24 pg bab 6a transformasi

320 Transformasi Geometri

Menjelaskan arti geometridari komposisi transformasidi bidang.

Menentukan aturan trans-formasi dari komposisi be-berapa transformasi.

Menentukan matriks trans-formasi dari komposisitransformasi.

Kemampuan yang akan diperoleh

KomposisiTransformasi

Ilmu ini akan bermanfaat dalam bidang fotografi,geografi (pemetaan) maupun perencanaansuatu bangunan.

Jenis-JenisTransformasi

Menjelaskan operasi trans-lasi pada bidang besertaaturannya.

Menentukan persamaantransformasi rotasi padabidang beserta aturan danmatriks rotasinya.

Menentukan persamaantransformasi pencerminanpada bidang beserta aturandan matriks pencerminan-nya.

Menentukan persamaantransformasi dilatasi padabidang beserta aturan danmatrik dilatasinya.

321PG Matematika Kelas XII

Perhatikan gambar di atas.Seorang guru tari sedang melatih siswanya di ruangan sebuah sanggar. Dinding-dinding ruangan tersebutdipasangi cermin yang seukuran dengan dinding. Pemasangan cermin pada dinding dimaksudkan agarsiswa dapat melihat gerakannya secara langsung. Sehingga mereka dapat menilai gerakannya sudahbenar atau belum.

Sumber: Dokumentasi Penerbit


Perhatikan kembali gambar di muka. Siswa tersebut akanmelakukan gerakan sesuai yang dicontohkan gurunya. Misalkan gurumemberi contoh gerakan melangkahkan kaki kanan ke depan denganposisi lutut agak menekuk dan kedua tangan merentang, maka siswaakan menirukan gerakan tersebut. Dengan gerakan tersebut, posisibadan akan berubah dari tempat semula. Perubahan posisi inimerupakan salah satu contoh transformasi.

Jadi, transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisiyang lain. Dalam geometri, transformasi merupakan pemetaan setiapbangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnyapada bidang yang sama. Setiap benda atau bangun yangditransformasi akan mengalami perubahan bentuk, tempat, ataubesarnya. Transformasi P dari titik V(x, y) menghasilkan bayanganV(x, y) dituliskan:

P : V(x, y) V(x, y) atauP(V(x, y)) = V(x, y) atauV(x, y)

P V(x, y)

A. Jenis-Jenis Transformasi1. Translasi (Pergeseran)

Misalkan guru tari dan siswa-siswanya (pada gambar di muka),melakukan gerakan berupa geseran ke kanan 1 langkah, makaseluruh anggota badan (kaki, tangan, bahu, dan kepala) akanbergeser sejauh 1 langkah ke kanan. Pergeseran ini dinamakantranslasi.

Kita pandang badan sebagai suatu bangun dan anggotabadan sebagai titik-titik pada bangun tersebut, maka translasidapat diartikan sebagai pemindahan titik-titik pada bidang denganjarak dan arahnya sama. Jarak dan arahnya dinyatakan dengan

vektor translasi T =

ba

Vektor translasi T = ab artinya, pergeseran sejauh a satuan searah

sumbu X (ke kanan jika a > 0, ke kiri jika a < 0) dilanjutkan pergeseransejauh b satuan searah sumbu Y (ke atas jika b > 0, ke bawah jikab < 0) dari titik O(0, 0).

Transformasi merupakan per-pindahan suatu posisi ke posisi lain.Pada saat suatu benda mengalamitransformasi, terdapat titik ataugaris yang tidak berubah tempatatau berpindah tempat. Titik ataugaris ini disebut titik atau garisinvarian.


A(7, 4) = (3 + 4, 1 + 3)B(5, 4) = (1 + 4, 1 + 3)C(5, 6) = (1 + 4, 3 + 3)

x = x + a dany = y + b

Jika T

ba

: V(x, y) V(x, y), maka

yx

=

yx

+

...

....

1. Perhatikan gambar di samping.

Translasi T = menggeser

34

titik

P(2, 5) ke kanan sejauh . . . satuan,dilanjutkan ke bawah sejauh. . . satuan sampai d i t i t ikP(2 + . . . , 5 . . .) atauP(. . . , . . .).

Jadi, hasil translasi titik P(2, 5) oleh T =

34

adalah

P(. . . , . . .).2. Segi empat ABCD dengan A(1, 2), B(6, 2), C(6, 5), dan

D(1, 5) ditranslasi oleh T =

23

, maka:

A =

21

+

23

=

...2

; B =

...

... +

23

=

...

...;

C =

...

... +

23

=

...

...; dan D =

...

... +

23

=

...

....

Jadi, bayangan ABCD oleh T =

23

adalah ABCDdengan A(2, . . . ), B(. . . , . . .), C(. . . , . . .), danD(. . . , . . .).

Translasi dapat dinyatakan denganvektor yang panjang dan arahnyatertentu.

Dari titik K, L, M ditarik garis yang

sejajar dengan PQ sepanjang2,5 cm. Kemudian ujung-ujunggaris dihubungkan sehingga meng-hasilkan KLM yang kongruendengan KLM.

LK

M

K L

MP

Q

2,5 cm

30

X

Y

AB

CAB

C

8

7

65432

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Perhatikan gambar di samping.

Translasi T =

34

menggeser titik

A(3, 1), B(1, 1), dan C(1, 3) berturut-turut ke A(7, 4), B(5, 4), danC(5, 6). Hasil pergeseran tersebutmerupakan hasil penambahan titikA, B, dan C dengan (4, 3). Akibatpergeseran tersebut bentuk danukuran ABC tidak berubah. ABC ABC.

X

Y

0

P(2, 5)

1 2 3 4 5 6 7

6

54321 P

a

b

4

34 3

6 2

6 2

062

30

65

33

15

2 3

0 3 0 3 32 3


3. a. P(2, 3)

=

42

T P(4, . . .)

b. Q(3, 5)

=

2...

T Q(0, 7)

c. R(1, . . .)

=

53

T R(4, 3)

4. Diketahui garis AAAAA: 3x y + 6 = 0 ditranslasikan oleh

31

hasilnya AAAAA: ax + by + c = 0, maka a, b, dan c, dapat dicarisebagai berikut.Misalkan (x, y) adalah titik pada AAAAA dan (x, y) adalah titikpada AAAAA, maka:

yx

=

yx

+

31

.

