41133401 bab 03 potensial listrik

Rosari Saleh dan Sutarto

Konsep potensial yang telah diketengahkan pada bab 7

berhubungan dengan gaya-gaya yang bersifat

konservatif. Dalam sebuah sistem energi total yang

dimilikinya adalah konstan. Konsep energi potensial

merupakan alternative untuk menyelesaikan kasus-

kasus yang melibatkan gaya-gaya yang bersifat

konservatif.

Konsep potensial tersebut lebih mudah diterapkan

karena energi potensial adalah jenis besaran skalar.

Gaya Coulomb atau gaya elektrostatik adalah termasuk

gaya konservatif dan dengan demikian kita dapat

mengasumsikan bahwa distribusi suatu muatan tentu

akan memiliki energi potensial. Seperti halnya dengan

gaya elektrostatik yang merupakan interaksi dari dua

muatan, energi potensial juga dihasilkan dari interaksi

dua muatan. Pada bab ini kita akan mempelajari

mengenai konsep potensial listrik dan bagaimana

penerapannya dalam kasus-kasus elektrostaik.

Bab yang akan dipelajari:

1. Energi Potensial Listrik 2. Potensial Listrik 3. Menghitung Potensial

Listrik 4. Permukaan Ekuipotensial 5. Gradien Potensial

Tujuan Pembelajaran:

1. Menghitung energi potensial listrik dari sejumlah muatan.

2. Menentukan arti dan pentingnya besaran potensial listrik.

3. Menghitung potensial listrik di suatu titik akibat sejumlah muatan.

4. Menggunakan permukaan ekuipotensial untuk memvisualisasikan perubahan potensial listrik dalam ruang.

5. Menggunakan potensial untuk menentukan medan listrik.

Bab 3 Potensial Listrik | 69


Hukum kekekalan energi merupakan konsep penting dan sangat berguna dalam menyelesaikan persoalan yang terkait dengan dinamika suatu benda di bawah pengaruh gaya eksternal yang bekerja padanya. Pada bab 7 kita telah mempelajari bahwa energi potensial berhubungan dengan gaya yang bersifat konservatif. Energi total yang dimiliki suatu benda atau sistem merupakan jumlah total energi kinetik dan energi potensial yang dimilikinya.

Energi kinetik berhubungan dengan gerak suatu benda sedangkan energi potensial berkaitan dengan interaksi antara satu benda dengan benda yang lain. Dalam bab 12 kita telah membahas mengenai energi potensial yang diakibatkan oleh percepatan gravitasi. Suatu benda yang berada pada ketinggian tertentu dari permukaan bumi, katakanlah H dimana H Rbumi, memiliki energi potensial yang dinyatakan sebagai EP = mgH dimana m adalah massa benda dan g adalah percepatan gravitasi bumi. Dengan mengetahui energi potensial suatu benda kita dapat memprediksi kecepatan dan posisi benda setiap saat. Setiap perubahan keadaan benda yang menyebabkan perubahan energi potensial selalu dibarengi dengan perubahan energi dalam bentuk yang lain yaitu energi kinetik dimana jumlah total energi benda tersebut selalu sama.

Interaksi yang terjadi pada benda-benda masiv dapat dijelaskan dengan konsep gravitasi universal Newton dimana jika dua benda bermassa terpisah pada jarak tertentu maka benda-benda tersebut akan saling tarik menarik. Besar gaya tarik-menarik tersebut diberikan oleh

persamaan gaya gravitasi rr

MmGF 2= .

Pada bab 1, kita telah membahas mengenai interaksi Coulomb yaitu interaksi antara dua muatan yang terpisah pada jarak tertentu. Kita juga telah membuktikan bahwa ekspresi matematik dari persamaan Coulomb mirip dengan persamaan gravitasi Newton. Hal yang membedakan adalah besaran fisika yang menjadi konstituen dalam interaksi Coulomb adalah muatan sedangkan dalam interaksi gravitasi adalah massa benda. Dengan analogi sederhana, kita dapat memperkirakan bahwa energi potensial listrik akan memiliki bentuk persamaan yang mirip dengan bentuk persamaan energi potensial untuk sistem benda masiv.

70 | Bab 3 Potensial Listrik


3 – 1 Energi Potensial Listrik

Energi potensial listrik dan energi potensial gravitasi memiliki bentuk persamaan yang mirip. Perhatikan ilustrasi analogi berikut ini:

Benda bermassa m yang berada pada ketinggian H dari permukaan bumi memiliki energi potesial sebesar mgH. Energi potensial ini disebabkan karena adanya percepatan gravitasi bumi yang menarik benda m menuju pusat bumi. Seperti telah kita kupas pada bab 2 bahwa setiap muatan menghasilkan medan listrik yang menyebar ke segala arah. Medan listrik tersebut berperilaku seperti percepatan gravitasi pada sistem benda masiv. Jika percepatan gravitasi hanya dapat “mengenali” massa dari suatu benda dalam wilayah jangkauannya maka medan listrik hanya dapat “mengenali” muatan dari suatu benda. Perbedaan karakter interaksi lainnya adalah gravitasi hanya dapat menarik benda tetapi tidak dapat memberikan gaya tolak terhadap benda tersebut sedangkan medan listrik dapat menghasilkan gaya tarik dan gaya tolak bergantung pada jenis muatan yang berinteraksi.

