4/13/2015

1

REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND)

NONLINEAR

Oleh :Fauzan Amin

Senin, 13 April 2015`GDL 211 (07.30-10.50)

Regresi

• Dari derajat (pangkat) tiap peubah bebas• Linier (bila pangkatnya 1)• Non-linier (bila pangkatnya bukan 1)

• Dari banyaknya peubah bebas (yang mempengaruhi)

• Sederhana (bila hanya ada satu peubah bebas)• Berganda (bila lebih dari satu peubah bebas)

HUBUNGAN LEBIH DARI DUA VARIABEL REGRESI LINEAR

BERGANDA

Apabila terdapat lebih dari dua variabel, maka hubungan linear dapat dinyatakan dalam

persamaan regresi linear berganda sebagai berikut :

Y’= b0 + b1X1 + b2X2 + . . . + bkXk

Disini ada satu variabel tidak bebas, yaitu Y’ dan ada k varibel bebas, yaitu X1, . . . , Xk

Untuk menghitung b0, b1, b2, . . . , bk kita gunakan metode kuadrat terkecil yang menghasilkan persamaan normal

sebagai berikut :b0 n + b1 X1 + b2 X2 + . . . + bk Xk = Yb0 X1 + b1 X1 X1 + b2 X1X2 + . . . + bk X1Xk = X1Yb0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X2X2 + . . . + bk X2Xk = X2Y

. . . . .

. . . . .

. . . . .b0 Xk + b1 X1 Xk + b2 X2Xk + . . . + bk XkXk = XkY

Kalau persamaan tersebut dipecahkan, kita akan memperoleh nilai b0, b1, b2, . . . , bk.

Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi linear berganda.

Apabila persamaan regresi itu telah diperoleh, barulah kita dapat meramalkan nilai Y dengan

syarat kalau nilai X1, X2, . . . ., Xk sebagai variabel bebas sudah diketahui.

Misalkan: k =2, maka Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, satu variabel tak bebas(Y), dan dua variabel bebas (X1 dan

X2), maka b0, b1, dan b2 dihitung dengan terlebih dahulu menentukan persamaan normal:

b0 n + b1 X1 + b2 X2 = Yb0 X1 + b1 X1 X1 + b2 X1X2 = X1Yb0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X2X2 = X2Y

4/13/2015

2

Menentukan b0,b1,b2

1) Dengan metode substitusi dan eliminasiSelesaikan ketiga persamaan tersebut dengan

metode eliminasi dan substitusi sehinggadiperoleh b0, b1, dan b2.

CONTOH

• Tentukan nilai persamaan regresinya..

Latihan Soal

4/13/2015

3

Menentukan b0,b1,b2

2) Dengan MatriksUbah persamaan normal ke dalam persamaanmatriks:

HbA

YX

YX

Y

bbb

XXXX

XXXX

XXn

2

1

2

1

0

22212

21211

21

b0,b1, dan b2 dapat ditentukan dengan rumus yang menggunakan determinan matriks sebagai berikut :

AA

bAA

bA

Ab

det2det

2,det

1det1,

det0det

0

22212

21211

21

XXXX

XXXXXXn

A

det(A) = (n) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2) + (X2) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (X2) –(X1X2) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (X1)

4/13/2015

4

det(A0) = (Y) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2Y) + (X2) (X1Y) (X1X2) – (X2Y) (X1X1) (X2) –(X1X2) (X1X2) (Y) – (X2X2) (X1Y) (X1)

22212

21211

210

XXXYX

XXXYXXXY

A

det(A1) = (n) (X1Y) (X2X2) + (Y) (X1X2) (X2) + (X2) (X1) (X2Y) – (X2) (X1Y) (X2) –(X2Y) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (Y)

2222

21112

1XYXX

XXYXXXYn

A

det(A2) = (n) (X1X1) (X2Y) + (X1) (X1Y) (X2) + (Y) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (Y) –(X1X2) (X1Y) (n) – (X2Y) (X1) (X1)

YXXXXYXXX

YXnA

22121

2111

2

Menentukan b0,b1,b2

3) Dengan software statistik seperti excel dan SPSS

Dengan cara ini persamaan regresi bergandadapat dengan cepat diperoleh denganmenginput data variabel Y, X1, dan X2terlebih dahulu lalu dianalisis dengan software tersebut.

