEKANBARU

    2013

  • DAFTAR ISI

    DAFTAR ISI ii

    1 Ruang Vektor 11.1 Rn dan Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ruang vektor: beberapa aksioma dan contoh . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Ruang vektor: Konsekwensi pertama dari aksioma . . . . . . . . . . . . 41.4 Kombinasi linier dari vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Subruang linier (Linear subspace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Pemetaan Linier 82.1 Pemetaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Pemetaan Linier dan Subruang linier: Kernel dan Range . . . . . . . . 102.3 Ruang dari pemetaan linier: L(V,W) dan L(V) . . . . . . . . . . . . . 132.4 Ruang vektor Isomorpis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Relasi ekivalensi dan quotient sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Quotient vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3 Struktur Ruang Vektor 213.1 Linear subspace generated by a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Linear dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Linear independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Finitely generated vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Rank + nullity = dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    ii

  • Bab 1

    Ruang Vektor

    1.1 Rn dan Cn

    Rn dan Cn adalah contoh ruang vektor yang sangat penting (secara formal akan didefin-isikan pada sessi berikutnya).

    Definisi 1.1.1 Misalkan Rn, n bilangan bulat, adalah himpunan semua npasanganberurutan [x1, x2, . . . , xn] dari bilangan riel.

    Sebagai contoh [3, 12,

    2, pi] adalah elemen dari R4.Elemen dari Rn disebut vektor dan elemen dari R disebut skalar.Vektor [x1, x2, . . . , xn] dan [y1, y2, . . . , yn] disebut sama jika xi = yi, i = 1, 2, . . . , n,

    ditulis [x1, x2, . . . , xn] = [y1, y2, . . . , yn]. Jika x = [x1, x2, . . . , xn] maka xi disebut kom-ponen ke-i dari vektor x. Jadi dua vektor dikatan sama bila masing-masing kompo-nennya sama.

    Jika x = [x1, x2, . . . , xn] dan y = [y1, y2, . . . , yn] jumlah dari x dan y ditulis x + yadalah vektor dengan definisi

    x + y = [x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn]

    dan jika c adalah skalar, maka perkalian c dengan x, ditulis cx adalah

    cx = [cx1, cx2, . . . , cxn].

    Definisi 1.1.2 Elemen dari Fn yang semua komponennya nol dinotasikan dan dise-but vektor nol; jadi = [0, . . . , 0]. Jika x = [x1, x2, . . . , xn] sebarang vektor, vektor[x1,x2, . . . ,xn] disebut negatif dari x dinotasikan dengan x.

    Teorema 1.1.3 Misalkan F adalah field (R atau C), misalkan n bilangan bulat, danFn seperti pada Definisi 1.1.1.

    1. Jika x,y Fn maka x + y Fn. (Tertutup terhadap penjumlahan)2. Jika c F dan x Fn maka cx Fn. (Tertutup terhadap perkalian skalar).

    1

  • 3. x + y = y + x untuk semua x,yFn (komutatif terhadap penjumlahan).4. (x + y) + z = x + (y + z) untuk semua x,y, z Fn (asosiatif terhadap penjum-

    lahan).

    5. x + = x = + x untuk setiap vektor x (elemen netral terhadap penjumlahan)

    6. x + (x) = = (x) + x untuk setiap x.7. c(x + y) = cx + cy dan (c + d)x = cx + dx untuk semua x,y dan semua skalar

    c, d (distribusi terhadap perkalian skalar)

    8. (cd)x = c(dx) untuk semua skalar c, d dan semua vektor x (asosiatif terhadapperkalian skalar).

    9. 1x = x untuk setiap x (elemen netral terhadap perkalian skalar).

    Bukti.

    1.2 Ruang vektor: beberapa aksioma dan contoh

    Sifat-sifat Fn dalam Teorema 1.1.3 tidak dipilih secara random, melainkan apa yangdikenal dengan istilah ruang vektor, sebagaimana definisi berikut.

    Definisi 1.2.1 Misalkan F adalah field (R atau C). Suatu ruang vektor terhadapF adalah himpunan V yang dilengkapi dengan dua operasi yaitu penjumlahan danperkalian skalar dan memenuhi sifat-sifat berikut

    1. Jika x,y V maka x + y V. (Tertutup terhadap penjumlahan)2. Jika c F dan x V maka cx V. (Tertutup terhadap perkalian skalar).3. x + y = y + x untuk semua x,yV (komutatif terhadap penjumlahan).

    4. (x+y)+z = x+(y+z) untuk semua x,y, z V (asosiatif terhadap penjumlahan).5. Terdapat vektor V sedemikian hingga x + = x = + x untuk semua x V

    (elemen netral terhadap penjumlahan)

    6. Untuk setiap x V terdapat vektor x V sedemikian hingga x + (x) = =(x) + x (eksisitensi negatif).

    7. c(x + y) = cx + cy dan (c + d)x = cx + dx untuk semua x,y dan semua skalarc, d (distribusi terhadap perkalian skalar)

    8. (cd)x = c(dx) untuk semua skalar c, d dan semua vektor x (asosiatif terhadapperkalian skalar).

    2

  • 9. 1x = x untuk setiap x (elemen netral terhadap perkalian skalar).

    Definisi diatas memuat istilah untuk semua, terdapat, sedemikian hingga,jika ... maka, yang lebih efisien menggunaan simbol ,,3, sehingga dapat ditulisdalam cara lain

    1. x,y V x + y V.2. c F ,x V cx V.3. x + y = y + x, ( x,y V).4. (x + y) + z = x + (y + z), ( x,y, z V).5. V 3 x + = x = + x, ( x V).6. x V x V 3 x + (x) = = (x) + x.7. c(x + y) = cx + cy, (c+ d)x = cx + dx ( x,y V dan c, d F).8. (cd)x = c(dx) ( c, d F dan x V).9. 1x = x ( x V).

    Definisi 1.2.2 Bila dalam Definisi 1.2.1 F = R maka disebut ruang vektor riel;bila F = C maka disebut ruang vektor kompleksContoh 1.2.3 Untuk setiap bilangan bulat positif n, Rn adalah ruang vektor riel danCn adalah ruang vektor kompleks. (Teorema 1.1.3.)