Persamaan umum energi potensial suatu sistem adalah sebagai berikut:

∫ •=

−=2

1

r

r

awalakhir

sdF

EPEP∆EP (3–1)

Perhatikan bahwa integral pada persamaan di atas tidak bergantung pada lintasan tetapi hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir. Dengan demikian bagaimanapun bentuk lintasan yang ditempuh oleh benda asalkan titik awal dan titik akhirnya sama maka perubahan energi potensial benda tersebut sama.

Perhatikan Gambar 3.2, gaya yang dihasillkan dari interaksi dua muatan diberikanoleh persamaa:

rr

qqπε

F 20

041

=

(3–2)

Jika persamaan (3–2) disubstitusikan ke persamaan (3–1) kita peroleh:

lintasan

Gambar 3.2 Sebuah partikel bermuatan q berada pada titik asal O. Sebuah partikel bermuatan lainnya yaitu q0 bergerak dari titik a ke titik b melalui lintasa yang bertanda panah.

Gambar 3.1 Energi potensial gravitasi suatu benda dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi. Energi potensial listrik dipengaruhi oleh interaksi suatu muatan dengan muatan yang lain.



∫

∫

=

≡→•=

2

1

2

1

20

0

20

0

41

41

r

r

r

r

drr

qqπε

rdsdsdrr

qqπε

∆EP (3–3)

Hasil integral tersebut adalah energi potensial listrik yaitu:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

120

0

0

0

114

41 2

1

rrπεqq

rqq

πε∆EP

r

r (3–4)

Perhatikan bahwa integral pada persamaan (3–3) tidak bergantung pada lintasan sehingga bagaimanapun bentuk lintasan yang ditempuh oleh q0.

Perhatikan untuk kasus dimana r1 > r2, jika muatan benda adalah sama (yang berarti kedua muatan tersebut saling tolak menolak) kita peroleh bahwa ∆EP positif. Kasus ini mirip dengan peristiwa dimana benda bergerak menaiki suatu tanjakan. Ketinggian benda bertambah sehingga energi potensialnya bertambah dan dengan demikian perubahan energi potensial benda tersebut adalah positif. Jika dua muatan yang berinteraksi berbeda jenis berarti perubahan enegri potensial muatan tersebut adalah negatif. Peristiwa ini mirip dengan bola menggelinding dari ketinggian tertentu. Ketinggian bola berkurang sehingga energi potensialnya berkurang dan dengan demikian perubahan energi potensial bola tersebut adalah negatif.

Ketika r2 > r1, berarti muatan q0 bergerak menjauh dari q. Perubahan enegri potensial bergantung pada jenis muatan yang berinteraksi, seperti yang telah dikemukakan sebelumnya.

Dari persamaan (3–4), dapat kita simpulkan bahwa perubahan energi potensial listrik dua muatan yang berinteraksi satu sama lain bergantung pada r1 dan r2. Secara umum, energi potensial listrik didefinisikan sebagai besarnya energi yang digunakan untuk memindahkan muatan dari titik tak berhingga menuju titik tertentu di r tanpa mengubah energi kinetik muatan tersebut, lihat Gambar 3.3.

Gambar 3.3 Sebuah muatan dari jarak yang sangat jauh berinteraksi dengan muatan q yang diam.

Muatan dari titik tak berhingga

Muatan menuju titik P di r



( ) ( )

rπεqq

rrπεqq

rEPrEP∆EP

a

raa

14

114

0

0

0

0

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=∞→

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa energi potensial listrik dari dua muatan yang berinteraksi dapat dinyatakan dengan persamaan:

( )rπε

qqrEP 1

4 0

0= (3–5)

Berdasarkan persamaan (3–5), jika dua muatan terpisah pada jarak sangat jauh, r → ∞ maka energi potensial listriknya adalah nol atau sangat kecil. Jika r = 0 maka EP kedua muatan tak berhingga, hal ini menunjukkan bahwa kedua muatan hanya dapat berada pada jarak yang sangat dekat tetapi jarak tersebut tidak mungkin nol. Persamaan (3–5) juga menunjukkan bahwa energi potensial listrik hanya bergantung pada jarak (r) dan besar dan jenis muatan yang berinteraksi.