Korelasi Berganda :

Apabila kita mempunyai tiga variabel Y, X1, X2, maka korelasi X1 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :

22221y1X1XnYYn

1XYY1Xnr

Korelasi X2 dan Y digambarkan dengan rumusberikut :

22222y2X2XnYYn

2XYY2Xnr

4/13/2015

5

Korelasi X1 dan X2 digambarkan dengan rumus berikut :

2222122X2Xn1X1Xn

2X1X2X1Xnr

Kalau kita ingin mengetahui kuatnya hubungan antara variabel Y dengan beberapa variabel X lainnya

(misalnya antara Y dengan X1 dan X2), maka kita harus menggunakan suatu koefisien korelasi yang disebut koefisien korelasi linear berganda (KKLB)

yang rumusnya adalah sebagai berikut :

212

12212

22

112. 1

2

r

rrrrrRKKLB yyyy

y

REGRESI NON LINIER

DEFINISI :

• Regresi/trend non linier adalah regresi yang variabel-variabelnya ada yang berpangkat.

• Bentuk grafik regresi non linier adalah berupa lengkungan.

• Bentuk-bentuk regresi non linier antara lain regresi kuadratis atau parabola dan regresi eksponensial.

TREND PARABOLA

Garis trend pada dasarnya adalah garis regresi di mana variabel bebas X merupakan variabel waktu. Baik garis regresi maupun trend dapat berupa garis lurus maupun

tidak lurus. Persamaan garis trend parabola adalah sebagai berikut :

Y’ = a + bX + cX2

Keterangan :Y’ = variabel terikatX = variabel bebasa,b,c = konstanta

a n + b X + c X2 = Ya X + b X2 + c X3 = XY

a X2 + b X3 + c X4 = X2Y

Persamaan Normal

4/13/2015

6

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2Yi Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2Yi1 6 1 1 1 6 6 5 35 25 125 625 175 8751 8 1 1 1 8 8 6 37 36 216 1296 222 13321 9 1 1 1 9 9 6 37 36 216 1296 222 13322 15 4 8 16 30 60 6 36 36 216 1296 216 12962 12 4 8 16 24 48 6 35 36 216 1296 210 12602 13 4 8 16 26 52 7 38 49 343 2401 266 18622 13 4 8 16 26 52 7 36 49 343 2401 252 17643 23 9 27 81 69 207 7 36 49 343 2401 252 17643 23 9 27 81 69 207 8 38 64 512 4096 304 24323 20 9 27 81 60 180 8 36 64 512 4096 288 23043 25 9 27 81 75 225 8 39 64 512 4096 312 24964 27 16 64 256 108 432 9 39 81 729 6561 351 31594 29 16 64 256 116 464 9 38 81 729 6561 342 30784 30 16 64 256 120 480 10 40 100 1000 10000 400 40005 30 25 125 625 150 750 10 38 100 1000 10000 380 38005 33 25 125 625 165 825 10 42 100 1000 10000 420 42005 32 25 125 625 160 800

Penyelesaian

• ∑Xi = 172• ∑Yi = 948• ∑Xi

2 = 1.148• ∑Xi

3 = 8.722• ∑Xi

4 = 71.456• ∑XiYi = 5.833• ∑Xi

2Yi = 41.759

Persamaan

• 948 = 33a + 172b + 1.148c• 5.833 = 172a + 1.148b + 8.722c• 41.759 = 1.148a + 8.722b + 71.456c• Setelah dielliminasi diperoleh:• a = -1,759• b = 9,497• c = -0,547• Sehingga• Y = -1,759 + 9,497X – 0,547X2

TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)

Y’ = abx

dapat diubah menjadi trend semi log: log Y’ = log a + (log b)X

• Keterangan :Y = variabel terikatX = variabel bebasa,b = konstanta atau penduga

TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)

Untuk menentukan nilai a dan b, bentuk persamaan di atas harus ditransformasikan menjadi bentuk

persamaan linear dengan menggunakan logaritma.Y' = abX menjadi :

log Y’ = log a + (log b).X; log Y’ = Y’0; log a = a0 dan log b = b0.

Dengan demikian, Y’0 = a0 + b0X, dimana koefisien a0 dan b0 dapat dicari berdasarkan persamaan

normal.

1

111

21

21

1111

1

1

antilog

loglog

aaXbYa

XXn

YXYXnb

YYXX

TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)

Bentuk Persamaan:

Y’ = abx

4/13/2015

7

UTS

• Menggunakan kalkulator• Rumus yang tidak perlu dihapal(akan diberikan jika keluar

dalam UTS): mencari nilai b, koefisien determinasi, dankorelasi pada regresi linear sederhana, semua persamaanpada pertemuan 7 kecuali trend eksponensial (logaritma)

4040

ALHAMDULILLAHIRABBIL’ALAMINALHAMDULILLAHIRABBIL’ALAMIN

WASSALAAMU ‘ALAIKUMWASSALAAMU ‘ALAIKUMWARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUHWARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUH