14. fisica

1LIBRO UNI FÍSICA

VECTORES UNITARIOSFÍSICA

VECTORES CARTESIANOSI. SISTEMAS DE COORDENADAS A DERE-

CHASUn sistema de coordenadas a derechas se utiliza paradesarrollar la teoría que se sigue en el algebra vectorial.Un sistema de coordenadas es a derechas cuandocolocando el pulgar dirigido en la dirección del eje zpositivo los demás dedos de la mano derecha se cierrandel eje x positivo al eje y positivo, Fig. 1.Además, según esta regla, el eje z en la Fig. 2 se dirigehacia fuera, perpendicular a la página.

x

y

z

Fig 1

II. COMPONENTES RECTANGULARES DEUN VECTORUn vector puede tener uno, dos, o tres componentesrectangulares, dependiendo de cómo se orienta elvector relativo al sistema de ejes coordenados x, y,y z.

Por ejemplo:

– Si A

se dirige a lo largo del eje de x, Fig. 2a,entonces

xA A

,

– Si A

se encuentra en el plano x-y, entonces lasdos componentes xA

y yA

, serán determinadasusando la ley del paralelogramo, Fig. 2b, donde

x yA A A

– Si A

se dirige dentro de un octante en el marcode x, y, y z, Fig. 2c, A

es representado por la

suma de sus tres componentes rectangulares,

x y zA A A A

……………..……………………… (1)

III. VECTORES UNITARIOS

Un vector unitario es un

vector libre cuyo módulo es la

unidad. Si A

es un vector cuyo

módulo A 0 , entonces un

vector unitario teniendo la

misma dirección del A

es

representado por:

AAuA

......................... (2)

DESARROLLO DEL TEMA

VECTORES UNITARIOSExigimos más!

2LIBRO UNI FÍSICA

Reescribiendo esta expresión tenemos

AA A u

....................... (3)

Donde el vector A

es una magnitud vectorialcualquiera, por ejemplo: un vector fuerza. Todo vectorposee pues un módulo, representado por la cantidadescalar A y una dirección determinada por el vectoradimensional Au

, Fig. 3.

III. VECTORES UNITARIOS RECTANGU-LARES

La manera de simplificar las operaciones en el algebravectorial, se hace uso de los vectores unitariosrectangulares (versores rectangulares) ˆˆ î, j y k , loscuales serán usados para definir las direcciones positivasde los ejes x, y y z.

z

x

yi k

j

Fig 4

Haciendo uso de la ecuación (3), las componentes delA

en la Fig. 2 se pueden expresar en función de losVectores Unitarios Rectangulares.

Por ejemplo:

Si A

esta dirigido a lo largo del eje x positivo seexpresara como sigue

xÂ A i

Si A

se encuentra en el plano x - y se expresara comosigue

x yˆ Â A i A j

Si A

se dirige dentro de un octante del marco x, y yz, se expresara como sigue

x y zˆˆ Â A i A j A k

……………… (4)

También es posible representarlo así:

x y zA (A ,A , A )

IV. MAGNITUD DE UN VECTOR CARTE-SIANOSiempre es posible obtener la magnitud de un vectorcuando esta expresado en términos de suscomponentes rectangulares.Por ejemplo:

Si: x y x yˆ Â A i A j (A , A )

Su módulo será: 2 2x yA A A

Si: x y z x y zˆˆ Â A i A j A k (A , A , A )

Su módulo será: 2 2 2x y zA A A A

A los ángulos que forman el vector con cada uno delos ejes rectángulares se les denomina ángulosdirectores, y a los cosenos correspondientes cosenosdirectores para los cuales se cumple:

Az

Z

y

AyAxx

A

yx zAA ACos Cos Cos

A A A

2 2 2Cos Cos Cos 1


3LIBRO UNI FÍSICA

Luego el vector se puede expresar como:

x y z x y zA A i A j A k (A ;A ;A )

A A(Cos i Cos j Cos k)

V. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar (punto) de dos vectores a

y b

(no nulos) se define por:

b

a

a.b | a | b | Cos

(Escalar)

Propiedades del producto escalar.

1. a . b b .a

2. a . b b .a

3. a .(b c) a .b a .c

4. 2 2 2 2x y za.a | a | a a a

5. Si: a b: a .b 0

Expresión en componentes rectangulares:

1. ˆi.i j . j k .k 1; i. j i.k j.k 0

2.

x y z

x x y y z zx y z

a a i a j a ka.b a b a b a b

b b i b j b k

VI. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

Para dos vectores A y B

(no nulos) su producto

vectorial (aspa) es otro vector N A B

con lassiguientes características:

1. Módulo: | N | | A B | | A || B | Sen

2. Direccción: Perpendicular al plano definido porA y B

3. Sentido: Determinado por la regla de la manoderecha.

(a) El producto vectorial entre dos vectores es unvector perpendicular a ambos vectores en la direccióndada por la regla de la mano derecha (b). Si se cambiael orden de los vectores en el producto vectorial, seinvierte el sentido del vector.

