OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIAGRAMAS DE VENN Un conjunto también se puede representar gráficamente mediante figuras geométricas como círculos, rectángulos o curvas cerradas marcando con un punto dentro de ellas el sitio que ocupará cada elemento. La letra mayúscula que simboliza el conjunto se escribe por fuera de la figura.

Por ejemplo,

Estas gráficas son llamadas diagramas de Venn, pues fue este matemático quien utilizó esta forma para representar conjuntos.

CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS A U B La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están en A, en b o en ambos. La unión de A con B se denota por A U B.

Ejemplo:

Si A = {x | x es número par menor que 10} y B = {O, 1, 3, 4} determinar AU B.

Solución:

En la unión de A y B debemos incluir todos los elementos de A los elementos de B. A = {0, 2, 4, 6, 8} y

B = {0, 1, 3, 4}

Luego:

A U B = {0, 1, 2. 3, 4, 6, 8}

EJEMPLOS DE UNION DE CONJUNTOS

Sean A = {0,2,4},

B = {1,3,9}, C = {1,5,25} y D = {1, 3,9,5,15,45};

Halla los conjuntos que se indican.

a. A U B = { }

b. AUD = { }

c. AUC={ }

d. DUA = { }

e,CUD =

f,CUB =

Utiliza los resultados del anterior ejercicio y halla los siguientes conjuntos.

a. AUBUC={ }

b. (AUB)UD = { }

c. (DUC)U(AUB) = { }

d. (AUD)UD = { }

Otro ejemplo:

1, ¿Sabías que los ríos de los llanos y de la selva se diferencian entre ellos y otros por ser blancos o negros? Los blancos nacen en las cordilleras mientras que los negros nacen en las planicies del llano y de la selva.

A un tour que pasa por los ríos negros. Vichada e Inírida y por el río Arauca, que es blanco, se inscribieron 46 personas en total, distribuidas de la siguiente manera. Analiza la figura y responde cada pregunta.

a. ¿Cuántas personas planean visitar los tres ríos?

b. ¿Cuántas irán sólo al río Vichada?

c. ¿Cuántas visitarán los ríos Inírida y Arauca, pero no el río Vichada?

d. ¿Cuántas desean conocer los ríos Vichada y Arauca?

e. ¿Cuántas quieren ir a los ríos Inírida o Arauca?

f. ¿Cuántas personas se inscribieron para ir solo al río Inírida o al río Arauca?

Pro

ble

mas

: u

nió

n

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS (A n B)

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están a la vez en A y en B. La intersección de los conjuntos A y B se denota por A n B.

Ejemplo:

Si A ={1. 3. 5. 7}. B = {2, 3. 5. 8 }; y C = {1, 2. 4} calcular: a, A n B b, (B n C) U (A n B)

Solución:

A n B = (3. 5) ;

b) (B n C) U (A n B) =

Así: B n C = {2} y A n B = {3, 5}

Luego: (B n C) U (A n B) = {2, 3, 5}

EJERCICIOS de intersección:

1, Sean: A = {0,2,4}, B= {l,3,9},

C={1,5,25} y

D = {1, 3, 9, 5,15,45}; halla los conjuntos que se indican.

• a. AnB = { }

• b. BnC={ }

• c. BnD = { }

• d. CnD={ }

• e. DnA = { }

• 2, Usa los resultados del anterior ejercicio y encuentra los siguientes conjuntos.

• a. AnBnC={ }

• b. (DnB)nD= { }

• c. (DnC)n(CnB)= { }

• d. (AnD)n(BnD)= { }

•

Resuelve:

Problemas: intersección

1, Un restaurante ofrece a sus

clientes, platos con dos tipos de

pescado: de mar y de río. En total

tiene 140 platos distintos, algunos

de ellos con ambos tipos de

pescado, 50 con sólo pescado de

río y 60 con sólo de mar.

a. ¿Cuántos platos contienen

ambos tipos de pescado?

b. ¿Cuántos platos contienen

alguno de los dos pescados?

140 - (50 + 60) = 140 - 110 = 30 En total hay 140 platos con alguno de los dos tipos de pescado (los elementos de la

unión).

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS A -B

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que, pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B. La diferencia de A y B se escribe A-B.

Ejemplo:

Si A = (x | x es número par menor que 10) y B = (2, 3, 4] calcular A - B. Solución:

Por extensión A = {0, 2, 4, 6, 8} y B = {2, 3, 4}. Buscamos los elementos de A que están en B y encontramos el 2 y el 4. Por tanto A - B está formado por los elementos de A que no son comunes con B.

Luego: A - B = (0, 6, 8)

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A'

Dado el conjunto A referido a un conjunto universal U, el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que no están en A.

Se nota A' y simbólicamente. A' = U - A = |x [ x £ A]

• Ejemplo:

• Si U = {x | x es número dígito} y A = {1, 3, 5, 7, 9} hallar A'.

• Solución:

• Por extensión U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A' está formado por los elementos de U que no pertenecen al conjunto A

• Luego: A' ={ 0, 2, 4, 6, 8} o A' = {x | x es dígito par}.

•

EJERCICIOS

Problema: •Algunos bailes típicos de

Colombia son el pasillo (Santander y Cundinamarca) y el bunde (Tolima). En una academia 22 estudiantes practican pasillo y 8 pasillo y bunde. Si en total hay 23 que practican únicamente bunde y 90 estudiantes inscritos en toda la escuela, responde cada pregunta.

• a. ¿Cuántas personas practican únicamente pasillo? • b. ¿Cuántas practicar

bailes distintos al pasillo y al bunde? • c. En el cuaderno, realiza

un diagrama de Venn que represente la situación y sombrea el área que corresponde al complemento de la unión de los conjuntes de las personas que practican pasito y bunde.

Escribe la unión intersección diferencia y complemento de A

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