Sehingga diperoleh:x = x + 1 x = x . . .y = y 3 y = y + . . .Substitusi x dan y ke AAAAA : 3x y + 6 = 0, diperoleh:

3(x . . .) (y + . . .) + 6 = 0 3x . . . y . . . + 6 = 0 3x . . . = 0sehingga AAAAA: 3x . . . = 0Jadi, a = . . . , b = . . . , dan c = . . . .

Perhatian.Garis AAAAA: 3x y = 0 merupakanbayangan dari garis AAAAA: 3x y + 6 = 0

oleh translasi

31

. Pemisalan xdan y pada garis AAAAA hanya untukmempermudah perhitungan. Dalamperhitungan dibolehkan mengguna-kan x dan y, tetapi untuk jawabanakhir x dan y diganti dengan x dan y,sehingga AAAAA : 3x y = 0.

3x y = 0 identik denganax + by + c = 0

Kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Persegi panjang yang titik sudutnya A(2, 1),B(5, 1), C(5, 3), dan D(2, 3) ditranslasikan

dengan

32

menjadi persegi panjang

ABCD. Gambarkan persegi panjangABCD.Jawaban:Menentukan koordinat dari A, B, C, dan D:

A'

A '

xy

= 21

+

32

= 04

B'

B'

xy

= 51

+

32

= 34

C'

C'

xy

= 53

+

32

= 36

D'

D'

xy

= 23

+

32

= 06

Jadi, koordinat A (0, 4), B (3, 4), C (3, 6) danD (0, 6).

7

3

2

13

1 33 3

yy

3 1 0

654321

0 1 2 3 4 5 6

D C

BA

X

Y


2. Diketahui PQR dengan P(1, 2), Q(6, 3), danR(3, 6) ditranslasikan sedemikian sehinggatitik P menempati titik Q. Tentukan hasiltranslasi titik yang lain.Jawaban:

P(1, 2) T

Q(6, 3), maka

T = 63

12

= 51

. Sehingga'

'

Q

Q

xy

= 63

+ 51

= 114

dan'

'

R

R

xy

= 36

+ 51

= 87

.Jadi, koordinat titik Q(11, 4) dan R(8, 7).

3. Segitiga ABC ditranslasikan dengan

14

hasilnya segitiga ABC. Tentukan koordinat A,B, dan C bila A(1, 4), B(2, 2), dan C(0, 6).Jawaban:

Diketahui translasi T = 41

.

A = A + T A = A T

'

'

A A

A A

xx 4y y 1

=

=

1 4 54 1 5

=

B = B + T B = B T

B

B

xy

= '

'

B

B

xy

41

=

2 4 22 1 3

=

C = C + T C = C T

C

C

xy

= '

'

C

C

xy

41

= 0 4 46 1 7

=

Jadi, koordinat A(5, 5), B(2, 3), danC(4, 7).

4. Diketahui garis x y 6 = 0. Tentukanpersamaan garis setelah ditranslasikan

dengan

21

.

Jawaban:Misal (x, y) pada x y 6 = 0 dan (x, y) padagaris hasil translasi, maka:

x x 1 x 1y y 2 y 2

+ = + =

+ Sehingga x = x + 1 x = x 1

y = y + 2 y = y 2

x dan y disubstitusikan ke x y 6 = 0,diperoleh

(x 1) (y 2) 6 = 0

x y 5 = 0

Jadi, persamaan garis hasil translasi adalahx y 5 = 0.

5. Jika garis ax + by + c = 0 ditranslasikan dengan

ba

, tentukan hasil bayangannya.

Jawaban:Misal (x, y) pada ax + by + c = 0 dan (x, y)pada garis hasil translasi, maka:

x x a x ay y b y b

+ = + =

+ Sehingga,x = x + a x = x ay = y + b y = y bx dan y disubstitusikan ke ax + by + c = 0diperoleh

a(x a) + b(y b) + c = 0

ax a2 + by b2 + c = 0

ax + by a2 b2 + c = 0

Jadi, persamaan garis hasil translasi adalahax + by a2 b2 + c = 0.


2. Rotasi (Perputaran)Perhatikan kembali gambar di muka. Pada saat gerakan

memutar payung, maka ujung-ujung jeruji payung tersebut akanberputar sesuai arah putaran yang dilakukan. Pada saat gerakanmemutar payung tersebut berhenti dan dilanjutkan ke gerakan lain,secara otomatis ujung-ujung jerujinya akan berhenti berputar.Sedangkan posisi ujung jeruji mungkin akan berpindah dari posisisemula sebelum diputar atau bisa juga kembali ke posisi semula.Sedangkan pegangan payung akan tetap pada posisi semula (tidakberubah). Gerakan memutar ini dinamakan rotasi.

Jika pegangan payung sebagai titik putar (pusat rotasi) danujung-ujung jeruji sebagai titik-titik pada suatu bangun, maka rotasidapat diartikan sebagai pemindahan titik-titik pada suatu bangundengan cara memutar dengan pusat titik putar. Suatu rotasi denganpusat P dan sudut putar ditulis R(P, ).

Gambar di samping me-nunjukkan titik Q(x1, y1) dirotasidengan pusat P(a, b) dan sudutputar menghasilkan bayanganQ(x1, y1).Sekarang, bagaimana menen-tukan koordinat Q?Coba, kita pecahkan per-masalahan ini bersama-sama.Untuk memperoleh Q, tentukandahulu matriks rotasi dari R(P, ).

Suatu rotasi ditentukan oleh pusatputaran (P), jauh putaran, dan arahputaran. Jika > 0, maka arahputaran berlawanan arah jarumjam. Jika < 0, maka arah putaransearah dengan arah jarum jam.

Perhatikan gambar rotasi titik Q dengan pusat P(a, b) di atas.PQR siku-siku di R dan PQS siku-siku di SRPQ = , QPQ = , dan SPQ = + PQ = PQ = r dan PS = TUDalam PQR berlaku:1. cos =

...PR

= r

ax1 x1 a = r cos . . . (1)

2. sin = ...

QR = 1

y - br y1 b = r sin . . .(2)

Di kelas X, kalian telah belajartentang perbandingan trigonometripada segitiga siku-siku.

sin = rb

, cos = ra

, dan

tan = ab

.

