Matematika

UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. Penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan

peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian

ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran,

kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan

iv. Penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.

Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana

dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).

2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

Matematika

Cut Maulina, M.Pd.

Eka Nurmala, S.E., M.Si., Ak.

MATEMATIKA

Penulis :

Cut Maulina, M.Pd. Eka Nurmala, S.E., M.Si., Ak.

Copyright © 2020, Pada Penulis

Hak cipta dilindungi undang-undang

All rights reserved

Penata Letak: Amry Rasyadany

Perancang sampul: Herlambang Rahmadhani

Penerbit:

LARISPA INDONESIA

Jl. Sei Mencirim Komplek Lalang Green Land I Blok C No. 18 Medan

Kode Pos: 203522 Medan

Telp: (061) 80026116/ 8002 1139

Laman: www.larispa.or.id. / www.larispa.com

Edisi Pertama. 2020

ISBN : 978-602-6552-38-9

Dicetak oleh:

PENERBIT DEEPUBLISH

(Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)

Anggota IKAPI (076/DIY/2012)

Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman

Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581

Telp/Faks: (0274) 4533427

Website: www.deepublish.co.id

www.penerbitdeepublish.com

E-mail: cs@deepublish.co.id

v

KATA PENGANTAR

Modul Matematika ini merupakan buku yang dapat digunakan

sebagai buku ajar mata pelajaran Matematika untuk Diklat Ahli Nautika,

Teknika di Poltekpel Malahayati Aceh Besar.

Buku ini memenuhi kebutuhan pembelajaran Matematika yang

membangun siswa agar memiliki sikap ilmiah, objektif dan berpikir kritis.

Untuk memenuhi tujuan di atas dapat maka setiap bab ini disajikan

dalam beberapa poin yaitu: penjelasan materi yang sesuai dengan pola

berfikir siswa yaitu mudah diterima, contoh soal dan penyelesaian untuk

mendukung pemahaman materi dengan disertai soal yang di coba, latihan

disertai subbab untuk menguji kompetensi yang telah di kuasai, latihan

sebagai wahana siswa untuk mencoba menyelesaikan suatu permasalahan

yang bersifat konsep atau kontekstual.

Penyusun menyadari bahwa buku ini masih ada kekurangan dalam

penyusunan nya, namun penyusun berharap buku ini dapat bermanfaat

bagi Bapak/Ibu Instruktur dan siswa dalam proses belajar mengajar.

Kritik dan saran dari semua penggunaan buku ini sangat diharapkan,

semoga keberhasilan selalu berpihak pada kita semua.

Aceh Besar, Mei 2020

Cut Maulina, M.Pd.

Eka Nurmala, S.E., M.Si., AK.

vi

SINOPSIS

Modul Materi Matematika ini disusun untuk dapat mendampingi

siswa dalam belajar matematika yang telah disesuaikan dengan kurikulum.

Buku ini dibagi menjadi empat bagian, yaitu Operasi pada Bilangan Real,

Trigonometri, Barisan dan Deret, dan Persamaan dan Pertidaksamaan.

Pada bab I, siswa diharapkan dapat menerapkan operasi pada bilangan

berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional dan menerapkan

konsep logaritma. Pada bab II, siswa diharapkan dapat mengonversi

ukuran sudut; menentukan perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

panjang sisi segitiga siku-siku, dan luas segitiga; menentukan aturan sinus

dan kosinus. Pada bab III, siswa diharapkan dapat menentukan barisan

aritmatika dan barisan geometri ditentukan dengan menggunakan sifat-

sifatnya. Pada bab IV, siswa diharapkan dapat menentukan himpunan

dasar penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier, menerapkan

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat serta menentukan himpunan

penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier menyelesaikan sistem

persamaan.

vii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .............................................................................. v

SINOPSIS ............................................................................................... vi

DAFTAR ISI .......................................................................................... vii

BAB 1

OPERASI PADA BILANGAN REAL .................................................. 1

A. BILANGAN REAL ............................................................. 2

B. BILANGAN BERPANGKAT ............................................ 23

C. BENTUK AKAR ............................................................... 31

D. LOGARITMA ................................................................... 39

BAB 2

TRIGONOMETRI .............................................................................. 55

A. Konversi Sudut .................................................................. 56

B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI .............................. 60

C. RUMUS SINUS DAN COSINUS ...................................... 70

D. LUAS SEGITIGA .............................................................. 72

BAB 3

BARISAN DAN DERET ..................................................................... 76

A. Barisan dan Deret Aritmetika ............................................. 77

B. Barisan Geometri dan Deret Geometri ................................ 82

C. Barisan Geometri ............................................................... 85

D. Deret Geometri .................................................................. 88

E. Deret Geometri Tak Berhingga ........................................... 92

viii

Bab 4

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN ....................................... 98

A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR ...... 99

B. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

KUADRAT ...................................................................... 106

C. MENERAPKAN PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT ................................. 120

D. SISTEM PERSAMAAN .................................................. 126

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................... 139

TENTANG PENULIS........................................................................... 140

Bab

1 OPERASI PADA BILANGAN REAL

Kompetensi Dasar :

Menerapkan Operasi Pada Bilangan Real

Menerapkan Operasi Pada Bilangan Berpangkat

Menerapkan Operasi Pada Bilangan Irasional

Menerapkan Konsep Logaritma

2

A. BILANGAN REAL

1. Sistem Bilangan Real

Bilangan atau angka adalah alat bantu untuk menghitung pada

kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu pengetahuan tentang bilangan harus

diketahui oleh setiap orang. Tahukah anda bilangan apa yang menduduki

tingkat tertinggi pada hierarki bilangan? Perhatikan skema bilangan

berikut ini.

Gambar Skema Bilangan

Bilangan Pecahan

%, desimal, pecahan

campuran dan biasa

Bilangan Imajiner Bilangan Real

Bilangan Rasional

Dapat dibentuk

menjadi

Bilangan Irrasional

Bentuk akar, π, nilai

log

tidak bulat, dll

Bilangan

Bulat

Bilangan Bulat Positif

(Bilangan Asli)

0 (nol) Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Prima 1 Bilangan Komposit

Bilangan

kompleks

3

Dari skema tersebut, kita dapat membedakan macam-macam

bilangan antara lain sebagai berikut.

- Bilangan kompleks merupakan tingkatan bilangan yang paling

tinggi. Bilangan ini terdiri dari bilangan khayal (imajiner) dan

bilangan nyata (real).

- Bilangan imajiner adalah bilangan yang diperoleh dari akar bilangan

negatif. Misalnya, √−3ditulis 3i, atau √−5 ditulis 5i dengan i =

√−1 .

- Himpunan bilangan real biasanya dilambangkan dengan R. Bilangan

real dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik-titik

sepanjang garis bilangan, di mana bilangan-bilangan ini mengukur

jarak ke kanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yang disebut titik

asal dan diberi label 0.

Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan

𝑎

𝑏 dan biasanya banyak angka desimalnya tak hingga. Contoh

bilangan irasional adalah bilangan bentuk akar, π, dan lain-lain.

- Himpunan bilangan rasional biasanya dilambangkan dengan huruf

Q. Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk 𝑎

𝑏 dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0. Misalnya

: 6, 1

2,

7

9 dan sebagainya.

... -3 -2 -1-2

10 1 3 2 3 ...

4

Tidak semua bilangan yang memiliki banyak angka desimal tak

hingga merupakan bilangan irasional, contohnya bilangan desimal

berulang. Desimal berulang dinotasikan dengan tanda garis (bar)

tersebut angka yang berulang. Beberapa bilangan desimal berulang,

yaitu :

a. 0,555 ... = 0,5

b. 1,121212 ... = 1,12

c. 0,1373737 ... = 0,137

Bilangan desimal berulang merupakan bilangan rasional karena

dapat dibentuk menjadi pecahan 𝑎

𝑏. Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

1. Ubahlah bilangan desimal berulang berikut ini menjadi bentuk 𝑎

𝑏 .

a. 0, 2

Jawab :

a. Misalkan 0, 2 = 0,2222 ... = x

2,2122 ... = 10x Kedua Ruas dikalikan

2 + 0,222 ... = 10x

2 + 0,222 = 10x

2 + x = 10x

2 = 9x

x = 2

9

Jadi 0, 2 = 2

9.

5

2. Tunjukan bahwa x = 0,136136136 ... adalah rasional.

Jawab :

Diketahui x = 0,136136136 . . ., maka 1.000x = 136,136136136

...

1.000x = 136,136136136 ...

X = 0,136136136 ...

999x = 136

x = 136

999

Jadi, x merupakan bilangan rasional.

- Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan B, terdiri dari bilangan

bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif.

- Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor,

yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan komposit

adalah bilangan yang memiliki faktor lebih dari dua.

Bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan prima, dan

bilangan komposit diuraikan sebagai berikut.

- Himpunan bilangan asli (A) = {1,2,3, ...}

- Himpunan bilangan cacah (C) = {0, 1, 2, ...}

- Himpunan bilangan bulat (B) = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}

- Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

- Himpunan bilangan komposit = {4, 6, 8, 9....}

Latihan :

1. Jika A menyatakan himpunan bilangan asli, p menyatakan

himpunan bilangan prima, Ge menyatakan himpunan bilangan

genap. Ga menyatakan himpunan bilangan ganjil , dan C

6

menyatakan himpunan bilangan cacah, nyata himpunan-himpunan

tersebut dengan cara mendaftar anggota-anggotanya?

2. Jika semestanya merupakan himpunan semua bilangan bulat,

tulislah himpunan berikut ini dengan mendaftarkan anggota-

anggotanya :

a. K = {x l 3 ≤ 𝑥 < 12}

b. L = {x l x faktor dari 30 }

c. M = { x l x bilangan genap < 16 }

d. P = { x l -1 x 2, bilangan ganjil }

2. Operasi pada Bilangan Real

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Real

Sifat-sifat pada operasi penjumlahan bilangan real antara lain

sebagai berikut. Untuk a, b, c R.

Untuk penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan

berlaku :

- Komutatif : a + b = b + a

- Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)

- Memiliki elemen identitas penjumlahan yaitu 0, sehingga a + 0 = 0

+ a = 0

- Memiliki invers penjumlahan.

Invers penjumlahan dari a adalah -a, sehingga a + (-a) = - a + a = 0.

- 𝑎

𝑏+

𝑏

𝑐=

𝑎+𝑏

𝑐 atau

𝑎

𝑐−

𝑏

𝑐=

𝑎−𝑏

𝑐 dengan a,b,cB dan c 0.

- 𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑+𝑏𝑐

𝑏𝑑 atau

𝑎

𝑏−

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑏𝑑, dengan a,b,c,d Bdan b,d 0.

7

Atau dengan cara menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan

tersebut terlebih dahulu, yakni dengan mencari Kelipatan Persekutuan

Terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut.

Contoh :

Hitunglah :

a. 2 – 7

b. 3

12

5

24

Jawab :

a. 2 – 7 = – 5

b. 15

116

15

35

15

66

3

7

5

22

3

12

5

24

KPK dari 5 dan 3 adalah 15

Operasi Perkalian dan Pembagian pada Bilangan Real

- Komutatif : a . b = b . a

- Asosiatif : (a . b) . c = a . (b . c)

- Memiliki elemen identitas yaitu 1, sehingga a .1 = 1 . a = a

- Memiliki invers perkalian

Invers penjumlahan dari a adalah -a, sehingga a + (-a) = - a + a = 0.

- Untuk suatu a R, a ≠ 0, a . a

1= 1, dengan

a

1 disebut

invers perkalian dari a.

8

Pada perkalian dan pembagian bilangan real berlaku :

Untuk perkalian dan pembagian pada pecahan berlaku :

Contoh :

1. Tentukan invers perkalian dari :

a. 4

b. 9

7

Jawab :

a. Invers perkalian dari 4 adalah 4

1.

b. Invers perkalian dari 9

7adalah

7

9

2. Hitunglah :

a. 63 : (-9)

b. 3

1:

5

2

a . (-b) = -(ab) (-a) : b = - )(b

a

a : (-b) = - )(b

a (-a) . (-b) = ab

(-a) . b = -(ab) (-a) : (-b) = b

a

bd

ac

d

c

b

a.

bc

ad

d

c

b

a:

9

Jawab :

a. 63 : (-9) = -7

b. 5

11

5

6

1

3.

5

2

3

1:

5

2

3. Untuk membuat sebuah benda kerja diperlukan 5

3 bagian dari

sebatang besi yang panjangnya 4 meter. Jika dibuat sebanyak 50

unit benda kerja, berapa panjang besi yang digunakan seluruhnya?

Jawab :

Panjang besi yang diperlukan untuk 1 unit benda kerja

=5

124.

5

3 = meter

Panjang besi yang diperlukan untuk 50 unit benda kerja

= 12050.5

12 meter

Jadi, panjang besi yang digunakan seluruhnya adalah 120 meter.

Selain sifat-sifat tersebut, ada lagi sifat yang disebut sebagai sifat

distributif perkalian terhadap penjumlahan. Untuk a, b, c R,

a (b + c) = ab + ac

(a + b) c = ac + bc

Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

1. Hitunglah :

a. 2(5 + 3)

10

Jawab :

a. 2(5 + 3) = 2 . 5 + 2 . 3 = 10 + 6 = 16

2. Hitunglah :

a. 105 . 8

Jawab :

a. 105 . 8 = (100 + 5) 8 = 100 . 8 + 5 . 8 = 800 + 40 = 840

3. Konversi Bilangan

Konversi didefinisikan sebagai perubahan dari suatu bentuk ke

bentuk lain. Konversi pada bilangan, misalnya pecahan, berarti mengubah

pecahan tersebut dalam bentuk persen, desimal, atau bentuk lain. Pada

bahasan ini kita akan mempelajari konversi bilangan pecahan, desimal, dan

persen.

Mengonversikan Pecahan ke Persen dan Sebaliknya

Pecahan b

a dapat dikonversikan menjadi persen dengan cara

mengalikan b

adengan 100 %. Sebaliknya, bilangan persen p%

dikonversikan menjadi pecahan dengan cara mengubahnya menjadi

pecahan biasa 100

p kemudian disederhanakan.

Contoh :

1. Konversikan pecahan berikut ke persen :

a. 8

1

11

Jawab :

a. %5,12%100.8

1

8

1

Mengonversikan Pecahan ke Desimal dan Sebaliknya

Untuk mengonversikan pecahan ke desimal atau sebaliknya,

perhatikan contoh berikut ini.

