document1

Upload: ilham-putra-niandi

Post on 15-Jul-2015

54 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

1. Barisan dan Deret 2. Bilangan Real 3. Geometri dimesi dua 4. Geometri Dimesi Tiga 5. Irisan Kerucut 6. Logika 7. Matematika keuangan 8. Matrik 9. Peluangvvvvvvvvvvvvvvvvvv 10. Persamaan dan ketidaksamaangggggggggg 11. Program Linier 12. Relasi dan Fungsi 13. Statistika 14. Trigonometri, dan 15. vektor Barisan dan Deret Pengertian 1. Barisan adalah suatu rangkaian bilangan yang tersusun menurut aturan atau pola tertentu. Bentuk umum pada barisan : U1 , u2,u3,. un U1 = suku yang pertama U2 = suku yang kedua U3 = suku yang ketiga Un = suku yang ke-n 2.Deret Bentuk umum pada deret: Sn = u1 + u2 + u3 + . + un Sn = Jumlah n suku yang pertama B= Beda Contoh soal: Diketahui deret 2 + 4 + 6 + .. Hitunglah jumlah lima suku yang pertama ! jawab : b = u2 - u1 = 4 - 2 = 2 s5 = 12 + 2 + 4 + 6 + 8 = 21 1. Barisan Aritmatika Bentuk umum: U1, U2, U3,. Un Rumus: beda -> b = Un - Un-1 suku ke-n barisan aritmatika: Un = a+(n-1)b Un = Suku ke-n a= Suku pertama = U1 b= beda Contoh soal: 1.Diketahui barisan 6, 9, 12,.. Tentukan:a. Beda b. Suku ke 50 Jawab: a. b = Un -Un-1 =9-6 = 3 b. S50 = a+(n-1)b = 6+(50-1) 3 = 6+(49) 3 = 153 Jadi, suku ke-50 adalah 153. 2. Diketahui barisan aritmatika dengan U = 2 dan U = 14. Tentukan:a. Nilai suku pertama dan bedanyab. Suku ke-25 Deret aritmatika Bentuk umum: U1,u2,u3un Rumus: Jumlah n suku pertama: Sn = n/2 (a + Un ) atau Sn = n/2 {2a + (n - 1)b atau Un = Sn - Sn - 1 Contoh soal: Hitunglah jumlah 50 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + . Jawab: 2 + 4 + 6 + 8 + U50 a = 2, b = 2, n = 50 Sn = n/2 { 2a + (n - 1)b} S50 = 50/2 {2(2) + (50 - 1)2} = 25 {4 + (49)2} = 25 {4 + 98} = 25 (102) = 2550 2. Barisan Geometri Barisan bilangan U1,U2,U3, Un disebut dengan barisan geometri, apabila punya yang namanya rasio (r). r = U2/U1 = U3/U2 = U4/U3 = Un/Un-1 Contoh soal: 1.Tentukan rasio ke 8 dari barisan 2,4,8,16, Jawab: a= 2 r= 4/2 = 2 Un = arn-1 U10 = 2 . 210-1 = 2 . 29 = 2 . 512 = 1024 Deret geometri Bentuk umum U1 + U2 + U3 + + Un a + ar + ar2 +.. + arn-1 Rumus jumlah n suku deret geometri: Sn = a (1 - rn)/1 - rjika r < 1 Dan Sn = a (rn - 1)/r - 1 jika r > 1 Contoh soal: Hitunglah jumlah 8 suku dari deret 2 + 4 + 8 +.. Jawab: 2 + 4 + 8 +. a = 2 r = 2 berarti harus memakai yang r > 1 maka: Sn = a (rn - 1)/r-1 S8 = 2 ( 28 - 1)/ 2-1 = 2 (256 - 1)/2-1 = 2 (255) = 510 Peluang KejadianMatematika Kelas 2 > Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian410 < SebelumSesudah > DEFINISI Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin. P(A) = k / nDimana k : jumlah terjadinya kejadian A n : jumlah seluruh yang mungkin Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel Contoh: 1. Percobaan melempar uang logam 3 kali. A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut. Maka : S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb} A = {mmb, bmm} n(S) = 23 = 8 n(A) = 2 P(A) = 2/8 = 1/4 2. Percobaan melempar dadu satu kali. A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap. Maka : S = {1,2,3,4,5,6} A = {2,4,6} n(S) = 6 n(A) = 3 P(A) = 3/6 = 1/2Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku_ P(A) + P(A) = 1 Contoh: Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?Jawab:P (King) = 4/52 = 1/13 P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