A B

C

a

br

X

Y

y1

y1

b

O a x1 x1

P

Q

R

Q

S

r

r

T U V

PQ

PQ


Dalam PQS, berlaku:3. cos( + ) =

...PS

= r

ax1

x1 a = r cos ( + ) x1 a = r cos cos r sin sin . . . (3)4. sin ( + ) =

...QS

= 1y b

r

y1 b = r sin ( + ) y1 b = r sin cos + r cos sin . . . (4)Substitusi (1) dan (2) ke (3) dan (4) diperoleh:x1 a = (x1 a) cos (y1 b) sin x1 = (x1 a) cos (y1 b) sin + . . . . . . (5)y1 b = (x1 a) sin + (y1 b) cos y1 = (x1 a) sin + (y1 b) cos + . . . . . . (6)

Dari (5) dan (6) diperoleh persamaan matriks:

1

1

yx

=

...sinsin...

byax

1

1 +

ba

Jadi, matriks rotasi dari R(P, ) adalah

...sinsin...

.

Pada bab Matriks, kalian telahmempelajari tentang:1. Perkalian Matriks

dbca

fe

=

+

+

dfbecfae

2. Determinan matriks

dbca

adalah a cb d = ad bc

3. Invers dari matriks A =

dbca

adalah A1 = a cb d

1 d cb a

4. Jika I =

1001

matriks

identitas dan A1 invers darimatriks A, maka A A1 = I.

Jika R(P, ) : V(x, y) V(x, y) dengan P(a, b), maka:

yx

=

...sinsin...

byax

+

...

....

x = x cos y sin + adan y = x sin + y cos + b

Kerjakan soal-soal berikut.xy

= R(P, 2

)((x, y))

= 2 2

2 2

cos sin x 0 0y 2 2sin cos

+

=

0 1 x 01 0 y 2 2

+

=

y 2x 2

+ +

1. Rotasi ABC dengan A(2, 1), B(5, 1), danC(3, 4) sebesar

2

radian dengan pusatP(0, 2) hasilnya ABC.a. Tentukan koordinat A, B, C.b. Tunjukkan dengan gambar.Jawaban:a. Misal (x, y) adalah hasil rotasi (x, y) oleh

R(P, 2

), maka

cos cos

cos cos

a

b

PQ

PQ

cos cos

a

b


Misal A(xA, yA), B(xB, yB), danC(xC, yC).

' ' 'A B C' ' '

A B C

x x xy y y

= 1 2 1 2 4 2

2 2 5 2 3 2 + + + + + +

=1 1 24 7 5

Jadi, koordinat A(1, 4), B(1, 7), danC(2, 5).

b.

2. Diketahui titik P(3, 1) dan A(8, 2). Tentukankoordinat titik A jika titik A merupakanbayangan titik A oleh rotasi berikut.

a. Rotasi (P, 4

) b. Rotasi (O, 4

)Jawaban:

a. A(x, y) R(P, )

4

A(8, 2), berarti

82

= 4 4

4 4

cos ( ) sin( ) x 3 3y 1 1sin( ) cos ( )

+

51

= 1 12 21 12 2

2 2 x 3y 12 2

x 3y 1

=

11 12 21 12 2

2 2 512 2

=

1 12 21 12 2

2 2 512 2

= 2 2

3 2

Sehingga diperoleh:

x 3 = 2 2 x = 3 + 2 2

y 1 = 3 2 y = 1 + 3 2

Jadi, koordinat A adalah (3 + 2 2 , 1 + 3 2 ).

b. A(x, y) R(O, )

4

A(8, 2), berarti

82

= 4 4

4 4

cos ( ) sin ( ) xysin ( ) cos ( )

82

= 1 12 21 12 2

2 2 xy2 2

xy

= 1 12 21 12 2

2 2 822 2

= 3 2

5 2

Sehingga diperoleh x = 3 2 dan y = 5 2.

Jadi, koordinat A adalah (3 2 , 5 2 ).

3. Titik A(4, 3) dan B(2, 5) adalah hasil rotasidari titik A(0, 5) dan B(2, 3). Tentukan titik pusatdan sudut rotasinya.Jawaban:Misal pusat rotasi P(a, b) dan sudut putar ,maka

A(0, 5) R(P, ) A(4, 3) dan

B(2, 3) R(P, ) B(2, 5) sehingga:

(i)4

3 =

cos sin 0 a asin cos 5 b b

+

= (b 5) sin a cos a(b 5) cos a sin b

+ +

Diperoleh: (b 5) sin a cos + a = 4(b 5) cos a sin + b = 3 (a + b 5) sin (a b + 5) cos +(a b) + 7 = 0 . . . (1)

(ii)25

= cos sin 2 a asin cos 3 b b

+

= (2 a)cos (3 b) sin a(2 a)sin (3 b) cos b

+ + +

Diperoleh:(2 a) cos (3 b) sin + a = 2(2 a) sin + (3 b) cos + b = 5 (a + b 5) sin + (a + b 1) cos + (a b) + 7 = 0 . . . (2)

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8A B

C

Y

X 2 1

CA

B


(2) (1) : (a + b 1 + a b + 5) cos = 0 4 cos = 0

cos = 0

=2

Substitusi = 2

ke (1):

(a + b 5) sin 2

(a b + 5) cos 2

+

(a b) + 7 = 0

(a + b 5) 1 + (a b) + 7 = 0 2a + 2 = 0 a = 1Akibatnya:

25

= 0 1 3 11 0 3 b b

+

25

= 3 b 13 b

+ +

Diperoleh:2 = 4 + b b = 2

Jadi, titik pusat putaran (1, 2) dan sudut

putar 2

.

4. Tentukan bayangan garis x 3y + 6 = 0 karenarotasi dengan pusat P(1, 2) dan sudut putar270.Jawaban:Diketahui persamaan garis x 3y + 6 = 0dirotasikan dengan pusat (1, 2) dan sudutputar 270 maka

xy

=

cos 270 sin 270 x 1 1sin 270 cos 270 y 2 2

+ +

D DD D

=0 1 x 1 11 0 y 2 2

+

+ =

y 2 1x 1 2+

+

= y 3x 1+

Sehingga x = y + 3 y = x 3

y = x 1 x = y 1Substitusi x dan y ke x 3y + 6 = 0 diperoleh (y 1) 3(x 3) + 6 = 0 3x + y 14 = 0Jadi, persamaan garis setelah dirotasi adalah3x + y 14 = 0.