    Contoh 1.2.4 Misalkan F field, T himpunan tidak kosong dan V himpunan semuafungsi x : T F . Untuk setiap x,y V, x = y bemakna x(t) = y(t) untuk semuat T . Jika x,y V dan c F , fungsi x + y dan cx didefinisikan dengan formula

    (x + y)(t) = x(t) + y(t), (cx)(t) = cx(t)

    untuk semua t T . Misalkan fungsi yang didefinisikan oleh (t) = 0 untuk semuat T dan untuk x V, misalkan x fungsi yang didefinisikan oleh (x)(t) = x(t)untuk semua t T , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa V adalah ruang vektorterhadap F , ditulis F (T,F) dan disebut fungsi bernilai F pada T .Contoh 1.2.5 Misalkan F = R atau C. Jika p adalah polinomial dengan koefesiendalam F , maka p adalah fungsi di F didefinisikan

    p = a0 + a1t+ a2t2 + + antn

    dimana a0, . . . , an F dan t sesuatu yang tidak ditentukan, didefinisikan fungsi p :F F dengan formula

    p(c) = a0 + a1c+ a2c2 + + ancn

    3

  • untuk semua c F . Misalkan P himpunan semua polinomial yang demikian. Jikadalam ruang vektor V = F (T,F) dari Contoh 1.2.4, ambil T = F , maka P V.Selanjutnya karena jumlah dari dua polinomial adalah polinomial dan perkalian skalardengan polinomial adalah polinomial, terlihat bahwa P juga ruang vektor terhadap F .

    Contoh 1.2.6 Misalkan V1,V2, . . . ,Vn ruang vektor terhadap F dan misalkan V =V1. . .Vn adalah cartesian product nya, yaitu himpunan semua nsusunan (x1, . . . ,xn)dengan xi Vi, untuk i = 1, . . . , n. Tulis (x1, . . . ,xn) = (y1, . . . ,yn) jika (xi = yi)untuk semua i. Untuk x = (x1, . . . ,xn), y = (y1, . . . ,yn) dalam V dan untuk c F ,definisikan

    x + y = (x1 + y1, . . . ,xn + yn), cx = (cx1, . . . , cxn).

    Definisi 1.2.7 Dengan notasi seperti pada Contoh 1.2.6, V disebut ruang vektorproduct (atau direct sum) dari ruang vektor V1, . . . ,Vn. Untuk n = 2 secara seder-hana ditulis V = V1 V2; untuk n = 3, V = V1 V2 V3.

    1.3 Ruang vektor: Konsekwensi pertama dari ak-

    sioma

    Kesimpulan pertama dari aksioma dalam Definisi 1.2.1 berhubungan dengan hal ke-tunggalan (uniqueness) dari vekter tertentu yang dinyatakan dalam aksioma tersebut.

    Teorema 1.3.1 Misalkan V ruang vektor terhadap field F , dengan notasi sepertidalam Definisi 1.2.1.

    1. Jika adalah vektor sedemikian hingga + x = x, maka = , jadi dalam1.2.1 adalah tunggal.

    2. Jika x + y = , haruslah y = x, jadi vektor x pada postulat (6) dalam 1.2.1ditentukan oleh x secara tunggal.

    3. + = , dan jika z adalah vektor sedemikian hingga z + z = z, haruslah z = .

    Bukti.

    Akibat 1.3.2 Untuk setiap vektor x, (x) = x.

    Bukti.

    Akibat 1.3.3 Untuk setiap vektor x, 0x = , untuk setiap skalar c, c = .

    Bukti.

    Akibat 1.3.4 Untuk setiap vektor x dan setiap skalar c, c(x) = cx = (c)x.

    4

  • Bukti.

    Akibat 1.3.5 Untuk setiap vektor x, (1)x = x.

    Bukti.

    Teorema 1.3.6 (tidak ada pembagi ) Misalkan V ruang vektor, c skalar, x V.Maka cx = jika dan hanya jika c = 0 atau x = .

    Bukti. Akan ditunjukkan bahwa

    cx = c = 0 atau x =

    (implikasi adalah pernyataa hanya jika, dan adalah pernyataan jika).Hanya jika: andaikan cx = . Jika c = 0 maka terbukti. Asumsikan c 6= 0 akan

    dibuktikan x = . Misalkan d = c1 maka d(xx) = d = oleh 1.3.3, yaitu (dc)x = ,tetapi dc = 1 dan 1x = x, jadi x = .

    Jika. Ini sesuai dengan Akibat 1.3.3.

    Akibat 1.3.7 Misalkan x,y vektor, dan c, d skalar.

    1. Jika cx = cy dan c 6= 0, maka x = y.2. Jika cx = dx dan x 6= , maka c = d.

    Bukti.

    Definisi 1.3.8 Untuk vektor x dan y, vektor x + (y) dinotasikan oleh x y.

    1.4 Kombinasi linier dari vektor

    Definisi 1.4.1 Misalkan V ruang vektor (Definisi 1.2.1). Suatu vektor x V disebutkombinasi linier dari vektor-vektor x1, . . . ,xn dalam V jika terdapat skalar c1, . . . , cnsedemikian hingga

    x = c1x1 + + cnxn.Skalar ci disebut koefesien dari xi dalam kombinasi linier.

    Contoh 1.4.2 Setiap polinomial

    a0 + a1t+ a2t2 + . . .+ ant

    n

    adalah jumlah monomial aiti. Jadi kombinasi linier dari t0 = 1, t1 = t, t2, . . . , tn.

    5

  • Contoh 1.4.3 Dalam Fn, sebarang vektor x = (a1, . . . , an) dapat ditulis sebagai kom-binasi linier

    x = (a1, 0, . . . , 0) + (0, a2, 0, . . . , 0) + . . .+ (0, . . . , 0, an)= a1(1, 0, . . . , 0) + a2(0, 1, 0, . . . , 0) + . . .+ an(0, . . . , 0, 1).

    Misalkan e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1), maka

    x = a1e1 + . . .+ anen

    .

    Contoh 1.4.4 Fungsi f(t) = sin(t + pi6) adalah kombinasi linier dari fungsi sin t dan

    cos t, yaitu f = (32

    ) sin +(12) cos, kenapa ?

    Contoh 1.4.5 Fungsi sinus hiperbolik sinh t adalah kombinasi linier dari fungsi ekspo-nensial et dan et. (berapa koefesiennaya ?)

    1.5 Subruang linier (Linear subspace)

    Misalkan P bidang yang melewati titik asal dalam ruang berdimensi 3, sebagai contohbidang yang ditentukan oleh persamaan

    2x 3y + z = 0 ()

    Bayangkan P sebagai himpunan semua vektor u = (x, y, z) dalam R3 ditentukan olehpanah dari titik asal (0, 0, 0) ke titik (x, y, z) yang koordinatnya memenuhi (). Terlihatbahwa jika u,v P dan c bilangan riel, maka u + v dan cu juga dalam P . JadiP = {(x, y, z) : 2x 3y + z = 0} yang berupakan himpunan bagian dari ruang vektorR3, tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

    Definisi 1.5.1 Misalkan V ruang vektor. M V disebut subruang linier (linearsubspace) dari V jika memiliki tiga sifat berikut:

    1. M ;2. jika x,y M maka x + y M ;3. jika x M dan c skalar, maka cx M .

    Secara umum M juga tertutup terhadap kombinasi linier: jika x1, . . . ,xn M danc1, . . . , cn skalar, maka c1x1 + + cnxn M.