3 – 2 Potensial Listrik

Energi potensial yang dihasilkan dari interaksi antar dua muatan mengingatkan kita pada gaya elektrostatik yang telah dibahas pada Bab 2. Pada gaya elektrostatik, kita telah mengetahui bahwa gaya tersebut dihasilkan oleh suatu sumber medan gaya yang disebut medan listrik, E . Koheren dengan analogi tersebut, adanya energi potensial yang merupakan hasil dari interaksi dua muatan pasti disebabkan karena adanya suatu sumber “medan” potensial tertentu.

Jika “sumber” energi potensial dinyatakan dengan V sebagai fungsi r maka persamaan (3–5) dapat dituliskan kembali menjadi:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rπεq

qrEP 14 0

0 (3–6)

Dalam hal ini muatan q0 kita anggap sebagai sumber potensial bagi q. Dengan demikian sumber energi potensial, yang selanjutnya disebut potensial listrik saja, dirumuskan dengan:



( )rπε

qrV 1

4 0

0= (3–7)

Persamaan (3–7) merepresentasikan potensial yang dihasilkan oleh muatan q0. Sifat potensial listrik V (r) mirip dengan sifat medan listrik E . Potensial V (r) menyebar ke segala arah. Perbedaan antara V dan E adalah V merupakan besaran skalar sedangkan E merupakan besaran vektor. Dalam beberapa kasus, kita lebih mudah menangani besaran-besaran skalar dibanding dengan besaran vektor.

3 – 3 Menghitung Potensial Listrik

Seperti halnya medan listrik, potensial listrik juga dapat dihasilkan dari distribusi sejumlah muatan. Dalam kasus yang sederhana, suatu distribusi muatan yang berinteraksi dengan sebuah muatan tunggal q0 akan menghasilkan energi potensial listrik sebesar EP.

Misal distribusi muatan tersebut memiliki muatan netto total sebesar Q. Efek potensial Q terhadap q dapat diketahui dengan mudah jika muatan q Q. Berdasarkan persamaan (3–7), setiap muatan dapat menghasilkan potensial listrik. Antara q dan Q masing-masing menghasilkan potensial listrik yang mempengaruhi satu sama lain. Jika q Q maka efek potensial q terhadap Q dapat diabaikan sehingga potensial yang muncul dalam sistem tersebut dapat diasumsikan hanya berasal dari muatan Q saja. Ini adalah cara lain untuk mendefinisikan potensial listrik suatu muatan sumber.

( ) ( )q

rEPrVq 0lim→

≡ (3–8)

Mengacu pada persamaan (3–3), kita juga dapat mengekspresikan potensial listrik dalam variabel medan listrik E . Seperti diketahui bahwa F = q E . Dengan mensubstitusikan F ke persamaan (3–3) kita peroleh:

Errq

πεsdr

rq

πεq

sdrr

qqπε

∆EP

r

r

r

r

=→•−=

•−=

∫

∫

20

020

0

20

0

41

41

41

2

1

2

1



∫

∫

•−=

•−=

2

1

2

120

041

r

r

r

r

sdEq

sdrrq

πεq∆EP

(3–9)

Persamaan (3–9) merupakan persamaan untuk mengetahui energi perubahan energi potensial dalam variabel medan listrik yang dihasilkan oleh muatan sumber.

Berdasarkan persamaan (3–8) kita dapat menentukan potensial listrik dalam variabel medan listrik E yaitu:

( )

∫ •−=

−=

2

1

r

rsdE

qEPr∆V

(3–10)

Potensial Listrik oleh Muatan Tunggal

Kita akan menerapkan konsep potensial listrik pada kasus paling sederhana yaitu potensial listrik oleh muatan tunggal. Perhatikan Gambar 3.3. Potensial listrik V yang dihasilkan oleh muatan q1 dapat dihitung dengan persamaan (3–7) yaitu:

( )rπε

qrV

Pdiq1

4 0

11

=

Jika di titik P diberi muatan listrik sebesar q2 (–) maka energi potensial muatan q2 oleh muatan q1 dapat dihitung dengan persamaan (3–6):

( )

rπεqq

rπεqq

VqrEP

14

14

0

21

0

12

2

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

Potensial Listrik oleh Banyak Muatan

Prinsip superposisi dapat diterapkan untuk menentukan potensial listrik yang dihasilkan oleh sistem banyak muatan terhadap suatu titik tertentu, sebagaimana medan listrik.

Gambar 3.4 Sebuah partikel bermuatan q1 (+) berada pada jarak r terhadap titik P



Perhatikan Gambar 3.5. Potensial listrik pada titik P adalah EP (p) = EP1 + EP2 + EP3.

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

++=

3

3

2

2

1

1

0

3

3

02

2

01

1

0

41

41

41

41

rq

rq

rq

πε

rq

πεrq

πεrq

πεpEP

(*)

Perhatikan bahwa potensial listrik adalah besaran skalar sehingga potensial total merupakan penjumlahan skalar biasa. Hal ini tentu saja membuat persoalan menjadi lebih mudah dibanding jika kita menjumlahkan besaran vektor.

