93015-13-132065053326

UNIVERSITAS MERCU BUANAPROGRAM KULIAH KELAS KARYAWAN

Modul 13

Integral Tertentu

JakartaJanuari 2010

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Augustina Kurniasih ME MATEMATIKA EKONOMI 1

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :

Mahasiswa diharapkan mampu :

1. Memahami integral tertentu dan dapat menggunakan integral tertentu untuk

menghitung luas area

2. Mahsiswa mampu menerapkan kaidah integral tertentu pada model-model

ekonomi.

Daftar Isi :

Integral 3

A. Kaidah-kaidah Integral Tertentu 3

B. Penerapan Ekonomi 9

1. Surplus Konsumen

2. Surplus Produsen

3. Menghitung Laba Maksimum Dengan Integral

4. Investasi dan Pembentukan Modal.

Pustaka:

Chiang, Alpha.

Dumairy. 2004., Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, ed 4, BPFE UGM

Yogyakarta


II. INTEGRAL DEFINIT (INTEGRAL TERTENTU)

Dalam integtral tak tentu

Integral tertentu (Integral Definit) mempunyai nilai definit karena nilai x dibatasi yaitu

antara x = a dan x = b, serta xa < xb.

xa : Batas terendah dari integrasi

xb : Batas tertinggi dari integrasi.

[F(b) + k ] – [F(a) + k] = F(b) – F(a)

F(b) – F(a) : hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b

Dengan kata lain

: integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b

Contoh:

1∫5 3X2. dx = ………?

= 3. 1/3 X3 1/5 = X3 1/5 = (5)3 – (1)3 = 125 – 1 = 124.


Kaidah-kaidah Integrasi tertentu

1) = = F(b) - F(a)

Contoh

= =

2) = 0

Contoh:

= =

3). = -

Contoh 618.6

= =

4). =

Contoh:

= 3125 – 32 = 3093


5(618.6) = 3093

5) = -

Contoh:

+

+ = +

= 618,6 + 3093 = 3.711,6

6) + =

Contoh:

+ = + = +

= (243-32) + (312 – 243)

= 618,6

Integral tertentu digunakan untuk menentukan Luas Bangun Fungsi dalam susunan salib

sumbu

Cara Menentukan Luas Bangun Fungsi


Luas suatu area merupakan integral dari f(x), yang dibatasi sumbu horizontal (sumbu x),

x = a dan x = b dimana a < b.

Contoh :

Tentukan Luas bangun fungsi yang dibatasi : Y = X + 1 dan xa =1 dan xb = 5 …..?

5

= (½ X2 + X ) =

1

{½ (5)2 + (5)} – {1/2(1)2 +(1)} = 16

Jadi luas area yang dibatasi oleh fungsi Y = x + 1, x =1 dan x = 5 adalah = 16.

Penerapan di bidang Ekonomi

1. Menghitung Surplus Konsumen (Cs)

Surplus konsumen adalah surplus (kelebihan) yang dinikmati konsumen pada tingkat

harga tertentu.

Perhatikan gambar di bawah, sebenarnya konsumen sudah bersiap menerima harga di


Xa=1 Xb=5

X

Y

Y=X+1

0 0

ternyata harga yang terjadi di pasar adalah Pe (lebih rendah daripada ). Dengan

demikian konsumen mendapat surplus (kelebihan) sebesar segitiga Pe E

P

D (0,P)

Surplus konsumen (Cs)

Pe E ( Qe ,Pe)

P = f(Q)

F (Q ,0) O Qe Q

Besarnya surplus konsumen dapat dihitung dengan dua cara

Pertama

jika sumbu horizontal adalah sumbu Q, maka besar surplus konsumen (Pe E)

adalah integral yang dibatasi fungsi permintaan, x = 0 dan x = Qe dikurangi segiempat

0PeEQe

Maka Cs adalah

Cs =

Sedangkan jika sumbu horizontal adalah sumbu P, maka fungsi permintaan harus

berbentuk P = f (Q)

Besar surplus konsumen (Pe E) dapt dihitung dengan integral fungsi permintaan yang

dibatasi sumbu P, P = Pe dan P =


Cs =

Nilai Pe adalah nilai harga pada keseimbangan pasar, sedangkan nilai adalah nilai P

pada saat Q = 0 .

Cs = =

Contoh Kasus

Jika diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah Q = 48 – 0,03 P2

Jika harga yang berlaku di pasar adalah 30, berapa besar surplus yang dinikmati

konsumen?

Penyelesaian:

Q = 48 – 0,03 P2

Jika p = 0 Q = 48

Jika Q = 0 P = 40 =

Jika P = Pe = 30 Q = Qe = 21

Dengan diketahuinya batas atas dan batas bawah dari integral yang digunakan untuk

menghitung luas surplus konsumen, maka penghitungan surlus konsumen dapat diakukan

P 40 Cs 30 E


0 21 48 Q

=

=

= [48(40) – (0,01)(40)3 ] – [ 48(30) – (0,01)(30)3]

= (1920 - 64) - (1440 – 270) = 110

Contoh lain, hitung surplus yang dinikmati konsumen jika diketahui persamaan fungsi

permintaan adalah Q = 40 – 2P dan harga yang berlaku di pasar adalah 10.