A

A x B

Sentido Positivo

de A a B

B

(a)

A

B

B x A A x B= –(b)

Propiedades del producto vectorial:

1. A B –B A

2. A B C A B A C

3. A B (A B)

4. Si: A //B : A B 0

Expresión en componentes rectangulares:

1.

i i j j k k 0

i j k j k i k i jˆj i –k k j –i i k –j

2.

x y z x y z

y z z y z x x z x y y x

A A i A j A k B B i B j B k

A B i A B –A B j(A B –A B ) k(A B –A B )


4LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

Dado los vectores A

y B

tales que:

A B i j

y A B 2i j

Hallar 2 2A B

A) 1 B) 2C) 3 D) 4E) 5

Resolución:Como:

A B i j

A B 2i j

32A 3i A i y21B i j2

piden: A2 – B2

2

2 222 2 3 1A B 1

2 2

9 1 14 4

Respuesta: A) 1

Problema 2Determine el módulo del vectorresultante si:

A 8 i 5 j

B 4 i 6 j

C 9 2 j

A) 13 B) 21

C) 26 D) 29

E) 30

Resolución:Se sabe

R A B C

(8i 5j) ( 4 6 j) ( 9i 2 j)

R ( 5i 1j) ( 5;1)

2 2|R | ( 5) (1) 26

Respuesta: C) 26

Problema 3

Determine el vactor resultante del

sistema de fuerzas mostrado.

1 3F 5 i F 6 i

2F 4i

A) 5 i

B) 6 i

C) 7 i

D) 8 i

E) 9 i

Resolución:Sabemos:

1 2 3R F F F

(5i) ( 4 i) (6i)

7 i

Respuesta: C) 7 i

problemas resueltos

5LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA I

FÍSICA

I. CONCEPTOPodemos decir que la CINEMÁTICA, es parte de lamecánica que estudia el movimiento mecánico delos cuerpos, sin considerar las causas que lo originan ola modifican, es decir estudia las características geo-métricas del movimiento mecánico.• ¿Qué es el movimiento mecánico?

Es el cambio continuo de posición de un cuerpocon respecto a otro.Por ejemplo observemos el movimiento del balónmostrado en la figura, este realiza movimiento me-cánico, por que cambia de posición respecto aljugador "A".

• ¿Por qué decimos que el movimiento mecáni-co es relativo?Porque depende del observador o cuerpo de refe-rencia. Por ejemplo en el gráfico vemos que parael observador "A" el foco realiza movimiento me-cánico pero para el observador "B" no, porque nocambia de posición respecto a él.

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

(A)(B)

V

foco

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

(A)

(B)V

foco

El fococambia deposición

El foco nocambia deposición

II. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁ-NICO

El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:

A. Vector posición ( r )

Nos indica la posición del móvil en un instante detiempo.

• Ar : Vector posición en (A).

• Br : Vector posición en (B).

B. Vector desplazamiento (r)

Es aquel vector que nos indica el cambio de posi-ción del móvil.

B Ar r r

UnidadS.I.(metros :m)

C. Espacio (e)Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cual-quiera. Esun escalar que se expresa en cualquierunidad de longitud.

D. Distancia (D)Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.

d | r |

DESARROLLO DEL TEMA

CINEMÁTICA IExigimos más!

6LIBRO UNI FÍSICA

III. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICOVelocidad ( V )Es una magnitud física vectorial que nos expresa me-diante su valor la rapidez con que un cuerpo cambiade posición y además nos indica en qué dirección semueve el cuerpo.Además la velocidad se puede medir en un intervalode tiempo (velocidad media) o en un instante(velocidad instantánea).

Velocidad media ( MV )

Se define:

B AM

r r rV UnidadS.I.m/st t

El módulo de la velocidad media se calcula:

Mdd | r | V UnidadS.I.m/st

d: distancia (metros: m)t: tiempo (segundos: s)También se define la rapidez media (m) como:

e UnidadS.I.m/st

e : espacio (metros: m)

t : tiempo (segundos: s)

Velocidad instantánea (V )Determinada para cada instante de tiempo. Se repre-senta por un verctor tangente a la trayectoria en elpunto considerado, indicando su módulo la distanciaque recorrería el móvil en la unidad de tiempo.