Peluang Kejadian Bebas dan Tak Bebas Matematika Kelas 2 >Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian411 < SebelumSesudah > DEFINISI Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika P(AB) = P(A). P(B) Contoh: Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam. Sebuah bola diambil dari masing-masing tas. a) Keduanya berwarna putih b) Keduanya berwama hitam Jawab: MisalA = bola putih dari tas I B = bola putih dari tas II P(A) = 4/6 P(B) = 3/8 __P(A) = 2/6P(B) = 5/8 a. P(AB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4 __ __b. P((A) P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24 DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku : P (AUB) = P(A) + P(B) Contoh: Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)} n(S) - (6)2 = 36 A : Kejadian muncul m + p = 6 {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)} n(A) = 5 B : Kejadian muncul m + p = 10 {(4,6), (5,5), (6,4)} n(B) = 3 P(A) = 5/36P(B) = 3/36 AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) } n(AUB) = 8 P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang saling asing. DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) Contoh: Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6} A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil ={ 1, 3, 5 } n(A) = 3/6 B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima ={2, 3, 5} n(B) = 3/6 P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang tidak saling asing. Barisan Matematika Kelas 2 >Barisan dan Deret412 < SebelumSesudah > BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu.Suku-suku suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli) Contoh:1.Un = 2n - 1 adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana nN = {1,2,3,.....} Barisan itu adalah : 1,3,5,7,.... 2.Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9 Rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 1/3n Barisan dan Deret Aritmatika (Hitung / Tambah)Matematika Kelas 2 >Barisan dan Deret413 < SebelumSesudah > A.BARISAN ARITMATIKA U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ............., Un Rumus Suku ke-n : Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) Fungsi linier dalam n B.DERET ARITMATIKA a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika. a = suku awal b = bedan = banyak sukuUn = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b] = 1/2bn + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n) Keterangan: 1.Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn") 2.Barisan aritmatika akan naik jika b > 0 Barisan aritmatika akan turun jika b < 0 3.Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn" 4.Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)dst.5.Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt Ut = Sn / n 6.Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

Barisan dan Deret Geometri (Ukur / Kali) Matematika Kelas 2 >Barisan dan Deret414 < SebelumSesudah > 1.BARISAN GEOMETRI U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r) Rasio r = Un / Un-1 Suku ke-n barisan geometri a, ar, ar , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un Suku ke n Un = arn-1 fungsi eksponen (dalam n) 2.DERET GEOMETRI a + ar + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku Jumlah n suku Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1 = a(1-rn)/1-r , jika r Un-1 c.Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < Un-1 Bergantian naik turun, jika r < 0 d.Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 e.Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _________________ Ut = U1xUn= U2 X Un-1dst.f.Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar 3.DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + .............................. Un = a + ar + ar ......................... n=1 dimana n dan -1 < r < 1 sehingga rn 0 Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhinggaS = a/(1-r) Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1 Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ................. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r) Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ......Sgenap = ar / 1 -r Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

PENGGUNAAN Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal) M0, M1, M2, ............., Mn M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0 M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0 . . . . Mn =M0 + P/100 (n) M0 Mn = {1 + P/100 (n) } M0 Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir) M0, M1, M2, .........., Mn M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0 M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0

= (1 + P/100) M0 . . .Mn = {1 + P/100}n M0 Keterangan : M0 = Modal awal Mn = Modal setelah n periode p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode Catatan: Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0). Pendahuluan Matematika Kelas 2 > Matriks415 < SebelumSesudah > DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom. A= a b c ttt d e f | Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A ORDO ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom. A= a b c ttt d e f | ordo matriks A2x3 Banyaknya baris= 2 ; baris 1 : a b c ; baris 2 : a b cBanyaknya kolom = 3 kolom 1 : a ttttttttttt d | kolom 2 : b ttttttttttt e | kolom 3 : c ttttttttttt f| keterangan:A2,1 = elemen baris ke 2 ; kolom ke 1 Matriks Bujur Sangkar dan Matriks Transpos Matematika Kelas 2 > Matriks416 < SebelumSesudah > MATRIKS BUJUR SANGKAR Banyaknya baris dan kolom matriks adalah sama A= a b ttt c d | A berordo 2

KESAMAAN MATRIKS Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika a. Ordonya samab. Elemen-elemen yang seletak sama AB 4p+q2 = 4 2 5p+q 5 | 7 q+3 |q + 3 = 5 q =2 5p + q = 7 p = 1 MATRIKS TRANSPOS_Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A. A= a b c ttt d e f| 2x3 At = a d b e tt t c f | 3x2 Operasi Matriks Matematika Kelas 2 > Matriks417 < SebelumSesudah > PENJUMLAHAN MATRIKS Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama). A +B =A + B a b c d | p q rs | a + pb + q c + r d + s |

PENGURANGAN MATRIKS Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B. A - B = A + (-B) A - B =A - B a b c d | p q rs | a - pb - q c - r d - s |

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k. A = a b c d | k A = ka kb kc kd | Perkalian Dua Matriks Matematika Kelas 2 > Matriks418 < SebelumSesudah > Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B hasil A m x n x B n x p = C m x p

Aturan perkalian Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu. Contoh : 1. A= a b c d | dan B = x y | A x B = a b c d | x y | ax + by cx + dy | 2. ? a b c A x y z | =? ax + by + cz A1 x 33 x 1 1 x 1

3. a b c d e f| x y z | = ax + by + cz dx + ey + fz| 2 x 33 x 1 2 x 1

Ket :perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB { BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).