Penyelesaian:

Q = 40 – 2Pp P = 20 – 0,5 Q

Jika P = 0 Q = 40

Jika Q = 0 P = 20 =

Jika P = Pe = 10 Q = Qe = 20

(petunjuk : agar pembentukan integral lebih teliti, gambarkan fungsi permintaan dan nilai-nilai Pe, Qe, dan )

P

20


10

Q 20

Cara pertama:

Cs = =

= = [20(20) – 0,25(20)2] – [20(0) – 0,25(0)2] = 400 – 100 – 0 - 200 = 100

Cara ke dua:

=

=

= [40(20) – (20)2] – [40(10) – (10)2] = 400 -300 = 100

Contoh lain :


Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 6; Kuantitas dan Harga Keseimbangan Pasar

( Qe = 2 dan Pe = 4 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen.

Surplus Konsumen (Consumers Surplus) :

Dari Gambar di atas fungsi permintaan menunjukkan persamaan yang menunjukkan

hubungan antara jumlah barang yang dibeli dengan haraga barang tersebut. Harga

keseimbangan pasar yang terjadi adalah Pe (Pe=4), dan jumlah barang yang diminta

Qe (Qe=2).

Apabila kemampuan daya beli konsumen perunit barang di atas dari harga pasar (Pe)

atau Harga pasar dalam kenyataannya di bawah kemampuan daya beli konsumen

berarti konsumen mendapat keuntungan utilitas (bukan keuntungan yang sebenarnya).

Oleh karena itu Surplus Konsumen sebagai keuntungan utilitas yang diperoleh

konsumen sebagai dampak dari kenyataan bahwa harga pasar (Pe) lebih rendah dari

kemampuan daya beli konsumen per unit barang (P).

Untuk menentukan besar Surplus Konsumen (Keuntungan Utilitas Total Konsumen)

menggunakan rumus:


( 2, 4 )

Sb X

Y

D…P= -Q+6

S

Cs = Q0∫Qe f(D). dQ - Qe.Pe ;

Dari contoh soal di atas dapat dihitung surplus Konsumen sebagai berikut:

Cs = 0∫2 (-Q+6)). dQ - Qe.Pe

Cs = -1/2 Q2 + 6Q 0/2 – (2.4)

Cs = {-1/2 (2)2 + 6(2)} - {-1/2 (0)2 + 6(0)} – (8)=...…

Cs = 2.

Contoh Soal :

1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah P = - Q + 10; Jika harga

keseimbangan pasar (Pe = 4 ). Tentukan besar Surplus Konsumen.

2. Diketahui fungsi permintaan P = - Q2 + 16; Jika harga keseimbangan pasar (Pe =

12 ). Tentukan besar Surplus Konsumen.

3. Diketahui fungsi permintaan : P = - Q2 + 16; Jika harga keseimbangan pasar (Pe)

adalah 12. Tentukan besar Surplus Konsumen

2.2. Menghitung Surplus Produsen (Ps)

Fungsi penawaran menunjukkan kuantitas barang yang ditawarkan pada berbagai

tingkat harga. Jika harga pasar Pe dan jumlah penawaran Qe, produsen sebenarnya

bersedia menawarkan barangnya dengan harga di bawah harga pasar Pe. Dalam posisi

seperti ini (harga Pe) berarti penjual/produsen mengalami kelebihan/surplus

(beruntung). Dengan kata lain produsen mendapat keuntungan utilitas.


Surplus Produsen adalah keuntungan utilitas yang diperoleh produsen sebagai dampak

dari harga pasar di atas harga kesediaan penjual untuk menjual barangnnya.

P f(S)

Pe E

Q0 Qe

Surplus produsen sesuai gambar di atas adalah luas area PeE. Luas tersebut dapat

dihitung dari segi empat 0PeEQe dikurangi integral antara fungsi suplly (f(S)) sumbu

horizontal (sumbu Q), Q = 0 dan Q = Qeq

Ps = Qe Pe -

Jika fungsi penawaran ditunjukkan dalam bentuk Q = f(P)

maka surplus pordusen adalah integral f(S) yang dibatasi sumbu P, P = dan P = Pe.

Ps =

Nilai Pe adalah nilai harga keseimbangan, sedangkan adalah tingkat harga ketika Q

= 0.

Jadi surplus produsen adalah

Ps = Qe Pe - =


Contoh (1):

Diketahui fungsi penawaran : P = Q + 4. Jika harga keseimbangan pasar diketahui Pe =

7, tentukan besarnya Surplus Produsen

SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(Q). dQ

SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(S). dQ.