Dist ancia RecorridaV

Unidadde tiempo

Rapidez media (R. M)Cantidad escalar que se relaciona con la distancia reco-rrida por el móvil durante un intervalo de tiempo, sedetermina por:

Dist an cia Re corridaR.M.Tiempo empleado

La rapidez media mas representa el valor de la veloci-dad con la cual debería moverse el móvil para recorrercon movimiento uniforme y en el mismo tiempo la dis-tancia que ha recorrido con movimiento variado.

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME(MRU)Es aquel movimiento rectilíneo en el que el móvil reco-rre distancias iguales en tiempos iguales, es decir suvelocidad permanece constante.

Se cumple: d vt

donde: d: distancia (m – km)v: velocidad (módulo) (m/s – km/h)t: tiempo (s – h)

• Tiempo de encuentro (te)

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

teVA VB

d

A B

dte Unidad(s)V V

• Tiempo de alcance (ta)

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

taVA Va

d

A B

dta Unidad(s)V V

7LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA II

FÍSICA

I. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFOR-MEMENTE VARIADO (MRUV)Es aquel movimiento rectilíneo con aceleración cons-tante, es decir el móvil varía su velocidad en la mismaproporción en intervalos de tiempos iguales. Por ejem-plo, si un cuerpo acelera con 3 m/s2, decimos quecada segundo su velocidad varía en 3 m/s.

a = 3m/s2

A. Elementos del MRUV

• v0 : Velocidad inicial (m/s)• vF : Velocidad final (m/s)• a : aceleración (m/s2)• t : tiempo (s)• d : distancia (m)

B. Ecuaciones

20

0 F

F 02 2F 0

11. d v t at2

v v Cada cantidad viene con su2. d t2 respectivo signo el cual depende

3. v v at del sentido tomado como positivo4. v v 2ad

C. Desplazamiento en el enésimo segundo (dn)

n 01d v a(2n 1)2

• n : enésimo segundo• a : aceleración (m/s2)• v0: velocidad inicial (m/s)

II. MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBREEs aquel movimiento con aceleración constante de tra-yectoria vertical, donde la única fuerza que actúa es lafuerza de la gravedad (Es decir no se considera laresistencia del aire)• Elementos y Ecuaciones del MVCL

v0

vF

t

g

(A)

(B)

h

1. h = v0t + 12 gt2 2. h = 0 Fv v

t2

3. vF = v0 + gt 4. vF2 = v0

2 + 2gh

Donde:• v0 : Velocidad inicial (m/s)• vF : Velocidad final (m/s)• g : aceleración de la gravedad (m/s2)• h : altura (m)• t : tiempo (s)

Análisis del MVCL

(A)

v0

(B)

vM

vN NM

P

g HMAX

DESARROLLO DEL TEMA

CINEMÁTICA IIExigimos más!

8LIBRO UNI FÍSICA

• Se cumple:

i) tSUB = tBAJ = g

v 0

tVUELO = tSUB + tBAJ = g

v2 0

ii) H MAX = g2

v 20

iii) vA = vB y vM = vN(A alturas iguales rapideces iguales)

iv) NMBA vv y vv

(A alturas iguales las velocidades no son iguales)v) vp = 0m/s (En el punto más alto la rapidez es nula)

Los números de GalileoConsiderando g = 10 m/s2, se cumple:

1s

v0=0 m/s

g=10m/s2

10sm

1s

20sm

1s

30sm

1s

40sm

5m

15m

25m

35m

Nota: Para el movimiento rectilínio las diferentes cantidades vectoriales se convierten en cantidadesalgebraicas cuyo signo depende de como se oriente el eje elegido. Para el caso de un M.R.U.V. se tiene por ejemplo:

MovimientoAcelerado

V

aumentado

MovimientoDesacelerado

V

disminuye

V(–) V(+) X

a(–) a(+)

V(–) V(+) X

a(+) a(–)

9LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA III

FÍSICA

GRÁFICAS DEL MRU - MRUV

I. GRÁFICAS EN CINEMÁTICAEn el estudio de las magnitudes cinemáticas es co-mún encontrar una relación entre dos o más magni-tudes, de tal manera que si aumenta el valor de unade ellas, entonces cambia el valor de la otra (aumen-tando o disminuyendo); por lo tanto se afirma queentre ellas existe una proporción (directa o inversa)a una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc, en ge-neral se dice que una de ellas está en función de laotra.

Cuando una magnitud es función de otra, entoncesse puede construir una gráfica que relacione a dichasmagnitudes y para ello se emplean los ejes rectangu-lares x – y, en cinemática encontramos que la veloci-dad, la aceleración y la posición de móviles se pue-den expresar en función del tiempo, por lo tanto sepueden construir los gráficos correspondientes.

