alja barlini er

Download Alja Barlini Er

Post on 21-Jan-2016

44 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • HAND OUT KULIAH

    ALJABAR LINIER(Terjemahan: Linear Algebra, by Sterling K.Berberian)

    OLEH

    SYAMSUDHUHA

    PRODI PASCA SARJANA MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS RIAUPEKANBARU

    2013

  • DAFTAR ISI

    DAFTAR ISI ii

    1 Ruang Vektor 11.1 Rn dan Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ruang vektor: beberapa aksioma dan contoh . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Ruang vektor: Konsekwensi pertama dari aksioma . . . . . . . . . . . . 41.4 Kombinasi linier dari vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Subruang linier (Linear subspace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Pemetaan Linier 82.1 Pemetaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Pemetaan Linier dan Subruang linier: Kernel dan Range . . . . . . . . 102.3 Ruang dari pemetaan linier: L(V,W) dan L(V) . . . . . . . . . . . . . 132.4 Ruang vektor Isomorpis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Relasi ekivalensi dan quotient sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Quotient vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3 Struktur Ruang Vektor 213.1 Linear subspace generated by a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Linear dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Linear independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Finitely generated vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Rank + nullity = dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    ii

  • Bab 1

    Ruang Vektor

    1.1 Rn dan Cn

    Rn dan Cn adalah contoh ruang vektor yang sangat penting (secara formal akan didefin-isikan pada sessi berikutnya).

    Definisi 1.1.1 Misalkan Rn, n bilangan bulat, adalah himpunan semua npasanganberurutan [x1, x2, . . . , xn] dari bilangan riel.

    Sebagai contoh [3, 12,

    2, pi] adalah elemen dari R4.Elemen dari Rn disebut vektor dan elemen dari R disebut skalar.Vektor [x1, x2, . . . , xn] dan [y1, y2, . . . , yn] disebut sama jika xi = yi, i = 1, 2, . . . , n,

    ditulis [x1, x2, . . . , xn] = [y1, y2, . . . , yn]. Jika x = [x1, x2, . . . , xn] maka xi disebut kom-ponen ke-i dari vektor x. Jadi dua vektor dikatan sama bila masing-masing kompo-nennya sama.

    Jika x = [x1, x2, . . . , xn] dan y = [y1, y2, . . . , yn] jumlah dari x dan y ditulis x + yadalah vektor dengan definisi

    x + y = [x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn]

    dan jika c adalah skalar, maka perkalian c dengan x, ditulis cx adalah

    cx = [cx1, cx2, . . . , cxn].

    Definisi 1.1.2 Elemen dari Fn yang semua komponennya nol dinotasikan dan dise-but vektor nol; jadi = [0, . . . , 0]. Jika x = [x1, x2, . . . , xn] sebarang vektor, vektor[x1,x2, . . . ,xn] disebut negatif dari x dinotasikan dengan x.

    Teorema 1.1.3 Misalkan F adalah field (R atau C), misalkan n bilangan bulat, danFn seperti pada Definisi 1.1.1.

    1. Jika x,y Fn maka x + y Fn. (Tertutup terhadap penjumlahan)2. Jika c F dan x Fn maka cx Fn. (Tertutup terhadap perkalian skalar).

    1

  • 3. x + y = y + x untuk semua x,yFn (komutatif terhadap penjumlahan).4. (x + y) + z = x + (y + z) untuk semua x,y, z Fn (asosiatif terhadap penjum-

    lahan).

    5. x + = x = + x untuk setiap vektor x (elemen netral terhadap penjumlahan)

    6. x + (x) = = (x) + x untuk setiap x.7. c(x + y) = cx + cy dan (c + d)x = cx + dx untuk semua x,y dan semua skalar

    c, d (distribusi terhadap perkalian skalar)

    8. (cd)x = c(dx) untuk semua skalar c, d dan semua vektor x (asosiatif terhadapperkalian skalar).

    9. 1x = x untuk setiap x (elemen netral terhadap perkalian skalar).

    Bukti.