Hasil perhitungan pada persamaan (*) dapat kita generalisasi untuk sistem yang terdiri dari n muatan yang berjarak r1 hingga rn terhadap suatu titik tertentu.

∑=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

+++=

n

i i

i

n

n

n

nmuabanyak

rq

πε

rq

...rq

rq

rq

πε

rq

πε...

rq

πεrq

πεrq

πεEP

10

3

3

2

2

1

1

0

03

3

02

2

01

1

0tan

41

41

41

41

41

41

Muatan-muatan pada benda dapat kita partisi menjadi segmen muatan kecil dq yang masing-masing menghasilkan potensial listrik di titik P sebesar dV. Potensial total pada titik P dengan demikian penjumlahan seluruh potensial yang dihasilkan oleh setiap segmen muatan atau:

( ) ∫= dVrV

( )

∫

∫

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rdq

πε

rq

πεdrV

0

0

41

41

(3–11)

Untuk benda berdimensi satu seperti kawat panjang maka potensial listrik yang dihasilkan oleh muatan yang terdistribusi pada kawat tersebut dapat ditentukan dengan persamaan:

( ) ∫=rλdl

πεrV

041 (3–12)

r1

r2 r3

Gambar 3.5 Tiga muatan identik diletakkan pada tiga titik sudut persegi panjang. Potensial listrik pada titik P merupakan jumlah total dari potensial yang dihasilkan oleh muatan q1, q2 dan q3.

Gambar 3.6 Jika muatan terdistribusi pada benda-benda seperti kawat, lempengan atau batang logam seperti tampak pada gambar di samping maka kita dapat menggunakan analogi sistem banyak muatan untuk menentukan potensial listrik pada sembarang titik di luar benda bermuatan tersebut, misalnya di titik P.



Dimana λ menyatakan jumlah muatan per satuan panjang, diukur dalam satuan C/m. Untuk benda berdimensi dua seperti lempengan logam atau disc maka potensial dapat ditentukan dengan persamaan:

( ) ∫=rσdA

πεrV luasan

041 (3–13)

σ menyatakan jumlah muatan per satuan luas, diukur dalam C/m2. Untuk benda tiga dimensi maka potensial listrik yang dihasilkan dapat ditentukan dengan persamaan:

( ) ∫=rρdτ

πεrV volume

041 (3–14)

Dimana ρ menyatakan jumlah muatan per satuan volume yang dimiliki oleh benda tersebut.

Untuk lebih jelasnya kita akan membahas beberapa contoh perhitungan potensial pada benda-benda yang memiliki geometri berbeda-beda.

Contoh soal 1:

Sebuah cincin yang memiliki jari-jari a memiliki muatan total sebesar Q. Titik P berada pada jarak x dari titik pusat cincin. Tentukan potensial listrik di titik P akibat muatan cincin tersebut!

Pembahasan:

Perhatikan Gambar 3.7, setiap segmen pada cincin mengandung muatan sebesar dq yang memiliki jarak r

terhadap titik P dimana 22 xar += . Potensial listrik yang dihasilkan oleh setiap segmen muatan dq adalah:

220

0

41

41

xa

dqπε

rdq

πεdV

+=

=

(**)

Perhatikan bahwa persamaan (**) adalah bentuk persamaan yang sederhana. Nilai a dan x konstan untuk setiap segmen dan P. Demikian juga dengan r. Dengan demikian potensial total yang dihasilkan cincin adalah:

∫= dVV

Gambar 3.7 Setiap segmen pada cincin mengandung muatan sebesar dq yang memiliki jarak r terhadap titik P dimana

22 xar += .



220

220

220

41

14

1

41

xa

Qπε

Qdqdqxaπε

xa

dqπε

V

+=

=→+

=

+=

∫∫

∫

Contoh soal 2:

Sebuah titik P berada pada jarak x dari titik pusat sebuah disc bermuatan total Q yang memiliki jari-jari R seperti terlihat pada Gambar 3.8. Tentukan potensial total yang dihasilkan oleh disc bermuatan pada titik P!

Pembahasan:

Untuk mempermudah penyelesaian soal maka kita asumsikan disc merupakan kumpulan dari cincin-cincin yang konsentrik. Pada gambar di samping diperlihatkan salah satu segmen cincin yang memiliki jari-jari a. Muatan dq yang dibawa cincin tersebut memiliki jarak sebesar

22 xar += .