Relaciones básicas

A. Proporción Directa

y

xO

MagnitudDependiente

x

MagnitudIndependiente

y k(Cons tan te)x

y kx

k Tg (pendiente)

B. Variación Lineal

y

xO x

V0

0y kx y

C. Variación Cuadrática

y

xO x

y Semiparábola

2

2

y k(Constante)x

y kx

II. EN EL MRUV

A. Gráfica V - tEn este caso la gráfica es una línea horizontal para-lela al eje del tiempo, esta se debe a que la veloci-dad es constante y no depende del tiempo trans-currido.

DESARROLLO DEL TEMA

V

tO t

V

CINEMÁTICA IIIExigimos más!

10LIBRO UNI FÍSICA

Propiedad:

d Área

Observación:

(a) Primer cuadrante área (+)

Desplazamiento hacia la derecha

(b) Cuarto cuadrante área (–)

Desplazamiento hacia la izquierda

Nota 1.Así por ejemplo

V

tO

k

d(+)

d

V

Movimiento haciala derecha (d = 0)

V

k

O

d(–)

t

d

Movimiento haciala izquierda (d = 0)

V

Propiedades

1. El área comprendida entre la recta representati-va y el eje temporal nos da la distancia recorrida.

d = Área

2. La sumatoria algebráica de las áreas considerando

signos positivos para los ubicados encima del eje

positivo y signo negativo para los ubicados por

debajo, nos da el desplazamiento efectuado.

arriba debajodel eje t del eje td S – S

Otro ejemplo:

yx1

O

x2

t1t2

t

V+V1

O

–V2

t1 t2t

V2

x2

V1

O x1

2. Gráfica x – tEn este caso la gráfica es una línea recta inclina-

da la cual no necesariamente pasa por el origen

de coordenadas, esto se debe a que el móvil va

cambiando de posición durante el transcurso del

tiempo.

x

t

x

x0

0t

Propiedad.

V Tg


11LIBRO UNI FÍSICA

Importante:(a) Desplazamiento hacia la derecha.

x

x0

0t

V

0 x0

x

V tg (positivo)

(b) Desplazamiento hacia la izquierda.

x0

0t

V

0 x0

x. . .

V Tg Tg

(c) Cuerpo en reposo.

x

x0

Ott

V 0

1. Gráfica a – tEn este caso la gráfica es una línea horizon-

tal paralela al eje del tiempo, esto se debe a

que la aceleración es constante y no de-

pende del tiempo transcurrido.

a

0 tt

a

Propiedad:

F 0V V – V área

2. Gráfica V – tEn este caso la gráfica es una línea rectainclinada cuya pendiente puede ser positivao negativa, esto se debe a que la velocidaddel móvil va cambiando continuamente yasea aumenta o disminuyendo asó comotambien cambiando su dirección.

V

0 tt

Vt

Vi

Propiedad:

a Tg d área

Observaciones:

Si el móvil parte del reposo la gráfica es:

V

t

V1

t0

Si el móvil desacelera la gráfica es:


12LIBRO UNI FÍSICA

VV1

0

a = Tg

t

t

Pero:

Tg Tg a Tg

3. Gráfica x – t.

En este caso la gráfica es un arco de pará-

bola cuyo eje es vertical paralelo al eje de

coordenadas (x), si el móvil parte del repo-

so la gráfica es una semiparábola, cumplién-

dose que en cada punto de la gráfica la pen-

diente nos da la velocidad instantánea del

móvil.

x

x0

Ott

x Arco de parábola

Propiedad:

V Tg

Para recordar:

(a) Área debajo de la gráfica (MRU).

102030405060

1 2 3 4 5 6t(s)

V(m/s)

ÁreaÁrea = (6 – 2)(40) = 160 d = 160 m

(b) Área debajo de la gráfica (MRUV).

51015202530

2 4 6 8 10t(s)

a(m/s )2

ÁreaÁrea = (8 – 2)(25) = 150 d = 150 m/s

0

Para recordar:

(a) Área de triángulo

b

b

b.hÁrea2


13LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

Una partícula se muestra a lo largo del

eje x de acuerdo a la gráfica posición

(x) - tiempo (t).

Hállese su velocidad media entre. t1 = 5s

y t2 = 15s.

20

108

–10

515 t

25(s)

x(m)

O

A) 3 m/s

B) – 1,5 m/s

C) –3 m/s

D) 2 m/s

E) 1,5 m/s

Resolución:

Recordemos que la velocidad media sedetermina por:

2 1m

2 1

x – xxVt t – t

De la gráfica: 1 1t 5s x 20m y

2 2t 15s x 10m .

m m(–10) – (20) mV V –3(15) – (5) s

Respuesta: C) –3 m/s

Problema 2

Dos móviles A y B recorren la misma

recta, variándo sus velocidades según

indica la gráfica v-t. Si en el instante

en que sus velocidades se igualan, el

desplazamiento de A es el triple del

desplazamiento de B, obtener la ace-

leración de B (en m/s2).