    Teorema 1.5.2 Setiap subruang linier dari suatu ruang vektor adalah ruang vektor.

    6

  • Bukti. Dengan notasi seperti dalam Definisi 1.5.1, akan diperiksa M memiliki semuasifat yang diperlukan oleh suatu ruang vektor (Definisi 1.2.1). Karena M tertutupterhadap penjumlahan dan perkalian skalar, syarat (1) dan (2) dari Definisi 1.2.1 ter-penuhi. Sifat (3), (4) dan (7)-(9) bawaan dari ruang vektor V. Diketahui M , jadisyarat (5) terpenuhi. Terakhir, jika x M maka x = (1)x M , jadi M memenuhisyarat (6).

    Contoh 1.5.3 Setiap ruang vektor V paling tidak mempunyai subruang linier M ={} dan M = V.

    7

  • Bab 2

    Pemetaan Linier

    Suatu ruang vektor bukan hanya sekedar sebuah himpunan, melainkan ianya dilengkapidengan operasi linier (penjumlahan dan perkalian skalar). Suatu linier subspace bukanhanya sekedar subset (himpunan bagian), melainkan ianya sebuah himpunan tak kosongyang tertutup terhadap operasi linier.

    2.1 Pemetaan Linier

    Pemetaan yang terpenting diantara dua ruang vektor adalah yang meliputi penjumla-han dan perkalian skalar.

    Definisi 2.1.1 Misalkan V dan W ruang vektor terhadap field F . Suatu pemetaanT : VW disebut linier jika ianya bersifat penjumlahan dan homogenius, yaitu

    T (x + y) = Tx + Ty dan T (cx) = c(Tx)

    untuk semua x,y V dan semua c F (Pemetaan ini disebut juga transformasilinier).

    Dari sifat linieritas ini dapat dibentuk kombinasi linier secara umum

    T (c1x1 + . . .+ cnxn) = c1(Tx1) + . . .+ cn(Txn),

    atau dalam bentuk notasi penjumlahan

    T

    (ni=1

    cixi

    )=

    ni=1

    c(Txi)

    Suatu transformasi linier juga menghasilkan nol dan negatif.

    Teorema 2.1.2 Jika T : VW adalah pemetaan linier, maka T = dan T (x) =(Tx) untuk semua x V.

    8

  • Bukti adalah vektor nol didalam V atau W. Jika z = T, maka

    z + z = T + T = T ( + ) = T = z,

    karena itu z = (sifat ketunggalan elemen netral). Untuk semua x V,Tx + T (x) = T (x+ (x)) = T = ,

    jadi T (x) = (Tx).Teorema 2.1.3 Misalkan V ruang vektor terhadap F dan misalkan x1, . . . ,xn vektordalam V. Maka pemetaan T : Fn V yang didefinisikan oleh

    T (a1, , an) = a1x1 + + anxnadalah linier, merupakan pemetaan yang tunggal sedemikian hingga Tei = xi untuksemua i, dimana e1, . . . , en adalah vektor standard (lihat contoh 1.4.3).

    Bukti. Misalkan a = (a1, . . . , an) dan b = (b1, . . . , bn) adalah vektor di Fn danmisalkan k F maka

    T (a + b) = T (a1 + b1, , an + bn)= (a1 + b1)x1 + + (an + bn)xn= (a1x1 + + anxn) + (b1x1 + + bnxn)= Ta + Tb

    T (ka) = T (ka1, , kan)= (ka1)x1 + + (kan)xn= k(a1x1 + + anxn)= k(Ta),

    jadi T linier.Kembali gunakan ei Fn dengan elemen 1 pada koordinat ke-i dan 0 untuk lainnya

    (Contoh 1.4.3). Rumus Tei = xi diperoleh dari 1xi = xi dan 0xj = untuk j 6= i. JikaS pemetaan lain sedemikian hingga Sei = xi untuk semua i maka, dengan linieritas,Sa = Ta untuk setiap kombinasi linier a dari e1, . . . , en, dengan kata lain untuk setiapa F (Contoh 1.4.3).Contoh 2.1.4 Misalkan P ruang vektor dari fungsi polynomial p : R R (Contoh1.2.5) dan misalkan T : P P pemetaan yang didefinisikan oleh Tp = p (turunan darip). Sifat penjumlahan dan homogenitas merupakan sifat yang berlaku dalam diferensial.

    Contoh 2.1.5 Dengan P seperti pada contoh sebelumnya, definisikan S : P Psebagai berikut: untuk p P, Sp adalah antiderivatif dari p dengan konstanta 0, yaitu,Sp adalah fungsi polinomial sedemikian hingga (Sp) = p dan (Sp)(0) = 0.. (Sebagaicontoh, jika p(t) = t + 5 maka (Sp)(t) = 1

    2t2 + 5t.) S adalah pemetaan linier (sesuai

    dengan sifat-sifat dari integral taktentu).

    9

  • Contoh 2.1.6 Setiap formula berikut merupakan pemetaan linier T : R3 R3:T (x1, x2, x3) = (x2, x1, x3)T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2 x3, x2, x3)T (x1, x2, x3) = (0, x2, x3)T (x1, x2, x3) = (5x1, 5x2, 5x3).

    Contoh 2.1.7 Pemetaan T : R3 R2 dan S : R2 R3 didefinisikan oleh T (x1, x2, x3) =(x2, x3) dan S(x1, x2) = (0, x1, x2) adalah linier.

    Contoh 2.1.8 Jika V sebarang ruang vektor dan a adalah sekalar, maka pemetaanT : V V yang didefinisikan oleh Tx = ax adalah linier. (Sifat komutatif: T (cx) =a(cx) = (ac)x = (ca)x = c(ax) = c(Tx). )

    Contoh 2.1.9 Perhatikan sistem m persamaan linier dengan n variabel x1, . . . , xn:

    ()

    a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = c2. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = cm

    dengan aij dan ci skalar dalam R. Persoalannya adalah mencari solusi (x1, . . . , xn)yang memenuhi (). Akan tetapi solusi ini tidak selalu ada, tergantung dengan kondisidari sistem persamaan tersebut.

    Contoh 2.1.10 Pemetaan T : R3 R didefinisikan oleh T (x1, x2, x3) = 2x1 +x2x3adalah linier.