3. Refleksi (Pencerminan)

Perhatikan gambar di atas. Kenapa guru menyuruh siswanyamemperhatikan gerakannya di cermin? Jika sebuah benda diletakkandi depan cermin, maka di cermin akan terbentuk bayangan denganbentuk dan ukurannya sama dengan benda tersebut. Seolah-olahbenda tersebut berpindah ke cermin dengan jarak bayangan kecermin sama dengan jarak benda ke cermin.

Pencerminan sebuah titik T ter-hadap titik S adalah pemindahan Tke T sehingga TS = ST.Titik invariannya adalah S.


Jika MP : V(x, y) V(x, y) dengan P(a, b), maka:

yx

=

...00...

yx

+

...

....x = x + 2a dany = y + 2b

b. Refleksi terhadap Garis1) Refleksi terhadap garis y = k (k R).

Perhatikan gambar di samping.Titik P direfleksikan terhadap garis y = k menghasilkanbayangan P.Titik R pada garis y = k dan PR = PR, sehingga diperolehhubungan:x = x x 0 = 1 x + 0 y . . . (1)y = 2k y y 2k = 0 x 1 y . . . (2)Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks:

k2y0x

=

1001

yx

yx

k20

=

1001

yx

yx

=

1001

yx

+

k20

.

X

Y

y

k

y

O x

P(x, y)

P(x, y)

Ry = k

PR = PR, maka:y k = k y y = 2k y

Begitu juga dengan siswa tersebut. Bayangan tubuhnya di cerminmempunyai bentuk dan ukuran yang sama dengan tubuhnya.Sehingga dengan melihat bayangannya di cermin, siswa tersebutdapat mengetahui gerakannya sudah sesuai dengan gerakan guruatau belum. Peristiwa ini disebut refleksi atau pencerminan.Pencerminan dinotasikan MP, dengan P adalah cermin/sumbu simetri.Berikut ini, akan kita pelajari refleksi terhadap sebuah titik dan refleksiterhadap sebuah garis.

a. Refleksi terhadap Titik

Perhatikan gambar di samping.Titik Q(x, y) dan R(x, b) direfleksikan terhadap titik P(a, b),menghasilkan bayangan Q(x, y) dan R(x, b).PQ = PQ, PR = PR = a x, dan QR = QR = b y, sehinggadiperoleh: x = x + 2(a x)

x = x + 2a x = x + 0y + 2a . . . (1)

y = y + 2(b y) y = y + 2b y = 0x y + 2b . . . (2)


yx

=

1001

yx

+

b2a2

.

X

Y

y

b

y

O x a x

P

Q

R

Q

R

(a x)

(b y)

MP =

1001

adalah matriks

pencerminan terhadap sembarangtitik P(a, b).

1

1

2a

2b


2) Refleksi terhadap garis x = k (k R).Perhatikan gambar di samping.Titik Q direfleksikan terhadap garis x = k menghasilkan bayanganQ. Titik S pada garis x = k dan QS = QS, sehingga:x = 2k x x 2k = 1 x + 0 y . . . (1)y = y y 0 = 0 x + 1 y . . . (2)Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks:

0yk2x

=

1001

yx

yx

0k2

=

1001

yx

yx

=

1001

yx

+

0k2

Jika Mx = k : V(x, y) V(x, y) dengan k R, maka:

yx

=

...00...

yx

+

0...

.

3) Refleksi terhadap garis y = mx.Perhatikan gambar di samping.Titik T(x1, y1) direfleksikan terhadap garis y = mx menghasilkanbayangan T(x1, y1).Dalam ROT, berlaku: cos (2 ) =

1xOT

x1 = OT cos (2 )= OT (cos 2 cos + sin 2 sin )= (OT cos ) cos 2 + (OT sin ) sin 2= x1 cos 2 + y1sin 2 . . . (1)

sin (2 ) =

1yOT

y1 = OT sin (2 )= OT (sin 2 cos cos 2 sin )= (OT cos ) sin 2 (OT sin ) cos 2= x1 sin 2 y1 cos 2 . . . (2)


1

1

x

y =

cos 2 sin 2sin 2 cos 2

1

1

xy .

QS = QS, maka:k x = x k x = 2k x

X

Y

y1

y1

O

T

Rx1 x1

T y = mx

m = tan (gradien garis y = mx) = sudut antara garis y = mx

dengan sumbu X+ = sudut antara OT dengan

sumbu X+x1 = OT cos y1 = OT sin ROT = 2( ) + = 2

Jika My = k : V(x, y) V(x, y) dengan k R, maka:

yx

=

...00...

yx

+

...0

.

X

Y

xk

y

0 x

Q (x, y)Q(x, y) S

x = k

11 2k

11

2k


4) Refleksi terhadap garis y = ax + b dengan a 0 dan b 0.Perhatikan gambar di samping.Titik P(x1, y1) direfleksikan terhadap garis y = ax + bmenghasilkan bayangan P(x1, y1).Dalam APQ, berlaku:

a) cos (2 ) =

AQAP

= +

b1 a

x

r

x1 + ba

= r cos (2 )

x1 + ba

= r cos 2 cos + r sin 2 sin

= (x1 + ba

) cos 2 + y1 sin 2

x1 = x1 cos 2 + y1 sin + ba

cos 2 ba= x1 cos 2 + y1 sin 2 +

ba

(cos 2 1) . . . (1)

b) sin (2 ) =

P QAP

= 1y

r y1 = r sin (2 )

= r sin 2 cos r cos 2 sin = (x1 +

ba

) sin 2 y1 cos 2

= x1 sin 2 y1 cos 2 + ba

sin 2 . . . (2)Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks:

1

1

x

y =


1

1

xy +

ba

cos 2 1sin 2 .

Secara umum, dapat kita simpulkan berikut ini.