Densitas muatan permukaan disc adalah σ dimana

2RQ

AQ

πσ == . Kita dapat menghubungkan densitas σ

dengan densitas muatan yang dikandung cincin. Untuk segmen cincin setebal da memiliki luas permukaan sebesar dA = 2πada. Muatan yang dibawa pada segmen tersebut adalah dq = σ (2πada). Dengan demikian potensial yang dihasilkan oleh setiap segmen muatan dq adalah:

rdqdV

041πε

=

r

r

Gambar 3.8 Sebuah titik P berada pada jarak x dari titik pusat sebuah disc bermuatan total Q yang memiliki jari-jari R



⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

+=

+=

+=

+=

∫

∫

xxRεσ

xaεσ

xa

adaεσ

xa

πadaσπε

V

xa

πadaσπε

dV

R

R

R

22

0

0

22

0

0 220

0 220

220

2

2

2

24

1

24

1

Dengan memasukkan 2RQπ

σ = maka potensial total yang

dihasilkan disc adalah:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+= xxR

RQV 22

202πε

Contoh soal 3:

Sebuah bola memiliki muatan yang terdistribusi secara merata pada permukaannya. Jari-jari bola adalah R. Tentukan potensial listrik pada titik P!

Pembahasan:

Muatan terdistribusi pada permukaan bola sehingga potensial listrik dapat ditentukan dengan persamaan (3–13):

( ) ∫=rdArV luasan

σπε041 (a)

Jarak setiap segmen muatan pada permukaan bola dinyatakan dengan r. Akan lebih mudah jika koordinat r dinyatakan dengan koordinat polar:

'cos222 θRzzRr −+= (b)

Segmen luas bidang dA yang mengandung muatan dq dapat dinyatakan sebagai:

dA = R2 sin θ’ dθ dφ’ (c)

φ’

Gambar 3.9 Sebuah bola memiliki muatan yang terdistribusi secara merata pada permukaannya



Pada langkah pengintegralan pertama kita mengintegralkan persamaan (a) terhadap φ’ dimana φ’ merupakan variabel sudut dalam bidang horisontal. Pada langkah pengintegralan kedu akita mengintegralkan persamaan (a) terhadap θ’. Hal ini karena kita telah menyatakan segmen luas bidang bola dalam variabel θ’ dan φ’, lihat persamaan (b). Batas integral untuk φ’ adalah dari 0 hingga 2π sedangkan batas integral untuk θ’ adalah dari 0 hingga π.

Dengan memasukkan (b) dan (c) pada persamaan (a) diperoleh:

( )

∫

∫

∫ ∫

−+=

−+=

−+=

π

π

π π

θ

θθε

σθ

θθπεπσ

θ

φθθπεσ

0 220

2

0 220

2

0

2

0 22

2

0

'cos2

''sin2

'cos2

''sin4

2'cos2

'''sin4

RzzR

dRRzzR

dRRzzR

ddRrV luasan

Hasi pengintegralan kedua adalah sebagai berikut:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]RzzRzRrV

RzzRRzzRzRzR

RzzRRzzRzR

RzzRRz

R

RzzR

dRrV

luasan

luasan

−−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−++→⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

−+= ∫

0

222222

2222

0

0

22

0

2

0 220

2

2

22

222

'cos212

'cos2

''sin2

εσ

εσ

θε

σ

θ

θθε

σ

π

π

Perhatikan dengan seksama bahwa suku persamaan

RzzR 222 −+ ekuivalen dengan ( )zR − . Dari soal ini kita dapat memprediksikan bahwa ada dua daerah yang terdapat potensial listrik yang dihasilkan oleh muatan yang terdistribusi pada permukaan bola. Suku ( )zR − untuk z di

luar bola, sehingga z > R, maka suku RzzR 222 −+ dituliskan sebagai (z – R).

Dengan demikian untuk daerah di luar bola maka potensial listrik yang dihasilkan adalah:



( )

zQ

RQ

zR

RQ

zR

RzRrV bolaluardi

02

0

2

20

20

41

4

4

22

πεπε

πσ

εσ

εσ

==

=→=

=

Untuk daerah di dalam bola maka potensial yang dihasilkan adalah:

( )

RQR

QRR

QR

zzRrV boladalamdi

0

20

20

0

41

4

4

22

πε

πε

πσ

εσε

σ

=

=

=→=

=

Potensial Listrik dari Distribusi Muatan

Suatu distribusi muatan tertentu terdiri dari beberapa muatan yang saling berinteraksi satu sama lain. Setiap muatan menghasilkan medan listrik dan juga potensial. Dalam suatu sistem yang terdiri dari banyak muatan maka sistem tersebut akan memiliki potensial netto yang dihasilkan karena muatan-muatan yang ada di dalamnya.

Pada sub bab sebelumnya kita telah membahas mengenai potensial yang dihasilkan oleh sekumpulan muatan yang bekerja pada satu muatan tunggal atau titik tunggal. Pada sub bab ini kita akan mendiskusikan hal sebaliknya yaitu potensial yang dibutuhkan untuk memindahkan sistem banyak muatan dari titik tak berhingga ke suatu titik r tertentu.