    Definisi 2.1.11 Jika V ruang vektor terhadap F , suatu bentuk linier di V adalahpemetaan linier f : V F . (Disini F merupakan ruang vektor terhadap dirinyasendiri dengan operasi penjumlahan dan perkalian seperti biasanya (lihat 2.1.10).)

    Dengan kata lain, suatu bentuk linier adalah pemetaan linier yang bernilai skalar.

    2.2 Pemetaan Linier dan Subruang linier: Kernel

    dan Range

    Subruang linier dan pemetaan linier, keduanya berhubungan dengan struktur ruangvektor, jadi semuanya berhubungan satu sama lain.

    Teorema 2.2.1 Misalkan V dan W ruang vektor, T : VW pemetaan linier.1. Jika M subruang linier dari V, maka T (M) subruang linier dari W.

    2. Jika N subruang linier dari W, maka T1(M) subruang linier dari V.

    10

  • Bukti. Bila dikatakan bahwa T : V W pemetaan linier, menurut Definisi 2.1.1dipahami bahwa V dan W adalah ruang vektor terhadap lapangan yang sama.

    1. Misalkan T (M) bayangan (image) dari T , yaitu

    T (M) = {Tx : x M}.

    Akan dibuktikan bahwa T (M) memenuhi syarat-syarat subruang linier (Definisi1.6.1.) Karena T = , T (M) memuat vektor nol. Asumsikan y,y dalam T (M)dan c skalar, akan ditunjukkan bahwa y + y dan cy dalam T (M). Misalkany = Tx,y = Tx dengan x,x M . Bila x + x M dan T (x + x) =Tx + Tx = y + y. Jadi y + y T (M). Juga cx M dan T (cx) = cTx = cy,jadi cy T (M).

    2. Misalkan T1(N) invers image dari N terhadap T , yaitu

    T1(N) = {x V : Tx N}.

    Karena T = N , jadi T1(N). Asumsi x,x T1(N) dan c skalar, akandibuktikan bahwa x + x dan cx ada dalam T1(N). Diketahui Tx, Tx N ,karena itu

    T (x + x) = Tx + Tx N dan T (cx) = c(Tx) N,

    jadi x + x dan cx ada dalam T1(N).

    Akibat 2.2.2 Jika T : V W pemetaan linier, maka range-nya T (V ) adalah sub-ruang linier dari W, dan T1({}) = {x V : Tx = } adalah subruang linier dariV.

    Definisi 2.2.3 Dengan notasi sebelumnya T1({}) disebut kernel (atau null space)dari T dan dinotasikan dengan Ker T ; jadi

    Ker T = {x V : Tx = }.

    Range dari T disebut juga image dari T dinotasikan dengan ImT ; jadi

    Im T = T (V) = {Tx : x V}.

    Menemukan kernel dan range merupakan langkah pertama studi pemetaan linier.

    Contoh 2.2.4 Diberikan sistem m persamaan linier homogen dengan n variabel,

    ()

    a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = 0. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = 0

    11

  • misalkan T : Rn Rm pemetaan linier seperti pada Contoh 2.1.9. Kernel dari Tadalah himpunan vektor solusi dari sistem (). Range dari T adalah himpunan vektorc = (c1, . . . , cm) Rm sedemikian hingga Tx = c mempunyai solusi x Rn, yaituterdapat vektor x = (x1, . . . , xn) yang memenuhi sistem persamaan

    ()

    a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = c2. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = cm

    Contoh 2.2.5 Misalkan P ruang vektor dari fungsi polinomial dan misalkan T : P P pemetaan linier yang didefinisikan oleh turunan: Tp = p untuk semua p P(Contoh 2.1.4). Kernel dari T memuat fungsi konstanta. Range dari T adalah P(Kenapa ?).

    Contoh 2.2.6 Misalkan f : R3 R adalah bentuk linier (Definisi 2.1.11 ) didefin-isikan oleh f(x) = 2x1 3x2 + x3 untuk semua x = (x1, x2, x3) R3. Kernel dari fadalah bidang yang melewati titik pangkal (0,0,0). Range dari f adalah R (kenapa ?).

    Contoh 2.2.7 Misalkan T : R3 R2 adalah pemetaan linier yang didefinisikan olehT (x1, x2, x3) = (x2, x3). Kernel dari T adalah garis yang melewati titik pangkal. Rangedari T adalah R2

    Contoh 2.2.8 Misalkan S : R2 R3 adalah pemetaan linier yang didefinisikan olehS(x1, x2) = (0, x1, x2). Kernel dari S adalah {}. Range dari S adalah bidang y, zdalam R3.

    Teorema 2.2.9 Misalkan T : VW pemetaan linier1. Untuk x,x dalam V, Tx = Tx jika dan hanya jika x x Ker T .2. T injektif jika dan jika Ker T = {}.

    Bukti.

    1. Karena sifat linieritas dari T , T (x x) = Tx Tx, karena itu T (x x) = jika dan hanya jika Tx = Tx.

    2. Jika Ker T = {}, terlihat dari 1 bahwa Tx = Tx x = x, jadi T injektif.Sebaliknya, andaikan T injektif; jika x Ker T maka Tx = = T, karena itux = oleh sifat injektif.

    12

  • 2.3 Ruang dari pemetaan linier: L(V,W) dan L(V)Definisi 2.3.1 Misalkan V dan W ruang vektor terhadap field F . L(V,W) adalahhimpunan semua pemetaan linier T : VW. Bila V = W, L(V,V) diringkas L(V).Contoh 2.3.2 Pemetaan T : V W didefinisikan dengan Tx = , untuk semuax V adalah linier. Pemetaan ini disebut pemetaan linier nol dari V ke W dandinotasikan dengan O, jadi O L(V,W), Ox = , untuk semua x V.Contoh 2.3.3 Pemetaan T : V V didefinisikan dengan Tx = x, untuk semuax V adalah linier. Pemetaan ini disebut pemetaan linier identitas di V dandisimbolkan dengan I. Jadi I L(V), Ix = x, untuk semua x V.Contoh 2.3.4 Jika f bentuk linier di V (lihat Definisi 2.1.11) dan y vektor dalam W,pemetaan T : VW didefinisikan oleh Tx = f(x)y untuk semua x V adalah linier.(Bukti: T (x + x) = f(x + x)y = [f(x) + f(x)]y = f(x)y + f(x)y = Tx + Tx danT (cx) = f(cx)y = [cf(x)]y = c(Tx) )

    Contoh 2.3.5 Jika a adalah skalar, maka pemetaan T : V V didefinisikan olehTx = ax adalah linier (Contoh 2.1.8), jadi T L(V); T disebut pemetaan linierskalar.

