10/24/2011

1

• Diferensial

• Maksimum dan Minimum

• Fungsi Naik dan Fungsi Turun (Uji Turunan pertama)

• Kecekungan (Uji Turunan Kedua)

• Limit Tak Berhingga

• Asimtot

• Problem Aplikasi Harga Ekstrim

• Laju Terkait (Hubungan Kelajuan)

10/24/2011

2

LAJU TERKAIT Problem laju terkait – melibatkan laju variabel yang berkaitan Misal, 𝑥 dan 𝑦 adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan thd. waktu 𝑡, atau 𝑥 = 𝑥(𝑡), dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) Jika 𝑥 dan 𝑦 memenuhi persamaan 𝑥3 − 𝑦3 + 2𝑦 − 𝑥 −99 = 0, maka turunannya terhadap waktu :

3𝑥2𝑑𝑥

𝑑𝑡− 3𝑦2

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2

𝑑𝑦

𝑑𝑡−

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0

Turunan yang diperoleh terkait terhadap variabel 𝑡 disebut laju terkait. Nilai salahsatu laju ini dapat diselesaikan jika variabel lainnya diketahui. Misal, jika 𝑥 = 5, 𝑦 = 3, dan 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 2, maka 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 148/25

Seseorang melempar batu ke danau dan menyebabkan gelombang air menyebar. Jika radius lingkaran gelombang bertambah dengan laju konstan 0,5 m/det, berapa cepat luas gelombang air bertambah jika radiusnya 20 meter

1

Laju perubahan yang terkait adalah :

dR/dt = laju pertambahan radius terhadap waktu, dan

dA/dt = laju pertambahan luas terhadap waktu

A = R2

dA/dt = 2R (dR/dt) , dimana dR/dt = 0,5 (diketahui)

= 2R (0,5) = R

Ketika R = 20, luas lingkaran gelombang bertambah

dengan laju : dA/dt = (20) = 20 62,8 m2/ det

10/24/2011

3

Sebuah balon berbentuk bola dipompa dengan laju 10 m3 /menit. Tentukan laju pertambahan luas permukaan balon saat radiusnya 3m Laju perubahan yang terkait : dR/dt, dV/dt, dan dS/dt

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑉 =4

3𝜋𝑅3

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 4𝜋𝑅2

𝑑𝑅

𝑑𝑡 →

𝑑𝑅

𝑑𝑡=

1

4𝜋𝑅2

𝑑𝑉

𝑑𝑡

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑆 = 4𝜋𝑅2 𝑑𝑆

𝑑𝑡= 8𝜋𝑅

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 8𝜋𝑅

1

4𝜋𝑅2

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

2

𝑅

𝑑𝑉

𝑑𝑡

𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑅 = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑉

𝑑𝑡= 10,

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎𝑕 𝑑𝑔 𝑙𝑎𝑗𝑢: 𝑑𝑆

𝑑𝑡=

2

310 = 6

2

3 𝑚2/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

2

Sebuah kolam renang segi 4, berukuran10m x 5m, mempunyai kedalaman 3m di satu sisi dan 1m di sisi lainnya (lihat pot. memanjang). Jika air dipompa ke dalam kolam dengan laju 300 liter/menit pada laju berapakah permukaan air akan naik saat kedalaman air 1,5m pada sisi dalam

𝑳𝒂𝒋𝒖 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒕𝒆𝒓𝒌𝒂𝒊𝒕 𝒂𝒅𝒂𝒍𝒂𝒉: 𝒅𝑽

𝒅𝒕 𝒅𝒂𝒏

𝒅𝒉

𝒅𝒕

𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒂𝒊𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒌𝒂𝒊𝒕 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒆𝒍 𝑳 𝒅𝒂𝒏 𝒉:

𝑽 = 𝒍𝒖𝒂𝒔∆ 𝒍𝒆𝒃𝒂𝒓 =𝟏

𝟐𝑳𝒉 𝟓 𝒎𝟑,

𝒅𝒊𝒎𝒂𝒏𝒂 𝑳

𝒉=

𝟏𝟎

𝟐→ 𝑳 = 𝟓𝒉

𝑽 =𝟓

𝟐𝟓𝒉 𝒉 =

𝟐𝟓

𝟐𝒉𝟐

𝑽 𝒅𝒂𝒏 𝒉 𝒎𝒂𝒔𝒊𝒏𝒈 − 𝒎𝒂𝒔𝒊𝒏𝒈 𝒂𝒅𝒂𝒍𝒂𝒉 𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 𝒕: 𝒅𝒉

