algoritma golden section search untuk mencari solusi...

6/15/2015

1

Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala

Dhimas Satria Teknik Mesin

UNTIRTA

PENDAHULUAN

Secara umum masalah pemrograman nonlinear dapat dinyatakan sebagai berikut:

Tentukan nilai variabel keputusan untuk permasalahan

max (atau min) dengan kendala

di mana f dan g adalah fungsi nonlinear

nxxxfz ,...,, 21

nxxx ,...,, 21

1211 ,,,...,, bxxxg n

2212 ,,,...,, bxxxg n

mnm bxxxg ,,,...,, 21

PENDAHULUAN

Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu peubah :

max (atau min)

1.Tentukan semua maksimum (minimum) lokal

2.Tentukan nilai f(x) untuk semua maksimum (minimum) lokal.

3.Nilai f(x) terbesar (terkecil) merupakan solusi optimal

xf

bax ,

Mencari Ekstremum (Maksimum atau Minimum) Lokal Terdapat tiga kasus di mana calon titik

optimal dapat ditemukan, yaitu

1. Titik x* yang terletak pada [a,b] bila f’(x*) = 0

2. Titik x* ketika f’(x*) tidak didefinisikan.

3. Titik batas a dan b.

• Masalah akan muncul bila f’(x*) = 0 sulit dievaluasi

Algoritma Golden Section Search (kasus maksimisasi)

Syarat : f(x) harus bersifat unimodal pada [a,b], artinya jika x* adalah titik optimal pada [a,b] maka

• f(x) adalah fungsi monoton naik pada interval [a,x*]

• f(x) adalah fungsi monoton turun pada interval [x*,b]

Algoritma Golden Section Search

Konsep Dasar :

Penyempitan selang

a x1 x3 x* x4 x2 b

6/15/2015

2


Panduan mempersempit selang

• Jika ,persempit selang menjadi

• Jika ,persempit selang menjadi [ ]

• Jika ,persempit selang menjadi [ ]

Selang [ ] atau di mana x* mungkin berada dinamakan selang ketidakpastian (SK)

)()( 21 xfxf

],[ 1 bx)()( 21 xfxf

2, xa

)()( 21 xfxf

2, xa

2, xa ],[ 1 bx

Algoritma Golden Section Search Algoritma : 1. Tetapkan = Interval (selang ketidakpastian) pada iterasi k.

selang ketidakpastian untuk iterasi 0 adalah [a,b]. Kemudian evaluasi dan di mana :

Dengan = panjang selang ketidakpastian pada iterasi

k. Untuk iterasi 0 , = |a – b|. r adalah akar dari persamaan atau r = 0.618. a = batas bawah selang ketidakpastian b = batas atas selang ketidakpastian.

kI

)( 1xf )( 2xf

krLbabrbx )(1

krLaabrax )(2

kL

0L12 rr


2. Tentukan Selang Ketidakpastian baru berdasar panduan yang telah dijelaskan sebelumnya.

3. Kembali ke langkah 1 sampai didapat yang cukup kecil

)(1kI

kL


Alasan dipilihnya r yang merupakan akar dari persamaan adalah masalah efisiensi.

Bukti

• Jika , selang dipersempit menjadi

sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari

)( 13 xbrbx )()]([ 2 abrbabrrb

rarbabbabrb ))(1(

2)( xabra )(14 abrxx

12 rr

)()( 21 xfxf

],[ 1 bx


• Jika , selang dipersempit menjadi sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari

)()( 21 xfxf ],[ 2xa

axrxx 223

)]([)( 24 abrraaxrax

))(1()(2 abraabra

)( abrbrarbaba

1x


• keistimewaan lainnya adalah dapat diketahuinya banyak iterasi yang akan dilakukan bila diketahui nilai yang dikehendaki

6/15/2015

3


Iterasi akan berhenti bila

karena nilai ln r adalah negatif maka didapat

0LrabrL kk

k

0LrabrL kk

k

0/ Lr k

0/lnln Lr k

0/lnln Lrk

r

Lk

ln

)/ln( 0

Contoh aplikasi Max

s.t -1 x 3

Iterasi 0

= [-1,3]

= |-1 – 3 | = 4

= 3 – 0.618 (4) = 0.528

= -1 + 0.618(4) = 1.472

xexxf )(

0I0L

01 )( rLbabrbx

02 )( rLaabrax

1675.1528.0)( 528.0

111 eexxf

x

886.2472.1)( 472.1

222 eexxf

x

)()( 21 xfxf = [-1, 1.472] ],[ 2xa1I 1I

Contoh aplikasi

Iterasi 1

= [-1, 1.472]

=| -1 – 1.472 | = 2.472

= 1.472- 0.618(2.472) = -0.0557

= -1 + 0.618(2.472) = 0.5277

1I

1L

11 )( rLbabrbx

12 )( rLaabrax

00152.10557.0)( 0557.0

111 eexxf

x

1673.15277.0)( 5277.0

222 eexxf

x

)()( 21 xfxf 1I ]5277.0,1[],[ 2 xa

Penutup

• Algoritma Golden Section Search dapat digunakan untuk mencari solusi optimal pada Pemrograman Nonlinear Tanpa Kendala dengan Satu Peubah.

• Algoritma ini efisien

TERIMA KASIH

algoritma golden section search untuk mencari solusi...

Documents