    Contoh 2.3.6 Jika x adalah vektor dalam V, maka pemetaan T : F V didefinisikanoleh Tc = cx adalah linier (Buktikan ?), jadi T L(F ,V).Contoh 2.3.7 Anggota dari L(V,F) adalah bentuk linier dalam V (Definisi 2.1.11).Contoh 2.3.8 Perhatikan persamaan diferensial 3y + 2y = 0. Solusi dari persamaandifferensial tersebut adalah fungsi y = f(x) sedemikian hingga 3f (x)+2f(x) = 0, untuksemua x dalam domain f . Solusi trivialnya adalah f(x) = 0 untuk semua x R. Jikaf solusi, maka f = 2

    3f menunjukkan bahwa f tidak hanya terdeferensial, turunan

    f juga terdeferensial; f = 23f = 4

    9f , jadi f juga terdeferensial, f = 8

    27f , dan

    seterusnya. (sebagai contoh fungsi yang demikian adalah f(x) = e2x/3). Misalkan Vhimpunan semua fungsi f : R R yang mempunyai derivatif untuk semua order. Jikaf, g V, demikian juga dengan f + g, cf V. Dengan kata lain V adalah subruanglinier. Formula Df = f merupakan pemetaan linier dalam V, yaitu D L(V).Karena itu tentukan f V sedemikian hingga 3Df + 2f = 0 atau 3Df + 2If =(3D+2I)f = 0 (dimana I adalah pemetaan linier identitas). Ini merupakan kombinasilinier dari pemetaan linier, 3D + 2I.

    Definisi 2.3.9 Untuk S, T L(V,W) dan untuk skalar a, didefinisikan pemetaanS + T : VW dan aT : VW dengan formula

    (S + T )x = Sx + Tx, (aT )x = a(Tx)

    untuk semua x V

    13

  • Lemma 2.3.10 Jika S, T L(V,W) dan a adalah skalar, maka S+T, aT L(V,W).

    Bukti. Akan dibuktikan bahwa S+T : VW dan aT : VW adalah linier. Untuksemua x,x V dan semua skalar c,

    (S + T )(x + x) = S(x + x) + T (x + x)= (Sx + Sx) + (Tx + Tx)= (Sx + Tx) + (Sx + Tx)= (S + T )x + (S + T )x.

    (S + T )(ax) = S(cx) + T (cx)= c(Sx) + c(Tx)= c(Sx + Tx)= c((S + T )x),

    jadi S + T linier. Dengan cara yang sama dibukti bahwa aT linier.

    Teorema 2.3.11 Jika V dan W ruang vektor terhadap field F , maka L(V,W) jugaruang vektor terhadap field F .

    Bukti. Dari Lemma 2.3.10 diketahui bahwa L(V,W) tertutup. Tinggal membuktikansisa sarat dari ruang vektor.

    Definisi 2.3.12 Jika U,V dan W ruang vektor terhadap field F , dan T : U V danS : V W adalah pemetaan, maka ST : U W adalah pemetaan komposit yangdidefinisikan oleh (ST )x = S(Tx), untuk semua x U.

    Teorema 2.3.13 jika T L(U,V) dan S L(V,W) maka ST L(U,W).

    2.4 Ruang vektor Isomorpis

    Dalam R3, suatu bidang yang melalui titik asal mempunyai karakter yang sangat miripdengan R2. Misalnya, bidang xy {(x, y, 0) : x, y R mempunyai elemen yang samadengan elemen di R2 kecuali tambahan komponen 0. Inti persoalannyanya adalahruang vektor yang sama dapat dipresentasikan dengan cara yang berbeda.

    Definisi 2.4.1 Ruang vektor V disebut isomorpis terhadap ruang vektor W jika ter-dapat pemetaan linier bijektif T : V W. Pemetaan tersebut disebut isomorpis Vonto W, ditulis V = W.

    Contoh 2.4.2 Misalkan V = R2 dan misalkan W subruang linier dari R3 yang memuatsemua vektor (x1, x2, 0)). Maka V = W; suatu isomorpis spesifik T : V W adalahT (x1, x2) = (x1, x2, 0) (atau bentuk lain T (x1, x2) = (x2, x1, 0)). Jelas terlihat bahwapemetaan tersebut linier dan bijektif.

    14

  • Contoh 2.4.3 Misalkan n bilangan bulat positif, V = Rn+1 dan W = Pn ruang vektordari polinomial berderjat n (lihat Contoh 1.2.5). Pemetaan T : VW didefinisikanoleh (a0, a1, . . . , an) a0+a1t+. . .+antn adalah linier dan bijektif, jadi V = W. [Linierdan surjektif terlihat jelas. Jika a0+a1t+ . . .+ant

    n adalah polinomial nol, maka semuakoefesiennya haruslah nol, sehingga kernelnya juga nol, yang berarti injektif (Teorema2.2.9)].

    Contoh 2.4.4 Misalkan T = {1, 2, . . . , n} dan misalkan V = F (T,R) ruang vektordari semua fungsi x : T R, dengan operasi linier pointwise (Contoh 1.2.4). MakaV = Rn via linier bijektif x (x(1), x(2), . . . , x(n)).

    Contoh 2.4.5 Lapangan C bilangan kompleks dapat dianggap ruang vektor terhadapR: dengan operasi penjumlahan (sebagaimana biasanya) dan perkalian dengan skalarriel. Maka R2 = C via linier bijectif (a, b) a+ bi.

    Invers pemetaan linier bijektif otomatis linier.

    Teorema 2.4.6 Misalkan V dan W ruang vektor terhadap F , T : V W adalahpemetaan linier bijektif. Maka pemetaan invers T1 : W v juga linier.Bukti. Misalkan y dan y W dan c F . Persoalannya adalah menunjukkan bahwaT1(y + y) = T1y + T1y dan T1(cy = c(T1y). Untuk membuktikan bahwau,v V adalah sama, cukup dengan menunjukkan bahwa Tu = Tv. Gunakan ide iniuntuk vektor u = T1(y + y) dan v = T1y + T1y;

    Tu = TT1(y + y) = y + y,

    sementaraTv = T (T1y + T1y) = T (T1y) + T (T1y)

    Gunakan teknis yang sama untuk pasangan yang sama u = T1(cy) dan v = c(T1y).Teorema 2.4.6 menyatakan bahwa relasi isomorpis adalah simetris: jika V = W

    maka W = V.

    Teorema 2.4.7 Misalkan U,V,W ruang vektor terhadap field yang sama. Maka

    1. V = V;2. jika V = W maka W = V;3. jika U = V dan V = W, maka U = W

    Ketiga sifat isomorpis diatas disebut refleksi, simetri dan transitif.