Dari contoh soal di atas dapat ditentukan surplus produsen sebagai berikut:

Ps = 3.7 - 0∫3 (4 + Q). dQ

Ps = 21 – { 4Q + ½ Q2} 0/3

Ps = 21 – {(4.3 + ½. 32 ) – (4.0 + ½. 02 ) =….

Ps = 21 – 7,5 = 13,5.

Contoh Soal (2):

Diketahui fungsi permintaan P = 36 – Q2 dan fungsi penawaran : P = 6 + ¼ Q2.

Tentukan :

a. Harga dan Kuantitas keseimbangan pasar;

b. Besarnya Surplus Konsumen;


( 3, 7 )

Q

PS …P= Q + 4

c. Besarnya Surplus Produsen.

3. Menghitung Laba Maksimum Dengan Integral

╥ Total maksimum = Q0∫Q* MR.dQ - Q0∫Q* MC .dQ

Contoh :

Jika diketahui MR = 25 – 5Q -2Q2 dan MC = 15 -2Q – Q2; Tentukan nilai keuntungan

total maksimum ….?

Penyelesaian

Laba Maksimum: MR = MC

25 – 5Q -2Q2 = 15 – 2Q -Q2

Q2 + 3Q – 10 = 0…….(Q+5) (Q-2) = 0….Q* = 2.

╥ maksimum = Q0∫Q* (25 – 5Q -2Q2).dQ


MC╥ mak

Sb. X

Sb.Y

Q*00

MR

- Q0∫Q* (15 -2Q – Q2 ). dQ

╥ maksimum = {25Q-5/2Q2-2/3Q3} 0/2 -

{ 15Q –Q2- 1/3 Q3} 0/2

╥ maksimum ={25.2 – 5/2.22- 2/3.23 –{ 15.2- 22 – 1/3.23}

╥ maksimum = 34/3

4. Investasi dan Pembentukan Modal

Persediaan modal, besarnya akan tergantung dengan waktu, atau persediaan modal

merupakan fungsi dari waktu. Dengan demikian, tingkat pembentukan modal merupakan

derivatif dK/dT.

dK/dT = I (t) = 3 t1/2.

K(t) = ∫ I(t).dt.

= ∫ dK/dT.dt

K(t) = ∫ 3 t1/2.dt = 2 t 3/2 + C

Di awal waktu (t=0); K(0) = 2.0 3/2 + C .....C = K(0);

misal modal awal/modal periode awal: K(0) = 1000.....

C = 1000.

Fungsi persediaan modal :

K(t) = 2 t3/2 + 1000 . (Alpha Chiang:927).

Berdasarkan contoh ini kita dapat menyatakan bahwa jumlah akumulasi modal selama

interval waktu 0 s.d. t dengan integral definit :


0∫t I (t). dt = K(t) 0/t

0∫t I (t). dt = K(t) – K(0) ; atau

K(t) = K(0) + 0∫t I(t).dt

Keterangan:

dK/dt : pertambahan modal per satuan waktu;

Tingkat pembentukan modal (dKdt) pada waktu t adalah identik dengan tingkat

aliran investasi Netto (Net Investment) pada waktu ”t” (tingkat investasi netto per

tahun;

persediaan modal awal pada waktu t = 0 adalah K(0);

K(t) menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;

Contoh (1):


0∫t I (t). dt = K(t) – K(0)

I= I (t)

t

I

Bila investasi netto merupakan aliran konstan pada I(t) = 1000 satuan per tahun;

berapakah total investasi netto (pembentukan modal) selama satu tahun dari t = 0

sampai dengan t =1.

Jawab:

0∫1 I (t). dt = 0∫1 1000. dt = 1000 t 0/1 = 1000.

Contoh (2):

Bila Investasi netto pada tahun ke t : I(t) = 3 t1/2 (ribuan dollar pertahun) yaitu aliran yang

tidak konstan. Apa yang terjadi dengan pembentukan modal selama interval waktu (1,

4), yaitu selama tahun kedua, ketiga, dan keempat.

Jawab:

0∫4 I (t). dt = 0∫4 3 t1/2. dt = 2 t 3/2 1/4 = 16-2 = 14.

Berdasarkan contoh di atas, dapat dinyatakan jumlah akumulasi modal selama interval

waktu (0, t), untuk setiap tingkat investasi I(t).

0∫t I (t). dt = K(t) 0/t = K(t) – K(o)

atau : K(t) = K(0) + 0∫t I (t). dt.

Keterangan:

K(t): menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;

dK/dt : pertambahan modal (K) per satuan waktu atau disebut tingkat

pembentukan modal pada waktu ”t”;

K(0) : Persediaan modal awal atau persediaan modal pada waktu t = 0;

Jadi: K(t) = K(0) + 0∫t I (t). dt.


(Lihat gambar terdahulu).


93015-13-132065053326

Documents