    1.2 Ruang vektor: beberapa aksioma dan contoh

    Sifat-sifat Fn dalam Teorema 1.1.3 tidak dipilih secara random, melainkan apa yangdikenal dengan istilah ruang vektor, sebagaimana definisi berikut.

    Definisi 1.2.1 Misalkan F adalah field (R atau C). Suatu ruang vektor terhadapF adalah himpunan V yang dilengkapi dengan dua operasi yaitu penjumlahan danperkalian skalar dan memenuhi sifat-sifat berikut

    1. Jika x,y V maka x + y V. (Tertutup terhadap penjumlahan)2. Jika c F dan x V maka cx V. (Tertutup terhadap perkalian skalar).3. x + y = y + x untuk semua x,yV (komutatif terhadap penjumlahan).

    4. (x+y)+z = x+(y+z) untuk semua x,y, z V (asosiatif terhadap penjumlahan).5. Terdapat vektor V sedemikian hingga x + = x = + x untuk semua x V

    (elemen netral terhadap penjumlahan)

    6. Untuk setiap x V terdapat vektor x V sedemikian hingga x + (x) = =(x) + x (eksisitensi negatif).

    7. c(x + y) = cx + cy dan (c + d)x = cx + dx untuk semua x,y dan semua skalarc, d (distribusi terhadap perkalian skalar)

    8. (cd)x = c(dx) untuk semua skalar c, d dan semua vektor x (asosiatif terhadapperkalian skalar).

    2

  • 9. 1x = x untuk setiap x (elemen netral terhadap perkalian skalar).

    Definisi diatas memuat istilah untuk semua, terdapat, sedemikian hingga,jika ... maka, yang lebih efisien menggunaan simbol ,,3, sehingga dapat ditulisdalam cara lain

    1. x,y V x + y V.2. c F ,x V cx V.3. x + y = y + x, ( x,y V).4. (x + y) + z = x + (y + z), ( x,y, z V).5. V 3 x + = x = + x, ( x V).6. x V x V 3 x + (x) = = (x) + x.7. c(x + y) = cx + cy, (c+ d)x = cx + dx ( x,y V dan c, d F).8. (cd)x = c(dx) ( c, d F dan x V).9. 1x = x ( x V).

    Definisi 1.2.2 Bila dalam Definisi 1.2.1 F = R maka disebut ruang vektor riel;bila F = C maka disebut ruang vektor kompleksContoh 1.2.3 Untuk setiap bilangan bulat positif n, Rn adalah ruang vektor riel danCn adalah ruang vektor kompleks. (Teorema 1.1.3.)

    Contoh 1.2.4 Misalkan F field, T himpunan tidak kosong dan V himpunan semuafungsi x : T F . Untuk setiap x,y V, x = y bemakna x(t) = y(t) untuk semuat T . Jika x,y V dan c F , fungsi x + y dan cx didefinisikan dengan formula

    (x + y)(t) = x(t) + y(t), (cx)(t) = cx(t)

    untuk semua t T . Misalkan fungsi yang didefinisikan oleh (t) = 0 untuk semuat T dan untuk x V, misalkan x fungsi yang didefinisikan oleh (x)(t) = x(t)untuk semua t T , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa V adalah ruang vektorterhadap F , ditulis F (T,F) dan disebut fungsi bernilai F pada T .Contoh 1.2.5 Misalkan F = R atau C. Jika p adalah polinomial dengan koefesiendalam F , maka p adalah fungsi di F didefinisikan

    p = a0 + a1t+ a2t2 + + antn

    dimana a0, . . . , an F dan t sesuatu yang tidak ditentukan, didefinisikan fungsi p :F F dengan formula

    p(c) = a0 + a1c+ a2c2 + + ancn

    3

  • untuk semua c F . Misalkan P himpunan semua polinomial yang demikian. Jikadalam ruang vektor V = F (T,F) dari Contoh 1.2.4, ambil T = F , maka P V.Selanjutnya karena jumlah dari dua polinomial adalah polinomial dan perkalian skalardengan polinomial adalah polinomial, terlihat bahwa P juga ruang vektor terhadap F .