Contoh :

1. Konversikan pecahan berikut ke desimal.

a. 16

3

Jawab :

a.

Jadi, 3

16 = 0,1875.

0,1875

16 3

0

30

16

140

128

120

112

80

80

0

12

2. Konversikan bentuk desimal berikut ke pecahan.

a. 0,25

Jawab :

a. 0,25 = 4

1

100

25

Latihan :

1. Hitunglah :

a. 1246 + 3261 + 3754 + 1739 =

b. (7 x 39) + ( 7 x 61 ) =

2. Pak Rahmat menyimpan beras dalam 3 gudang. Gudang pertama

berisi 154 karung, gudang kedua berisi 139 karung, dan ketiga berisi

207 karung

a. Berapa karung beras yang dimiliki Pak Rahmat?

b. Jika 1 karung beras beratnya 40 kg, berapa kg jumlah beras Pak

rahmat yang tersimpan di dalam ketiga gudang tersebut?

c. Jika Pak Rahmat menjual beras tersebut dengan harga

Rp5.000,00kg, berapa rupiah uang yang diterima Pak Rahmat?

3. Ubahlah pecahan berikut ke dalam bentuk persen dan desimal :

a. 5

2

b. 4

3

c. 16

7

d. 50

3

13

e. 8

51

4. Nyatakan pecahan 0,35 dan 0,675 dalam bentuk persen

5. Jika x = 1 dan y = 2, hitunglah;

(x3 – 3x

2 + x ) – ( y

3 – 3y

2 + y)

4. Perbandingan

Kita dapat membuat perbandingan dari dua besaran yang sejenis,

misalnya : tinggi badan, panjang dan lebar dari suatu bangun. Hasil bagi

kedua besaran tersebut merupakan bilangan sederhana, yaitu berbentuk b

a

atau a : b dengan a dan b merupakan bilangan asli. Ada dua jenis

perbandingan, yaitu perbandingan senilai dan berbalik nilai.

Perbandingan Senilai

Suatu perbandingan disebut sebagai perbandingan senilai jika dua

perbandingan nilainya sama.

Untuk memahami arti perbandingan senilai, perhatikan contoh

berikut yang merupakan contoh perbandingan antara panjang kabel dengan

harga kabelnya.

Panjang kabel (m) Harga per meter (Rp)

1

2

3

3.000

6.000

9.000

bcdaataud

c

b

a.. atau a- d=c-b

14

- Perbandingan panjang kabel pada baris ke–1 dan baris ke–2 = 1 : 2.

Perbandingan harga kabel per meter pada baris ke–1 dan baris ke–2

= 3.000 : 6.000 = 1 : 2.

- Perbandingan panjang kabel pada baris ke–2 dan baris ke–3 = 2 : 3.

Perbandingan harga kabel per meter pada baris ke–2 dan baris ke–3

= 6.000 : 9.000 = 2 : 3.

Jika kita perhatikan perbandingan panjang kabel dan harganya pada

baris yang bersesuaian adalah sama. Jika panjang kabel bertambah, maka

harganya pun bertambah. Begitu pula jika panjang kabel tersebut

berkurang, maka harganya pun berkurang. Kita katakan bahwa

perbandingan antara panjang kabel dan harga kabel per meter tersebut

merupakan perbandingan senilai.

Contoh :

Dalam suatu perjalanan sejauh 40 km, sebuah mobil memerlukan

bahan bakar sebanyak 8 liter bensin. Jika mobil itu menempuh perjalanan

sejauh 120 km, berapa banyak bahan bakar yang diperlukan?

Jawab :

Masalah tersebut merupakan masalah perbandingan senilai karena

semakin jauh jarak perjalanan yang ditempuh, maka semakin banyak

bahan bakar yang diperlukan.

Cara I Perhitungan berdasarkan satuan

Bahan bakar untuk jarak tempuh 40 km = 8 liter

Bahan bakar untuk jarak tempuh 1 km = 40

8liter = 5 liter.

15

Jadi, bahan bakar untuk jarak tempuh 120 km = 120 . 5

1liter = 24

liter.

Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan

Banyak Bahan Bakar (liter) Jarak Tempuh (km)

8 40

x 120

Diperoleh perbandingan :

120

408

x8

40 . x = 8 . 120

40x = 960

x = 24

Jadi, bahan bakar yang diperlukan untuk perjalanan sejauh 120

km adalah 24 liter.

Perbandingan Berbalik Nilai

Suatu perbandingan disebut perbandingan berbalik nilai jika dua

perbandingan nilainya saling berkebalikan.

Untuk memahami arti perbandingan berbalik nilai, perhatikan

contoh berikut yang merupakan perbandingan antara kecepatan rata-rata

dan waktu yang ditempuh oleh sebuah kendaraan dalam sebuah perjalanan.

dbcaatauc

d

b

a..

16

Kecepatan (km/jam) Waktu tempuh (jam)

80

60

40

3

4

6

- Perbandingan kecepatan pada baris ke-1 : baris ke-2 = 80 : 60 = 4 :

3.

Perbandingan waktu pada baris ke-1 : baris ke-2 = 3 : 4.

- Perbandingan kecepatan pada baris ke-2 : baris ke-3 = 60 : 40 = 3 :

2.

Perbandingan waktu pada baris ke-2 : baris ke-3 = 4 : 6 = 2 : 3.

Jika diperhatikan perbandingan kecepatan dan waktu tempuh pada

baris yang bersesuaian adalah berbalik. Jika kecepatan bertambah, maka

waktunya menjadi berkurang dan jika kecepatan berkurang, maka

waktunya bertambah. Dikatakan bahwa perbandingan antara kecepatan

dan waktu tempuh merupakan perbandingan berbalik nilai.

Contoh :

1. Kereta Api ”Cirebon Express” jurusan Jakarta-Cirebon dalam

keadaan normal menempuh perjalanan selama 3,5 jam dari Jakarta

ke Cirebon dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Karena suatu hal,

pada suatu perjalanan kereta berangkat dari Jakarta pukul 10.00

tetapi tiba di tempat tujuan pukul 15.00. Berapakah kecepatan rata-

rata perjalanan kereta tersebut?

Jawab :

Lama perjalanan dari pukul 10.00 sampai pukul 15.00 adalah 5 jam.

Cara I Perhitungan berdasarkan hasil kali

17

Waktu Kecepatan

3,5 80

5 x

Diperoleh perbandingan : 805

5,3 x

3,5 . 80 = 5 . x

280 = 5x

x = 5

280 = 56 km/jam

Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan

Waktu Kecepatan

3,5 80

5 5

5,3. 80 = 56 km/jam

Jadi, kecepatan rata-rata kereta tersebut 56 km/jam.

2. Seorang petani mempunyai persediaan makanan untuk 80 ekor

ternaknya selama satu bulan. Jika petani tersebut menambah 20 ekor

ternak lagi, berapa hari persediaan makanan itu akan habis?

Jawab :

Jika ternak tersebut bertambah, maka makanan ternak tersebut akan

cepat habis atau makanan akan habis sebelum satu bulan.

Cara I Perhitungan berdasarkan hasil kali

Banyak ternak Hari

80 30

(80 + 20) = 100 x

18

Diperoleh perbandingan : 30100

80 x

80 . 30 = 100 . x

2.400 = 100x

x = 24100

400.2

Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan

Banyak ternak Hari

80 30

(80 + 20) = 100 100

80 . 30 = 24

Jadi, persediaan makanan akan habis untuk 100 ekor ternak selama

24 hari.

Latihan :

1. Sederhanakan perbandingan berikut ini

a. 10 : 125

b. .2

14:

2

11

c. 2,5m : 25m

d. 20 % : 0,75

2. Sebatang perunggu terbuat dari 10 ons tembaga, 3 ons timah hitam,

dan 7 ons timah putih. Berapakah persentase tiap – tiap bahan

tersebut dalam perunggu itu?

3. Rata- rata perbandingan kemampuan kerja seorang pekerja laki- laki

dan perempuan dalam merakit alat elektronik adalah 7 : 4. Dalam

19

suatu pabrik elektronika yang memproduksi pesawat televisi dalam

sebulan menghasilkan 22.000 pesawat. Tentukanlah

a. Banyaknya pesawat televisi yang dihasilkan pekerja laki- laki

b. Banyaknya pesawat televisi yang dihasilkan pekerja perempuan

c. Jika dalam kondisi tertentu ternyata pesawat televisi yang

dihasilkan pekerja perempuan adalah 6.000 berapa yang

dihasilkan pekerja laki- laki

4. Jarak Bandung- Jakarta ditempuh dengan mobil selama 2,5 jam

dengan kecepatan rata- rata 50 km/jam. Jika Ridwan berangkat pada

pukul 05.00 dan ingin sampai di Jakarta pukul 07.00, berapa km/

jam ia harus memacu mobilnya?

5. Suatu asrama mempunyai persediaan makanan untuk 60 orang

selama 20 hari. Jika ada 10 orang anggota baru asrama yang datang,

dalam waktu berapa hari persediaan makanan tersebut akan habis?

5. Skala

Dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang teknik maupun

bangunan atau konstruksi skala selalu digunakan untuk mendesain gambar

dengan maksud untuk lebih memudahkan dalam membaca ataupun

merekayasa dari rencana gambar sebelum gambar tersebut dibuat benda

atau bangun aslinya. Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran

suatu besaran nyata.

Jika kita membaca suatu peta, maka di sana akan tertulis skala peta

tersebut. Misalnya tertulis 1 : 200.000, artinya jarak 1 cm pada peta

tersebut sama dengan 200.000 cm pada jarak sebenarnya.

Untuk menuliskan skala dari dua besaran yang tidak sejenis maka

satuan dari dua besaran tersebut tetap dituliskan, misalnya dalam ilmu

20

gaya atau dalam fisika maka besarnya gaya diasosiasikan dengan ukuran

sentimeter. Sebagai contoh, 1 cm mewakili 100 Newton maka ditulis 1 cm

: 100 N.

Contoh :

1. Jarak dua kota pada peta 12,5 cm. Jika skala peta tersebut 1 :

500.000, berapakah jarak kedua kota itu sesungguhnya?

Jawab :

Jarak pada peta (cm) Jarak sebenarnya (cm)

l 500.000

12,5 x

Diperoleh perbandingan senilai :

x

000.500

5,12

1

1 . x = 12,5 . 500.000

x = 6.250.000 cm

x = 62,5 km

Jadi, jarak kedua kota tersebut adalah 62,5 km.

6. Aplikasi Bilangan Real

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menggunakan konsep

sistem bilangan real untuk menyelesaikan permasalahan.

Contoh :

1. Seorang pria mewariskan harta sebesar Rp120.000.000,00 kepada

empat anaknya. Ketiga anaknya yang pertama masing-masing

21

mendapatkan 4

1,

3

1, dan

5

1 dari seluruh harta warisan. Sedangkan

sisanya diberikan kepada anak keempat. Berapakah warisan yang

diperoleh masing-masing anak?

Jawab :

Warisan yang diterima anak I = 3

1. Rp120.000.000,00 =

Rp40.000.000,00

Warisan yang diterima anak II = 4

1. Rp120.000.000,00 =

Rp30.000.000,00

Warisan yang diterima anak III = 5

1 . Rp120.000.000,00 =

Rp24.000.000,00

Warisan yang diterima anak IV =

5

1

4

1

3

11 . Rp120.000.000,00

=

60

12

60

15

60

20

60

60. Rp120.000.000,00

= 60

13. Rp120.000.000,00 = Rp26.000.000,00

2. Untuk membuat speaker aktif diperlukan modal sebesar

Rp200.000,00. Jika speaker tersebut dijual dengan harga

Rp260.000,00, berapakah keuntungan dan persentase keuntungan

dari hasil penjualan tersebut?

22

Jawab :

Keuntungan = Rp260.000,00 – Rp200.000,00

= Rp60.000,00

% keuntungan = 000.200

000.60

. 100% = 30%

Latihan

1. Peternak ayam dapat menghasilkan 10.000 butir telur per hari.

Modal yang dikeluarkan per bulan untuk membeli makanan ternak

dan lain- lain adalah Rp8.000.000,00. Peternak tersebut

menginginkan keuntungan dari usaha tersebut sebesar Rp2.000.000,

per bulan.

Tentukanlah

a. Harga jual telur per butirnya

b. Persentase keuntungannya

2. Seorang pria mewariskan hartanya kepada ketiga anaknya dengan

pembagian sebagai berikut : anak pertama mendapatkan jatah 30%,

anak kedua dengan jatah 5

1, dan sisanya disumbangkan kepada

seberapa yayasan Rp360 juta, tentukan bagian masing- masing anak

dan bagian yang disumbangkan kepada yayasan social tersebut?

3. Sebuah foto berukuran panjang 8 cm dan lebar 7 cm, diperbesar

lebarnya menjadi 35 cm. tentukan luas foto tersebut setelah

diperbesar?

4. Dalam suatu peta, jarak kota A ke kota B digambarkan sepanjang 5

cm. Jika skala yang digunakan dalam peta tersebut 1 : 2. 500.000,

Tentukan :

23

a. Jarak yang sebenarnya dari kota A ke kota B

b. Jarak Kota C ke Kota A dalam peta apabila jarak yang

sebenarnya dari kedua kota tersebut 375 km.

5. Selesaikanlah

a. 12% dari Rp64.000.000,00

b. 16% dari Rp36.000.000,00

6. Pak Ahmad akan menjual berasnya sebanyak 100 karung dengan

berat per karung 50 kg. Ia akan menjualnya melalui seorang

komisioner dengan kesepakatan tara 2% rafaksi 10% dan komisi

20%. Jika beras dijual rp3.000,00 per kg, Tentukan :

a. Besar komisi,

b. Hasil penjualan yang diterima pak Ahmad

7. Dalam program cuci gudang, Toko murah memberikan diskon

sebesar 35% Untuk produk A, 25% untuk produk B, dan 15% Untuk

produk c. Jika arista berbelanja produk A senilai Rp700.000,00,

produk B senilai Rp600.000,00 dan produk C senilai Rp400.000,00

tentukanlah :

a. Besarnya diskon yang diterima Arista

b. Jumlah uang yang harus dibayar oleh Arista

8. Harga pembelian sebuah barang Rp5.000.000,00, jika barang

tersebut laku dijual dengan harga Rp6.000.000,00, tentukan :

a. Besarnya laba yang diperoleh

b. Persentase laba dari harga pembelian

B. BILANGAN BERPANGKAT

Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka

pangkat n dari a ditulis an didefinisikan sebagai berikut :

24

an

dibaca a pangkat n, dengan a merupakan bilangan pokok atau

dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.