Determinan Matriks Matematika Kelas 2 > Matriks419 < SebelumSesudah > - Jika A2x2 = a b , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai Jika A2x2 = c d | + |A| = ad - bc - -- Jika A3x3 = a b c a b Jika A3x3 = d e f d e Jika A3x3 = g h i| g h +++ maka determinan matriks A didefinisikan sebagai|A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb Keterangan: Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama. |A| =a e f - b d f + c d e = aei-afh-bdi+bfg+cdh-cge h i g i g h Matriks Satuan dan Matriks Invers Matematika Kelas 2 > Matriks420 < SebelumSesudah > MATRIKS SATUAN adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0. Notasi : I (Identitas) I2 = 1 0 0 1 | I3 = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 | Sifat AI = IA = A

MATRIKS INVERS Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1). Jika A = a b , maka A-1 = 1 = d -b Jika A = c d | , maka A-1 = ad - bc ttt -ca | yBilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A yMatriks A mempunyai invers jika Determinan A 0 dan disebut matriks non singular. Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular. Sifat A . A-1 = A-1 . A = I Perluasan A . B = I A = B-1B = A-1 A . B = C A = C . B-1 B = A-1 . C Sifat-Sifat 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (A . B)t = Bt . At 4. (A-t)-t = A 5. (A . B)-1 = B-1 . A-1 6. A . B = C |A| . |B| = |C| Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Matematika Kelas 2 > Matriks421 < SebelumSesudah > ax + by = p ditulis cx + dy = q A XB a b x = p c d | y | = q | AX = B , maka X = A-1 . B1.Cara Matriks x = 1= d -b p y |ad - bc -c a | q | 2.Cara Determinan = = x =Dx p b q d Dy a p c q =; y = = D a b c d D a b c d Materi pokok : Kaidah Perkalian, Permutasi, dan kombinasi 1.10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada cara. a.70 b.80 c.120 d.360 e.720 Soal Ujian Nasional tahun 2005 2.Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7, dan tidak ada angka yang sama adalah . a.1680 b.1470 c.1260 d.1050 e.840 Soal Ujian Nasional tahun 2004 3.Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kotaCmelaluiBkemudiankembalilagikeAjugamelaluiB.Jikasaatkembalidari CkeA,iatidakmau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah . a.12 b.36 c.72 d.96 e.144 Soal Ujian Nasional tahun 2002 4.Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah . a.336 b.168 c.56 d.28 e.16 Soal Ujian Nasional tahun 2000 Materi pokok : Peluang dan Kejadian Majemuk 5.DalamkantongIterdapat5kelerengmerahdan3kelereng putih,dalam kantongIIterdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah . a.39/40 b.9/13 c.1/2 d.9/20 e.9/40 Soal Ujian Nasional tahun 2007 6.A,B,C, dan D akan berfoto secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah . a.1/12 b.1/6 c.1/3 d.1/2 e.2/3 Soal Ujian Nasional tahun 2006 7.Sebuahkotakberisi5bolamerah,4bolabiru,dan3bolakuning.Daridalamkotakdiambil3bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah . a.1/10 b.5/36 c.1/6 d.2/11 e.4/11 Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 8.Dalamsuatupopulasikeluargadengantigaoranganak,peluangkeluargatersebutmempunyaipaling sedikit dua anak laki laki adalah . a.1/8b.1/3 c.3/8 d.1/2 e.3/4 Soal Ujian Nasional tahun 2004 9.Dua buah dadu dilempar bersama sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah . a.5/36b.7/36c.8/36d.9/36e.11/36Soal Ujian Nasional tahun 2003 10.Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yag lain berisiuanglogam1kepinglimaratusandan3kepingratusanrupiah.Jikasebuahuanglogamdiambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah . a.3/56b.6/28c.8/28d.29/56e.30/56Soal Ujian Nasional tahun 2003 11.Suatukelasterdiridari40orang.Peluangseorangsiswalulustesmatematikaadalah0,4.Peluang seorangsiswalulusfisikaadalah0,2.Banyaknyasiswayanglulustesmatematikaataufisikaadalah orang. a.6 b.7 c.14 d.24 e.32 Soal Ujian Nasional tahun 2002 12.Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih, Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing masing kotak diambil2 bola sekaligussecaraacak.Peluangterambilnya 2bolamerahdarikotakIdan2 bola biru dari kotak II adalah . a.1/10b.3/28c.4/15d.3/8e.57/110Soal Ujian Nasional tahun 2001 13.Suatu kelas terdiri dari 40 siswa. 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah . a.25/40b.12/40c.9/40d.4/40e.3/40