𝒅𝒕= 𝟐𝟓𝒉

𝒅𝒉

𝒅𝒕,

𝒅𝑽

𝒅𝒕= 𝟑𝟎𝟎

𝒍𝒊𝒕𝒆𝒓

𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕= 𝟑𝟎𝟎 ×

𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟑

𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

𝑺𝒂𝒂𝒕 𝒉 = 𝟏, 𝟓 𝒎,

𝟑𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟐𝟓 𝟏, 𝟓𝒅𝒉

𝒅𝒕→

𝒅𝒉

𝒅𝒕=

𝟑𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑

𝟐𝟓 𝟏, 𝟓= 𝟎, 𝟎𝟎𝟖 𝒎/𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

3

2m 3m 1m L

h

10m

10/24/2011

4

Seseorang berdiri di dermaga dan menarik perahu melalui tali dengan laju 2 m/det. Ujung tali yang dipegang berada 3 m di atas muka air. Berapa cepat perahu mendekati dasar dermaga jika panjang tali tersisa 5 m. Diasumsikan tali terikat di dasar perahu tepat pada muka air

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑕𝑎𝑛:𝑑𝑠

𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑛

𝑑𝑤

𝑑𝑡

𝑤2 = 9 + 𝑥2 , 𝑤 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡

2𝑤𝑑𝑤

𝑑𝑡= 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡→

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑤

𝑥 𝑑𝑤

𝑑𝑡

𝑆𝑎𝑎𝑡 𝑤 = 5𝑚 → 𝑥 = 25 − 9 = 4𝑚

𝐷𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖 𝑑𝑤

𝑑𝑡= −2𝑚/ det (𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘)

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

5

4−2 = −2,5

𝑃𝑒𝑟𝑎𝑕𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑗𝑢 2,5 𝑚/𝑑𝑒𝑡

4

3𝑚

𝑤

𝑥

Sebuah mercu suar terletak 5 km dari garis pantai yang lurus. Lampu sorot pada mercu berputar dengan kecepatan sudut konstan 3 rad/menit. Dengan kecepatan berapa sinar lampu bergerak di sepanjang pantai jika sinar membentuk sudut 600 terhadap garis pantai

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑕𝑎𝑛:𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑑𝑎𝑛 𝑑𝜃/𝑑𝑡

tan 𝜃 =𝑥

5→ 𝑥 = 5 tan 𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 5 𝑠𝑒𝑐2𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡, 𝑑𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 3

𝑆𝑎𝑎𝑡 ∠𝐴𝑂𝐵 = 600 𝜃 = 300 =𝜋

6 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 ,

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 5 𝑠𝑒𝑐2𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

5

𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑡=

5(3)

cos 𝜋6

2 =15

3/4= 20

𝑆𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑚𝑝𝑢 𝑏𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑎𝑘 𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑖 𝑑𝑔𝑛. 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡. 20𝑘𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

5

Ѳ

A

B O

𝑥

5km

10/24/2011

5

TUGAS 1. Jika masing-masing sisi kubus bertambah dengan laju konstan 3

cm/detik, berapa cepat volume kubus bertambah jika panjang sisi kubus x = 10 cm ?

2. Sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi miring 45 cm (tetap), dan sisi-sisi tegaknya x dan y. Jika sisi x bertambah pada laju 2 cm/menit, berapa cepat y berubah jika x = 4 cm ?

3. Jika sebuah plat logam dipanaskan, maka akan mengembang. Jika bentuk plat adalah lingkaran dan radiusnya bertambah pada laju 0,02 cm/detik ketika dipanaskan, pada laju berapa luas permukaan atas akan bertambah jika radiusnya 3 cm ?

4. Air mengalir ke dalam sebuah tangki silinder tegak berdiameter 6 m dengan laju 5 m3/menit. Tentukan laju peningkatan kedalaman air !

5. Pasir dituang ke permukaan tanah, membentuk sebuah kerucut dengan tinggi = ¼ diameter dasarnya. Jika pasir dituang pada laju 20 cm3/detik, berapa cepat ketinggiannya meningkat saat tinggi = 3 cm ?

6. Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik mempunyai radius R = 4 m dan tinggi h = 16 m. Jika air diisikan ke dalam

tangki dengan laju konstan 16 m3/menit, berapa cepat muka air akan naik saat kedalaman air 8 m

7. Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik mempunyai diameter 2 m dan kedalaman 4 m diisi air dengan laju 3 m3/menit. Saat kedalaman air 3m, diamati muka air meningkat 0,5 m/menit, hitung laju kebocoran tangki

8. Sebuah corong berbentuk kerucut terbalik mempunyai diameter 15 cm dan tinggi 15 cm. Corong mengalirkan minyak dengan laju 5 cm3/menit. Berapa cepat permukaan minyak akan turun jika ketinggiannya 8 cm

R

h

10/24/2011

6

9. Sebuah tangga 8 m disandarkan pada dinding vertikal. Jika dasar tangga ditarik menjauhi dinding pada laju 0,5 m/det, berapa cepat ujung atas tangga mengalami penurunan saat dasar tangga berada 3 m dari dinding

10. Seorang anak berjalan dengan laju 4 km/jam mendekati dasar tiang setinggi 20 m. Berapakah laju perubahan jarak (m/det) dari kaki anak ke ujung atas tiang jika ia berada 5 m dari tiang