X

Y

y1

y1

0

P

R

x1 x1

Py = ax + b

A

r

r

ab

QQ

QAR = adalah sudut antaragaris y = ax + b dengansumbu X+

QAP = QAP = 2( ) + = 2 AP = AP = rPQ = r sin y1 = r sin

AQ = r cos

x1 + ab

= r cos

My =


merupakan matriks pencerminanterhadap garis y = mx. Jika My = mx : V(x, y) V(x, y), maka:

xy =

sin 2. . . . . . . . .sin 2 . . . . . . . . .

xy .

cos 2

cos 2

Jika My = ax + b : V(x, y) V(x, y) dengan a 0 dan b 0, maka:

xy =

sin 2. . . . . .sin 2 . . . . . . . . .

1

1

xy +

. . .a

. . . . . . . . . . . .sin 2

.

x = x cos 2 + y sin 2 +

ab

(cos 2 1)y = x sin 2 y cos 2 +

ab

sin 2

cos 2

cos 2b cos 2 1


X

Y

O

A(4, 1)

B(3, 3)

P(2, 1)

A(xA, yB)

B(xB, yB)

O(x0, y0)

Gambar di atas menunjukkanpermukaan meja permainan bolasodok. Bola P akan dimasukkan kelubang C secara tidak langsung.Bola P harus dipantulkan dulu padasisi meja. Lukislah lintasan bola Phingga masuk ke lubang C dengancara dipantulkan pada sisi ED danAF. Bagaimana, mudah bukan?Cobalah dipantulkan pada sisi yanglain.Jawaban:Gunakan hukum pemantulancahaya.

P

A B C

DEF

X

Y

O

Q(2, 3)Q2(xq2, yq2

)

P(3, 2)

Q1(xq1, yq1

)

P1(xp1, yp1

)

P2(xp2, yp2

)

1. Perhatikan gambar di samping.OAB direfleksikan terhadap titikP menghasilkan OAB maka:

0

0

x

y=

1 00 1

00 +

2 22 1

= . . .0 +

42 =

. . .2

A

A

x

y=

1 00 1

41 +

2 22 1

= . . .1 +

42 =

. . .3

B

By

x=

1 00 1

33 +

2 22 1

= . . .3 +

42 =

. . .5

Jadi, O(. . . , 2), A(. . . , 3), dan B(. . . , 5).2. Perhatikan gambar di bawah ini.

1

1

p

p

yx

= . . . 00 . . .

32 +

. . .0 =

. . .2

1

1

q

q

yx

= . . . 00 . . .

23 +

. . .0 =

2

. . .

2

2

p

p

yx

= . . . 00 . . .

32 +

. . .0 =

. . .

2

2

2

q

q

yx

= . . . 00 . . .

23 +

. . .0 =

2

. . .

Jadi, P1(. . . , 2), Q1(2 , . . .), P2(. . . , 2), dan Q2(2, . . .).

0 4

4 0

3

P

A B C

DEF

1

4 0 1

11

0 3

11

03

11

0 3

11

03

3 3 3 3


tan = 2 sin =

5

2

cos = 5

1

sin 2 = 2 sin cos = 2

5

2

5

1 =

54

cos 2 = 1 2 sin2 = 1 2

54

= 53

1

2

5

Rumus-rumus hubungan sudut diberbagai kuadran dengan sudut di kuadran I.

Kuadran II

sin (180 ) = sin cos (180 ) = cos tan (180 ) = tan

Kuadran I

sin , cos dan tan bertanda positif dan dapatditentukan dengan mem-bandingkan x, y, dan r.

Kuadran III

sin (180 + ) = sin cos (180 + ) = cos tan (180 + ) = tan

Kuadran IV

sin (360 ) = sin cos (360 ) = cos tan (360 ) = tan

X

Y

O

y = x

P(2, 3)

Q(5, 2)

R(4, 2)

P(xp, yp)

Q(xq, xq)R(xr, yr)

3. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gradien garis y = x adalah m = 1, maka:

tan = 1 = 135 2 = 270 cos 2 = cos 270 = 0 sin 2 = sin . . . . . = . . .

Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah:

cos 2 sin 2sin 2 cos 2 =

0......0

.

Sehingga:

p

p

x

y=

0......0 2

3 =

. . .

2

q

q

x

y=

0......0

52 =

. . .

5

r

r

x

y=

0......0

42 =

. . .. . .

Jadi, P(. . . , 2), Q(. . . , 5), dan R(. . . , . . .).4. Hasil refleksi dari KLM dengan K(2, 4), L(3, 7), dan M(4, 6)

terhadap garis y = 2x + 1 adalah KLM denganK(xK, yK), L(xL, yL), dan M(xM, yM).Gradien garis y = 2x + 1 adalah m = 2 atau tan = 2.Sehingga cos 2 = 3

5

dan sin 2 = 45

.

270 1

11

11

3

11

2

11

24

3 2 2 4


tan = 3 sin =

10

3

cos = 10

1

sin 2 = 2 sin cos = 2

10

3

10

1

= 106

= 35

cos 2 = 1 2 sin2 = 1 2

109

= 108

= 45

1

3

10

B

A

X

Diberikan persamaan matriksAX = B atau B = AX, makaX = A1B.

45

35

35

265

45

45

35

Matriks refleksi terhadap garis y = 2x + 1 adalah

3 45 5

. . . . . .

.

K

Ky

x=

3 45 5

. . . . . .

24

+ 12

4

5

1. . .

= . . .4

+ 25. . . = 225

. . .

L

Ly

x=

3 45 5

. . . . . .

73

+ 12

4

5

1. . .

=

195

. . .

+ 25. . . =

. . .

. . .

M

M

x

y

= 3 45 5

. . . . . .

46

+ 12

4

5

1. . .

= 345

. . . + 25. . . = 365

. . . Jadi, K(. . ., 22

5), L(. . ., . . .), dan M(. . ., 36

5).

5. Garis AAAAA: 2x y = 5 direfleksikan terhadap garis y = 3xmenghasilkan bayangan AAAAA.Garis y = 3x mempunyai gradien m = 3 atau tan = 3, makacos 2 =

54

dan sin 2 = 53

.

Sehingga matriks refleksi terhadap garis y = 3x

adalah

35

3 45 5

. . .

.

Misalkan titik (x, y) pada AAAAA dan (x, y) pada AAAAA, maka:

xy

=

35

3 45 5

. . .

xy

45

35

35

335

3

7

45

45

35

35

125

45

85

85

65 3 7

45

45


Kerjakan soal-soal berikut.