    15

  • 2.5 Relasi ekivalensi dan quotient sets

    Konsep dasar yang diperkenalkan sejauh ini adalah ruang vektor, subruang linier danpemetaan linier.

    Teorema 2.5.1 Misalkan f : A B sebarang fungsi. Untuk x, y A, ditulis x yjika dan hanya jika f(x) = f(y). Maka

    1. x x untuk semua x A;2. Jika x y maka y x;3. Jika x y dan y z, maka x z.

    Contoh 2.5.2 Misalkan n bilangan bulat positif. Untuk bilangan bulat x, y Z, ny-atakan x y untuk x y adalah kelipatan dari n. Sebagai contoh, jika n = 6 maka5 23 karena 5 23 = 18 = (3)6. Jadi, x y berarti x y = kn untuk k Z;ditulis Zn = {kn : k Z} untuk himpunan semua kelipatan n.

    x y x y Zn.

    Sifat 1-3 mudah dibuktikan; sebagai contoh, sifat 3 dibuktikan dengan menyatakanbahwa jika x y = kn dan y z = jn, maka penjumlahan keduanya menghasilkanx z = (k + j)n. Dalam contoh ini relasi x y dinotasikan menjadi

    x y(mod n),

    dibaca x kongruen terhadap y modulo n.

    Definisi 2.5.3 Misalkan X himpunan tidak kosong. Andaikan setiap pasangan (x, y)dari elemen X diberikan pernyataan S(x, y) tentang x dan y. Tulis x y jika perny-ataan S(x, y) benar. Maka dikatakan bahwa adalah relasi ekivalensi dalam X jikatiga syarat berikut terpenuhi:

    1. x x untuk semua x X (reflektivitas);2. Jika x y maka y x (simetris);3. Jika x y dan y z, maka x z (transitivitas).

    x y dibaca x ekivalen terhadap y.

    Teorema 2.5.4 Misalkan V ruang vektor, M subruang linier dari V. Untuk x,y V,tulis x y jika x y M . Maka adalah sebuah relasi ekivalensi dalam V.

    Bukti.

    16

  • Definisi 2.5.5 Jika sebuah relasi ekivalensi dalam himpunan X dan jika x X,himpunan semua elemen dari X yang ekivalen dengan x dinotasikan [x] dan disebutkelas ekivalensi dari x; jadi

    [x] = {y X : y x}.

    Contoh 2.5.6 Dengan f : A B dan sebagaimana dalam Teorema 2.5.1, [x] =f1({f(x)}); jadi [x] adalah himpunan semua titik di A dimana f mempunyai nilaiyang sama nilai x.{Bukti. Jika y A maka y [x] y x f(y) = f(x) f(y) {f(x)} y

    f1({f(x)}).}

    Contoh 2.5.7 Dengan V,M dan sebagaimana dalam Teorema 2.5.4, [x] = {x+ z :z M}.{ Bukti. Untuk y V, y x y x M y x = z untuk beberapa z M . }

    Definisi 2.5.8 Dengan notasi seperti dalam Contoh 2.5.7, himpunan {x+ z : z M}ditulis x+M dan disebut coset dari x modulo M .

    x + M ini dapat diartikan sebagai translasi M dengan menambahkan x kesetiap ele-mennya.

    Contoh 2.5.9 Seperti dalam Contoh 2.2.6, misalkan f : R3 R bentuk linier yangdidefinisikan oleh

    f(x) = 2x1 3x2 + x3untuk semua x = (x1, x2, x3) R3. Misalkan M kernel dari f

    Figure 2.1: Bidang M dan [u] = u +M = {u R3 : 2x1 3x2 + x3 = 11}

    17

  • Ker(f) = M = f1({0}) = {x R3 : 2x1 3x2 + x3 = 0};

    jadi, M adalah bidang yang melewati titik asal. Range dari f adalah R. Im f =f(R3) = R. Untuk setiap c R,

    f1({c}) = {x R3 : 2x1 3x2 + x3 = c};

    ini adalah bidang yang sama dengan M (jika c = 0) atau sejajar dengan M (jikac 6= 0).

    Untuk x,y R3, f(x) = f(y) x y M . Jika u R3, kelas ekivalensi dari udiberikan oleh

    [u] = u +M = f1({f(u)}) = {x R3 : 2x1 3x2 + x3 = f(u)},

    jadi kelas ekivalensi adalah himpunan bidang terdiri dari M dan bidang yang sejajardengannya, secara khusus, untuk setiap u R3, [u] = u + M adalah bidang melewatiu sejajar dengan M .

    (Kecuali jika u M , maka [u] = f1({f(u)}) = f1({f(0)}) = M ).Sebagai contoh, jika u = (5, 1, 2) maka f(u) = 11 dan [u] adalah bidang dengan

    persamaan 2x1 3x2 + x3 = 11 (Lihat Figure 2.1).

    Remark 2.5.10 Dalam Contoh 2.5.9, himpunan kelas ekivalensi x + M (x R3)berakibatkan dekomposisi dari R3 menjadi himpunan bidang-bidang yang sejajar, setiaptitik dari R3 terletak persis di salah satu bidang tersebut.

    Definisi 2.5.11 Misalkan X himpunan tidak kosong. Suatu partisi dari X adalahhimpunan A subset dari X sedmikian hingga

    1. setiap A A tidak kosong2. Jika A,B A dan A 6= B, maka A B = 3. untuk setiap x X, terdapat A A dengan x A.

    Teorema 2.5.12 Jika suatu relasi ekivalensi dalam himpunan X, maka himpunankelas ekivalensi untuk adalah partisi dari X.

    Bukti. Misalkan A = {[x] : x X}, dimana [x] adalah kelas ekivalensi dari x. Akandibuktikan bahwa A mememenuhi syarat 1 - 3 dalam Definisi 2.5.11.

    Pertama, sifat reflektif (x x menunjukkan bahwa x [x] A, ini bukti dari 1dan 3. Untuk bukti 2., andaikan z [x] [y];, akan ditunjukkan [x] = [y] denganmenunjukkan [x] [y] dan [y] [x].

    Asumsikan t [x], maka t x, selanjutnya diketahui x y, akibatnya t y, yaitut [y].

    Akibat 2.5.13 Dengan notasi seperti dalam teorema diatas,

    18

  • 1. x y [x] = [y]2. untuk sebarang x, y dalam X, salah satu dari [x] = [y] atau [x] [y] =

    Bukti. (2). Jika [x] [y] = maka oleh teorema [x] = [y]. (1) Selanjutnya jika x ymaka x berada dalam [y] dan [x], maka [x] = [y] oleh (2). Sebaliknya jika [x] = [y]maka x [x] = [y], jadi x y.