V(m/s)

10

10

B A

Ot(s)

A) 2B) 4C) 0,2D) 0,4E) 5

Resolución:Recordemos que en la gráfica v-t eldesplazamiento (distancia) está indica-da por el área que encierran la gráficacon el eje de los tiempos.Las velocidades se igualan cuando lasgráficas se cortan, luego hallando elinstante cuando se igualan.

V

10

10

B A

Ot

A2A

t

10(t – 10)A2

..........(1)

10t3A2

.................(2)

(1) en (2):

103 (t – 10)

2

10

t

2t 15s

Luego la aceleración de B:

10a a 2t –10

Respuesta: A) 2

Problema 3

Un móvil de mueve a lo largo del eje

x, y su velocidad varía con el tiempo

de acuerdo a la gráfica que se mues-

tra. Señale la veracidad (V) o falsedad

(F) de las siguientes proposiciones.

( ) El desplazamiento durante los pri-

meros 15 es –750m.

( ) La velocidad media durante los pri-

meros 10 s es 25 m/s.

( ) La longitud total recorrida duran-

te los 15 s es 1250 m

50

0

–100

5 15t(s)

A) VVV

B) FFF

C) VFV

D) FFV

E) VFF

problemas resueltos


14LIBRO UNI FÍSICA

Resolución:

50

0

–100

5 15

V

A2 A3

10 tA1

(V) Desplazamiento ( x)

1 2 3 1 2 3x A – A – A A – (A A )

x 50(5) – 100(10)x –750m

(F) velocidad media (0; 10 s):

1 2m

A – A 5(50) – 5(100)V10 10

Vm = –25 m/s

(V) Longitud recorrida:

1 1 2 3L A A A L 50 (5) 100 (10)

L 1250 m

VFV

Respuesta: C) VFV

15LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA IVFÍSICA

I. MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACE-LERACIÓN CONSTANTEEn este movimiento se tiene que la aceleración mediaes igual a la aceleración instantánea, es decir no interesael intervalo de tiempo en el cual se determina.

Considerando 0t 0 tenemos que la velocidad sepuede expresar como:

V V aT

Ecuación vectorial

la cual expresada en componentes cartesianas nos da:

x 0x x y 0y yV V a T V V a T Ecuaciones escalares

Y (+)

y

0 x(+)X

a=const.

V

Estas últimas ecuaciones nos sugiere que estemoviminto se puede considerar como la combinaciónde dos movimientos rectilineos con aceleraciónconstante a lo largo de cada uno de los ejes. Luegolas ecuaciones para cada una de los movimientostenemos:

Luego el vector posición se determina por:

en forma analoga tenemos que:

Nota:(1) Cada una de las cantidades que intervienen en lasdiferentes ecuaciones escalares tienen un signo quedepende de su orientación con respecto a los ejescoordenados

(2) En general la trayectoria recorrida por el móvil esuna parabola. En el caso particular que la velocidadinicial sea paralela a la aceleración, la trayectoria serauna línea recta.

DESARROLLO DEL TEMA

EJE X EJE Y

xa cte :M.R.U.V. ya cte :M.R.U.V.

x ox xV V a t y oy yV V a t

2o ox x

1x x V t a t2

2o oy y

1y y V t a t2

x oxo

V Vx x t

2

y oyo

V Vy y t

2

2 2 2 2x y o x yV V V V 2a x 2a y

2 2x ox xV V 2a x 2 2

y oy yV V 2a y

2o o

1ˆ ˆr X i yj r V t at2

o o o

ˆ ˆr X i y j

o ox oyˆ ˆV V i V j

o x y

ˆ ˆa a i a j

2 2oV V 2a. r

ˆr x2 yj

ox x x oy y y

CINEMÁTICA IV

16LIBRO UNI FÍSICA

II. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAI-DA LIBRE (MPCL)

A. ConceptoEs aquel movimiento con aceleración constante,cuya trayectoria es una línea curva denominadaparábola. También podemos decir que este es unmovimiento compuesto porque está formado por:Eje x: MRU

si : g // ejeYEje y: MVCL

B. Elementos

Donde:• : ángulo de elevación• L: alcance horizontal• tv: tiempo de vuelo• HMax: altura máxima

Análisis del movimiento

HMAX

(A)V0y

Vx

V

Vy V

Vx

V =VP x

Vx

Vy V g

V0y

Vx

V

y

x

Se cumple:

1.V : permanece constanteV : varía debido a la aceleración de la gravedad

x

y

2. oyv SUB BAJ

2Vt t t

g

3.2

oyMAX

VH

2g

4. 2 2x yV V V

5. VM = VN (a alturas iguales rapideces iguales).

6. VP = Vx (no es cero).

C. Fórmulas del MPCLPara resolver un problema de MPCL, no hay fórmu-las, se utilizan las ya conocidas del MRU (en el eje x)y las del MVCL (en el eje y), teniendo en cuentaque el tiempo es común en ambos ejes.