Perhatikanlah sistem yang terdiri dari tiga partikel bermuatan masing-masing q1, q2 dan q3. Untuk mengangkut muatan pertama q1 dari titik tak berhingga ke titik P tidak diperlukan kerja eksternal. Ketika muatan kedua dipindahkan dari titik tak berhingga ke titik P maka terdapat kerja eksternal yang harus dilakukan karena adanya interaksi antara q1 dan q2 sehingga kerja eksternal yang harus dilakukan adalah sebesar:



12

21

0

1212

41

rqq

VqEP

πε=

=

Yang mana, r12 menyatakan jarak antara muatan q1 terhadap q2.

Jika dikehendaki juga untuk memindahkan muatan ketiga q3 maka kerja eksternal yang harus diberikan adalah sebanding dengan besar energi potensial interaksi antara q3 dengan q1 dan q2. Dengan demikian kerja eksternal yang harus diberikan untuk memindahkan muatan ketiga dari titik tak berhingga ke titik P adalah:

23

32

013

31

0

2313

2313123

41

41

rqq

rqqVqVq

EPEPEP

πεπε+=

+=+=

Kerja eksternal total yang ahrus diberikan untuk memindahkan ketiga muatan tersebut adalah:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

++=

++=++=

=

23

32

13

31

12

21

0

23

32

013

31

012

21

0

231321

231312

41

41

41

41

rqq

rqq

rqq

rqq

rqq

rqq

VqVqVqEPEPEP

EPW Total

πε

πεπεπε

Persamaan di atas dapat digeneralisasi untuk sistem yang terdiri dari n muatan:

∑<

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

ji ij

ji

rqq

rqq

rqq

rqqEP

0

23

32

13

31

12

21

0

41

...4

1

πε

πε (3–15)

rij menyatakan jarak antara muatan ke i dan ke j. Persamaan (3–15) mengindikasikan bahwa setiap partikel bermuatan harus berpasangan dengan muatan yang lain. Persamaan (3–15) juga menunjukkan dengan sangat jelas bahwa setiap muatan harus berinteraksi dengan muatan lain yang berbeda. Suatu muatan tidak dapat berinteraksi dengan dirinya sendiri untuk menghasilkan energi potensial.



Karena harus muncul dalam formasi berpasang-pasangan maka persamaan (3–15) dapat dinyatakan ulang sebagai:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= ∑

≠ jiji ij

ji

rqq

EP,04

121

πε

Faktor ½ muncul sebagai konsekuensi bahwa partikel berada dala konfigurasi yang saling berpasangan sehingga interaksi yang terjadi adlaah ½ dari jumlah partikel yang menjadi elemen sistem tersebut. Dengan demikian,

∑≠

=ji

ji ij

ji

rqq

EP, 04

121

πε (3–16)

Persamaan (3–16) dapat kita jabarkan lebih lanjut untuk memperoleh persamaan yang lebih eksplisit yaitu:

11

303

202

101

21

...4

121

41

21

41

21

Vq

rq

qrq

qrq

qEPj

j

j

j

j

j

=

+++= ∑∑∑πεπεπε

Dimana V1 adalah potensial yang bekerja pada muatan q1, V2 adalah potensial yang bekerja pada muatan q2 dan seterusnya.

3 – 4 Permukaan Ekipotensial

Muatan menghasilkan potensial listrik yang menyebar ke segala arah. Daerah di sekitar muatan yang memiliki potensial konstan disebut sebagai daerah ekipotensial. Untuk daerah tiga dimensi dikenal permukaan ekipotensial sedangkan untuk daerah dua dimensi dikenal istilah garis ekipotensial.

Perhatikan potensial yang dihasilkan oleh muatan tunggal pada Gambar 3.10. Potensial listrik yang dihasilkan oleh muatan tersebut berbanding terbalik dengan jarak r. Potensial pada jarak radial yang sama memiliki besar yang sama di setiap titik pada wilayah tersebut.

Sebuah partikel bermuatan yang diletakkan di pusat bola akan menghasilkan bidang ekipotensial. Pada Gambar 3.10 potensial pada sepanjang garis lingkaran adalah sama untuk setiap titik pada garis tersebut. Bidang ekipotensial

(3–17)

Gambar 3.10 Distribusi potensial listrik yang dihasilkan oleh muatan tungga q (+)



yang dibentuk oleh muatan tunggal tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.11.

Jika terdapat suatu muatan yang bergerak sepanjang lintasan atau permukaan bidang ekipotensial maka tidak ada kerja yang dihasilkan karena potensial pada setiap titik tersebut adalah sama.

Pada material konduktor, elektron-elektron pada permukaan berada dalam kesetimbangan elektrostatik. Potensial di setip titik pada konduktor tersebut adalah seragam sehingga permukaan material konduktor termasuk dalam kategori bidang ekipotensial.

Perhatikan contoh berikut ini:

Gambar 3.12 Bidang ekipotensial yang dibentuk oleh dua muatan yang berdekatan.