    Akibat 2.5.14 Jika V ruang vektor dan M adalah linear subspace dari V, maka

    1. x y M x+ M = y + M;2. untuk sebarang x, y dalam V, (x+ M) = (y + M) atau (x+ M) (y + M) =

    Definisi 2.5.15 Jika X adalah suatu himpunan dan adalah relasi ekivalensi dalamX, himpunan semua kelas ekivalensi disebut quotient set dari X untuk relasi dandinotasikan X/ . Jadi

    X/ = {[x] : x X}.

    Pernyataan [x] X bisa ditulis menjadi [x] P(X), dimana P(X) adalah powerset 1 dari X. Jadi X/ adalah subset dari P(X), yaitu X/ P(X)

    Contoh 2.5.16 Jika V ruang vektor, M adalah linear subspace dari V, x y berartix y M (Teorema 2.5.4), maka V/ diganti dengan notasi V/M. Jadi

    V/M = {x+ M : x V}

    adalah himpunan semua coset dari V modulo M (Definisi 2.5.8).

    Definisi 2.5.17 Jika adalah relasi ekivalensi dalam himpunan X, terdapat pemetaannutural q : X X/ , memetakan setiap x X ke kelas ekivalensi [x]:

    q(x) = [x] untuk semua x X.

    Karena X/ adalah himpunan semua kelas [x], jelas bahwa q adalah surjektif, dandisebut quotient mapping dari X onto X/ .

    2.6 Quotient vector spaces

    Jika T : V W pemetaan linier, maka kernel dari T adalah linear subspace dari V(Akibat 2.2.2). Sebaliknya, setiap linear subspace dari V adalah kernel dari pemetaanlinier di V.

    1Appendix A.2.7.

    19

  • Teorema 2.6.1 Misalkan V ruang vektor, M linear subspace dari V,

    V/M = {x +M : x V

    himpunan semua koset modulo M (Contoh 2.5.16), Q : V V/M pemetaan quotient(Definisi 2.5.17),

    Qx = x +M, (x V).Maka V/M dapat dibuat menjadi ruang vektor sedemikian hingga Q menjadi pemetaanlinier dengan kernel M ; secara eksplisit, penjumlahan dan perkalian skalar di V/Mdidefinisikan oleh formula

    1. (x +M) + (y +M) = x + y +M.

    2. c(x +M) = cx +M .

    Bukti.

    Definisi 2.6.2 Dengan menggunakan notasi dalam Teorema 2.6.1 V/M disebut ruangvektor quotient dari V modulo linier subspace M .

    20

  • Bab 3

    Struktur Ruang Vektor

    Ruang vektor yang sering dibahas adalah ruang vektor yang finitely generated dalamartian sebagai berikut: terdapat sejumlah vektor x1, . . . ,xr sedemikian hingga setiapvektor dalam ruang vektor tersebut adalah kombinasi linier dari xi. Dalam bab iniruang vektor V terhadap field F yang demikian adalah salah satu ruang stadar Fn(Definisi 1.1.1); persisnya V = Fn, untuk n tertentu.

    Jika V = Fn, maka n disebut dimensi dari V. Jika T adalah pemetaan linierterdefinisi pada ruang vektor V, dimensi dari kernel disebut nullity dari T , dimensidari range disebut rank dari T .

    3.1 Linear subspace generated by a subset

    Definisi 3.1.1 Misalkan V ruang vektor, dan A suatu himpunan tak kosong dalamV. Linear span dari A adalah himpunan semua vektor yang diekspresikan sebagaikombinasi linier dari vektor didalam A, dan dinotasikan dengan [A].

    Jadi x [A] jika dan hanya jika x = c1x1 + . . .+ cnxn untuk vektor x1, . . . ,xn Adan skalar c1, . . . , cn.

    Sebagai contoh, jika V ruang vektor, P fungsi polinomial (lihat Contoh 1.2.5) danA = {1, t, t2}, maka [A] adalah himpunan semua fungsi polinomial berderjat palingtinggi 2. Jika V = Fn dan A = {e1, . . . , en} (lihat Contoh 1.2.5), maka [A] = V.Kedua contoh ini adalah linear subspace dari V.

    Teorema 3.1.2 Misalkan V ruang vektor, dan A suatu himpunan bagian tak kosongdari V, [A] linear span dari A. Maka:

    1. [A] linear subspace dari V;

    2. A [A];3. Jika M linear subspace dari V sedemikian hingga A M maka [A] M.Jadi [A] adalah linear subspace terkecil dari V yang memuat A.

    21

  • Bukti.

    (2) Jika x A maka x = 1x [A]. (1) Ambil z A (dengan asumsi A tidak kosong); maka = 0z [A].

    Dengan asumsi x,y dalam [A] dan c adalah skalar, harus ditunjukkan bahwax + y dan cx adal dalam [A]. Misalkan

    x = a1x1 + + amxm, y = b1y1 + + bnyn,

    dimana ai, bj skalar dan xi,yj elemen dari A. Maka x + y adalah kombinasilinier dari x1, . . . ,xm,y1, . . . ,yn dari A, dengan koefesien a1, . . . , am, b1, . . . , bnjadi x + y [A]. Juga cx = (ca1)x1 + . . .+ (cam)xm [A]. (3) Misalkan M linear subspace dari V yang memuat A. Karena M itu sendiri

    adalah ruang vektor (Teorema 1.5.2), karena A M maka dengan sendirinya[A] M .

    Remark 3.1.3 Dengan konvensi bahwa [] = {}, Teorema 3.1.2 masih benar bilakata tidak kosong dihilangkan dalam pernyataannya.

    Remark 3.1.4 Menurut Teorema 3.1.2, [A] juga disebut linear subspace dari V yangdibangun oleh A dan A disebut generating set (himpunan pembangun) dari [A]. Jika[A] = V, dikatakan bahwa A adalah membangun (generating) untuk V.

    Akibat 3.1.5 Jika x1, . . . ,xn adalah vektor dalam V (tidak harus berbeda) dan jikaA = {x1, . . . ,xn}, maka [A] adalah himpunan semua kombinasi linier dari x1, . . . ,xn.

    Bukti.

    Teorema 3.1.6 Jika T : VW adalah pemetaan linier dan A himpunan bagian dariV, maka [T (A)] = T ([A]).

    Bukti.

    Akibat 3.1.7 Jika T : V W adalah pemetaan linier surjektif dan A generating setuntuk V, maka T (A) membangun untuk W.

    Bukti.