Eje x: x = Vx . t

Eje y: 20

1y V t gt2

0 F(V V )ty

2

y yF 0V V gt

y y2 2

F oV V 2gy

D. Propiedades

1.

MAX4HTan

L

2.

90

3. Alcance horizontal máximo: (LMAX):

2MAX

VL cuando 452g

4.

h hTana b

ya g

CINEMÁTICA IV

17LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

El gráfico muestra la velocidad versusla posición x de una partícula que partedel origen de coordenadas en elinstante t = 0 s con una aceleraciónconstante. Dadas las siguientesproposiciones:

I. La aceleración de la partícula es de8 m/s2.

II. La partícula pasa por x = 4,0 m enel instante t = 1,0 s.

III. La velocidad de la partícula en elinstante t = 5,0 s es de 20,0 m/s.

Señale la alternativa que presenta lasecuencia correcta después dedeterminar si la propos ición esverdadera (V) o falsa (F).

UNI 2009 - II

A) FFF B) FFV

C) VFV D) FVF

E) VVV

Resolución:Del gráfico:

2 2fV Vo 2ad 36 = 4 + 2a(4)

a = 4 m/s2

Ecuación posición x = xo + Vot + 12 at2

x = 2t + 2t2 V = 2 + 4t

I. Falso a = 4m/s2

II. Verdadero para t = 1s; x = 4m

III. Falso en t = 5s; V = 22m/s

Respuesta: D) FVF

Problema 2Un cuerpo es soltado desde una alturade 180 m. Hallar la rapidez final cuandoeste llega al suelo. (g = 10 m/s2)

180mt g

Vi=O

A) 50 m/s B) 20 m/sC) 60 m/s D) 30 m/sE) 10 m/s

Resolución:

Aplicamos: 2i

1h V t gt2

21180 (0)t (10)t2

t 6 s

Ahora: usamos VF = Vi + gt

VF = 0 + (10)(6)VF = 60 m/s

Respuesta: C) 60 m/s

Problema 3Un proyectil es lanzado verticalmentehacia arriba con una rapidez de 20 m/s,si el proyectil choca contra el techo conuna rapidez de 10 m/s, calcular a quealtura está el techo. (g = 10 m/s2)

A) 20 m B) 10 mC) 5 m D) 15 mE) 30 m

Resolución:

Aplicaciones 2 2F iV V 2gh

Reemplazando valores:

(10)2 =(20)2 – 2(10)H H = 15 m

Respuesta: D) 15 m

problemas resueltos

18LIBRO UNI FÍSICA

MCUFÍSICA

I. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME(M.C.U.)En este movimiento el móvil recorre una circunferen-cia o un arco de cincunferencia con una rapidez cons-tante. En este movimiento se tiene los siguientes ele-mentos:

A. Desplazamiento angular ()

Ángulo que barre el radio cuando el móvil pasa deuna posición a otra, se expresa en radian.

B. Desplazamiento lineal (S)

Arco recorrido por el móvil al pasar de una posicióna otra, se expresa en metro. Se cumple la rela-ción:

S AB R

C. Velocidad Tangencial (V)

Determina la rapidez con la cual el móvil recorre sutrayectoria:

ArcoRecorridoV

Unidad de tiempo

unidad: m/s; km/h; ....

D. Velocidad angular ( )

Determina la rapidez con la cual varía la posiciónangular. Se representa por un vector perpendicu-lar al plano de la trayectoria cuyo sentido se deter-mina por la regla de la mano derecha.

Ángulo barridoUnidad de tiempo

Unidad rad/s

R V V WR

E. Aceleración centrípeta c(a )

Determina el cambio en dirección del vector velo-cidad. Se representa por un vector perpendicularal vector velocidad y siempre indica hacia el centrode la trayectoria:

c

22

c

a V

Va R

R

F. Una propiedad del MCU es la de ser un movimientoperíodico, es decir, se repite a intervalos regularesde tiempo. Debido a esto se tienen las siguientescantidades:

DESARROLLO DEL TEMA

MCU

19LIBRO UNI FÍSICA

a. Periodo (T,P)

Tiempo mínimo al cabo del cual se repite elmovimiento

b. Frecuencia (f)

Rapidez con la cual se repite el movimiento.

