alfiani a. tooy (georg cantor)

19
ALFIANI A. TOOY 11 310 715 VII/C Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Manado

Upload: alfiani-tooy

Post on 05-Dec-2014

404 views

Category:

Education


0 download

DESCRIPTION

SEJARAH PENEMU TEORI HIMPUNAN GEOR CANTOR

TRANSCRIPT

Page 1: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

2014

ALFIANI A. TOOY

11 310 715

VII/C

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Manado

Page 2: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur patut dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas penyertaanya

penulis telah menyelesaikan makalah Sejarah Matematika ini dengan pembahasan mengenai

“ GEORG CANTOR”

penulis menyadari bahwa dalam makalah ini masih terdapat kesalahan dan kekurangan

khususnya dalam pengelompokan kalimat, konsep penyusunan makalah, dan juga dalam penyajian

materi. Oleh karena itu kami memohon maaf kepada semua pihak yang membaca makalah ini dan

kiranya dapat memaklumi kekurangan dan keterbatasan penulis. Tentunya penulis sangat

mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun intelektual dan juga demi kesempurnaan

makalah ini.

Dalam kesempatan ini, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang

telah rela meluangkan waktu untuk memberikan dorongan sekaligus dukungan. Akhirnya, penulis

berharap semoga makalah sederhana ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Sekian dan terima kasih

Tondano, September 2014

Alfiani A. Tooy

Page 3: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

2

DAFTAR ISI

BAB I ( PENDAHULUAN ) 3

BAB II ( ISI )

A. Riwayat Singkat Georg Cantor 4

B. Kisah Hidup Georg Cantor 5

C. Kisah tentang penemuan teori 6

D. Pemikiran Cantor tentang Teori Himpunan 6

E. Materi Teori Himpunan 7-16

BAB III ( PENUTUP )

Hikmah yang bisa dipetik dari Georg Cantor 17

DAFTAR PUSTAKA 18

Page 4: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

3

BAB I

PENDAHULUAN

Dahulu alam ini kosong dan manusia bukan merupakan elemen dari alam yang

terdahulu, tetapi sekarang manusia merupakan bagian dari dunia. Sedangkan dunia serta

alam raya merupakan himpunan yang tidak terpisahkan. Dengan adanya teori himpunan ini

kita tidak akan salah menempatkan suatu objek ke dalam himpunan. Teori himpunan sendiri

tidak hanya bermanfaat di bidang matematika, namun di bidang-bidang yang lain seperti

bidang biologi tentang klasifikasi makhluk hidup. Dalam bidang ekonomi pun teori

himpunan sangat bermanfaat dalam permintaan dan penawaran. Sebenarnya secara tidak

langsung dalam kehidupan sehari-hari kita selalu menggunakan konsep himpunan seperti

himpunan buku, motor, binatang, dan lain-lain. Konsep himpunan merupakan suatu konsep

yang amat penting dan juga amat mendasar bagi seluruh matematika. Namun banyak

diantara kita yang tidak mengetahui siapa pakar yang menemukan teori tersebut.

Sehingga untuk lebih mendalami pengetahuan tentang penemu teori himpunan maka

penulis akan membahas tentang GEORG CANTOR sebagai bapak Teori Himpunan itu

sendiri.

Page 5: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

4

BAB II

ISI

A. Riwayat Singkat

Georg Cantor (1845-1918)

adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi.

Nama Lengkap Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Nama Ayah Georg Waldemar Cantor

Nama Ibu Maria Anna Bohm

Lahir St Petersburg, Russia 3 Maret 1845

Tahun 1856 Pindah Ke Jerman

Tahun 1860 Lulus sekolah dari Darmstadt

Tahun 1860-1862 Belajar di politeknik di Zurich

Than 1862-1863 Belajar di Universitas Zurich

Tahun 1867 Mendapat Gelar Doctor

Tahun 1869 Mengajar Teori Bilangan di Berlin

Tahun 1872 Bertemu Richard Dedekind

Tahun 1873 Mengajarkan TEORI HIMPUNAN

Tahun 1874 Menikah dengan Valley Guttman.

Tahun 1879 Diangkat menjadi guru besar di Helle University

Tahun 1918 ( Wafat ) Halle, Jerman 6 Januari

Page 6: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

5

B. Kisah Hidup Georg Cantor

Ayah Georg Cantor adalah saudagar kaya-raya dari agama Protestan dan ibunya

berasal dari keluarga pemusik dan beragama Katolik. Ayahnya seorang pedagang

yang berhasil, bekerja sebagai agen wholesaling di jalan Petersburg, kelak sebagai

makelar pasar bursa di jalan Petersburg. Georg Waldemar Cantor lahir di Denmark dan

dia seorang pria yang sangat cinta pada budaya dan seni. Ibu Georg, adalah orang

Rusia yang sangat tertarik pada musik. Setelah pendidikan awal di rumah dari guru pribadi,

Cantor bersekolah di sekolah dasar di jalan Petersburg, kemudian pada tahun 1856, ketika

berusia sebelas tahun keluarganya pindah ke Jerman.

Pada mulanya mereka hidup di Wiesbaden, kemudian mereka pindah ke Frankfurt.

Cantor belajar di Darmstadt dan lulus pada tahun 1860, dengan keahlian luar biasa

di bidang matematika, khususnya trigonometri. Setelah dari Darmstadt dia masuk

politeknik di Zurich hingga tahun1862. Pada tahun 1862 Cantor meminta izin sang ayah

untuk belajar matematika di universitas dan dia sangat gembira ketika akhirnya sang ayah

menyetujuinya. Tetapi karena kematian sang ayah pada Bulan Juni 1863 dia mengakhiri

belajarnya di Zurich. Cantor akhirnya pindah ke universitas Berlin dimana

dia berteman dengan Hermann Schwarz. Setelah menerima gelar doktor pada tahun 1867,

Pada tahun 1869 dia menyajikan tesisnya tentang teori bilangan. Cantor mengajar di Berlin

di Universitas Halle sampai akhir hidupnya. Mula-mula ia hanya digaji sebagai dosen tak

tetap. Pada umur 27 tahun (1872) ia diangkat jadi guru besar pembantu. Cantor kawin pada

umur 29 tahun di Interlaken, Swiss, dengan Valley Guttman. Baru pada umur 34 tahun

(1879) ia diangkat jadi guru besar tetap. Meskipun gajinya kecil, ia dapat membangun

rumah untuk istri karena mendapat warisan dari ayahnya.

C. Kisah Tentang Penemuan Teori

Teori himpunan merupakan dasar matematika yang tepat. Sekitar tahun 1867 dan

1871, Cantor menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang

sangat penting terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss.

Cantor bertemu Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara

merekaCantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide

Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional.

Page 7: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

6

Pada tahun 1873 pada umur 28 tahun, Cantor mengumumkan teorinya.Selama 10

tahun ia terus-menerus menyebarluaskan teorinya dalam tulisan- tulisannya. Teori himpunan

dan Konsep Bilangan Transfinit-nya menggemparkan dunia matematika. Tapi penemuannya

itu tidak menguntungkan Cantor. Ia mendapat tantangan hebat dari ahli-ahli matematika

pada waktu itu, terutama dari bekas gurunya, ialah Kronecker. Ia merasa lebih berjasa. Ia

merasa telah bekerja keras. Ia merasa telah menemukan teori matematika yang besar. Ia

mengharapkan penghargaan. Ia menginginkan pengakuan. Tapi apa yang ia terima malah

dampratan, kecaman pedas, dan penghinaan. Ia sama sekali tidak menduga akan mendapat

sambutan semacam itu. Ia sangat terkejut.

Sekitar tahun 1874, Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai

kelahiran teori himpunan. Karya delanjutnya diserahkan oleh Cantor ke jurnal Crelle pada

tahun 1878 tetapi menjadi kontroversi. Kronecker yang berada di redaksi Jurnal Crelle tidak

suka dengan karya Cantor, yang mana membuat Cantor ingin menariknya kembali namun

Dedekind membujuknya untuk tidak menarik karya tersebut dan Weierstrass mendukung

publikasi. Akhirnya karya tersebut diterbitkan, namun karya yang selanjutnya tidak

diserahkan ke Jurnal Crelle.

D. Pemikiran Cantor tentang Teori Himpunan

Georg Cantor memberikan suatu contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis

riil dengan sifat yang tidak wajar yaitu himpunan Cantor. Dalam perkembangannya

himpunan ini sering digunakan sebagai contoh penyangkal (counter example), karena sifat-

sifatnya yang tak wajar tersebut merupakan akibat dari penggabungan teori himpunan,

topologi dan fraktal. Himpunan ini mempunyai sifat-sifat yang unik dan secara topologis

dianggap tak berdimensi. Himpunan Cantor, dikonstruksikan sebagai bentuk di mana selang

terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [ 0,1 ] menyisakan

himpunan yang mungkin serupa dirinya, dan mungkin mempunyai suatu dimensi s yang

memenuhi 0 < s < 1. Dalam usahanya untuk memahami dimensi himpunan Cantor,

matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi

konsep dimensi untuk menyelidiki bahwa dimensi yang ada mungkin nilainya adalah non

integer. Hal ini merupakan bagian dari perkembangan yang bertujuan menciptakan teori

himpunan deskriptif. Dimensi Hausdorff ini diperkenalkan tahun 1918 oleh matematikawan

Felix Hausdorff.

Page 8: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

7

E. Materi Teori Himpunan

Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau

pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya. Perlu adanya

pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan

dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama.

Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu

dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi atau kelas.

Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda

abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek-obyek ini di sebut anggota,

unsur atau elemen dari himpunan tersebut.

Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefinisikan dengan jelas , sehingga kita

dapat membedakan obyek yang menjadi anggota himpunan dan yang bukan menjadi anggota

himpunan.

