PendahuluanPengertian Metoda Numerik :Yaitu suatu cara penyelesaian persoalan matematik dengan melakukan perulangan perhitungan atau hampiran sehingga mendapatkan hasil yang lebih mendekati hasil yang sebenarnya (exact).

ContohPenyelesaian Exact :

X2 - 3x +2 = 0(x - 1 ) (x - 2) = 0x = 1 dan x = 2.Penyelesaian Numerik :

X2 - 3x +2 = 0Dicoba x = 0 --------- = 2 X = 1.5 ----------- = - 0.25Berarti antara 0 1.5 Dicoba x = 0.75 --------- = 0,3125Antara 0.75 1.5Dicoba x = 1.125 ---------= -0.10938DST.

B. Hampiran dan GalatDefinisi Galat Yaitu kesalahan yang ditimbulkan karena proses pengukuran atau penggunaan hampiran (aproksimasi). galat pemotongan (truncation errors); terjadi jika aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematis, galat pembulatan ; terjadi jika bilangan aproksimasi digunakan untuk menyatakan bilangan eksak.

Rumus-rumus1.2.3.Nilai galat yang baik adalah yang mendekati nol, sedangkan nilai negatif atau positif mempunyai harga mutlak yang sama 4.

Keterangan :t :Galat relatif yang ditimbulkan suatu pengukurana : Galat relatif yang ditimbulkan oleh perhitungan iterasis : derajat ketelitian dalam perhitungan galat dengan n angka bena

Contoh 1, Perhitungan galat:Telah diukur panjang sebuah jembatan dan sebuah paku masing-masing 9999 dan 9 cm. Jika nilai sejati masing-masing adalah 10.000 dan 10 cm, hitung :a. galatb. persen galat relatif untuk setiap kasus

Jawaba. Galat untuk pengukuran jembatan : Et = 10.000 9999 = 1 cm Dan paku : Et = 10 9 = 1 cmb. Persen galat relatif untuk jembatan adalah :

dan untuk paku :

Jadi , walaupun kedua pengukuran mempunyai galat 1 cm, tetapi galat relatif untuk paku jauh lebih besar. Kita akan menyimpulkan bahwa pengukuran jembatan telah dikerjakan dengan layak, sedangkan untuk paku masih perlu dipertanyakan.

Contoh 2 Taksiran galat untuk metode iterasi :Dalam matematika, fungsi-fungsi kerapkali dapat dinyatakan oleh deret takhingga. Misalnya, fungsi eksponen dapat dihitung memakai :Jadi, dengan semakin banyak suku yang ditambah, maka nilai taksiran semakin mendekati dari nilai ex yang sebenarnya

Dari persamaan (4) dapat ditentukan kriteria galat yang akan memastikan adanya suatu hasil yang benar sampai paling sedikit tiga angka bena :s = (0,5 x 102-3)% = 0,05 %Jadi, kita akan menambah suku-suku pada deret sampai a berada pada tingkat ini.Tasiran yang pertama samadengan 1, maka taksiran ke dua akan dihasilkan dengan menambah suku kedua, seperti dalam : ex 1 + xatau untuk x = 0,5e0,5 1 + 0,5 = 1,5Ini merupakan persen galat relatif yang sebenarnya :

Persamaan (3) dapat digunakan untuk menentukan suatu taksiran dari galat-galat, seperti dalam :Karena a tidak lebih kecil dari nilai s yang disyaratkan, kita akan melanjutkan komputasinya dengan menambah suku lain, x2/2!, dan mengulangi perhitungan galatnya. Preses ini dilanjutkan sampai a < s. Keseluruhan komputasi dapat dilihat pada tabulasi berikut :

Jadi setelah enam suku dimasukkan, galat aproksimasi jatuh di bawah s = 0,05%, dan komputasi dihentikan.

* Galat PembulatanGalat pembulatan berasal dari kenyataan bahwa komputer hanya mempertahankan sejumlah tetap angka bena (significant number) selama suatu perhitungan. Bilangan-bilangan seperti , e, atau , tidak dapat diekspresikan oleh sejumlah tetap angka bena. Oleh karena itu, bilangan-bilangan itu tidak dapat dinyatakan secara eksak oleh komputer. Penyimpangan yang diperkenankan oleh penghilang angka bena ini disebut galat pembulatan (rounding error).

* Galat PemotonganGalat pemotongan adalah galat yang dihasilkan karena menggunakan suatu prosedur aproksimasi (seperti contoh 2)

C. Deret TaylorDeret taylor yaitu menyediakan sarana untuk meramalkan nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunannya pada titik lain.xiXi+1Xi+2f(xi)f(xi+1)f(xi+2)xyf(x)

dengan :

f(xi): fungsi di titik xif(xi+1) : fungsi di titik xi + 1f, f, , fn: turunan pertama, kedua, , ke n dari fungsi x : jarak antara xi dan xi + 1Rn : kesalahan pemotongan!: operasi faktorial

kesalahan pemotongan Rn diberikan oleh bentuk berikut:

ContohGunakan uraian deret taylor orde nol sampai orde 4 untuk mengaproksimasi fungsi Mulai dari xi = 0 dan ramalkan nilai fungsinya di xi+1 = 1 x = 1

JawabDeret Taylor orde-nol

Deret taylor orde-satu

Orde-dua

Orde-tigaOrde-empat

Penyelesaian eksak pada xi+1=1

Soal:Gunakan uraian deret Taylor untuk mengaproksimasi fungsi f(x) = ex , dengan xi = 0 dan xi+1=1

Selesai