Cumpliéndose:

T 1f

Nota:(1) Recordar que el ángulo se puede expresar en grado sexagesimales, radian o vueltascumpliendose la relación:

1 vuelta 360 2 rad.

(2) En el caso que el ángulo se exprese en vueltas o revoluciones la rapidez angular y lafrecuencia son numericamente iguales.

20LIBRO UNI FÍSICA

MCUVFÍSICA

I. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME-MENTE VARIADO (M.C.U.V)

A. Conceptos previos

1. Aceleración tangencial o lineal ( Ta )Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valoro módulo de su velocidad tangencial cambia, en-tonces aparece la aceleración tangencial cuya di-rección será tangente a la circunferencia y su sen-tido coincidirá con el de la velocidad tangencial siel movimiento es acelerado y será de sentidoopuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.

Unidades: 2 2

m cm; ;etcs s

F oT

V Va cte

t

a

V

R

Movimiento acelerado

a

V

R

Movimiento desacelerado

2. Aceleración angular ()

Si un cuerpo se desplaza por una curva y suvelocidad angular cambia, entonces aparece laaceleración angular cuya dirección esperpendicular al plano de rotación y su sentidocoincidirá con el de la velocidad angular si elmovimiento es acelerado y será de sentidoopuesto a ella si el movimiento es desacelerado.

F o ctet

Unidades:

2 2 2 2rad rad rev rev; ; ; ;etcs min s min



DESARROLLO DEL TEMA

21LIBRO UNI FÍSICA

MCUV

3. Aceleración (a)Se denomina así a la resultante de la aceleracióntangencial con la aceleración centrípeta, tam-bién se le denomina aceleración instantánea.

V

acpa


aT

V

acpa


aT

Por el teorema de Pitágoras

B. Características del M.C.U

1. Ta = constante; Ta constante

2. = constante; = constante

3. cpa constante; cpa constante

4. En tiempos iguales la rapidez tangencial "V"

cambia cantidades iguales.

5. En tiempos iguales la rapidez angular " " cambia

cantidades iguales.

6. En tiempos iguales recorre arcos diferentes

realiza desplazamiento angulares diferentes.

C. Fórmulas1. Tangenciales

aT aT

V1

V1

t

RR

S

Este gráfico es de un M.C.U.V. __________.

• f 1 TV V a t

• 2 2f 1 TV V 2a S

• 21 T

1S V t a t2

• n 1 T1S V a (2n 1)2

Sn = arco recorrido en el número de segundo"n" (n-ésimo segundo)

Además: 1 fV VSt 2

2. Angulares

i

R

R

f f

i

t

Este gráfico es de un M.C.U.V. _________.

• f i t

• 2 2f i 2

• 2i

1t t2

• n i1 (2n 1)2

n : ángulo descrito en el número de segundo"n".

Además: i ft 2

3. Relación entre la aceleración tangencial"aT" y la aceleración angular "a"

f o f i f iT

V V R Ra R

t t t

Ta R

D. Movimiento de rodamientoCuando una rueda se mueve con rozamiento porel piso se observa que su movimiento es elresultado de un movimiento de traslación del centrode la rueda y un movimiento de rotación conrespecto al centro de la rueda.

2 2T cpa a a T ca a a

T ca a

22UNI 2014 - III FÍSICA

MCUVExigimos más!

Resultante Traslación RotaciónV V V

Velocidad resultante de cualquier punto de la rueda

ImportanteMétodo práctico para determinar la velocidad re-sultante V de un punto de la rueda:

V

V1

C.I. (Centro instantáneo)

1 ciV R

1 ci 1V R

1 1

V RV R

donde:ci : es la velocidad angular con respecto al centro

instantáneo.En un movimiento curvilíneo:

aN

V

La aceleración normal es perpendicular a la velocidad(V):

2N

Va

: Radio de curvatura

Problema 1

Una partícula se mueve en unatrayectoria circular de 4 m de radio detal manera que cada 4 segundos surapidez aumenta en 20 m/s. Si lapartícula partio del reposo, calcular eldesplazamiento angular (en rad)después de 8 s de recorrido.

A) 30

B) 40

C) 50

D) 60

E) 70

Resolución:

Aceleración tangencial:

2T

va 5m/st

Luego la aceleración angular:

2TT

a 5a R .rad/sR 4

Entonces el desplazamiento angular:

22ot

t 5 8W 40rad2 4 2

Respuesta: B) 40Problema 2

Al encender un motor eléctrico su ejedesarrolla un MCUV. Si durante elsegundo segundo logra girar 60vueltas, determinese el número devueltas que logró durante el primersegundo.

