7.1.3. Vigas de gran peralte

Con este tercer grupo de modelos, se pretende investigar el efecto en la optimi-zacion topologica cuando una carga cambia de posicion. Para ello se consideraronlas siguientes posiciones de una carga puntual:- a.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibra superior,- b.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibre media y- c.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibra inferior, tal comose indica en la Figura 7.12

Figura 7.12: Vigas aperaltadas simplemente apoyadas y solicitadas por una cargapuntual en el centro de la luz: a.) fibra superior, b.) fibra media y c.) fibra inferior.

El dominio de los esquemas indicados en la Figura anterior se modelo mediantedos tipos de mallas estructuradas de dimensiones 300 y 1.200 elementos rectangularescomo se muestra a continuacion:

Figura 7.13: Discretizacion del modelo de viga aperaltada simplemente apoyada: a.)Malla de 30 x10 elementos y b.) Malla de 60 x 20 elementos.

Para modelar las vigas se establecio un dominio rectangular de dimensiones L xH, donde L = 3H. El sistema esta simplemente apoyado, solicitado por una carga

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vertical tal como se indica en la Figura (7.12) (a), (b) y (c).

Con el objeto de establecer la incidencia del tamano de la malla sobre el procesode optimizacion, se elaboraron dos modelos, uno con una malla de regular precision30 x 10 elementos y otro con una malla mas fina de 60 x 20 elementos. Como frac-cion de volumen se tomo un valor de 50%. Los demas parametros de optimizacioncorresponden a los indicados al inicio del Capıtulo.

El primer grupo de modelos presentado en las Figuras 7.14, 7.15 y 7.16 muestramuy poca definicion en las zonas a retirar o en las que estan solicitadas. Sin embargose puede apreciar, que para los tres casos el resultado de la optimizacion topologicahace uso de toda la altura de las vigas para reducir los esfuerzos y con ello economi-zar material. Otra particularidad que se puede apreciar es la conformacion de unaestructura utilizando forma de arco para transmitir las cargas a los apoyos.

Buscando mayor definicion en el resultado de la optimizacion se utiliza la segun-da malla mas fina. Se aprecia en las Figuras 7.17, 7.18 y 7.19, que los contornosde las zonas retiradas y solicitadas aparecen mejor definidos.Con elementos mas pe-quenos es posible asignar en forma mas precisa la cantidad necesaria de materialpara conformar y/o rigidizar elementos.

La energıa de deformacion U es comparable en todos los modelos, bien sea conlos dos tipos de mallas o con la carga aplicada en las diferentes fibras. Argumentoque tiene su explicacion debido a que los desplazamientos no cambian radicalmentey las propiedades del sistema permanecen constantes para los tres casos de carga.

Un comportamiento, tal vez inadvertido, corresponde al debido a la carga apli-cada sobre la fibra media Figura (7.18) (l). Se aprecia, que se hace uso de toda laaltura para reducir esfuezos. En este caso particular los elementos que conformanla ”cruceta” del centro se comportan en forma mixta; de la mitad hacia arriba es-tan solicitados a tension y de la mitad hacia abajo a compresion. De esta forma seoptimza el trabajo al distribuir la accion de la fuerza hacia arriba y hacia abajo.

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(a) i= 1 , U= 101J (b) i= 2, U= 64J

(c) i= 3, U= 47J (d) i= 4, U= 38J

(e) i= 5, U= 34J (f) i= 6, U= 31J

(g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 28J

(i) i= 9, U= 27J (j) i= 10, U= 26J

(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J

Figura 7.14: Optimizacion topologica de una viga aperaltada simplemente apoyaday cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 30 x 10. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 97J (b) i= 2, U= 63J

(c) i= 3, U= 47J (d) i= 4, U= 39J

(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J

(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J

(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J

(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J

Figura 7.15: Optimizacion topologica de una viga aperaltada simplemente apoyada,cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 30 x 10. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 101J (b) i= 2, U= 64J

(c) i= 3, U= 48J (d) i= 4, U= 40J

(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J

(g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 26J

(i) i= 9, U= 25J (j) i= 10, U= 25J

(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J

Figura 7.16: Optimizacion topologica de una viga aperaltada simplemente apoyada,cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 30 x 10. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 115J (b) i= 2, U= 67J

(c) i= 3, U= 49J (d) i= 4, U= 39J

(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J

(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J

(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J

(k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J

Figura 7.17: Optimizacion topologica de una viga aperaltada simplemente apoyada,cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 20. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 105J (b) i= 2, U= 65J

(c) i= 3, U= 48J (d) i= 4, U= 39J

(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J

(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J

(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J

(k) i= 28, U= 22J (l) i= 29, U= 22J

Figura 7.18: Optimizacion topologica de una viga aperaltada simplemente apoyada,cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 60 x 20. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 111J (b) i= 2, U= 68J

(c) i= 3, U= 50J (d) i= 4, U= 41J

(e) i= 5, U= 36J (f) i= 6, U= 32J

(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 28J

(i) i= 9, U= 26J (j) i= 10, U= 25J

(k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J

Figura 7.19: Optimizacion topologica de una viga aperaltada simplemente apoyada,cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 60 x 20. = 50%.