Contoh :

Uraikan dan hitunglah :

a. 54

b.

5

3

1

Jawab :

a. 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

b. 243

1

3

1.

3

1.

3

1.

3

1.

3

1

3

15

1. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Untuk menyelesaikan atau menyederhanakan bentuk bilangan

berpangkat, digunakan sifat-sifal bilangan berpangkat, yaitu :

Perkalian Bilangan Berpangkat

Untuk a, m, dan n R maka perkalian bilangan berpangkat dapat

dinyatakan sebagai berikut :

sebanyak n

am . an = am + n, a ≠ 0

25

Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

a. 243

1

3

1

3

1

3

1.

3

153222

b. 10 x 106 = 10

1+6 = 10

7

Pembagian Bilangan Berpangkat

Untuk a, m, dan n R maka pembagian bilangan berpangkat dapat

dinyatakan sebagai berikut :

Contoh :

a. 25

1

5

1

5

1

5

1:

5

122424

b. 53 : 5

-1 = 5

3-(-1) = 5

4

Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Untuk a, m, dan n R maka pemangkatan bilangan berpangkat

dapat dinyatakan sebagai berikut :

0, aaa

a nm

n

m

0,. aaa nmnm

26

Contoh :

a. 5)5(5

4.4

14

4

1

b. 2733381 34

3.4

4

344

3

Perpangkatan dari Perkalian Dua atau Lebih Bilangan

Untuk a, b, m R maka perpangkatan dari perkalian dua atau lebih

bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Contoh :

a. (3 . 5)7 = 3

7 . 5

7

b. (32 . 5 . 2)

4 = 3

8 . 5

4 . 2

4

Perpangkatan Bilangan Pecahan

Untuk a, b dan m R maka pemangkatan bilangan pecahan dapat

dinyatakan sebagai berikut :

Contoh :

a. 1004 : 50

4 = (100 : 50)

4 = 2

4 = 16

0,0,.).( bababa mmm

0,0,

ba

b

a

b

am

mm

27

b. 1220

844

35

2

.

.

.

.

dc

ba

dc

ba

Bilangan Berpangkat Nol

Untuk a R maka bilangan berpangkat nol dapat dinyatakan

sebagai berikut :

Bilangan Berpangkat Negatif

Untuk a R dan m R maka pangkat bilangan negatif dapat

dinyatakan sebagai berikut :

Contoh :

1. Selesaikanlah.

a. 5-1

b.

4

3

81

1

Jawab :

a. 5

15 1

b. 27

1333

81

1 34

3.4

4

34

4

3

0,10 aa

0,1

aa

am

m

28

2. Sederhanakanlah dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif dari

129

253

..6

..2

cba

cba

Jawab :

3

..

..6

..2 )1(22593

129

253

cba

cba

cba =

3

.. 376 cba

= 76

3

.3 ba

c

Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan berpangkat n

m

a yang dipangkatkan sebesar n dapat ditulis

sebagai berikut.

=

nn

m

a.

= ma

n

m

a = n ma

n madiartikan sebagai akar pangkat ke-n dari a

m, sehingga

sebanyak

n mn

m

aa

29

Contoh :

a. 33 23

2

2555 c. 888 2 12

1

b. 25555 24

8

4 8 d. aa 2

1

Untuk bilangan yang sangat kecil maupun sangat besar nilainya,

bilangan tersebut dapat ditulis secara ringkas dengan menggunakan notasi

ilmiah atau biasa disebut sebagai bentuk baku.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini ke dalam bentuk baku, yaitu

a . 10n , 1 ≤ a < 10, dan n B.

a. 0,0000407 c. 160.854.000.000

b. 0,0000000030486 d. 5.704.300.000.000

Jawab :

a. 0,0000407 = 4,07 . 10-5

b. 0,0000000030486 = 3,0486 . 10-9

c. 160.854.000.000 = 1,60854 . 1011

d. 5.704.300.000.000 = 5,7043 . 1012

Latihan :

1. Sederhanakan dengan menggunakan rumus penjumlahan bilangan

berpangkat.

a. 73 . 7

5 . 7

-2

b. P7 . p

-1

c. 10 . 106 . 10

-4 . 10

7

30

d. (1

5)

2. (

1

5)

-4. (

1

5)

2. Sederhanakan dengan menggunakan rumus pembagian bilangan

berpangkat.

a. 210

: 28

b. 3 : 3

c. 10 : 100-2

d. 33. 3

-1 : 3

5.3

2

3. Sederhanakan :

a. ab =

b. 23

1a

=

c. 223

32 3

cba

ba

=

d. (1

𝑎−

1

𝑏)-3

=

4. Nyatakan bentuk- bentuk berikut ini ke dalam bentuk pecahan ,

kemudian sederhanakan

a. √(27)23

b. √325

c. 1

3√2455

5. Jika x = 27, y= 36 dan z= 5, maka tentukan nilai 2

2

3

3

2

.

z

yx

31

C. BENTUK AKAR

Contoh bilangan irasional yang sering dibahas adalah bentuk akar

dan nilai logaritma yang tidak bulat. Bentuk akar akan dibahas pada

subbab ini, sedangkan nilai logaritma akan dibahas pada subbab

berikutnya.

1. Definisi Bentuk Akar

Seperti yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya, bahwa

aa 2

1

. Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya

memuat banyaknya angka desimal tak hingga.

Contoh :

50,15,8,3,2 dan lain-lain. Sedangkan 64,4,1 dan

bukan bentuk akar karena .864,24,11 Bilangan 1, 2, dan 8

bukan bilangan irasional.

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan

di dalam akar tersebut menjadi dua bilangan di mana bilangan yang satu

dapat diakarkan sedang bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.

Contoh :

Sederhanakan bentuk akar berikut ini :

a. 32 b. 18 c. 125 d. 3 81

32

Jawab :

a. 242.162.1632

b. 232.162.918

c. 555.255.25125

d. 3333

1

3

1

33 333.2727)3.27(3.2781

3. Mengoperasikan Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Dua bilangan bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika

bentuk akarnya sejenis.

Contoh :

Sederhanakan bentuk akar berikut ini.

a. 5254

b. 652

c. 37523254

Jawab :

a. 5254

= (4 + 2) 565

b. 652

Tidak dapat disederhanakan karena bentuk

akarnya berlainan

c. 37523254

=(4 – 2)809523)72(5

33

Perkalian Bilangan Real dengan Bentuk Akar

Untuk perkalian bilangan real dengan bentuk akar, gunakan rumus

berikut ini.

Contoh :

Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini.

a. 53.6

b. 205,0.8

Jawab :

a. 51853.6

b. 5852.4204205,0.8

Perkalian Bentuk Akar dengan Bentuk Akar

Untuk perkalian bentuk akar dengan bentuk akar, gunakan rumus

berikut ini.

atau

Contoh :

Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini :

a. 6.7

b. 123.22

c. 5858

cabcba .

baba .. fdecfedc ...

34

Jawab :

a. 426.76.7

b. 61262.6246123.22

c. 3585404085858

Dari contoh d dapat dituliskan,

Contoh :

Dengan menggunakan rumus tersebut, sederhanakan bentuk akar

berikut ini :

a. 315315

Jawab :

a. 12315315315

Pembagian Bentuk Akar

Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan

merasionalkan penyebut bentuk pecahan. Untuk merasionalkan penyebut

bentuk pecahan, bilangan tersebut dikalikan dengan sekawannya dari

penyebut. Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk berikut ini.

(i) Bentuk b

a

bababa

35

Contoh :

Rasionalkan bentuk-bentuk berikut ini.

a. 2

8

b. 10

52

Jawab :

a. 242

28

2

2.

2

8

2

8

b. 210

25.2

10

502

10

10.

10

52

10

52

(ii) Bentuk ba

k

Contoh :

Rasionalkan bentuk-bentuk berikut ini.

a. 31

2

b

ba

b

b

b

a

b

a .

ba

bak

ba

ba

ba

k

ba

k

2

.

36

b. 175

8

Jawab :

a.

22 31

312

31

31.

31

2

31

2

= 1331

2

312

31

312

b.

175

8

1758

175

1758

175

175.

175

8

175

82

175

8

1758

175

1758

175

175.

175

8

175

82

(iii) Bentuk ba

k

Contoh :

Rasionalkan bentuk-bentuk berikut ini.

a. 23

23

b. 35

22

ba

bak

ba

ba

ba

k

ba

k

.

37

Jawab :

a.

625

1

2623

23

23

22

23.

22

23

23

232

625

1

2623

23

23

22

23.

22

23

23

232

b.

22

35

3522

35

35.

35

22

35

22

= 61035

62102

4. Menyelesaikan Persamaan dalam Bentuk Pangkat (Pengayaan)

Persamaan dalam bentuk pangkat dapat diselesaikan dengan cara

menyatakan ruas kiri dan kanan dalam bentuk eksponen/pangkat

sedemikian sehingga bilangan pokok kedua ruas tersebut sama. Jika

bilangan pokok kedua ruas tersebut sudah sama, maka tinggal

menyamakan kedua eksponennya.

Contoh :

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini :

a. 409643 x

b.

xx 3412 279

Jawab :

a. 409643 x

6443 x

b. xx 3412 279

xx 343122 33

38

632 22

x

66 22 x

6x = 6

x = 1

xx 91224 33

xx 91224

21294 xx

1413 x

13

14x

Latihan :

1. Sederhanakan bentuk penjumlahan bentuk akar berikut ini.

a. 12√6 - 7√6 + 3√6

b. 6√5 + √5 - 20√5

c.2√150 + 3√54 - √294 + 3√486

2. Sederhanakan bentuk perkalian akar berikut ini

a. √50 . √20

b. 2√3 (2√40 + √12)

c. (√2 + √5)(√2 − √5)

3. Rasionalkanlah bentuk-bentuk berikut ini

a. 2

√3

b. 1

√2

c. √2

√3

d. 4

2−√3

4. Sederhanakan bentuk akar

21

3)2712(

5. Tentukan nilai dari

39

a. √3𝑥+3 = (1

3)6−𝑥

b. 1288-2

= 210+x

D. LOGARITMA

1. Pengertian Logaritma

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Secara umum ditulis :

dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, a disebut bilangan pokok logaritma atau basis, b

disebut numerus, yaitu bilangan yang dilogaritmakan.

Contoh :

Nyatakan dalam bentuk logaritma.

a. 22 = 8

b. 3-4 =

81

1

c. 104 = 10.000

Jawab :

a. 38log82 23

b. 4

81

1log

81

13 34

c. 4000.10log4000.10log000.1010 104 atau

2. Sifat-Sifat Logaritma

Sifat-sifat logaritma berikut ini berlaku dengan syarat p > 0 dan p ≠

l, a > 0, b > 0, dan m, n R.

cbba ac log

40

Sifat 1

Sifat 2

Sifat 3

Sifat 4

Sifat 5

Sifat 6

Sifat 7

Sifat 8

Sifat 9

Sifat 10

Sifat 11

baba ppp loglog).(log

bab

a ppp logloglog

ana pnp log.log

a

bb

p

pa

log

loglog

ab

b

alog

log

1

bn

b aan

log.1

log

bn

mb aman

log.log

ba ba log

01log p

1log aa

bba pap loglog.log

41

Contoh :

1. Tentukan nilai dari :

a. 9log3log24log 22 a

b. 4

1log.32log8log.2 222

Jawab :

a. 9

3.24log9log24log 222

sifat 1 dan sifat 2

= 322 2log8log sifat 4

b. 4

1log.32log8log.2 222

=

3

2222

4

1log2log8log

sifat 3

= 3222

1

2232 2log2log2log sifat 1 dan sifat 2

=

2

112

2)6(

2

16

2

6

2

1

62 2log2log

2

2.2log

sifat 4 dan sifat 1

= 2

1122log.

2

112 2

2. Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari :

a. 27log3

b. 343

1log7

42

Jawab :

a. 31.33log.33log27log 3333 sifat 3 dan sifat 10

b. 67log

2

1

37log

343

1log 7377 2

1

sifat 6

3. Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan

a. log 12

b. Log 0,125

Jawab :

a. log 12 = log (2 . 2. 3)

= log 2 + log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,3010 + 0,4771 = 1,0791

b. log 0,125 =

32log8

1log

= -3 . log 2

= -3 . 0,3010 = -9,9030

4. Jika log5

4 = a dan ,3log4 btentukan nilai dari

.20log3

Jawab :

aa

4log5log

5log

4log4log5

4log.3log4log

3log3log4 bb

3log

5log4log

3log

5.4log

3log

20log20log3

43

=

ab

a

b

a

b

a 1

11

4log

4log4log

3. Tabel Logaritma dan Antilogaritma

Salah satu cara untuk menentukan nilai logaritma dan antilogaritma

suatu bilangan adalah dengan menggunakan bantuan tabel. Pada tabel

logaritma ini hanya diberikan nilai logaritma suatu bilangan dengan basis

10. Untuk nilai logaritma lainnya, kita dapat mengubahnya menjadi

berbasis 10.

Menentukan Nilai Logaritma Suatu Bilangan dengan Tabel

Logaritma

Tabel logaritma hanya memberikan nilai logaritma suatu bilangan

berbasis 10. Bagaimana menentukan logaritma dengan basis tertentu 3log

2, 2log 5 atau

5log 15? Kita dapat mengubah logaritma-logaritma bilangan

tersebut menjadi berbasis 10 dengan bantuan sifat-sifat logaritma.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

Ubahlah logaritma berikut menjadi bentuk logaritma berbasis 10.

a. 3log 2

b. 15log5

1

Jawab :

a. 3log

2log2log3

44

b. 5log

15log

5log

15log

5

1log

15log15log

15

1

Nilai logaritma suatu bilangan merupakan bilangan yang terdiri dari

dua bagian yaitu karakteristik atau indeks yang berupa bilangan bulat, dan

mantisa yaitu bagian desimal. Misalkan M sebuah bilangan yang dapat

ditulis dalam bentuk baku M = p . 10n dengan 1 ≤ p ≤ 10 dan n bilangan

bulat, maka nilai logaritma M ditulis sebagai berikut.

log M = log (p . 10n)

= log p + log 10n

= log p + n

= n + log p

karakteristik mantisa

Dari persamaan tersebut, dapat diketahui nilai karakteristik

logaritma suatu bilangan sebagai berikut.