    22

  • 3.2 Linear dependence

    Misalkan V ruang vektor yang memuat x1, . . . ,xn. Apakah ada skalar c1, . . . , cn sedemikianhingga c1x1 + . . .+ cnxn = ? Jawabannya ada, yaitu c1 = . . . = cn = 0.

    Sebaliknya; adakah skalar c1, . . . , cn yang tidak semuanya nol, sedemikian hinggac1x1 + . . .+ cnxn = ? Sekarang jawabannya tergantung pada vektor tersebut. Sebagaicontoh, andaikan vektor x1 dengan panjang 1; jika x1 = maka jawabannya ada yaituc1 = 1. Jika x1 6= jawabannya tidak ada, karena c1x1 = mengharuskan c1 = 0(lihat Teorema 1.3.6)

    Definisi 3.2.1 Misalkan V ruang vektor. Sekumpulan vektor x1, . . . ,xn dalam V dise-but bergantung linier (linearly dependent) jika terdapat skalar c1, . . . , cn sedemikianhingga c1x1+. . .+cnxn = dan sehingga paling tidak satu diantara koefesien ci tersebuttidak nol. Persamaan demikian disebut suatu relasi dependensi (dependence relation)diantara xi. Secara konsep dikatakan vektor x1, . . . ,xn bergantung linier.

    Contoh 3.2.2 Vektor x1 adalah bergantung linier jika dan hanya jika x1 = .

    Contoh 3.2.3 Vektor x1,x2 bergantung linier jika dan hanya jika salah satu vektorkelipatan dari vektor yang lainnya. (Bukti. Jika, sebagai contoh, x2 = cx1, makacx1 + (1)x2 = menunjukkan bahwa x1,x2 bergantung linier. Sebaliknya jika c1x1 +c2x2 = dan c1 6= 0, maka x1 = (c2/c1)x2 )

    Teorema 3.2.4 Misalkan V ruang vektor terhadap field F , misalkan x1, . . . ,xn vektordalam V. Dan misalkan T : Fn V pemetaan linier didefinisikan oleh T (a1, . . . , an) =a1x1 + . . .+ anxn (Teorema 2.1.3). Kondisi berikut ekivalen

    1. x1, . . . ,xn bergantung linier.

    2. T bukan injektif.

    Bukti. Syarat (2) berarti bahwa kernel dari T bukan {} (Teorema 2.2.9) yaitu ter-dapat vektor tak nol (c1, . . . , cn) dalam Fn sedemikian hingga c1x1 + . . . + cnxn = ,ini juga makna dari syarat (1), jadi (1) (2).

    Teorema 3.2.5 Misalkan V ruang vektor yang memuat x1, . . . ,xn dengan n 2.Syarat-syarat berikut ekivalen

    1. x1, . . . ,xn bergantung linier.

    2. Beberapa xj adalah kombinasi linier dari xi untuk i 6= j.

    Bukti.

    2 1: Andaikan xj = i 6=j cixi. Misalkan cj = 1; maka ni=1 cixi = dengancj 6= 0.

    23

  • 1 2: Andaikan c1x1+ . . .+cnxn = mempunyai relasi dependence, katakanlahdengan cj 6= 0. Maka cjxj = i 6=j cixi, karena itu xj = i 6=j cicj xi.

    Akibat 3.2.6 Jika vektor x1, . . . ,xn tidak berbeda, maka vektor-vektor tersebut bergan-tung linier.

    Bukti.

    Teorema 3.2.7 Syarat-syarat berikut untuk vektor-vektor x1, . . . ,xn adalah ekuivalen:

    1. x1, . . . ,xn bergantung linier

    2. x1 = atau terdapat suatu indeks j > i sedemikian hingga xj adalah kombinasilinier dari x1, . . . ,xj1

    Bukti.

    3.3 Linear independence

    Definisi 3.3.1 Sekumpulan vektor x1, . . . ,xn disebut bebas linier (linearly indepen-dent) bila ianya tidak bergantung linier. Dengan kata lain skalar c1, . . . , cn yang memenuhic1x1 + . . .+ cnxn = adalah hanya c1 = . . . = cn = 0

    Secara khusus, x1 bebas linier jika dan hanya jika x1 6= (Contoh 3.2.2); x1,x2bebas linier jika dan hanya jika salah satunya bukan kelipatan yang lain (Contoh 3.2.3).Jika vektor x1, . . . ,xn bebas linier, maka vektor-vektor tersebut berbeda (lihat Akibat3.2.6).

    Teorema 3.3.2 Misalkan V ruang vektor terhadap field F , misalkan x1, . . . ,xn se-jumlah vektor dalam V, dan misalkan T : Fn V pemetaan linier didefinisikan olehT (a1, . . . , an) = a1x1 + . . .+ anxn (lihat Teorema 2.1.3). Syarat berikut ekuivalen;

    1. x1, . . . ,xn bebas linier

    2. T injektif

    3. c1x1 + . . .+ cnxn = c1 = . . . = cn = 0

    Bukti.

    Contoh 3.3.3 Vektor e1, . . . , en dari Fn seperti digambarkan dalam Contoh 1.4.3adalah bebas linier karena c1e1 + . . .+ cnen = (c1, . . . , cn).

    Teorema 3.3.4 Misalkan V ruang vektor yang memuat x1, . . . ,xn dengan n 2.Syarat-syarat berikut ekivalen

    24

  • 1. x1, . . . ,xn bebas linier.

    2. Tidak ada xj yang merupakan kombinasi linier dari xi untuk i 6= j.Bukti.

    Teorema 3.3.5 Syarat-syarat berikut untuk vektor-vektor x1, . . . ,xn adalah ekuivalen:

    1. x1, . . . ,xn bebas linier

    2. x1 6= dan untuk setiap indeks j > i,xj bukan kombinasi linier dari x1, . . . ,xj1Bukti.

    Akibat 3.3.6 Jika vektor-vektor x1, . . . ,xn bebas linier, maka vektor-vektor tersebuttidak nol.

    Bukti.

    Teorema 3.3.7 Jika T : V W pemetaan linier injektif dan jika x1, . . . ,xn vektorbebas linier di V, maka Tx1, . . . , Txn bebas linier di W

    Bukti. Dengan asumsi c1(Tx1)+. . .+cn(Txn) = , akan ditunjukkan ci semuanya nol.Karena sifat linieritas T (c1x1 + . . .+ cnxn) = ; karena T injektif, c1x1 + . . .+ cnxn = (Teorema 2.2.9), karena vektor bebas linier maka c1 = . . . = cn = 0

    Teorema 3.3.8 Misalkan V ruang vektor yang memuat x1, . . . ,xn. Misalkan 1 r