4. ukuran nilai tengah & dispersi

8/7/2019 4. Ukuran Nilai Tengah & Dispersi

1/9

R Astuti 1

Kuliah

Oleh Ir. Rahayu Astuti, M.Kes

UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENCY CENTRAL)

DAN DISPERSI/ VARIABILITAS DATA

Ukuran gejala terpusat adalah :

Nilai spesifik yang merupakan ukuran dimana data itu terkonsentrasi

(terpusat) pada suatu nilai. Nilai konsentrasi ini sudah dapat memberi gambaran salah

satu sifat dari data yang diamati (secara deskriptif).

Ukuran gejala terpusat yang lazim digunakan yaitu:

1. Mean = rata-rata hitung = arithmetic mean2. Median = nilai tengah3. Modus

1. MEAN (X ) = rata-rata hitung* Data yang mempunyai nilai x adalah data dengan skala rasio/interval

* Merupakan nilai yang baik mewakili suatu data

* Nilai ini sangat sering dipakai dan malah yang paling banyak dikenal dalam

menyimpulkan sekelompok data

* Sifat dari mean:

1. Merupakan wakil dari keseluruhan nilai2. Mean sangat dipengaruhi nilai ekstrim kecil maupun besar3. Nilai mean berasal dari semua nilai pengamatan

* Keuntungan penggunaan mean:

- Nilai rata-rata hitung mempertimbangkan semua nilai pengamatan* Simbul rata-rata untuk sampel adalah x

Simbul rata-rata untuk populasi adalah

atau

Keterangan : i : 1,2,3,. . . .n

X : rata-rata hitung

Xi : hasil penjumlahan nilai pengamatann : jumlah pengamatan

x1 + x2 + . xnx =

n

Xix =

n


2/9

R Astuti 2

Contoh:

Nilai ujian 5 mahasiswa adalah: 70, 69, 45, 80 dan 56

Maka nilai mean rata-rata hitungnya adalah:

70+ 69+ 45 + 80 + 56

x = = 645

2. MEDIAN (Me)

Median adalah nilai yang terletak pada observasi yang ditengah, kalau data tersebut

telah disusun. Atau dengan kata lain median adalah nilai yang membagi data menjadi

dua sama besar (50% nilai kecil dan 50% nilai besar). Jadi Me adalah nilai yang

letaknya ada di tengah-tengah data setelah data diarray (diurutkan) dari nilai kecil ke

nilai besar atau sebaliknya.

Data yang mempunyai nilai Me adalah data berskala rasio/interval. Keuntungan penggunaan Me: Nilai median lebih stabil karena tidak

dipengaruhi nilai pengamatan yang ekstrim.

Kerugian menggunakan median dibandingkan mean adalah: Me tidakmempertimbangkan nilai-nilai sebagian besar pengamatan, sehingga secara

umum kurang efisien dibandingkan dengan nilai mean

Contoh:

* Jika banyaknya data adalah n dan n ganjil maka nilai median adalah nilai

pengamatan ke (n + 1) /2

Contoh:

Data : 2, 3, 3, 4, 6

Nilai Me adalah nilai yang terletak pada urutan ke (5 + 1) / 2 = 3

Yaitu jatuh pada nilai 3

* Jika n genap, maka nilai median adalah nilai pengamatan yang ke n / 2

Contoh:

Data : 2, 3, 3, 4, 6, 7 (n=6)

Nilai Me adalah nilai yang terletak antara urutan ke 3 dan 4

Yaitu : ( 3 + 4 ) / 2 = 3,5


3/9

R Astuti 3

3. MODUS (Mo)

Modus merupakan suatu nilai yang mempunyai frekuensi terbanyak Data yang mempunyai nilai modus adalah data dengan skala rasio/interval,

ordinal dan nominal Sifat modus: Tidak terpengaruh oleh nilai ekstrim besar atau kecil Pada data dengan skala nominal/ ordinal bisa langsung dibaca nilai data yang

mempunyai frekuensi tertinggi.

Contoh:

Terdapat data: 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14

Frekuensi terbanyak adalah : 4

Terjadi pada data bernilai 34 maka Mo = 34

Xi fi12

14

28

34

1

2

2

4

Data dapat tidak mempunyai modus, bila tidak ada nilai-nilai yang sama didalam kumpulan data tersebut

Sekumpulan data bisa mempunyai lebih dari satu modusJika mempunyai satu modus unimodal

Jika mempunyai dua modus bimodal

Jika mempunyai tiga modus trimodal

Jika nilai mean = median = modus kurvanya akan simetris

x= Me = MoKurva simetris


4/9

R Astuti 4

Mo Me x x Me Mo

x > Me > Mo x < Me < MoKurva menceng ke Kurva menceng ke kiri

Kurva positif Kurva negatif

NILAI PENYEBARAN (DISPERSI/VARIABILITAS)

Nilai penyebaran disebut juga ukuran variabilitas atau ukuran dispersi yaitu:

Suatu ukuran untuk mengetahui sejauh mana data yang ada itu menyebar.

Jenis-jenis nilai penyebaran:

1. Range2. Mean deviasi = rata-rata simpangan3. Standard deviasi4. Varians5. Koefisien variasi

1. RANGE

Range atau rentang adalah nilai yang menunjukkan perbedaan nilaipengamatan yang paling besar dengan nilai yang paling kecil.

Kelemahan: Tidak dapat mengetahui bagaimana variasi nilai-nilai di dalamdata itu (tanpa memperhitungkan seluruh nilai-nilai), lebih-lebih kalau nilai-

nilai diujung data itu angka-angkanya ekstrim.