    Contoh 1.2.6 Misalkan V1,V2, . . . ,Vn ruang vektor terhadap F dan misalkan V =V1. . .Vn adalah cartesian product nya, yaitu himpunan semua nsusunan (x1, . . . ,xn)dengan xi Vi, untuk i = 1, . . . , n. Tulis (x1, . . . ,xn) = (y1, . . . ,yn) jika (xi = yi)untuk semua i. Untuk x = (x1, . . . ,xn), y = (y1, . . . ,yn) dalam V dan untuk c F ,definisikan

    x + y = (x1 + y1, . . . ,xn + yn), cx = (cx1, . . . , cxn).

    Definisi 1.2.7 Dengan notasi seperti pada Contoh 1.2.6, V disebut ruang vektorproduct (atau direct sum) dari ruang vektor V1, . . . ,Vn. Untuk n = 2 secara seder-hana ditulis V = V1 V2; untuk n = 3, V = V1 V2 V3.

    1.3 Ruang vektor: Konsekwensi pertama dari ak-

    sioma

    Kesimpulan pertama dari aksioma dalam Definisi 1.2.1 berhubungan dengan hal ke-tunggalan (uniqueness) dari vekter tertentu yang dinyatakan dalam aksioma tersebut.

    Teorema 1.3.1 Misalkan V ruang vektor terhadap field F , dengan notasi sepertidalam Definisi 1.2.1.

    1. Jika adalah vektor sedemikian hingga + x = x, maka = , jadi dalam1.2.1 adalah tunggal.

    2. Jika x + y = , haruslah y = x, jadi vektor x pada postulat (6) dalam 1.2.1ditentukan oleh x secara tunggal.

    3. + = , dan jika z adalah vektor sedemikian hingga z + z = z, haruslah z = .

    Bukti.

    Akibat 1.3.2 Untuk setiap vektor x, (x) = x.

    Bukti.

    Akibat 1.3.3 Untuk setiap vektor x, 0x = , untuk setiap skalar c, c = .

    Bukti.

    Akibat 1.3.4 Untuk setiap vektor x dan setiap skalar c, c(x) = cx = (c)x.

    4

  • Bukti.

    Akibat 1.3.5 Untuk setiap vektor x, (1)x = x.

    Bukti.

    Teorema 1.3.6 (tidak ada pembagi ) Misalkan V ruang vektor, c skalar, x V.Maka cx = jika dan hanya jika c = 0 atau x = .

    Bukti. Akan ditunjukkan bahwa

    cx = c = 0 atau x =

    (implikasi adalah pernyataa hanya jika, dan adalah pernyataan jika).Hanya jika: andaikan cx = . Jika c = 0 maka terbukti. Asumsikan c 6= 0 akan

    dibuktikan x = . Misalkan d = c1 maka d(xx) = d = oleh 1.3.3, yaitu (dc)x = ,tetapi dc = 1 dan 1x = x, jadi x = .

    Jika. Ini sesuai dengan Akibat 1.3.3.

    Akibat 1.3.7 Misalkan x,y vektor, dan c, d skalar.

    1. Jika cx = cy dan c 6= 0, maka x = y.2. Jika cx = dx dan x 6= , maka c = d.

    Bukti.

    Definisi 1.3.8 Untuk vektor x dan y, vektor x + (y) dinotasikan oleh x y.

    1.4 Kombinasi linier dari vektor

    Definisi 1.4.1 Misalkan V ruang vektor (Definisi 1.2.1). Suatu vektor x V disebutkombinasi linier dari vektor-vektor x1, . . . ,xn dalam V jika terdapat skalar c1, . . . , cnsedemikian hingga

    x = c1x1 + + cnxn.Skalar ci disebut koefesien dari xi dalam kombinasi linier.

    Contoh 1.4.2 Setiap polinomial

    a0 + a1t+ a2t2 + . . .+ ant

    n

    adalah jumlah monomial aiti. Jad