Contoh :

1. Himpunan bilangan 1, 2, dan 3.

2. Himpunan vokal a, i, e, o, u.

3. Himpunan semua huruf dari abjad, yaitu a, i, u, e, o

4. Himpunan negara-negara asia tenggara.

5. Himpunan penyelesaian persamaan x2

– 2 x – 3 =0

6. Himpunan manusia yang hidup di bumi.

1. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1,

3, 5}.

Page 9: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

8

2. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh

(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau

A = { x | x P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

3. Diagram Venn

Contoh

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 2

53 6

8

4

7A B

4. Himpunan Kosong

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : atau {}

Contoh

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}

{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Page 10: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

9

5. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap

elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn:

U

AB

Contoh

(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.

A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya

(improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.

TEOREMA 1

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A B dan B C, maka A C

Page 11: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

10

A B berbeda dengan A B

A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian

(subset) dari B yang memungkinkan A = B.

6. Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap

elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika

tidak demikian, maka A B.

Notasi : A = B A B dan B .

Contoh

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

7. Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari

kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

8. Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki

elemen yang sama.

Page 12: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

11

Notasi : A // B

Diagram Venn:

U

A B

Contoh

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

9. Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A

sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari

himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.

10. Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Page 13: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

12

Contoh

Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}

Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B

b. Gabungan (union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh

Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

A = A

c. Komplemen (complement)

Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Page 14: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

13

Contoh

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu.

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar

negeri” (E A) (E B) atau E (A B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai

jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D

(iii)“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp

100 juta” BDC

d. Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B

Contoh

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 },

maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

Page 15: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

14

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)

Contoh

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh

Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Soal

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80,

mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di

bawah 80.

(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q

(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q

(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }

Contoh

(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.

TEOREMA 2.

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A B = B A (hukum komutatif)

(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

Page 16: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

15

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak

kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }

C D.

4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =

Contoh

Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan

di atas?

Jawab:

A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman,

yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

Contoh

Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P() (b) P() (c) {} P() (d) P(P({3}))

Penyelesaian:

(a) P() = {}

(b) P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = )

(c) {} P() = {} {} = {(,))

(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }

g. Himpunan Ganda

Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan

ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan

elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 },

multiplisitas 0 adalah 4.

Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini

multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

Page 17: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

16

Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan

padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset

semua berbeda.

h. Hukum-hukum Himpunan

1. Hukum identitas:

A = A

A U = A

2. Hukum null/dominasi:

A =

A U = U

3. Hukum komplemen:

A A = U

A A =

4. Hukum idempoten:

A A = A

A A = A

5. Hukum involusi:

)(A = A

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

A (A B) = A

A (A B) = A

7. Hukum komutatif:

A B = B A

A B = B A

8. Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

9. Hukum distributif:

A (B C) = (A B)

(A C)

A (B C) = (A B)

(A C)

10. Hukum De Morgan:

BA = BA

BA = BA

11. Hukum 0/1

= U

U =

Page 18: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

17

BAB III

KESIMPULAN

Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik dari Georg Cantor sebagai beikut :

1. Barangsiapa yang bersungguh-sungguh untuk mencapai apa ayng diinginkan,

maka ia akan mendapatkan apa yang diinginkan

2. Salah satu ciri orang yang cerdas dan kreatif adalah selalu mempertanyakan

segala sesuatu yang ada disekitarnya. Misalnya, mengapa ada kelompok-

kelompok hewan? Mengapa ada kelompok tumbuhan? Mengapa ada pembagian

wilayah waktu? Mengapa ada hewan yang hidupnya diair tawar dan diair laut?

Mengapa ada pengelompokan kelas disekolah dll.

3. Kita harus selalu bersyukur atas semua nikmat apapn yang diberikan Tuhan

kepada kita. Nikmat hidup, nikmat dapat melihat, nikmat dapat mendengar,

nikmat rezeki dan banyak lagi lainnya.

4. Hidup didunia ini memang untuk memecahkan masalah dan hambatan. Setiap

manusia pastilah mempunyai masalah yang membuat hidupnya. Kadangkala

senang dan kadangkala susah. Jika seseorang mampu melewati dan memecahkan

masalah dan hambatan yang dihadapinya dengan baik dan sabar, maka ia

termasuk orang yang mensyukuri nikmat Tuhan.

Page 19: Alfiani a. tooy (GEORG CANTOR)

SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”

18

DAFTAR PUSTAKA

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.2014. Matematika: buku guru /

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Edisi Revisi. Jakarta :

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

http://eprints.undip.ac.id/36043/3/4_pendahuluan.pdf

(diakses tanggal 20 agustus 2014 pukul 08.30 )

http://www.biografi-tokoh.com/2013/05/biografi-georg-cantor-penemu-teori.html

(diakses tanggal 20 agustus 2014 pukul 18.00 )

http://id.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 09.00 )

http://belajarmenyukaimatematika.blogspot.com/2012/05/georg-ferdinand-ludwig-

philipp-cantor.html

(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 18.00 )

http://vita-sd.blogspot.com/2012/05/tugas-sejarah-matematika-ke-8.html

(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 18.30 )