Contoh:

Data 1 : 0, 8, 8, 9, 9, 25 range = 25 0 = 25

Data 2 : 0, 5, 10, 15, 20, 25 range = 25 0 = 25


5/9

R Astuti 5

2. MEAN DEVIASI = RATA-RATA DEVIASI

Mean deviasi adalah penyimpangan nilai-nilai data terhadap nilai mean nya Atau rata-rata dari seluruh perbedaan pengamatan dibagi banyaknya

pengamatan, dan untuk ini digunakan nilai mutlak.

Nilai ini jarang digunakan Nilai ini lebih cermat dari nilai range

Keterangan:

xi x : jarak antara xi dan xn : banyaknya pengamatan

x : mean / rata-rata hitungContoh :

Data : 80,70,100,110 maka mean (x ) = (80 + 70 + 100 + 110) / 5 = 90

xi ( xi x ) xi x ( xi x )2

80

70

100

110

10 2010

20

10

20

10

20

100

400

100

400Jumlah 60 1000

n = 4

xi x = 60

xi x 60Mean deviasi = = = 15

n 4

2. VARIANS Varians adalah variasi nilai-nilai individual dibandingkan dengan nilai mean Simbul varians :

Untuk sampel s2

Untuk populasi2

( xi - x )2Varians ( s

2) =

n 1

xi x Md =

n


6/9


7/9

R Astuti 7

Keterangan : s = standard deviasi

x = rata-rata hitung (mean)

Contoh:

Rata-rata TB mahasiswa AKPER = 160 cm dan s = 5,5 cm

Rata-rata TB mahasiswa AKZI = 157 cm dan s = 4,8 cm

Maka :

KV ( TB mahasiswa AKPER ) = ( 5,5/ 160) 100% = 3,44%

KV ( TB mahasiswa AKZI ) = ( 4,8/ 157) 100% = 3,06%

TB mahasiswa AKZI relatif lebih uniform

TB mahasiswa AKPER lebih bervariasi (data TB nya lebih menyebar)

NILAI LETAK (POSISI)

Nilai median adalah nilai pengamatan pada posisi paling ditengah kalau data itu

disusun (diarray). Nilai-nilai posisi lainnya adalah:

1. KUARTIL

Sekumpulan data dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesudah disusun

menurut urutan nilainya.Kuartil dibedakan menjadi 3:

1. Kuartil pertama (K1)2. Kuartil kedua (K2)3. Kuartil ketiga (K3)

Cara menentukan nilai kuartil:

1. Susun data menurut urutan nilainya2. Tentukan letak kuartil3. Tentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke i diberi lambang Ki

Rumus : i (n + 1 )

letak Ki = data ke 4

dengan I = 1, 2, 3

Ki = (n + 1)


8/9

R Astuti 8

Contoh :

Data : 2, 3, 5, 7, 7, 9, 12, 13, 15, 20 maka n = 10

Letak K1 = (10 + 1) = 2 Jadi K1 = 3 + [ ( 5 3 ) ] = 4

Letak K2 = (10 + 1) = 5 Jadi K1 = 7 + [ ( 9 7 ) ] = 8

2. DESIL

Sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama. Dibedakan Desil pertama

sampai demgan desil ke sembilan ( D1, . . . . .D9 )

Cara menentukan desil:

1.

Susun data menurut urutan nilainya2. Tentukan letak desil3. Tentukan nilai desil

Letak desil ke i , lambang Di

i (n + 1 )

Letak Di = data ke 10

i = 1, 2, . . . . . 10

Contoh :

Data : 5, 10, 15, 15, 20, 25, 30 , maka n = 7

Letak D3 = 3/10 ( 7 + 1) = 2,4 Jadi D3 = 10 + [ 0,4 ( 15 10 ) ] = 10,2

Letak D5 = 5/10 ( 7 + 1) = 4 Jadi D5 = 15

3. PERSENTIL

Sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama yang akan menghasilkan

99 pembagi berturut-turut P1, P2, . . . . .P99 )

Cara menentukan desil:

1. Susun data menurut urutan nilainya2. Tentukan letak persentil3. Tentukan nilai persentil


9/9

R Astuti 9

Letak persentil ke i , lambang Pi

i (n + 1 )

Letak Pi = data ke 100

i = 1,2,3, . . . .99

Contoh :

Data : 5, 10, 15, 15, 20, 25, 30 , maka n = 7

Letak P30 = 30/100 ( 7 + 1) = 2,4 Jadi P30 = 10 + [ 0,4 ( 15 10 ) ] = 10,2

Letak P50 = 50/100 ( 7 + 1) = 4 Jadi P50 = 15

LATIHAN :

1. Ambil sample secara acak 20 mahasiswa di kelas anda kemudian catatlah data

berat-badannya. Kemudian hitunglah :

a). Mean (rata-rata hitungnya), median dan modus

b). Standard deviasinya, varians dan koefisien variasi

c). Hitung pula : - Kuartil ( K1 dan K3 )

- Desil ( D4 dan D8 )

- Persentil ( P30 dan P70 )

2..

10 20 30 40 50 60 70

Dari grafik disamping ini cari :

a. Mediannyab. P40c. D2d. Nilai Q3

3. Hasil penimbangan berat badan anak sekolah pada kelas A dan kelas B adalah :

Berat badan anak kelas A Berat badan anak kelas B

20 21

25 22

18 24

27 23

Berat badan anak kelas manakah yang distribusinya lebih baik (seragam) ?

100

75

55

50

25

4. ukuran nilai tengah & dispersi

Documents