11. Sebuah lampu jalan berada pada ketinggian 6 m. Seorang anak (tinggi 1 m) berjalan di bawahnya dan menjauhi lampu dengan laju 40 m/menit, berapa cepat bayangan anak akan bertambah panjang

12. Sebuah segiempat dengan diagonal 15 cm, salahsatu sisinya bertambah panjang dengan laju 2√5 cm/detik. Tentukan laju perubahan luasnya jika panjang sisi tersebut 10 cm

13. Sebuah segitiga samakaki mempunyai sisi-sisi 4 cm dengan sudut Ѳ diantaranya. Jika Ѳ bertambah dengan laju 20 per menit, berapa cepat luas segitiga berubah saat Ѳ = 300

14. Sebuah partikel P bergerak menyusuri parabola y2 = 4(3 – x).

Saat P melintasi titik (-1, 4), ordinatnya bertambah dengan laju 3 satuan/detik. Berapa cepat jarak P ke titik asal akan berubah saat itu

15. Dua buah mobil menuju ke perempatan jalan. Mobil A mengarah ke timur dengan laju 30 km/jam, dan mobil B mengarah ke selatan dengan laju 40 km/jam.

Pada laju berapa kedua mobil saling mendekat saat mobil A berada 80 m dari perempatan dan mobil B berada 100 m dari perempatan

Ѳ 4 4

10/24/2011

7

16. Untuk mengangkat barang setinggi 10 m, digunakan katrol dan pekerja menarik ujung tali mundur dengan laju 2 m/detik. Berapa cepat barang akan terangkat

jika pekerja berada 5 m dari posisi awal

17. Sebuah kran di pelabuhan sedang memindahkan barang dari sebuah truk pengangkut. Jika secara bersamaan barang diangkat ke atas oleh kran dengan laju 2 m/det dan truk bergerak

dengan laju 5 m/det, berapa cepat barang dan truk akan terpisah 1 detik kemudian. Diasumsikan laju pengangkatan dan truk tetap

18. Seorang prajurit melihat pesawat musuh terbang ke arahnya pada ketinggian tetap 1500 m. Ketika pesawat terlihat pada sudut 300, ia harus menaikkan moncong meriamnya pada laju 10 per detik agar pesawat

masuk target. Hitung kecepatan pesawat! Ѳ

1500 m

10m

19. Pada suatu mesin piston, jarak antara pusat batang pendorong dan kepala piston diberikan oleh x = cos Ѳ + √(16 – sin2Ѳ), dimana Ѳ = sudut antara engkol dan alur gerak kepala piston. Jika Ѳ bertambah pada laju konstan 450 radian/detik, berapakah

kecepatan kepala piston saat Ѳ = /6 ?

20. Sebuah benda beratnya K pounds di permukaan bumi. Ketika berjarak R miles di atas permukaan bumi, beratnya :

W(R) = K[4000 / (4000+R)]2 pounds. Tentukan laju perubahan berat benda, yang terukur 1000

pounds di permukaan bumi, jika benda tersebut berada 50 miles di atas permukaan bumi dan terangkat dengan laju 10 miles per second

Ѳ

x

kepala piston

busi

engkol

10/24/2011

8

SOAL Misal x dan y adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan thd t. Tentukan dx/dt jika x = 3, y = 4 dan dy/dt = 2

1. x2 – y2 = -7 2. x2 y2 = 432 3. x2 y3 = 576

4. Misal x adalah fungsi yang dapat diturunkan dalam t. Saat x = 15, dx/dt = 3. Tentukan dy/dt jika y2 = 625 – x2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tentukan titik kritis fungsi berikut :

1. f(x) = x2 – 8x 2. f(x) = 1 – 6x + x2 3. f(x) = x2/3 4. f(x) = x √(1–x2) 5. f(x) = x2/(x-1) 6. f(x) = (x+3)2 (x-1)2/3 Tentukan maksimum absolut dan minimum absolut pada soal di atas: 7. Soal 1, [-1, 10] 8. Soal 2, [0, 4] 9. Soal 3, [-1, 1] 10. Soal 4, [-1, 1] 11.Soal 5, [-1, ½] 12. Soal 6, [-4, 5]

13. Sebuah truk mempunyai kecepatan tertinggi 75 miles/jam. Ketika berjalan pada laju x miles/jam, truk memerlukan bahan bakar dengan laju (1/200)(1600/x + x) gallon/mile. Jika jarak yang harus ditempuh adalah 200 miles dan harga bahan bakar $1,60 /gallon, maka biaya C(x) = (1,60)(1600/x + x) (dalam $)

Berapa kecepatan truk paling ekonomis, pada interval [10, 75]

14. Jika sopir truk (soal 13) dibayar $8,00 /jam dan gajinya ditambahkan pada biaya di atas, berapa kecepatan paling ekonomisnya ?

15. Fungsi f(x) = Ax2 + Bx + C mempunyai minimum lokal di x = 0, dan grafiknya melalui titik-titik ((0, 2) dan (1, 8). Tentukan A, B, an C