Muatan berwarna kuning adalah muatan positif sedangkan muatan berwarna biru adalah muatan negatif. Garis berwarna biru menunjukkan bidang ekipotensial yang dibentuk oleh konfigurasi dua muatan tersebut. Perhatikan bahwa bidang ekipotensial tersebut berbeda dengan pola-pola medan listrik yang dihasilkan oleh dua muatan.

Titik-titik disepanjang garis atau bidang ekipotensial akan merasakan potensial listrik yang sama besar. Jika digambarkan dalam bentuk grafik, bidang ekipotensial yang dibentuk oleh muatan tersebut terlihat seperti Gambar 3.13.

Gambar 3.11 Bidang ekipotensial yang dibentuk oleh muatan tunggal q (+). Vektor bidang ekipotensial sejajar dengan vektorm medan listrik E

Garis medan listrik

Bidang ekipotensial Bidang ekipotensial

Gambar 3.13 Grafik yang menunjukkan warna-warna yang berbeda dimana setiap warna mewakili satu daerah bidang ekipotensial.



3 – 5 Gradien Potensial

Pada sub bab 3–3 kita telah menyinggung sedikit mengenai hubungan antara energi potensial listrik dengan medan listrik yang dinyatakan secara eksplisit pada persamaan (3–9). Jika energi potensial listrik yang dihasilkan oleh suatu muatan diketahui maka kita dapat mencari medan listrik dari muatan tersebut berdasarkan persamaan (3–9).

∫

∫

•−=

•−=

2

1

2

120

041

r

r

r

r

sdEq

sdrrq

πεq∆EP

Karena ∆EP = q∆V maka:

∫∫

∫∫

•−=

=→•−=

=

2

1

2

1

2

1

2

1

rr

rr

rr

rr

sdEdV

dV∆VsdE∆V

q∆∆∆EP

Suku dalam integral memiliki nilai yang sama karena batas-batas integral adalah sama sehingga:

sdEdV •−= (3–18)

Untuk kasus dimana medan listrik E sejajar dengan normal bidang ekipotensial maka persamaan (3–18) dapat dituliskan dalam bentuk skalar yaitu:

dsdVE

dsEdV

−=

−= (3–19)

Perhatikan bahwa medan listrik dan potensial listrik adalah dua jenis besaran yang berbeda. Persamaan (3–19) hanya memberikan besar dari medan listrik yang dihasilkan dari potensial listrik V. Medan listrik merupakan turunan pertama dari potensial. Potensial listrik sendiri merupakan fungsi dari jarak (r). Turunan pertama potensial listrik V terhadap ds tidak lain adalah gradien dari potensial listrik itu sendiri.

Persamaan (3–19) mengandung sedikit masalah karena kita tidak dapat mengetahui komponen medan listrik. Kita hanya mengetahui besarnya saja tetapi bukan arahnya.



Adalah menjadi suatu hal yang penting juga untuk menelusuri lebih lanjut persamaan (3–19). Jika diperhatikan dengan seksama, persamaan (3–18), yang menjadi nenek moyang persamaan (3–19), merupakan persamaan yang mengandung operasi vektor di dalamnya yaitu antara medan listrik E dan posisi ds. Dengan menguraikan persamaan (3–18) dalam komponen vektornya, kita peroleh persamaan berikut ini:

kEjEiEE

kdzjdyidxsd

zyx ++=

++=

Substitusikan ke persamaan (3–18) diperoleh:

( ) ( ) ( )[ ]

dzEdyEdxEkkjjii

kkdzEjjdyEiidxEdV

zyx

zyx

−−−==•=•=•→

•+•+•−=

1 (3–20)

Perubahan potensial listrik jika partikel bermuatan bergerak dari koordinat r = (xi + yj + zk) ke koordinat r + ds = (x + dx)i + (y + dy)j + (z + dz)k adalah:

dzzVdy

yVdx

xVdV

∂∂

+∂∂

+∂∂

= (3–21)

Simbol ∂ menyatakan turunan parsial, dxxV∂∂

berarti

turunan parsial V terhadap x dan seterunya.

Dengan menggabungkan persamaan (3–20) dan (3–21) diperoleh:

zzVy

yVx

xVE

∂∂

−∂∂

−∂∂

−= (3–22)

Persamaan (3–22) merupakan persamaanyang menghubungkan antara potensial listrik dengan medan listrik dalam notasi vektor. Persamaan (3–22) dapat dinyatakan dalam persamaan yang lebih praktis dengan menggunakan notasi Ñ (baca: del) yang didefinisikan sebagai:

zyxzyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇ (3–23)

Persamaan (3–22) dapat dituliskan kembali menjadi:



( )

( )VEVE

zz

yy

xx

Vzz

yy

xx

E

−∇=

−∇=

∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

→−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

(3–24)

Bab 3 Gerak Dalam Dua Dan Tiga Dimensi Gambar Cover Bab 3 Gerak Dalam Dua dan tiga Dimensi Sumber: Dokumentasi Penulis

Gambar Sumber

Gambar 3.1 Energi potensial gravitasi suatu benda dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi. Energi potensial listrik dipengaruhi oleh interaksi suatu muatan dengan muatan yang lain.