1. Diketahui ruas garis PQ, P(2, 0), danQ(6, 4). Tentukan hasil refleksi ruas garis PQ

terhadap garis y = 13

3 .

Jawaban:Misal (x, y) adalah hasil refleksi (x, y) oleh

My = 13 3 , maka:

xy

= 23

01 0 x0 1 y 3

+ = 2

3

x

y 3

+ Misal hasil pencerminan titik P dan Q terhadap

y = 13 3 adalah P(xp, yp) dan Q(xq, yq),

maka diperoleh:

p

p

xy = 2 23 3

2 2

0 3 3

= +

q

q

xy = 23

6

4 3

+ Jadi, hasil pencerminannya adalah PQ

dengan P(2, 23

3 ), dan Q(6, 4 + 23

3 ).

2. Diketahui garis y = x 6. Tentukan bayang-annya bila direfleksikan terhadap sumbu Y.Jawaban:Misal A: y = x 6, dan A adalah hasil refleksiA terhadap sumbu Y(x = 0). Titik (x, y) pada Adan (x1, y1) pada A, maka:

1

1

x 1 0 x xy 0 1 y y

= =

Sehingga diperoleh:x1 = x x = x1y1 = y y = y1Substitusi x dan y ke A:y1 = (x1) 6 y1 = x1 6Jadi, A: y = x 6.

Dari persamaaan matriks diperoleh:

yx

=

1354355

. . .

xy

= 1

1

354355

. . .

xy

=

35

3 45 5

. . .

xy

=

35

3 45 5

x y. . .x y

+ +

sehingga diperoleh x = . . . x + 53

y dan y = 53

x + 54

y.Substitusi x dan y ke AAAAA diperoleh:

2 (. . . x + 53

y) (53

x + 54

y)= 5

. . . x + 56

y 53

x 54

y = 5 . . . x + 2y = 25Jadi, AAAAA: . . . . . x 2y = 25.

45

45

45

85

115

115

45

45

45


3. Diketahui PQR dengan P(1, 1), Q(5, 1), danR(5, 7).a. Hitung luas PQR.b. Tentukan P, Q, dan R hasil refleksi titik

P, Q, dan R terhadap x = 2.c. Apakah luas PQR sama dengan luas

PQR?Jawaban:a. Bila digambar pada kertas berpetak,

PQR adalah segitiga siku-siku di Q.

LPQR = 12

PQ QR = 12

4 6

= 12 satuanb. Misal (x, y) adalah hasil refleksi (x, y)

terhadap garis x = 2, makaxy

=

1 0 x 40 1 y 0

+ = x 4y

Misal P(xP, yP), Q(xQ, yQ), danR(xR, yR), maka

P Q R

P Q R

x x x 1 4 5 4 5 41 1 7y y y

=

= 5 9 91 1 7

Jadi, P(5, 1), Q(9, 1), dan R(9, 7).

c. P Q OQ OP = JJJJG JJJJG JJJJG

= 9 5 41 1 0

=

2 2|P Q | ( 4) 0 4 = + =JJJJG

Q R OR OQ = JJJJG JJJJG JJJJG

= 9 9

7 1

= 06

2 2| Q R | 0 6 6 = + =

JJJJG

Karena |P Q JJJJG

| = |PQJJJG

| dan |Q R JJJJG

| = |QRJJJG

|maka luas PQR sama dengan luasPQR yaitu 12 satuan.

4. Diketahui ABC dipetakan ke ABC olehrefleksi terhadap garis y = 2x. JikaA(2, 3), B(1, 1), dan C(1, 5), tentukankoordinat A, B, dan C.Jawaban:Gar i s y = 2x mempunya i g rad ienm = tan = 2 (di kuadran II), sehingga

sin 2 = 45

dan cos 2 = 35

.

Misal (x, y) adalah hasil refleksi (x, y)terhadap garis y = 2x, maka

xy

=

cos 2 sin 2 xsin 2 cos 2 y

=

3 45 54 35 5

xy

xy

= 1

3 45 54 35 5

xy

=

3 45 54 35 5

xy

Misal A(xA, yA), B(xB, yB), dan C(xC, yC), maka

A B C

A B C

x x xy y y

= 3 45 54 35 5

2 1 13 1 5

=

6 7 175 5 517 1 195 5 5

Jadi, koordinat titik A(

65

, 175

), B(75

, 15

), dan

C(175

, 195

).

5. Diberikan lingkaran L: x2 + y2 4x + 6y 3 = 0.Jika L merupakan persamaan bayangan Lyang direfleksikan terhadap garis y = x + 2,maka tentukan persamaan L.Jawaban:Gradien garis y = x + 2 adalah m = 1 atautan = 1 = 135.Sehingga cos 2 = 0 dan sin 2 = 1.

7654321

0 1 2 3 4 5 6 7

P Q

R

Y

X


4. Dilatasi (Perkalian)

Di studio foto, kalian dapat mencetakkan film sesuai keinginankalian. Ukuran foto dapat diperbesar atau diperkecil (dengan skalatertentu) dari ukuran foto tanpa mengubah gambar pada film yangkalian miliki. Pembesaran atau pengecilan ukuran tanpa mengubahbentuk inilah yang dinamakan dilatasi.

Pada suatu dilatasi diperlukan sebuah titik sebagai titik pusatdan suatu bilangan sebagai faktor skala. Dilatasi dengan faktor skalak (k R) dan pusat P dituliskan (P, k).

Perhatikan gambar di samping.Titik Q(x1, y1) didilatasi dengan pusatP(a, b) dan faktor skala k menghasilkanbayangan Q(x1, y1).PQ = kPQ PQ

PQ =

1k

Karena PQR ~ PQT, maka berlaku:QRQ T

= PTPR

= PQPQ

= k1

Dilatasi sebuah bangun akanmengubah ukuran bangun tanpamengubah bentuknya. Bayangan-nya tidak selalu kongruen, tetapisebangun dengan bangun asal.