- 1 ≤ a ≤ 10, maka karakteristik log a adalah 0.

- 10 ≤ a < 100, maka karakteristik log a adalah 1.

- 100 ≤ a < 1.000, maka karakteristik log a adalah 2. dan seterusnya.

Aturan yang sama juga berlaku untuk bilangan desimal.

Mantisa dapat dilihat pada tabel logaritma. Perhatikan sebagian

tabel logaritma berikut (tabel logaritma lengkap ada di bagian akhir buku

ini).

45

TABEL LOGARITMA log x

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374

1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755

1.2 .792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106

1.3 .1139 .1173 .1206 .1239 .1271 .1303 .1335 .1367 .1399 .1430

1.4 .1461 .1492 .1523 .1553 .1584 .1614 .1644 .1673 .1703 .1732

1.5 .1761. .1790 .1818 .1847 .1875 .1903 .1931 .1959 .1987 .2014

1.6 .2041 .2068 .2095 .2122 .2148 .2175 .2201 .2227 .2253 .2279

1.7 .2304 .2330 .2355 .2380 .2405 .2430 .2455 .2480 .2504 .2529

1.8 .2553 .2577 .2601 .2625 .2648 .2672 .2695 .2718 .2742 .2765

1.9 .2788 .2810 .2833 .2856 .2878 .2900 .2923 .2945 .2967 .2989

2.0 .3010 .3032 .3054 .3075 .3096 .3118 .3139 .3160 .3181 .3201

2.1 .3222 .3243 .3263 .3284 .3304 .3224 .3345 .3365 .3385 .3404

2.2 .3424 .3444 .3464 .3453 .3502 .3522 .3541 .3560 .3579 .3598

2.3 .3617 .3636 .3655 .3674 .3692 .3711 .3729 .3747 .3766 .3784

Bilangan-bilangan pada kolom yang tidak diraster adalah mantisa

yang menunjukkan nilai logaritma suatu bilangan. Perhatikan cara

menentukan nilai logaritma suatu bilangan pada contoh berikut.

Contoh :

Dengan tabel logaritma, tentukan nilai dari :

a. log 1,76 c. 2log 30

b. log 2,38 d. 4log 0,57

Jawab :

a. Pilih 1,7 pada kolom pertama lalu pilih 6 pada baris pertama. Nilai

log 1,76 adalah perpotongan kolom dan baris tersebut.

46

log x

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 … … … … … … … … … …

1.1 … … … … … … … … … …

1.2 … … … … … … … … … …

1.3 … … … … … … … … … …

1.4 … … … … … … … … … …

1.5 … … … … … … … … … …

1.6 … … … … … … … … … …

1.7 … … … … … … .2455 … … …

Jadi, log 1,76 = 0,2455.

b. (Lihat tabel lengkap logaritma)

Pilih 2,3 pada kolom pertama lalu pilih 8 pada baris pertama. Nilai

log 2,38 adalah perpotongan kolom dan baris tersebut. Jadi, log 2,38

= 0,3766.

c. 2 log 30 = 2log

30log sifat 4

=

2log

10.33log

= 2log

10log3log sifat 1

= 2log

13log log 10 =1

= 3010,0

14771,0

dari tabel diperoleh log 3,00

= 0,4771 dan log 2,00 = 0,3010

= 907,4301,0

4771,1

47

d. 4log

57,0log57,0log4

=

4log

10.7,5log 1

= 4log

10log7,5log 1 sifat 1

= 6021,0

17559,0 log 10

-1 = -1, log 5,7 =

0,7559 dan log 4 =

0,6021

= 6021,0

2441,0

= 405,0

Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan dengan Tabel

Antilogaritma

Antilogaritma merupakan kebalikan dari logaritma. Misalkan

diketahui log x = 5,2, dapatkah kamu menyebutkan berapa nilai x?

Perhatikan cara menentukan antilogaritma suatu bilangan pada

contoh berikut.

48

Contoh :

Tentukan nilai x dari persamaan berikut dengan menggunakan tabel

antilogaritma.

a. log x = 0,056 d. log x = 0,32 6 –3

b. log x = 0,645 e. log x = –4,157

c. log x = 1,236

Jawab :

a. Pilih 0,05 pada kolom pertama lalu pilih 6 pada baris pertama. Nilai

antilog 0,056 adalah perpotongan kolom dan baris tersebut.

Antilog y

Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.0

0

.0

1

.0

2

.0

3

.0

4

1.00

0

1.02

3

1.04

7

1.07

2

1.09

6

1.00

2

1.02

6

1.05

0

1.07

4

1.09

9

1.00

5

1.02

8

1.05

2

1.07

6

1.10

2

1.00

7

1.03

0

1.05

2

1.07

9

1.10

4

1.00

9

1.03

3

1.05

7

1.08

1

1.10

7

1.01

2

1.03

5

1.05

9

1.08

4

1.10

9

1.01

4

1.03

8

1.06

2

1.08

6

1.11

2

1.01

6

1.04

0

1.06

4

1.08

9

1.11

4

1.01

9

1.04

2

1.06

7

1.09

1

1.11

7

1.02

1

1.04

5

1.06

9

1.09

4

1.11

9

.0

5

.0

6

1.12

2

1.14

8

1.12

5

1.15

1

1.12

7

1.15

3

1.13

0

1.15

6

1.13

2

1.15

9

1.13

5

1.16

1

1.13

8

1.16

4

1.14

0

1.16

7

1.14

3

1.16

9

1.14

6

1.17

2

log x = 0,056

x = antilog 0,056

x = 1,138

Jadi, x = 1, 138.

b. Dengan cara serupa pada soal a, diperoleh antilog (0,645) = 4,416.

49

c. log x = 1,236

Cara I

log x = 1,236

x = 101,236

x = 101+0,236

x = 101 . 10

0,236

x = 10 . (antilog 0,236)

x = 10 . (1,722)

x = 17,22

Cara II

log x = 1,236

x = antilog (1,236)

antilog (0,236) = 1,722 Karakteristik = 1, maka x adalah

angka puluhan

antilog (0,236) = 1,722

antilog (1,236) = 17,22 1,722 x 10 = 17,22

d. log x= 0,326 –3

Bilangan –3 merupakan karakteristik sehingga x merupakan

bilangan seperseribuan sedangkan 0,326 merupakan mantisa.

log x = 0,326 –3

x = antilog (0,326 –3) antilog 0,326 = 2,718

x = 2,118 x000.1

1

x = 0,002118

Jadi, x = 0,002118.

50

e. log x = –4,157

log x = 0,843 –5

x = antilog (0,843 –5) antilog 0,843 = 6.966

x =0,00006966 6,966 x 10-5

= 0,00006966

Jadi, x = 0,00006966

Latihan :

1. Tentukan nilai tanpa menggunakan alat hitung

a. 2Log 4

b. 4Log 64

c. 36Log 216

d. Log 0,00001

2. Sederhanakanlah

a. 2Log 50 +

2log 8 –

2log 100

b. 2log√8 +

2log√2-

2log √16

3. Jika diketahui log 3 = 0,4771 dan log 5 = 0,6990, tentukan nilai dari

log 45 dan log 25

4. Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari :

a. Log 9,36

b. Log 304,5

c. Log 8,796

5. Tentukan x dalam setiap persamaan berikut ini dengan

menggunakan tabel logaritma

a. Log x = 0,4150

b. Log x = 0,527

c. Log x = 0,7466

d. Log x = -2, 6108

51

Rangkuman

Bilangan Real

- Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional.

- Sifat-sifat pada operasi penjumlahan bilangan real (untuk a, b R)

a. Komutatif : a + b = b + a

b. Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)

c. Memiliki elemen identitas (netral) penjumlahan, yaitu 0 : a +0 =0

+ a= a

d. Memiliki invers penjumlahan : invers penjumlahan dari a adalah

-a, sehingga a + (-a) = -a + a = 0

- Sifat-sifat pada operasi perkalian bilangan

a. Komutatif : a . b = b . a

b. Asosiatif : (a . b) . c = a . (b . c)

c. Memiliki unsur identitas, yaitu 1 sehingga a . 1 = 1 . a = a

d. Memiliki invers perkalian : invers perkalian dari a adalah a

1,

sehingga a 0.11

aaaa

Perbandingan dan Skala

- Suatu perbandingan disebut perbandingan senilai jika dua

perbandingan nilainya sama :

cbdaataud

c

b

a..

- Suatu perbandingan disebut perbandingan berbalik nilai jika dua

perbandingan nilainya saling berkebalikan :

52

cbdaataud

c

b

a..

- Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran suatu besaran

nyata.

Bilangan Berpangkat

- Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif maka

pangkat n dari a ditulis an didefinisikan sebagai :

an dibaca a pangkat n. a merupakan bilangan pokok, sedangkan n

disebut pangkat atau eksponen.

- Sifat-sifat bilangan berpangkat :

a. an . a

n = a

m+n d.

mmm baba .).( g. m

m

aa

1

b. nm

n

m

aa

a e. m

mm

b

a

b

a

, h. n mn

m

aa

c. mnnm aa f. 10 a

Bentuk Akar

- Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya memuat

banyaknya angka desimal tak hingga. Contoh : ,50,3,2

dan lain-lain.

an = a . a . a . a . …. . a

sebanyak

53

- Operasi pada bentuk akar :

a. Penjumlahan dan pengurangan : bentuk akar dapat dijumlahkan

atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.

b. Perkalian bilangan bulat dengan bentuk akar :

cabcba .

c. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar :

dfcefedcdanbaba ...

d. Pembagian bentuk akar :

bb

a

b

b

b

a

b

a .

ba

bak

ba

ba

ba

k

ba

k

2

.

ba

bak

ba

ba

ba

k

ba

k

.

Logaritma

- Logaritma merupakan invers dari eksponen :

cbba ac log

- Sifat-sifat logaritma :

a. baba ppp loglog).(log

b. bab

a ppp logloglog

c. ana pnp log.log

54

d. a

bb

p

pa

log

loglog

e. ab

b

alog

log

1

f. n

maman

log

g. an

ma bmbn log.log

h. ba ba

log

i.

j. 1log pp

k. bba pap loglog.log

01log p

Bab

2 TRIGONOMETRI

Kompetensi Dasar

Mengonversi Ukuran Sudut

Menentukan Perbandingan Trigonometri di berbagai

Kuadran, Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku, dan Luas Segitiga

Menentukan Aturan Sinus dan Kosinus

56

A. Konversi Sudut

1. Ukuran Derajat

Ukuran derajat adalah ukuran yang dapat dibentuk pada bidang

datar dengan satuan (°) menggambarkan 1/360 dari putaran penuh.

Ada juga suku yang lebih kecil dari pada derajat, yaitu menit (‘) ,

detik (“) . Hubungan dari kedua ukuran tersebut adalah :

1 derajat = 60 menit atau 1° = 60′

1 menit = 60 detik atau 1′ = 60″

2. Ukuran Radian

Kita juga mengenal sebutan Ukuran Radian. Ukuran Radian adalah

satuan sudut dalam suatu bidang dengan lambang “rad”.

Satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua

buah jari-jari lingkaran berjari-jari 1 meter dan membentuk busur

sepanjang juga 1 meter. Atau dalam gambar di sebuah ini r = b = 1 meter.

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan

mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya

sudut telah dalam satuan radian. Ilustrasi radian dengan derajat dan

sebaliknya :

radian dengan derajat

57

Contoh Soal dan Pembahasan

Luas Juring menggunakan perbandingan radian :

Mencari Luas AOB, dengan konsep radian.

L. AOB/ L. Lingkaran = panjang AB/Keliling Lingkaran

Dari konsep tersebut didapatkan :

Luas AOB/2πr2 = s/2πr

Luas AOB = ½ rs

karena s = rθ, maka

Luas AOB = ½ r2θ

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Contoh Soal 1

Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

Penyelesaian :

50° = 50° x π/180°

50° = 0,277π

50° = 0,277 (3,14)

50° = 0,87 radian

58

89° = 89° x π/180°

89° = 0,494π

89° = 0,494 (3,14)

89° = 1,55 radian

Contoh Soal 2

Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!

Penyelesaian :

0,45 radian = 0,45 x 180°/π

0,45 radian = 25,80°

0,89 radian = 0,89 x 180°/π

0,89 radian = 51,02°

Contoh Soal 3

Sebuah kipas angin bagian dek mesin kapal berputar dengan kecepatan 36

putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke

dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian :

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

Contoh Soal 4

Hitunglah jari-jari suatu lingkaran jika panjang busurnya 10 cm dan sudut

pusatnya 36°!

Penyelesaian :

θ = 36°, maka :

36° = 36°xπ/180°

36° = 0,2π

59

Diketahui bahwa :

r = s/θ

r = 10 cm/0,2π

r = 10 cm/0,628

r = 15,9 cm

Contoh Soal 5

Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan radian!

a. 30° 20′ 15”

b. 106° 20′

Penyelesaian :

a. kita ketahui bahwa :

1” = (1/3600)°

1′ = (1/60)°

1° = 0,0174 radian, maka :

30° 20′ 15”

= 30° + 20.(1/60)° + 15.(1/3600)°

= (108000/3600)° + (1200/3600)° + (15/3600)°

= (109215/3600)°

= (109215/3600).0,0174 radian

= 0,53 rad

b. Diketahui bahwa :

1′ = (1/60)°

1° = 0,0174 radian, maka :

106° 20′ = 106° + 20.(1/60)°

106° 20′ = (318/3)° + (1/3)°

106° 20′ = (319/3)°

106° 20′ = (319/3).0,0174 radian

106° 20′ = 1,85 rad.