Tipler, P.A. and Mosca, G. Physics For Scientist and Engineers: Extended Version, 5th Edition. W.H. Freeman & Company. Page : 722.

Gambar 3.2 Sebuah partikel bermuatan q berada pada titik asal O. Sebuah partikel bermuatan lainnya yaitu q0 bergerak dari titik a ke titik b melalui lintasa yang bertanda panah.

Dokumentasi Penulis

Gambar 3.3 Sebuah muatan dari jarak yang sangat jauh berinteraksi dengan muatan q yang diam.


Gambar 3.4 Sebuah partikel bermuatan q1 (+) berada pada jarak r terhadap titik P

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999. College Physics, 7th Edition, USA: Harcourt Brace College Publisher. Page: 540.

Gambar 3.5 Tiga muatan identik diletakkan pada tiga titik sudut persegi panjang. Potensial listrik pada titik P merupakan jumlah total dari potensial yang dihasilkan oleh muatan q1, q2 dan q3.

Dokumentasi Penulis

Gambar 3.6 Jika muatan terdistribusi pada benda‐benda seperti kawat, lempengan atau batang logam seperti tampak pada gambar di samping maka kita dapat menggunakan analogi sistem banyak muatan untuk menentukan potensial listrik pada sembarang titik di luar benda bermuatan tersebut, misalnya di titik P.

Fishbane, P.M., et.al. 2005. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 3rd Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc. Page: 687.

Gambar 3.7 Setiap segmen pada cincin mengandung muatan sebesar dq yang memiliki

jarak r terhadap titik P dimana 22 xar += .


Gambar 3.8 Sebuah titik P berada pada jarak x dari titik pusat sebuah disc bermuatan total Q yang memiliki jari‐jari R


Gambar 3.9 Sebuah bola memiliki muatan yang terdistribusi secara merata pada permukaannya

Griffith, D.J. 1999. Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458. Page: 115.

Gambar 3.10 Distribusi potensial listrik yang dihasilkan oleh muatan tungga q (+)


Gambar 3.11 Bidang ekipotensial yang dibentuk oleh muatan tunggal q (+). Vektor bidang ekipotensial sejajar dengan vektorm medan listrik E.


Gambar 3.12 Bidang ekipotensial yang dibentuk oleh dua muatan yang berdekatan.


Gambar 3.13 Grafik yang menunjukkan warna‐warna yang berbeda dimana setiap warna mewakili satu daerah bidang ekipotensial.


Daftar Pustaka

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999. College Physics, 7th Edition, USA: Harcourt

Brace College Publisher.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 11, 1st Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 12, 1st Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Fishbane, P.M., et.al. 2005. Physics for Scientists and Engineers with Modern

Physics, 3rd Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Huggins, E.R. 2000. Physics 2000. Moose Mountain Digital Press. Etna, New

Hampshire 03750.

Tipler, P.A. and Mosca, G. Physics For Scientist and Engineers: Extended Version,

5th Edition. W.H. Freeman & Company.

Young, Freedman. 2008. Sears and Zemanky’s University Physics with Modern

Physics, 12th Edition. Pearson Education Inc.

Crowell, B. 2005. Electricity and Magnetism. Free Download at:

http://www.lightandmatter.com.

Crowell, B. 2005. Optics. Free Download at: http://www.lightandmatter.com.

Halliday, R., Walker. 2006. Fundamental of Physics, 7th Edition. USA: John Wiley &

Sons, Inc.

Pain, H.J. 2005. The Physics of Vibrations and Waves, 6th Edition. John Wiley &

Sons Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex PO19

8SQ, England.

Mason, G.W., Griffen, D.T., Merril, J.J., and Thorne, J.M. 1997. Physical Science

Concept, 2nd Edition. Published by Grant W. Mason. Brigham Young

University Press.

Cassidy, D., Holton, G., and Rutherford, J. 2002. Understanding Physics, Springer–

Verlag New York, Inc.

Serway, R.A. and Jewet, J. 2003. Physics for Scientist and Engineers, 6th Edition.

USA: Brooks/Cole Publisher Co.

Vanderlinde, J. 2005. Classical Electromagnetic Theory, 2nd. Kluwer Academic

Publisher, Dordrecht.

Griffith, D.J. 1999. Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition. Prentice Hall, Upper

Saddle River, New Jersey 07458.

Reitz, J.R., Milford, F.J., and Christy, R. W. 1993. Foundations of Electromagnetic

Theory, 4th Edition. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Bloomfield, L. 2007. How Everything Works: Making Physics Out of The Ordinary.

USA: John Wiley & Sons, Inc.

41133401 bab 03 potensial listrik

Documents