X

Y

y1

b

O a x1 x1

P

Q

R

S

T

UP

Q

U

y1

Misal titik (x, y) pada L dan (x, y) pada L,maka:

xy

=

cos 2 sin 2 xsin 2 cos 2 y

+

ba

cos 2 1sin 2

=2

( 1)

0 1 x 11 0 y 1

+

=y 2x 1

+ +

Sehingga diperoleh:

x = y + 2 y = x + 2

y = x + 2 x = y + 2

Substitusi x dan y ke persamaan lingkaran Ldiperoleh:

L : (y + 1)2 + (x + 2)2 4(y + 1) +

6(x + 2) 3 = 0

y2 2y + 1 + x2 4x + 4 + 4y 4 6x+ 12 3 = 0

x2 + y2 10x + 2y + 10 = 0

Jadi, persamaan lingkaran hasil refleksi adalahL : x2 + y2 2x + 2y 2 = 0.


PRPT

= 1k

UPUP

= 1k

11

(x a)

(x a)

= 1k

(x1 a) = k(x1 a) . . . (1)

QRQ T

= 1k

11

(y b)

(y b)

= 1k

(y1 b) = k(y1 b) . . . (2)Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks:

1

1

x a

y b

=

k00k

byax

1

1 1

1

x

y

=

k00k 1

1

x ay b

+

ab

Jika (P, k): V(x, y) V(x, y) dengan P(a, b) dan k R, makaxy

=

. . . 00 . . .

x . . .y . . .

+

. . .

. . . .

1. Perhatikan gambar disamping.ABC dengan A(4, 1),B(1, 3), dan C(3, 5) di-dilatasi dengan pusat Odan k = 2 menghasilkanbayangan ABC.Matriks dilatasinyaadalah:

. . . . . .0 2

.

A

A

x

y

= . . . . . .0 2

41

+ 00

= 82

B

B

x

y

= . . . . . .0 2

13

+ . . .0

= . . .6

C

C

x

y

=

. . . . . .0 2

35

+ . . .. . .

= . . .. . .

Jadi, A(8, 2), B(. . . , 6), dan, C(. . . , . . .).

X

Y

OA

B

C

A(xA, yA)

B(xB, yB)

C(xC, yC)

B didilatasi dengan pusat Adengan faktor skala k = 2diperoleh bayangan B1 se-demikian sehingga AB1 = 2AB.

Jika k = 3 dan bayangannyaadalah B2, maka AB2 = 3AB.

A

B

B1B2

k = 1

k = 2

k = 3

Diberikan sebuah vektor PV .

PV didilatasi dengan pusat P danfaktor skala k.

a. Jika k > 0, maka arah bayangan

sesuai dengan arah PV .

b. Jika k < 0, maka arah bayangan

berlawanan dengan arah PV .Suatu bangun didilatasi denganpusat P dan faktor skala k.a. Jika k > 1, maka bayangan

bangun diperbesar.b. Jika 0 < k < 1, maka bayangan

bangun diperkecil.

x1 = k(x1 a) + ay1 = k(y1 b) + b

P

V

k

k

ab

ab

2 0

2 0

2 0

2 6 10

2 0

0 2

00

610


Suatu bangun didilatasi denganpusat P dan faktor skala k. Bagai-mana bayangannya jika:1. k 1,2. 1 < k < 0, dan3. k = 0.Jawaban:1. Bayangannya lebih besar dari

bangun aslinya dan meng-hadapnya berbalik.

2. Bayangannya lebih kecil daribangun aslinya dan meng-hadapnya berbalik.

3. Bayangannya sama denganbangun aslinya.

2. Perhatikan gambar disamping.

Garis AB didilatasi dengan pusat P(4, 2) dan k = 12

menghasilkan bayangan AB.

Matriks dilatasinya adalah 12

0

. . . . . .

.

A

A

x

y

= 12

0

. . . . . .

...642

+ 4

. . . =

5. . .

B

B

x

y

= 12

0

. . . . . .

...1046

+ 4

. . . =

. . .

. . .

Jadi, A(5, . . .) dan B(. . ., . . .).

X

Y

O

A(2, 6)

B(6, 10)

P(4, 2)

A(xA, yA)

B(xB, yB)

0

0 2 2 0

2 232

0 3 2

12

0 12

Kerjakan soal-soal berikut ini.

1. Diketahui ABC, A(2, 4), B(4, 2), danC(6, 6). Dilatasi ABC dengan [O, k], hasilnyaABC dengan A(1, 2), B(2, 1), danC(3, 3). Tentukan faktor skala k.Jawaban:

x k 0 xy 0 k y

=

, maka1 2 3

2 1 3

= k 0 2 4 60 k 4 2 6

= 2k 4k 6k4k 2k 6k

= k

2 4 64 2 6

k = 12

Jadi, faktor skala k = 12

.

12

2. Diketahui persegi ABCD, dengan A(2, 4),B(6, 4), C(6, 8), dan D(2, 8). Titik P(4, 6). Hasil

dilatasi [P, 1

2] dari persegi ABCD adalah

persegi ABCD.a. Tentukan koordinat A, B, C, dan D.b. Tentukan perbandingan luas ABCD dan

ABCD. Apa yang dapat kalian simpul-kan?

Jawaban:

a. Misal (x, y) adalah hasil dilatasi (x, y) oleh

12

P, , maka


xy

=

12

P, ((x, y))

= 12

12

0 x 4 4y 6 60

+

=

+

+

3y

2x

2

12

1

+

64

= 1212

x 6

x 9

+ +

Misal A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), danD(xD, yD), maka

A B C D

A B C D

x x x xy y y y

=

1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2

(2) 6 (6) 6 (6) 6 (2) 6

(4) 9 (4) 9 (8) 9 (8) 9

+ + + + + + + +

= 5 3 3 57 7 5 5

Jadi, A(5, 7), B(3, 7), C(3, 5), danD(5, 5).

b. 2 2| AB | (6 2) (4 4) 4= + =

2 2| A B | (3 5) (7 7) 2 = + =

LABCD = |AB|2

= 42

= 16 satuanLABCD = |AB |2

= 22

= 4 satuan

LABCD : LABCD = 16 : 4 = 4 : 1

Kesimpulan:Luas bangun hasil dilatasi dengan faktor skalak = luas bangun mula-mula dikalikan k2

dengan k R.