60

B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

1. Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

a. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi di hadapan sudut dinamakan a

Panjang sisi di hadapan sudut dinamakan b

Panjang sisi di hadapan sudut

dinamakan c

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan

c2 = a

2 + b

2

b. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 0180

c. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin = miring

depan

= c

b

b. cos c

a

miring

samping

c. tan a

b

samping

depan

d. cotg b

a

depan

samping

a

b

c

B C

61

e. sec a

c

samping

miring

f. csc b

c

depan

miring

Dari perbandingan tersebut diperoleh hubungan rumus :

Cotg

tan

1

Sec

cos

1

Csc

sin

1

Contoh :

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a=4, b=3.

a. Tentukan panjang sisi c

b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut

A C

B

3

c 4

62

Jawab :

3

4tan

5

3cos

5

4sin

52534 2222

b

a

c

b

c

a

bac

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus

(00, 30

0, 45

0, 60

0, 90

0)

Berdasarkan gambar tersebut dapat ditentukan nilai perbandingan

trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut (lengkapi

nilai-nilai yang lainnya)

450

450

1

1

600

300

2

1

63

00 300 450 600 900

Sin 0 2

1

Cos 1 32

1

Tan 0 33

1

Csc t.t 2

Sec 1 33

2

Cotg t.t 3

Contoh :

0180

Tentukan nilai dari :

1. Sin 00 + Csc 45

0 = 0 + 22

2. 3

3

3

33

13

3

2

3tan

3cot

6sec

g

= 1

3. Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran

1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran I

Absis positif

Ordinat positif

A(x,y)

x

y

r

64

positifx

yTan

positifr

xCos

positifr

ySin

2. Dikuadran II

Titik A(-x,y) dikuadran II

Absis negatif

Ordinat positif

negatifx

yTan

negatifr

xCos

positifr

ySin

Diskusikan dengan temanmu, untuk tanda-tanda perbandingan

trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IV

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Csc + + - -

Sec + - - +

Cotg + - + -

A(-x,y)

-x

y r

65

Kuadran II

Sin & Csc +

Kuadran I

Semua +

Kuadran III

Tan & Cotg +

Kuadran IV

Cos & Csc +

Contoh :

Diketahui Sin = ,5

3 dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan

nilai CotgCscSec ,,

Jawab :

Sin 5

3 , y = 3, r = 5, x = 41692535 22

Karena dikuadran II, nilai x = -4

Sehingga : Sec = 4

5

, Csc

3

5 , Cotg

3

4

TUGAS I

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut pada tiap

gambar berikut :

a.

b.

5

12

2

5

12

2

66

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p

yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut

diketahui.

a. Cos p = 0,8

b. Cotg p = 2

3. Tentukan nilai dari :

a. Sin 60

0 cotg 60

0 + sec 45

0 cos 45

0

b. Tan 300 + cos 30

0

c. 2 sin 600 cos 45

0

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohon

dengan sebuah perahu. Sudut pandang yang terbentuk 600, seperti

gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi perahu 250

cm)

4. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua

kuadran

a. Rumus di kuadran I

CotgTan

Cos

Sin

)90(

sin)90(

cos)90(

Tinggi pohon

Tinggi perahu 10 m

600

67

b. Rumus di kuadran II

CotgTan

SinCos

CosSin

)90(

)90(

)90(

atau

TanTan

CosCos

SinSin

)180(

)180(

)180(

c. Rumus di kuadran III

CotgTan

SinCos

CosSin

)270(

)270(

)270(

atau

TanTan

CosCos

SinSin

)180(

)180(

)180(

d. Rumus di kuadran IV

CotgTan

SinCos

CosSin

)270(

)270(

)270(

atau

TanTan

CosCos

SinSin

)360(

)360(

)360(

e. Rumus sudut negatif

TanTan

CosCos

SinSin

)(

)(

)(

f. Rumus sudut lebih dari 3600

TankTan

CoskCos

SinkSin

)360.(

)360.(

)360.(

Contoh :

Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :

a. Sin 1200 = Sin (90

0 + 30

0)

= Sin 300

= 32

1

68

Atau

Sin 1200 = Sin (180

0 – 60

0)

= Sin 600

= 32

1

b. Cos 2250 = Cos (270

0 – 45

0)

= -Sin 450

= 22

1

Atau

Cos 2250 = Cos (180

0 + 45

0)

= -Cos 450

= 22

1

c. Sin 7500 = Sin (2.360

0 + 30

0)

= Sin 300

= 2

1

d. Sin (-2250) = - Sin 225

0

= - Sin(1800 + 45

0)

= - (-sin 450)

= 22

1

69

TUGAS II

1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :

a. Cos 3300

b. Tan (-1200)

c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari :

a. Sin 3000 + Cos 545

0

b. Cos 3900 + Sec 570

0

c. Cotg 7500 + Tan (-60

0)

3. Sederhanakan

a. )360(

)270cos(

pSin

p

b. )180(

)90cos(

pSin

p

c. 00

000

300.210

240sec.225.120cos

SecCos

CoTan

4. Buktikan bahwa

a. 1)180().90(

)180().270(

pCospCos

pSinpSin

b. 1)90().180(

)360().180(

pCotgpCotg

pSecpCos

70

C. RUMUS SINUS DAN COSINUS

1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC tersebut, berlaku aturan sinus sebagai berikut :

Contoh :

1. Pada segitiga ABC, b = 1, 00 1,53,30 CB . Hitunglah c.

Jawab :

SinC

c

SinB

b

SinB

bSinCc

= 30

1,5312

Sin

Sin

= 5,0

8,0.12

= 5,0

6,9

= 2,19

A B

C

a

c

b

SinC

c

SinB

b

SinA

a

71

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. 2,68B .

Hitunglah C

SinC

c

SinB

b

Sin C = 65

2,6846Sin

b

cSinB

= 65

928,046x

= 65

710,42

= 657,0

C = 41,1

2. Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

A B

C

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos

b2 = a

2 + c

2 – 2ac cos

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cos

72

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600. Hitung

panjang BC

Jawab :

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos A

= 52 + 8

2 – 2.5.8. cos 60

= 25 + 64 – 80. ½

= 89 – 40

= 49

a = 7 cm

D. LUAS SEGITIGA

1. Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit

diketahui

A B

C

a b

c D

L = ½ b.c. sin A

L = ½ a.b. sin C

L = ½ a.c. sin B

73

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak di

antara kedua sudut yang diketahui.

A

CBaL

sin2

sin.sin.2

B

CAbL

sin2

sin.sin.2

C

BAcL

sin2

sin.sin.2

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

s = ½ . Keliling Segitiga

= ½ (a + b + c)

Contoh :

1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450

Jawab :

L = ½ a.b.sin C

= ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ 2

= 10 2

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, 60,65 BA .

Tentukan luasnya.

)).().(.( csbsassL

74

Jawab :

556065180 C

C

BAcL

sin2

sin.sin.2

55sin2

60sin.65sin.52

L

82,0

87,0.425,0.25L

27,11L

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5

cm.

Jawab :

s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

)).().(.( csbsassL

)56).(46).(36.(6 L

1.2.3.6L

636 L cm2

TUGAS IV

1. Diketahui layar sebuah kapal berbentuk segitiga. Misal segitiga

tersebut adalah PQR, dengan p = 9 cm, r = 6 cm, 046P .

Hitunglah luas layar kapal tersebut!

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm,

dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B.

75

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang

bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan

80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000

dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut

setelah berlayar selama 5 jam.

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah

lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm,

BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

Bab

3 BARISAN DAN DERET

Kompetensi Dasar

Menentukan Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri

Ditentukan dengan Menggunakan Sifat-Sifatnya

77

A. Barisan dan Deret Aritmetika

Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada

barisan 1, 2, 3, 4, …, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu : ke 1

dengan ke 2, ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya

adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan

aritmetika. Secara matematik, pengertian barisan aritmetika dapat

dituliskan sebagai berikut.

Definisi

Barisan U1, U2, U3,..., U n,... disebut barisan aritmetika jika Un -

Un-1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmetika

tersebut disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan

U1 sering dinotasikan dengan a.

Contoh 2.1

1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmetika dengan beda, b = 1.

2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmetika dengan beda, b = 2.

3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmetika sebab

U2 – U1 = -1 – 1 = -2 2 = 1 – (-1) = U3 – U2

Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmetika

Jika U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmetika, maka

unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.

78

U1 = a

U2 = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 =

U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U 4

+ b = (a + 3b) + b = a + 4b

Un = a + (n -1)b

Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmetika dengan

unsur pertama a dan beda b adalah :

Contoh 2.2

Un = a + (n -1)b. Diketahui barisan aritmetika dengan unsur ke 2

adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.

Penyelesaian :

Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n

-1)b, diperoleh

U2 = a + (2-1)b

U2 = a + b a

= U2 - b

= 10 - 2

= 8

U 7 = a + (7-1) b

= a + 6 b

= 8 + 6 (2)

= 8 + 12

= 20.

Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.

79

Contoh 2.3

Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai usaha kapal. Penghasilan

kapal. Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp6.000.000. Pak Arman

memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kapalnya naik

Rp500.000. Berapa perkiraan penghasilan kapal Pak Arman pada akhir

tahun 2005?

Penyelesaian :

Misalkan :

a = penghasilan kapal Pak Arman pada akhir tahun 2000.

b = perkiraan kenaikan penghasilan kapal Pak Arman setiap akhir

tahun.

P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.

Jadi

a = Rp6.000.000, b = Rp500.000, dan P2005 akan dicari.

Karena perkiraan kenaikan penghasilan Pak Arman setiap akhir

tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan Pak Arman pada

akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan

aritmetika dengan :

U1 = a = a = Rp6.000.000, b = Rp500.000.

P2005 = U6 = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)

= 6.000.000 + 2.500.000

= 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kapal Pak Arman pada akhir tahun 2005

adalah Rp8.500.000.

80

Dengan adanya deret aritmetika, kita dapat membentuk barisan yang

terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmetika.

Definisi

Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmetika, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....

disebut deret aritmetika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmetika U1 +

U2 + U3 + ... + U n, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat

diturunkan dengan cara sebagai berikut.

Sn = U n + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a

Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un

+

2Sn = (a + U n) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.

2 Sn = n. (a + Un)

Sn = 1

2n(a U n )

Jadi Sn = 1

2n(a U n ) atau Sn =

1

2n(2a (n 1)b)

Rangkuman 2

Barisan U1, U2, U3, ..., U n, .... disebut barisan aritmetika jika Un -

Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut

disebut beda, yang dinotasikan dengan b.

Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmetika dengan

beda b dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu

adalah Un = a + (n - 1)b

81

Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmetika, maka U1

+ U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmetika. Un disebut suku ke n

dari deret itu.

Latihan 2

1. Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan

aritmetika?

a. - 1

2 , 3, -12, 48, .....

b. a, a + x , a + 2x , a + 3x , .....

2. Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.

a. 1, -1, -3, -5,....; n = 15.

b. 4, 8, 12,....; n = 50.

3. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmetika yang

mempunyai :

a. U6 = 5; U 12 = -13.

b. U13 = 8; U17 = 48.

c. U7 = 14; U10 = 20.

4. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut ini :

a. 3, 6, 9, 12, ...

b. 1, 6, 11, 16, ...

c. -15, -8, -1, 6, ...

5. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmetika berikut :

a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50

b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20

c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50

82

6. Tentukan nilai dari :

a. 2 + 7 + 12 +.... + 297

b. 30 + 26 + 22 + ... + 2.

7. Tentukan x jika :

a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0.

b. 1 + 4 + 7 + … + x = 835.

B. Barisan Geometri dan Deret Geometri

1. Pengertian Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah sederetan bilangan yang berupa suku

(satuan) atau unit (U) dan ditulis secara berurutan, di mana perbandingan

dua buah suku yang berurutan berharga konstan(tetap) dan dinamakan

rasio yang dilambangkan dengan “r”

Sehingga

r = Un

Un-1

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan

geometri adalah :

a, ar, ar² , .......ar n-1

Suku ke-n Barisan Geometri

Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio, dan Un

adalah suku ke-n

r = Un maka Un = r . Un-1

Un-1

Sehingga Un = ar n-1

83

Dengan memandang rasionya maka diperoleh tiga jenis, seperti

berikut :

a. Jika rasio lebih besar (r >1), maka suku-suku barisan itu semakin

besar nilainya/ naik.

b. Jika rasionya 0 dan 1 (0<>1), maka suku-suku barisan itu semakin

kecil nilainya/ turun

c. Jika rasio <0, maka suku barisan berganti tanda disebut barisan naik

turun.

Nilai Tengah Barisan Geometri

Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak

sukunya ganjil. Jika suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka

banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1)

atau U(2t – 1). sehingga diperoleh hubungan Ut2 = ( U1. U(2t – 1))

Karena U(2t -1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1

merupakan suku awal, maka : Utengah = √Uawal-Uakhir

2. Deret Geometri

Deret geometri adalah suku-suku dari suatu barisan geometri yang

dijumlahkan.

Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un, jika Un+1> Un

maka deretnya disebut deret geometri naik, dan jika Un+1 < Un , maka

deretnya disebut deret geometri turun. Jika Sn adalah jumlah n suku

pertama, r adalah rasio, dan a adalah suku pertama suatu deret geometri,

maka :

1) Sn =a(rn-1) digunakan jika r >1, r-1

2) Sn =a(1-rn) digunakan jika 0< r <1, 1-r

84

1. Suku Tengah Deret Geometri

Suku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengah-tengah

antara a dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret

geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut :

Ut = √axUn

2. Deret Geometri Tak Hingga

Deret Geometri Tak Hingga adalah deret geometri yang

menyatakan banyaknya suku deret geometri itu tak hingga,

banyaknya yaitu apabila n menuju bilangan yang besar sekali.

Contoh :

a. 1 + 2 + 4 + 8 +......, r = 2

b. 9 + 3 + 1 + +......, r = 1/3

Keterangan :

a. Un menuju bilangan yang cukup besar, jika n menuju bilangan

yang besar maka dinamakan deret geometri naik tak terhingga,

Sn tak terhingga.

b. Un menuju atau mendekati nol maka dinamakan deret geometri

turun tak hingga

Jumlah deret geometri turun tak hingga :

Sn =a(1-rn) = a - arn , 0< r <1 1-r 1-r 1-r

Maka : Sn = a = 0→ Sn = a 1-r 1-r

Jenis Deret Geometri Tak Hingga

3. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen adalah suatu deret

dengan rasio |r| <1 atau -1< r <1 . Jumlah deret geometri tak hingga

yang konvergen dirumuskan dengan nilai pendekatan

85

Sn = a

1-r

Contoh :

1 + 1 + 1 + 1 +......

3 9 27

4. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (Menyebar)

Deret Geometri Tak Hingga Divergen adalah deret dengan rasio

|r| >1 atau r >1 atau r < -1. Jumlah deret geometri tak hingga yang

divergen tidak didefinisikan. Contoh : 1 + 3 + 9 + 27 +.......

C. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku

berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan

ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah

suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku

sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan

yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan

r.

Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.

a. 3, 6, 12, 24, ...

b. 2, 1, ½, 1/4, ...

c. 2, –4, 8, –16, ...

Barisan tersebut merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan

tersebut berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.

a. = ..... = 2. Jadi, r = 2.

86

b. = .... Jadi, r = ½

c. = –2. Jadi, r = –2.

Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1, U2, ... Un barisan

geometri dengan Un adalah rumus ke-n, berlaku :

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama

(U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.

U1 = A

U2 = U1 × r = ar

U3 = U2 × r = ar2

U4 = U3 × r = ar3

. .

. .

. .

Un = Un–1 × r = arn–2 × r = arn–1

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ..., ar

n–1, ...

Jadi, rumus umum suku ke-n (Un) barisan geometri adalah :

Un = arn–1

Keterangan :

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Geometri 11 :

87

Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri

berikut.

a. 2, 6, 18, 54, ...

b. 9, –3, 1, -1/3 , ...

Jawaban :

a. 2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan geometri tersebut, diperoleh :

1) suku pertama : a = 2;

2) rasio : r = ... = ... = 3.

Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah :

Un = arn–1

maka

U7 = 2(37–1

) = 2 × 729 = 1.458

b. 9, –3, 1, , ....

Dari barisan ini, diperoleh :

1) suku pertama : a = 9;

2) rasio : r = ;

3) suku ke-7 : U7 =

Contoh Soal 12 :

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan

itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.

Penyelesaian :

Pemisalan yang mudah untuk barisan geometri adalah , a, dan ar.

Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 maka + a + ar = 21.

88

Hasil kali ketiga bilangan adalah 216 maka × a × ar = 216 ↔ a3 = 216

Karena a3 = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikan nilai a = 6 ke

persamaan + a + ar = 21 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

+ 6 + 6r = 21 ........... (kedua ruas dikalikan dengan r)

↔ 6 + 6r + 6r2 = 21r

↔ 6 – 15r + 6r2 = 0 ........................... (kedua ruas dibagi 3)

↔ 2r2 – 5r + 2 = 0

↔ (2r – 1)(r – 2) = 0

↔ 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0

↔ r = ½ atau r = 2

Dari persamaan tersebut, diperoleh r = ½ dan r = 2.

Untuk r = ½ dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 12, 6, dan 3.

Untuk r = 2 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 3, 6, dan 12.

D. Deret Geometri

Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 +

U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan Un = arn–1

. Rumus umum untuk

menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan

sebagai berikut.

Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.

Sn = U1 + U2 + ... + Un

Sn = a + ar + ... + arn–2

+ arn–1

......................................................... (1)

89

Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :

rSn = ar + ar2 + ar

3 + ... + ar

n–1 + ar

n ............................................... (2)

Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :

rSn =

ar + ar2 + ar

3 + ... + ar

n–1 + ar

n

Sn = a + ar + ar

2 + ar

3 + ... + ar

n–1

- rSn - Sn = –a + ar

n

↔ (r – 1)Sn = a(rn–1

)

↔ Sn =

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah

sebagai berikut.

Sn = , untuk r > 1

Sn = , untuk r < 1

Keterangan :

Sn = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Apa yang terjadi jika r bernilai 1?

Contoh Soal Deret Geometri 13 :

Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.

90

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)

Pembahasan :

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).

Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.

Sn = ↔ S8 = = 2(256 – 1) = 510

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...

Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = (r < 1).

Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.

Sn = ↔ S6 = = 24(1- ) =

Contoh Soal 14 :

Diketahui deret 3 + 32 + 3

3 + ... + 3

n = 363. Tentukan :

a. suku pertama;

b. rasio;

c. banyak suku.

Penyelesaian :

Deret 3 + 32 + 3

3 + ... + 3

n = 363

a. Suku pertama : a = 3

b. Rasio : r = ... = .... = 3

c. Untuk Sn = 363

Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :

Sn =

91

↔ 363 =

↔ 726 = 3n+1

– 3

↔ 3n+1

= 729

↔ 3n+1

= 36

Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku

dari deret tersebut adalah 5.

Contoh Soal 15 :

Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 +

16 + 64 + ...

Kunci Jawaban :

Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah

n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.

Sn =

Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah :

> 1.000 ↔ 4n > 3.001

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :

log 4n > log 3.001

↔ n log 4 > log 3.001

↔ n >

↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)

Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6.

92

Contoh Soal 16 :

Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...

Penyelesaian :

Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deret

aritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikan penjabaran berikut.

E. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya

disebut deret geometri tak berhingga.

Perhatikan deret geometri berikut.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

b. 1 + + + ....

c. 9 – 3 + 1 – + .....

93

Deret-deret tersebut merupakan contoh deret geometri tak

berhingga.

Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.

Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan

tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1.

Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-masing deret 1/2 dan –1/3.

Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan jumlahnya. Deret

tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen,

jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan

mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga

suku yang dinotasikan dengan S∞ . Nilai S∞ merupakan nilai pendekatan

(limit) jumlah seluruh suku (Sn) dengan n mendekati tak berhingga. Oleh

karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri

dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ .

Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n → ∞ maka rn → 0

sehingga :

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :

, dengan | r | < 1

Contoh Soal Deret Geometri Tak Terhingga 17 :

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.

a. 1 + + + + ...

b.

94

Pembahasan :

a. 1 + + + + ...

Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = ½ sehingga :

b.

Perhatikan deret 2 + 1 + + + + ....

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = ½.

Jadi, = 24 = 16.

Contoh Soal 18 :

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak

berhingga adalah 4. Carilah rasionya.

Penyelesaian :

Dari soal tersebut, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan S∞ = 4.

Kita substitusikan ke dalam rumus S∞ .

S = ↔ 4 =

↔ 1 – r = ½ .

↔ r = ½

Jadi, rasionya adalah ½.

95

Contoh Soal 19 :

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali

dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung

terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan

bola. (UMPTN 1995)

Jawaban :

U0 = 10 m; r = 3/4.

U1 = 3/4 x 10 m = 3/40 m

Sn = 10 + 2 S∞ = = 10 + (2 × ) = 10 + (2 × )

= 10 + (2 × 30) = 70.

Dengan cara lain :

Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H0 secara vertikal

dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan a/b kali dari ketinggian

semula maka panjang lintasan pantulan (H) hingga berhenti dirumuskan

dengan :

Dengan menggunakan cara ini, diketahui a = 3, b = 4, dan H0 = 10 m.

Jadi, H = = 7 × 10 = 70 m

96

Latihan 3

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal

berikut :

a. 2, 4, 8, 16, ..., U12

b. 3, -9, 27, -81, ..., U10

c. √2, √3, 3√2, 3√6 , ..., U5

2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :

a. 1, 2, 4, ...

b. 1

2,

1

4,

1

8, ....

c. 2, 2, 2 √ , √2

3. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sama

dengan 64. Tentukan :

a. rasio

b. rumus jumlah n suku pertama

4. Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan

aritmetika?

a. 1,3,9,27,...

b. 1

4,

1

8,

1

16, ...

5. Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.

a. 2, -4, 8, ..., n = 10

b. √3,3, 3√33,...n 10

6. Hitunglah :

a. 2 – 6 + 18 .... sampai 10 suku

b. 3 + 1 + 1

3 +

1

9 ... sampai tak hingga

97

7. Dari ketinggian 1 m sebuah bola dijatuhkan ke lantai kapal. Setiap

kali memantul ketinggian bola tersebut tinggal 3/5 dari tinggi

sebelumnya. Berapakah jarak yang ditempuh bola selama 10 kali

pantulan

8. Diketahui jumlah n suku pertama deret geometri adalah

Sn = 5(2n-1)

Tentukan :

a. Suku pertama dan rasio

b. Rumus suku ke-n

Bab

4 PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN

Kompetensi Dasar

Menentukan Himpunan Dasar Penyelesaian Persamaan dan

Pertidaksamaan Linear

Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan dan

Pertidaksamaan Kuadrat

Menerapkan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaiakan Sistem Persamaan

99

A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Perhatikan dua masalah berikut.

Kelas I SMK Teknik terdiri dari 2 kelas, yaitu kelas 1 A dan kelas 1

B. Banyak siswa kelas 1 A adalah 36 anak. Jika 3 orang siswa l B tidak

masuk, maka jumlah siswa kelas 1 B akan sama dengan jumlah siswa kelas

1 A. Berapa jumlah siswa kelas 1 B?

Agar tidak mengulang tes matematika, setiap siswa harus mendapat

nilai minimal 60. Perhitungan nilai adalah banyak soal pilihan ganda yang

benar ditambah dua kali banyak soal esai yang benar. Seorang siswa dapat

mengerjakan 40 soal pilihan ganda dengan benar. Berapa soal esai yang

harus benar, agar siswa tersebut tidak mengulang tes matematika?

Dua masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan

persamaan dan pertidaksamaan linear.

1. Persamaan Linear

Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda ”sama

dengar.” atau ”=”. Sedangkan yang dimaksud kalimat terbuka adalah

kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih

memuat variabel.

- Persamaan linear satu variabel, misalnya

1. 2x + 10 = 0 variabel : x

2. 2t = 14 variabel : t

Persamaan linear adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki

pangkat tertinggi satu.

100

- Persamaan linear dua variabel, misalnya

1. x + 3y = 9 variabel :x dan y

2. 2m – 3n = 15 variabel :m dan n

- Persamaan linear tiga variabel, misalnya

1. 2x + y – 3z = 20 variabel :x, y, z

2. 2p – 5q + 2r = –3 variabel :p, q, r

Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah :

Ax + b = 0

dengan a ≠ 0, a adalah koefisien dan b adalah konstanta.

Beberapa sifat yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan

persamaan linear satu variabel yaitu :

Sifat 1 Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan

ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau

bilangan positif yang sama.

Sifat 2 Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan

dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Berdasarkan dua sifat tersebut, maka persamaan linear satu variabel

dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

a. Kelompokkan variabel di ruas kiri (sebelah kiri tanda ”=”) dan

kelompokkan konstanta di ruas kanan (sebelah kanan tanda ”=”).

b. Jumlahkan atau kurangkan variabel dan konstanta yang telah

mengelompok, sehingga menjadi bentuk paling sederhana.

c. Bagilah konstanta dengan koefisien variabel pada langkah b.

101

Contoh :

Tentukan nilai variabel dari persamaan berikut.

a. 7x – 4 = 2x + 16 b. 5(2q – 1)= 2(q + 3)

Jawab :

a. 7x – 4 =2x + 16

7x – 2x = 16 + 4

5x = 20

5

20

5

5

x

x = 4

b. 5(2q – 1) = 2(q + 3)

10q – 5 = 2q + 6

10q – 2q = 6 + 5

8q = 11

8

11q

2. Pertidaksamaan Linear

- Pertidaksamaan linear satu variabel, misalnya :

1. 2x + 10 > 0 variabel : x

2. 2t ≤ 14 variabel : t

- Pertidaksamaan linear dua variabel, misalnya :

1. x + 3y ≤ 9 variabel :x dan y

2. 2p >3q + 15 variabel :p dan q

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda ”<, ≤, >, ≥

atau ≠” sedangkan pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan

yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi berpangkat.

102

Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel adalah :

0,0,0,0,0 baxataubaxbaxbaxbax

bilangan real.

Sifat 1 Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri

dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan

negatif atau bilangan positif yang sama.

Sifat 2 Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan

kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Sifat 3 Tanda pertidaksamaan berubah atau dibalik jika pada ruas kiri

dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang

sama.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini (xR).

a. 3x – 4 ≥ 16 + 8x b. 2x – 4 ≤ 5x + 8 ≤ 2x + 14

Jawab :

a. 3x – 4 ≥ 16+8x

3x – 4– 8x ≥ 16 + 8x – 8x Kurangi kedua ruas dengan

1654 x Tambahkan 4 pada kedua ruas

-416544 x

205 x

5

20

5

5

x Bagi kedua ruas dengan -5, tanda pertidaksamaan

dibalik (sifat 3)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah },4{ Rxxx

103

b. 1428542 xxx

Kita ubah menjadi dua pertidaksamaan

I. 8542 xx

xxxx 585542 Kedua ruas dikurangi 5x

834 x

48434 x Kedua ruas ditambah 4

123 x

3

12

3

3

x

Kedua ruas dibagi -3, tanda

persamaan dibalik (sifat 3)

4x

II. 14285 xx

xxxx 2142285 Kedua ruas dikurangi 2x

1483 x

814883 x Kedua ruas dikurangi 8

63 x

3

6

3

3

x

Kedua ruas dibagi 3

2x

2

Himpunan penyelesaiannya adalah yang memenuhi kedua hasil

tersebut, yaitu },24{ Rxxx

-4 2

104

3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Beberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan

dengan konsep persamaan maupun pertidaksamaan linear. Langkah

pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan masalah tersebut ke dalam

kalimat matematika. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh

berikut.

Contoh :

1. Ahli kesehatan mengatakan bahwa akibat menghisap satu batang

rokok waktu hidup seseorang akan berkurang selama 5,5 menit.

Berapa rokok yang dihisap Fahri tiap harinya jika ia merokok

selama 20 tahun dan waktu untuk hidupnya berkurang selama 275

hari (1 tahun = 360 hari)?

Jawab :

Misalkan banyaknya rokok yang dihisap tiap hari adalah x, maka

waktu hidup berkurang tiap harinya 5,5x menit.

Dalam setahun waktu hidup berkurang sebanyak 5,5x x 360 menit.

Dalam 20 tahun, waktu hidup berkurang sebanyak 5,5x x 360 x 20

menit.

Sehingga diperoleh persamaan :

5,5x x 360 x 20 = 275 x 60 x 24 275 hari (275 x 24 x 60) menit

39.6000x = 396.000

x = 10

600.39

000.396

Jadi, Fahri menghisap rokok 10 batang setiap hari.

105

2. Untuk dapat diterima sebagai karyawan di PT Teknik Sejahtera,

calon karyawan akan menjalani tes sebanyak 4 kali, yaitu tes

tertulis, psikotes, tes keterampilan, dan wawancara dengan

perbandingan hasil tes berturut-turut adalah 4 : 3 : 2 : 1. Total nilai

tes tidak boleh kurang dari 827. Azzam telah mengikuti tes dengan

hasil sebagai berikut. Psikotes = 80, tes keterampilan = 95, dan

wawancara = 85. Tentukan nilai terendah tes tertulisnya agar Azzam

dapat diterima menjadi karyawan.