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7.1.4. Vigas de peralte moderado

Con este grupo de modelos se pretende identificar, el efecto del cambio de losapoyos sobre el proceso de optimizacion topologica. Para ello se consideraron tresmodelos de vigas de peralte moderado con una relacion largo alto de 6:1. Las con-diciones de apoyo son las siguientes:

- a.) Viga simplemente apoyada con carga en el centro de la luz, fibra superior,Figura (7.20) (a)- b.) Viga doblemente apoyada con carga en el centro de la luz, fibra superior Figura(7.20) (b)y- c.) Viga enpotrada en los dos costados con carga en el centro de la luz, fibra supe-rior Figura (7.20) (c).

El esquema adoptado para este grupo de modelos corresponde a una viga dedimensiones L x H donde L = 6H. Los apoyos como se muestra en la Figura (7.20)(a), (b) y (c) son cada vez mas rıgidos.

Figura 7.20: Esquema del modelo para una viga de peralte moderado solicitadapor una carga puntual en centro de la fibra superior con la siguiente condicion deapoyo: a.) simplemente apoyada, b.) doblemente apoyada y c.) empotrada en susdos extremos.

El dominio de las vigas de peralte moderado indicado en la Figura anterior sediscretizo mediante una malla de 60 x 10 elementos, tal como se muestra en la Fi-gura (7.21).

Los parametros de optimizacion utilizados, ademas de los indicados al inicio delcapıtulo corresponden a una fraccion de volumen del 50% para los tres casos.

Se aprecia en la Figura (7.22), Figura (7.23) y Figura (7.24) que el cambio deapoyos genera un comportamiento totalmente diferente en el mismo dominio.

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Figura 7.21: Discretizacion del modelo para una viga de peralte moderado solicitadapor una carga puntual en centro de la fibra superior.

Para el caso del apoyo simple indicado en la Figura (7.20) el comportamiento sepuede deducir facilmente a partir de la analogıa de la cercha.

Para el caso doblemente apoyado indicado en la Figura (7.23), el comportamien-to no es tan evidente, pues resulta una combinacion del principio del arco con unaprovechamiento de la altura de la viga.

Para el caso del empotramiento en los dos costados indicado en la Figura (7.24),la distribucion del material luego de la optimizacion permite deducir las trayectoriasde esfuerzos en este tipo de estructuras. En los costados laterales se observa que nose hace uso de toda la altura, sino que el material se concentra en los extremos.

La convergencia hacia la estructura optimizada, en los tres casos, es relativamen-te rapida. Entre la 5.a y la 8.a iteracion ya se define la forma optimizada, la cual semantiene hasta el final de las iteraciones.

Respecto a la energıa U, se observa que en la medida que se aumentan las res-tricciones de los apoyos, la energıa interna de deformacion disminuye. Debido a quelos desplazamientos se encuentran cada vez mas restringidos. Lo siguientes valoresiniciales de energıa se toman como referencia para hacer una comparacion de su com-portamiento: caso simplemente apoyado Figura (7.22) (a) 492 J, caso doblementeapoyado Figura (7.23) (a) 275 J y caso empotrado en los dos costados Figura (7.24)(a) 152 J.

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(a) i= 1 , U= 492J (b) i= 2, U= 286J

(c) i= 3, U= 204J (d) i= 4, U= 171J

(e) i= 5, U= 161J (f) i= 6, U= 154J

(g) i= 7, U= 149J (h) i= 8, U= 144J

(i) i= 9, U= 140J (j) i= 10, U= 136J

(k) i= 11, U= 133J (l) i= 12, U= 128J

(m) i= 13, U= 123J (n) i= 14, U= 119J

(o) i= 28, U= 107J (p) i= 29, U= 107J

Figura 7.22: Optimizacion topologica de una viga de peralte moderado simplementeapoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 275J (b) i= 2, U= 148J

(c) i= 3, U= 95J (d) i= 4, U= 69J

(e) i= 5, U= 60J (f) i= 6, U= 56J

(g) i= 7, U= 54J (h) i= 8, U= 53J

(i) i= 9, U= 52J (j) i= 10, U= 51J

(k) i= 11, U= 51J (l) i= 12, U= 50J

(m) i= 13, U= 50J (n) i= 14, U= 50J

(o) i= 28, U= 49J (p) i= 29, U= 49J

Figura 7.23: Optimizacion topologica de una viga de peralte moderado doblementeapoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 152J (b) i= 2, U= 108J

(c) i= 3, U= 86J (d) i= 4, U= 76J

(e) i= 5, U= 71J (f) i= 6, U= 65J

(g) i= 7, U= 60J (h) i= 8, U= 55J

(i) i= 9, U= 51J (j) i= 10, U= 48J

(k) i= 11, U= 46J (l) i= 12, U= 45J

(m) i= 13, U= 43J (n) i= 14, U= 43J

(o) i= 28, U= 41J (p) i= 29, U= 41J

Figura 7.24: Optimizacion topologica de una viga de peralte moderado empotradaen sus dos extremos, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x10. = 50%.

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