3. Diketahui garis 2x + y 4 = 0 dan P(1, 1).Tentukan bayangan garis tersebut karenatransformasi dilatasi [P, 2]. Gambarkan garisdan bayangannya pada bidang koordinat.Jawaban:Misal A: 2x + y 4 = 0 dan A adalah hasildilatasi [P, 2]. Sedangkan titik (x, y) pada Adan (x, y) pada A, maka

xy

=

2 0 x 1 10 2 y 1 1

+ +

=

2x 32y 3

+

Sehingga diperoleh:

x = 2x 3 x = x 3

2

y = 2y + 3 y = y 3

2

+

Substitusi x dan y ke A diperoleh:

2(x 3

2

) + (y 3

2

+) 4 = 0

2(x 3) + (y + 3) 8 = 0

2x 6 y + 3 8 = 0

2x + y + 11 = 0

Jadi, persamaan bayangan:

2x + y + 11 = 0.

4. Diketahui parabola y = x2. Tentukan hasildilatasi parabola tersebut karena transformasi

dilatasi [P, 13

] dengan P(6, 0).

Jawaban:Misalkan r: y = x2 dan r adalah hasil dilatasi

13

P, . Sedangkan (x, y) pada r dan (x, y)pada r, maka:

xy

=

13

13

0 x 6 6y 00

+

=

13

13

x 8

y

+

P4

2

2x + y 4 = 0

2x + y + 11 = 0

Y

X


B. Komposisi TransformasiTransformasi P1 memetakan titik A(x, y) ke titik A(x1, y1)

dilanjutkan transformasi P2 memetakan titik A(x1, y1) ke titikA(x2, y2). Transformasi rangkap P1 dilanjutkan P2 dinamakankomposisi transformasi atau transformasi majemuk ditulis denganlambang P2 D P1(dibaca: P2 komposisi P1). Dengan demikiankomposisi transformasi dapat dinyatakan juga sebagai berikut.P2 D P1 : A(x, y) A(x2, y2) atau A(x, y) 12 PP A(x2, y2)Jika P1 : A A dilanjutkan P2 : A A, maka:P2 D P1(A) = P2(P1(A)) = P2(A) = A.

1. Komposisi TranslasiPerhatikan gambar di samping.

Translasi dapat dinyatakan denganvektor (gambar (i)) T1 : A B diwakilioleh AB

JJJG dan translasi oleh T2 : B C

diwakili oleh BCJJJG

. P2 D P1 : A C diwakilioleh AC

JJJG = ABJJJG

+ BCJJJG

.Komposisi translasi dapat juga

dinyatakan dengan pasangan bilangan(gambar (ii)).

Jika T1 : A B diwakili ab

dan T2 : B C diwakili cd

, maka

T2 D T1 : A C adalah ab

+ cd

= a cb d

+ + .

A

B

C

ab

c

d

a + c

b +

d

(ii)

(i)A

B

C

AB

BC

BC

AB

AC

+

=

P2 D P1 menyatakan transformasi P1dikerjakan dahulu, kemudiantransformasi P2.P2 D P1 : A(x, y) A(x2, y2) dapatdituliskan sebagai:P2 D P1(A(x, y)) = A(x2, y2)

T = T2 D T1 =

+

+

dbca

dinamakan

translasi tunggal.

Sehingga diperoleh:

x = 13

x + 8 x = 24 3x

y = 13

y y = 3y

Substitusi x dan y ke r diperoleh:3y = (24 3x)2

y = 192 + 48x 3x2.Jadi, r: y = 192 + 48x 3x2.

5. Diketahui parabola y = x2 4x + 4 danbayangannya y = x2 12x + 36 karena dilatasi[O, k]. Tentukan faktor skala k, k > 0, dan k 1.Jawaban:Misal titik (x, y) pada parabola y = x2 4x + 4 titik(x1, y1) pada parabola y = x

2 12x + 36, maka:

1

1

xy

= k 0 x kx0 k y ky

=

Sehingga diperoleh:

x1 = kx x = 1x

k

y1 = ky y = 1y

kNilai x dan y disubstitusikan ke persamaanparabola y = x2 4x + 4 diperoleh:

1yk

= ( 1xk

)2 14xk

+ 4

ky1 = x12 4k x1 + 4k

2.Jadi, persamaan bayangannya adalahky = x2 4kx + 4k2 yang identik dengany = x

2 12x1 + 36.Akibatnya: k = 1 (tak berlaku) 4k2 = 36 4k = 12 k2 = 9

k = 3 k = 3Jadi, faktor skala k = 3.


Translasi T : A A memetakan titikA ke titik A itu sendiri.Translasi ini disebut translasi

identitas, I = 00

.

Jika T1 : A B dan T2 : B A, maka T2 D T1(A) = T2(B) = A.Komposisi translasi T2 D T1 ini disebut translasi identitas I dan dinyata-kan dengan T2 D T1 = I. Artinya, T1 invers dari T2 dan sebaliknyaT2 merupakan invers dari T1. Translasi invers dari T dinotasikandengan T1, sehingga T D T1 = I.

Jika T = ab

dan T1 = cd

, maka

T D T1 = 00

ab

+ cd

= 00

cd

= ab

Misalkan T1 = ab

dan T2 = cd

.

Jika T2 D T1 : V(x, y) V(x, y), maka xy

=

xy

+ a . . .b . . .

+ + .

Sedangkan translasi invers dari T1 adalah T11 =

b...

.

Untuk mengetahui sifat-sifat dari komposisi translasi, lakukan kegiatanberikut ini.

1. Diketahui T1 = 42

, T2 = 1

5 , dan titik A(3, 2), maka:

a. T2 D T1(A) = T2 D T1(3, 2) = T2(T1(3, 2))= T2((3 + 4), (2 + . . .))

= T2(7, . . .)

= (7 1, . . . + . . .)) = (6, . . .)

Jadi, T2 D T1(A) = A(6, . . .).

b. T = T2 D T1 = 42

+ 1

. . . =

4 12 . . .

+ = 3

. . .

T(A) = (3 + 3, 2 + . . .) = (6, . . .)

Jadi, T(A) = A(6, . . .).

cd

a

2

4

4 5 9

9

5 5 7

7 9

9

Hasil komposisi dua transformasidiperoleh dengan transformasi satuper satu.

24 pg bab 6a transformasi

Documents