Jawab :

Misalkan nilai tes tertulis adalah x, maka diperoleh pertidaksamaan :

85.195.280.34 x ≥ 827

851902404 x ≥ 827

x4 ≥ 827 – 24 – 85

x4 ≥ 312

x ≥ 78

Jadi, nilai terendah tes tertulis Azzam agar diterima sebagai

karyawan adalah 78.

Latihan

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini :

a. 2x – 10 = 0

b. 8 – 2x = 3x – 17

c. x – 3 = x- 6

d. x + 5 = 27 – x

106

2. Tentukanlah nilai variabel dari persamaan –persamaan berikut ini :

a. 5(a + t) = 10

b. –(4n - 4) + 5n = 2n + 8

c. 20 ( 3x + 1 ) = -50 (5-x)

d. 3 (2z – 1) + 1 = -2(2z + 9)

3. Gilang mempunyai dua kotak pensil. Jika 5 pensil di antaranya

diberikan kepada adiknya dan ternyata sisa pensil Gilang sebanyak

19, tentukan :

a. Model matematika dalam bentuk persamaan linier untuk kasus

tersebut.

b. Banyaknya pensil dalam satu kotak.

4. Seorang ayah berumur 20 tahun ketika anaknya lahir. Berapakah

umur anak itu ketika jumlah umur mereka 48 tahun?

5. Ahli kesehatan mengatakan dengan mengisap satu batang rokok

waktu hidup seseorang akan berkurang selama 6 menit. Berapa

rokok yang dihisap Febri jika ia merokok selama 15 tahun dan

waktu untuk hidup berkurang selama 10 % dari waktu merokok a?

(1 tahun = 360 hari).

B. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Sebuah perusahaan konstruksi mendapat order pembuatan sebuah

gedung pusat perbelanjaan. Menurut rencana, gedung tersebut mempunyai

alas berbentuk persegi panjang. Pemesan meminta agar lebar gedung

mempunyai selisih 70 meter dengan panjangnya dan luas lantai dasar

adalah 12.000 meter persegi.

107

Berapa ukuran panjang dan lebar gedung tersebut? Untuk menjawab

pertanyaan ini, kita harus mengetahui terlebih dahulu rumus luas persegi

panjang dan definisi persamaan kuadrat.

1. Definisi Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

Perhatikan contoh persamaan kuadrat berikut ini.

- 1dan,4,20142 2 cbaxx

- 0,3,1032 cbaxx

- 9dan,0,1092 cbax

Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dalam x berarti

mencari nilai x sedemikian sehingga jika nilai x disubstitusikan pada

persamaan tersebut, maka persamaan akan bernilai benar. Penyelesaian

persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat.

2. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar

atau menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan faktorisasi,

melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat (rumus abc).

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan di mana pangkat tertinggi

dari variabelnya adalah dua

Rcbaacbxax ,,,,0dengan02

108

Faktorisasi

Untuk menyelesaikan persamaan 02 cbxax dengan

faktorisasi, terlebih dahulu cari dua bilangan yang memenuhi syarat

sebagai berikut.

- Hasil kalinya adalah sama dengan ac

- Jumlahnya adalah sama dengan b

Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah x1 dan

x2 maka,

bxxdancaxx 2121 ..

Prinsip dasar yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan

kuadrat dengan faktorisasi adalah sifat perkalian, yaitu :

jika ab = 0,maka a = 0 atau b = 0.

Jadi kita akan mengubah atau memfaktorkan bentuk baku

persamaan kuadrat 02 cbxax

- Untuk a = 1

Kita faktorkan bentuk 02 cbxx

menjadi :

0)()( 21 xxxx (x + x1) = 0 atau (x + x2) = 0

- Untuk a ≠1

Kita faktorkan bentuk 02 cbxax

menjadi :

0)(0)(0 21

21

xaxatauxaxa

xaxxax

109

Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh :

Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan faktorisasi.

a. 02832 xx

b. 0523 2 xx

Jawab :

a. 28dan,3,102832 cbaxx

Cari dua bilangan sehingga hasil kalinya = 28)28(.1 dan

jumlahnya = – 3.

Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah –7 dan 4, sehingga

2832 xx = 0

)7()4( xx = 0

x + 4 = 0 atau x – 7 = 0

x = –4 atau x = 7

b. 5dan,2,30523 2 cbaxx

Cari dua bilangan sehingga hasil kalinya = 3 . (–5) = –15 dan

jumlahnya = 2.

Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah –3 dan 5, sehingga

0523 2 xx

03

)53()33(

xx

053atau033 xx

110

53atau3 xx

x = 1 atau x = 3

5

Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat ,02 cbxax diubah menjadi bentuk

kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut.

a. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum bernilai 1 bagilah

dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.

b. Tambahkan ruas kiri dan kanan den-an setengah koefisien dari x

kemudian kuadratkan.

c. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas

kanan disederhanakan.

Contoh :

Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akar-

akarnya.

a. 01662 xx

b. 032 xx

Jawab :

a. 01662 xx

1662 xx

Kedua ruas ditambah 16

22

2 )6(.2

116)6(.

2

16

xx

Kedua ruas ditambah

2

1(

x koefisien x)

2

111

222 )3(16)3(6 xx

916962 xx

25)3( 2 x

53 x

3535 21 xataux

28 21 xataux

b. 032 xx

22

2 )6(.2

1163.

2

16

xx

4

9

4

932 xx

4

9

2

32

x

4

9

2

3x

2

3

2

3x

2

3

2

3

2

3

2

321 xataux

30 21 xataux

112

Rumus abc

Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang

telah dipelajari sebelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan

persamaan kuadrat.

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat

,02 cbxax maka :

a

acbbxdan

a

acbbx

2

4

2

4 2

2

2

1

Rumus tersebut disebut rumus abc.

Contoh :

Tentukan penyelesaian persamaan berikut dengan menggunakan

rumus abc.

a. 02422 xx

b. 082 2 x

Jawab :

a. Dari persamaan diperoleh a= 1, b = –2 , dan c = –24.

a

acbbx

2

42

2,1

)1(2

)24(.)1(.4)2()2( 2

2

102

2

9642

113

2

102atau

2

10221

xx

4atau6 21 xx

b. Dari persamaan diperoleh a = 2, b = 0,dan c = –8.

a

acbbx

2

42

2,1

)2(2

)8(.)2(.4)0(0 2

4

640

4

8

2atau2 21 xx

3. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat

dengan menggunakan rumus, maka jenis akar-akar tersebut akan

bergantung pada nilai b2– 4 ac. Nilai dari b

2–4ac disebut diskriminan,

yaitu D = b2– 4ac.

Beberapa jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai D.

a. Jika D> 0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang

berbeda.

b. Jika D =0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang

sama atau sering disebut mempunyai akar kembar (sama).

c. Jika D < 0,maka persamaarn kuadrat mempunyai akar yang tidak

real (imajiner).

114

Contoh :

1. Selidiki jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut ini tanpa mencari

akarnya ' terlebih dahulu.

a. 025102 xx

b. 032 xx

c. 03522 xx

Jawab :

a. 25,10,1025102 cdanbaxx

acbD 42

)25()1(4102 D

0100100 D

Jadi, persamaan kuadrat 025102 xx

mempunyai dua

akar sama atau kembar.

b. .3dan,1,1032 cbaxx

)3()1(412 D

121D

011D

Jadi, persamaan kuadrat 032 xx

tidak mempunyai akar

real (akar imajiner).

c. .35,2,103522 cdanbaxx

)35()1(4)2( 2 D

1404 D

115

0144 D

Jadi, persamaan kuadrat 03522 x mempunyai dua akar

real yang berbeda.

4. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut :

Jika kedua akar tersebut dijumlahkan, maka didapatkan :

a

bxx 21

Jika kedua akar tersebut dikalikan, maka didapatkan :

a

cxx 21 .

Kedua bentuk tersebut disebut rumus jumlah dan hasil kali akar

persamaan kuadrat. Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

1. Jika x1 dan x2akar-akar dari persamaan ,0142 xx

tentukanlah :

a. 21 xx c. 2

2

2

1 xx

b. 21 . xx

a

acbbxatau

a

acbbx

2

4

2

4 2

2

2

1

116

Jawab :

Dari persamaan x2+ 4x – 1 = 0 diperoleh : a =1, b =4, dan c = –1.

a. 41

421

c

bxx

b. 11

1. 21

a

cxx

c. 21

2

21

2

2

2

1 2 xxxxxx

1812161242

2. Hitunglah nilai k agar persamaan 01)2(3 2 kxkx

mempunyai akar-akar :

a. Berkebalikan

b. Berlawanan

Jawab :

a. .12,301)2(3 2 kcdankbakxkx

Misalkan akar-akarnya adalah x1 dan x2, jika akar-akar

berkebalikan maka :

1.1

21

2

1 xxataux

x

a

cxx 21 .

3

11

k

231 kk

117

b. Jika akar-akarnya berlawanan, maka x1 = –x2 atau x1 + x2 = 0

a

bxx 21

3

20

k

220 kk

5. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang

mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Himpunan

penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk

notasi himpunan atau dengan garis bilangan. Langkah-langkah untuk

mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat :

a. Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat

(jadikan ruas kanan sama dengan 0).

b. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.

c. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut, tentukan

tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara

menguji tanda pada masing-masing interval.

d. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi

pertidaksamaan tersebut.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.

a. 01452 xx

b. 09 2 x

118

Jawab :

a. 01452 xx

01452 xx Nyatakan dalam persamaan

kuadrat

0)2()7( xx Persamaan difaktorkan untuk

mencari akar

2atau7 xx

Garis bilangan yang memuat

(–7) dan 2 :

-7 2

Uji beberapa titik yang mewakili masing-masing interval, misalnya :

sebelah kiri –7, diambil –10 => (– 10)2

+ 5(–10) – 14 = 36 (positif)

antara –7 dan 2, diambil 0 => 02 + 5(0) – 14 = –14 (negatif)

sebelah kanan 2, diambil 3 => 33 + 5(3) – 14 = 10 (positif)

Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah “<” maka interval

yang bertanda negatif yang memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, HP = }.,27{ Rxxx

Latihan

1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan faktorisasi

a. X2 + x = 72

b. X2 – 16 = 0

c. X2 – 64 = 0

d. 2x2 – 3x = 0

e. 2x2 + 7x + 5 = 0

2. Selesaikan persamaan berikut ini dengan melengkapkan kuadrat

sempurna

119

a. 4x2 + 4X – 3 = 0

b. 3X2 – 8X – 3 = 0

c. X2 – 6X = 16

d. X2 + 2X + 1 = 0

3. Gunakan rumus abc untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

berikut ini :

a. X2 - 4x + 4 = 0

b. X2 – 4x – 12 = 0

c. X2 – 9x – 22 = 0

d. X2 + 7x – 8 = 0

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :

a. X2 + 8x – 9 < 0

b. X2 - x -20 > 0

c. 6x - X2> 1

d. -X2 + 11x + 26 ≥ 0

5. Perhatikan persamaan kuadrat berikut :

(i) X2 + x + 3 = 0

(ii) X2 = 2x + 5

Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan tersebut, tentukan x1 +

x2 dan x1 . x2

120

C. MENERAPKAN PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

1. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-Akarnya

Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, ada dua cara yang dapat

digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat yaitu :

a. Menggunakan rumus perkalian faktor dan menyelesaikan persamaan

kuadrat dengan faktorisasi. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar

persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah

:

0)()( 21 xxxx

b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. Jika x1 dan x2

adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya

adalah :

0.)( 2121

2 xxxxxx

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya :

a. –8 dan 3

b. 35dan35

Jawab :

a. Cara I Menggunakan rumus perkalian faktor.

Misalkan x1= –8 dan x2= 3, persamaan kuadratnya adalah :

0)3())8(( xx

0)3()8( xx

121

024832 xxx

02452 xx

Cara II Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar.

Misalkan x1 = –8 dan x2 = 3,

243.8.538 2121 xxdanxx

Persamaan kuadratnya adalah :

0.)( 2121

2 xxxxxx

0)24()5(2 xx

02452 xx

b. 3535 21 xdanx

10)35()35(21 xx

22325)35()35(. 21 xx

Persamaan kuadratnya adalah :

0).()( 2121

2 xxxxxx

022102 xx

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-Akar

Persamaan Kuadrat Lain

Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar

persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

122

Contoh :

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya lima lebihnya dari

akar-akar persamaan kuadrat !0282 xx

Jawab :

.2dan8,1282 cbaxx

Misalkan akar-akar persamaan 0282 xx adalah x1 dan x2,

maka

21

2.atau8

1

82121

a

cxx

a

bxx

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah

α dan β Maka ,55 21 xdanx sehingga :

)5()5( 21 xx

10)( 21 xx

18108

)5()5(. 21 xx

5.555. 2121 xxxx

25)(5. 2121 xxxx

67258.52

3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dapat digunakan untuk

memecahkan beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah dengan membuat

kalimat matematika dari permasalahan-permasalahan tersebut. Perhatikan

123

beberapa contoh berikut.

Contoh :

1. Sejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktik seharga

Rp612.000,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah

yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang

itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar

Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan

jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktik tersebut.

Jawab :

Misalkan jumlah siswa : x

Masing-masing siswa membayar sebesar :x

000.612

Setelah 3 temannya bergabung, masing-masing siswa membayar :

)3(

000.612

x

Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah

3 temannya bergabung

3

000.612000.612000.34

xx Kedua ruas dibagi 34.000

3

18181

xx Kedua ruas kalikan x(x + 3)

xxxx 18)3(18)3(

xxxx 18541832

05432 xx

0)6()9( xx

124

6atau9 xx

Jadi, sebelum 3 temannya bergabung ada 6 siswa yang akan

patungan membeli alat praktik.

2. Sebuah pabrik lampu pijar menjual produknya seharga Rp6.000,00

per unit. Biaya pembuatan x lampu didapat menurut persamaan β =

x2 + l.000x. Berapa unit lampu harus terjual agar mendapatkan laba

tidak melebihi dari Rp6.000.000,00?

Jawab :

Laba ≤ Pendapatan – Biaya

Laba ≤ (Harga jual x jumlah yang diproduksi) – Biaya

6.000.000 ≤ 6.000x )000.1( 2 xx

000.000.6000.50 2 xx

Untuk menentukan nilai x, ubah pertidaksamaan tersebut ke bentuk

persamaan.

0000.000.6000.52 xx

0)000.2()000.3( xx

0)000.2atau0000.3 xx

000.2atau000.3 21 xx

Kemudian buat garis bilangan yang memuat nilai x1 dan x2.

Batas-batas nilai x : 2.000 ≤ x ≤ 3.000

Jadi, agar mendapatkan laba tidak lebih dari Rp6.000.000,00 banyak

lampu yang harus terjual antara 2.000 unit sampai 3.000 unit.

2.000 3.000

+ - +

125

Latihan

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut :

a. 2 dan 1

b. -3 dan 3

c. 2

5 dan -5

d. 3 +√2 dan 3 - √2

2. Jika x1 dan x2 merupakan akar –akar persamaan x2 – 3x + 1 = 0,

susunlah persamaan kuadrat baru yang akar – akannya (α dan β)

diberikan berikut ini :

a. α= x1 – 1 dan β = x2 – 1

b. α=2 x1 dan β = 2x2

c. α= 1

x1 dan β =

1

x2

3. seorang perajin mainan anak- anak dapat menjual seluruh hasil

produksinya dengan harga p= (105 – x ) per buah. Biaya pembuatan

sebesar Rp55.000,00 per buah. Jika biaya tetap operasional per hari

sebesar Rp300.000,00, berapa banyak mainan anak-anak yang harus

diproduksi dan terjual per hari agar pengrajin tersebut mencapai titik

impas?

4. Sejumlah siswa akan patungan untuk alat praktik seharga

Rp450.000. setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang

sama, ada 5 temannya yang akan ikut bergabung. Jika kelima

temannya ikut, maka masing-masing akan membayar Rp15.000

kurangnya yang dari yang telah mereka bayar. Tentukan banyak

siswa yang berencana akan membeli alat praktik tersebut?

5. Unit produksi SMK ABC memproduksi meja besi dengan biaya

produksi Rp9.00.000. Hasil produksi akan dipasarkan dan berhasil

126

terjual dengan sisa 2 meja. Jika hasil penjualan meja Rp1.026.000.

Dengan keuntungan tiap meja Rp12.000. Tentukan jumlah meja

yang diproduksi?

D. SISTEM PERSAMAAN

Rudi ingin makan siang di sebuah rumah makan. Namun ia hanya

mempunyai uang Rp15.000,00. Beberapa hari yang lalu ia bersama

temannya makan ditempat yang sama. Saat itu mereka memesan 2 porsi

makanan dan 3 gelas minuman seharga Rp33.000,00. Seorang bapak di

meja sebelahnya memesan 4 porsi makanan dan 1 gelas minuman seharga

Rp51.000,00. Dengan uang Rp15.000,00, dapatkah Rudi membeli 1 porsi

makanan dan 1 gelas minuman yang sama?

Permasalahan seperti tersebut dapat diselesaikan dengan sistem

persamaan.

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah :

....111 cybxa 1

....222 cybxa 2

dengana1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real.

Persamaan (1) dan persamaan (2) merupakan suatu sistem

persamaan karena keduanya saling berkaitan.

Mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah

dengan cara mengganti nilai variabel atau peubah yang memenuhi sistem

persamaan tersebut, yaitu dapat dicari dengan menggunakan metode

eliminasi, substitusi, atau gabungan dari kedua metode tersebut.

127

Metode Eliminasi

Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan cara

eliminasi artinya mencari nilai variabel dengan menghilangkan variabel

yang lain. Prinsip yang digunakan untuk menghilangkan suatu variabel

adalah mengurangkan atau menjumlahkannya.

- Untuk menghilangkan suatu variabel, koefisien dari variabel

tersebut pada kedua persamaan harus sama. Jika belum sama,

masing-masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu

sehingga variabel tersebut memiliki koefisien yang sama.

- Jika variabel yang akan dihilangkan bertanda sama, dua persamaan

dikurangi, dan jika memiliki tanda yang berbeda, dua persamaan

ditambah.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

)2(....234

)1(....1123

yx

yx

Jawab :

Untuk mencari variabel y berarti variabel x dieliminasi.

1123 yx x 4 44812 yx samakan koefisien

variabel yang akan di

eliminasi

+

234 yx x 3

6912 yx

x = 28

Untuk menentukan nilai variabel x, maka variabel y harus

dihilangkan.

128

1123 yx

x 3 3369 yx

samakan koefisien variabel

yang akan eliminasi

+

234 yx

x 2 468 yx

x = 29

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut

adalah {(29, 38) }.

Metode Substitusi

Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel

dengan variabel lainnya. Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan

dengan cara substitusi, perhatikan contoh berikut.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

443

252

yx

yx

Jawab :

)2(...443

)1(...252

yx

yx

Misalkan yang akan disubstitusi adalah variabel x pada persamaan

(2), maka persamaan (1) dinyatakan dalam bentuk :

252 yx

yx 522

)3(...2

52 yx

Substitusikan nilai x pada persamaan (3) tersebut ke persamaan (2)

129

443 yx

442

523

y

y Kedua ruas dikalikan 2

88)52(3 yy

88156 yy

687 y

147 y

2y

Untuk mendapatkan x, substitusikan y = 2 ke persamaan (3)

42

8

2

)2(52

2

52

yx

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 2)).

Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan terkadang lebih

mudah menggunakan gabungan dua metode sebelumnya yaitu

mengeliminasi terlebih dahulu baru dilakukan substitusi atau sebaliknya.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

1. Tentukan nilai x dan y dari

02

1

3

1

72

1

yx

yx

130

Jawab :

Langkah pertama yang kita lakukan adalah mengeliminasi variabel

y.

72

1 yx

x 1

72

1 yx

02

1

3

1 yx

x 2 03

1 yx

+

7

6

7X

6x

Substitusikan nilai x = –6

72

1 yx

762

1 y

37 y

4 y

4y

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–6, 4) }.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel yang

mempunyai variabel x, y, dan z adalah :

3332

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

131

dengan.dan,,,,,,,,,, 32121321321 Rdddccbbbaaa

Seperti sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan

linear tiga variabel juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode

eliminasi, substitusi, atau gabungan keduanya. Untuk memahami cara

menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, perhatikan contoh

berikut.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2122

17323

1722

cba

cba

cba

Jawab :

Dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut, diperolah :

)3(...2122

)2(...17323

)1(...1722

cba

cba

cba

Eliminasi variabel a dari (1) dan (2)

1722 cba x 3 51636 cba

17323 cba x 2 34646 cba

-

)4(....85127 cb

Eliminasi variabel a dari (1) dan (3).

2122

1722

cba

cba

-

)5(....4 cb

132

Eliminasi variabel b dari (4) dan (5)

85127 cb

x

1 85127 cb

4 cb

x

2 2877 cb

+

5719 c

3c

Untuk mencari nilai b, substitusikan c = -3 ke persamaan (5)

74)3(

4

bb

cb

Untuk menentukan nilai a, substitusikan c = –3dan b = 7ke

persamaan (1).

1722 cba

17)6(72 a

17132 a

2a

Jadi, HP = {(–2, 7, –3)} .

3. Sistem Persamaan Dua Variabel : Linear dan Kuadrat (SPLK)

Pada bagian ini kita akan mempelajari sistem persamaan dua

variabel. Namun berbeda dengan sebelumnya, komponen penyusun sistem

persamaan ini adalah persamaan linear dan persamaan kuadrat. Bentuk

umum persamaan linear dua variabel, yang terdiri dari persamaan linear

dan kuadrat adalah :

42 a

133

rqxpxy

baxy

2

dengan, b, p, q, dan r adalah bilangan real, x dan y adalah variabel. Untuk

mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan ini kita menggunakan

metode substitusi.

Contoh :

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan

205

72

yx

xxy

Jawab :

)1(...72 xxy

)2(...520205 xyyx

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1)

72 xxy

7520 2 xxx

Diubah ke bentuk baku persamaan kuadrat

020752 xxx

02762 xx

0)3()9( xx

0)3(atau)9( xx

3atau9 xx

134

Untuk menentukan nilai y, substitusikan nilai x yang sudah didapatkan ke

persamaan (2)

Untuk 654520)9(5209 yx

Untuk 51520)3(5203 yx

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–9, 65), (3, 5)}.

4. Aplikasi Sistem Persamaan

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat

diselesaikan dengan menggunakan sistem persamaan. Tentu saja

sebelumnya kita harus mengubah persoalan tersebut dalam kalimat

matematika.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

1. Harga enam CD RW “A”dan 4 CD RW “B” harganya Rp41.000,00.

Diketahui CD RW “B” lebih mahal Rp1.500,00 dari CD RW “A”.

Tentukan biaya yang harus dibayarkan oleh Joko jika membeli 10

CD RW “A”dan 15 CD RW “B”.

Jawab :

Misalkan harga CD RW “A” adalah x dan harga CD RW “B” adalah

y, maka diperoleh sistem persamaan :

)2(...500.1

)1(...000.4146

xy

yx

000.4146 yx

Jika persamaan (2) disubstitusikan ke persamaan (1), diperoleh :

135

000.41)500.1(46 xx

000.41000.646 xx

000.6000.4110 x

500.3x

Substitusikan x = 3.500 ke (2)

500.1 xy

000.5500.1500.3 y

Harga 10 CD RW “A” dan 15 CD RW “B”

= 10 . Rp3.500,00) + (15 . Rp5.000,00

= Rp110.000,00.

Jadi, Joko harus membayar sebesar Rp110.000,00.

Latihan

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier

berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi.

a.

2x – y = 14

x + 3y = 0

b.

3x – y = 5

x + 3y = 5

c.

5x +y = 5

x + 3y = 5

2. Gunakan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian

sistem persamaan berikut.

a.

x +3y = 5

x + y = 13b.

x - 5y = -27

136

3. Gunakan metode campuran untuk mencari himpunan penyelesaian

sistem persamaan berikut.

a.

2x + y + z = 8

3x – y + 2z = 17

4x + 2y – z = 1

b.

x + y + 2z = 4

2x + 4y – z = -14

3x – 2y + z = -3

4. Sebuah pulpen harganya 4 kali harga sebuah pensil. Apabila

Bimbim membeli 1 pulpen dan 3 pensil, maka ia harus membayar

Rp4.900,00. Berapa yang harus dikembalikan toko tersebut kepada

Hendro jika ia membeli 2 pulpen dan 8 pensil. Dengan

menggunakan uang kertas dua puluh ribu?

5. Sebuah gedung kesenian memiliki kapasitas 250 orang. Harga karcis

untuk penonton kelas I Rp5.000,00 dan penonton kelas II

Rp3.000,00. Jika uang yang terkumpul adalah Rp900.000,00 berapa

banyak penonton tiap kelas?

Rangkuman

Persamaan linier dan pertidaksamaan linier satu variabel

adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat

terbesar dari variabel tersebut adalah satu.

adalah pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat

terbesarnya adalah satu. Pertidaksamaan linear satu variabel

menggunakan tanda <, >, ≤, dan ≥.

137

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde

dua.

ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 a,b,c € R

untuk menentukan penyelesaian kuadrat dapat digunakan cara

faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna. Atau rumus abc.

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada deskriminan

(D)

a. jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real

yang berbeda.

b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real

yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar.(sama)

c. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar yang tidak

real.

Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat ax² + bx + c maka,

X1 + x2 = -b/a dan x1 .x2 = c/d

Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat, persamaan kuadrat

yang dimaksud adalah (x – x1)(x – x2) = 0 atau x² - (x1 + x2)x + x1

. x2 = 0

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang

mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Langkah –

langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat :

1. Nyatakan persamaan kuadrat kedalam bentuk persamaan kuadrat.

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadratnya.

3. Buat garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut.

4. Pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan.

138

Sistem Persamaan

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Bentuk umum dari persamaan linier dua variabel adalah : Dengan

a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah bilangan real.

Bentuk umum persamaan linier tiga variabel adalah

A1x + b1x + c1z = d1

A2x + b2x + c2z = d2

A3x + b3x + c3z = d3

Yang mempunyai variabel x, y, z.

Bentuk umum dari persamaan linier dua variabel, yang terdiri dari

persamaan linier dan kuadrat.

Y = ax + b

Y = px² + qx + r

Dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real, x dan y adalah variabel.

System persamaan dapat diselesaikan dengan cara metode eliminasi,

substitusi, dan campuran (eliminasi dan substitusi).

139

DAFTAR PUSTAKA

Kasmina, Toali, Suhendra, dkk. 2008. Matematika SMK dan MAK.

Jakarta: Erlangga.

MGMP Matematika Kota Banda Aceh. 2012. LKS Matematika SMK/SMA.

Mulyati, Tita & Tandjungsari. 2008. Matematika SMK. Bandung: Gerbang

Ilmu.

Tim Matematika SMA. 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X. Jakarta:

PT. Galaxy Puspa Mega.

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta:

Penerbit Erlangga.

_______. 2007. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga.

140

TENTANG PENULIS

Cut Maulina, M.Pd. lahir pada tanggal 30 Oktober 1987.

Lulus S-1 Program Studi Pendidikan Matematika tahun

2009 dari Universitas Syiah Kuala. Kemudian,

melanjutkan Program Magister Pendidikan Matematika di

Universitas Syiah Kuala dan lulus tahun 2019. Penulis

pernah bekerja sebagai sekretaris di Kantor Pekerjaan Umum Banda Aceh.

Penulis juga pernah mengikuti Seminar Nasional Pendidikan Matematika

Universitas Syiah Kuala Tahun 2016. Selain itu, penulis pernah menulis

artikel di IJSBAR (International Journal of Science: Basic and Applied

Research) Tahun 2019. Saat ini, menjadi instruktur Matematika di

Politeknik Pelayaran Malahayati sejak tahun 2013.

Eka Nurmala, S.E., M.Si., Ak. lahir pada tanggal 28 Mei

1977. Lulus S-1 Program Studi Ekonomi Akuntasi tahun

1999 dari Universitas Syiah Kuala. Kemudian,

melanjutkan Program Magister Ekonomi Akuntasi di

Universitas Sumatera Utara dan lulus tahun 2016. Penulis

pernah menjabat sebagai kepala urusan keuangan (2012-2015). Penulis

juga pernah menjabat sebagai Ketua PSI (2015-2020). Saat ini, menjabat

sebagai Kasubag Akademik Politeknik Pelayaran Malahayati.