A) 20

B) 30

C) 40

D) 50E) 60

Resolución:Usando la gráfica w- t.

w

t

2h

h

0 1 2

x = ?

60

h(1)x .........(1)2

2h(2)x 60 .......(2)2

problemas resueltos

23LIBRO UNI FÍSICA

MCUV

(1) en (2): x + 60 = 4 . (x)

x 20

Respuesta: A) 20

Problema 3

Una partícula desarrolla un movimientocircular. Si al pasar por el punto P tiene

una aceleración 2a (–4i 3j)m/s

calcule su rapidez angular (en rad/s)en el punto P.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 2

E) 3

Resolución:Notemos que la aceleración centrípetatiene valor de:

2 2ta 4m/s w R w 1rad/s

4 m

O

y

xP

Respuesta: A) 1

24LIBRO UNI FÍSICA

ESTÁTICA I

FÍSICA

Siempre que elevas, empujas, jalas, golpeas o das unpuntapié estás aplicando una fuerza sobre algún objeto.Sin embargo, para nuestra sorpresa, no es necesario tocarun cuerpo para ejercer una fuerza sobre él, por ejemplo,cualquier objeto, desde un botón hasta un avión es atraídohacia el centro de la Tierra por la gravedad sin importar queesté en contacto o no con la superficie.Se puede reconocer la acción de una fuerza sobre un cuerpoporque éste causa un movimiento (si el cuerpo estaba enreposo) o causa un cambio de su velocidad (si el cuerpoestaba ya en movimiento), sin embargo cuando son variasfuerzas las que actúan es posible que en conjunto, elresultado sea distinto, el cuerpo puede permanecer enequilibrio; en este capítulo nos concentraremos en ésteaspecto de las fuerzas, el equilibrio de los cuerpos.

I. FUERZALlamaremos así a la magnitud vectorial que representaen qué medida dos cuerpos interactúan y que es capazde cambiar el estado de movimiento de los cuerpos oproducir deformaciones en ellos. En el SistemaInternacional de unidades se expresa en newton (N).

A. Las fuerzas de acuerdo a su naturaleza

1. Fuerza gravitatoriaEs la fuerza de atracción entre 2 cuerposcualquiera debido a la presencia de materia.

2. Fuerza electromagnéticaAparece en interacciones entre 2 cuerposcargados eléctricamente.

3. Fuerza nuclearEs el responsable de la estabilidad del núcleoatómico (nuclear fuerte) y los procesos dedesintegración radiactiva (nuclear débil).

B. Algunos casos particulares1. Peso

Es la fuerza de gravedad que ejerce la Tierrasobre cualquier objeto cercano a su superficie.

PESO Peso mg

NOTA: En el próximo capítulo veremos que elpeso es proporcional a la masa es decir.

2. TensiónCuando jalas un cuerpo con una cuerda muyliviana, la cuerda transmite tu fuerza hacia elcuerpo; esta fuerza ejercida por las cuerdassobre los cuerpos se llama tensión.

F

T

T

F

3. CompresiónCuando una fuerza externa actúa sobre una barratratando de comprimirla, ésta transmite dichafuerza al cuerpo con el que está en contacto. A lafuerza ejercida por la barra se le llama compresión.

F

C

CF

DESARROLLO DEL TEMA

ESTÁTICA I

25LIBRO UNI FÍSICA

4. Reacción o contactoAl poner en contacto un cuerpo con otro, lasmoléculas reaccionan produciendo entre ellas unafuerza de reacción; en general, ésta es oblicuay tiene 2 componentes: la componente normaly la componente de rozamiento, como semuestra en la figura.

N R

f

F N: Reacción normal o normal f: Fuerza de Rozamiento R: Reacción total

Se cumple: 2 2R N f= +

5. La fuerza elásticaSi una fuerza exterior actúa sobre un cuerpoelástico (por ejemplo un resorte) produce unadeformación x; en respuesta, el resorte produceuna fuerza contraria proporcional a la deformaciónsufrida, a ésta fuerza se le denomina fuerzaelástica.

xFe FExt

x

Fe FExt

Dentro de ciertos límites se cumple:

F K x

II. PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LAINERCIA)Basado en las observaciones de Galileo, Newton formulólo que se conoce como la primera Ley de movimiento."Un objeto en reposo o en movimiento con velocidadconstante permanecerá indefinidamente en ese estadosi ninguna fuerza actúa sobre el o si la resultante detodas las fuerzas que actúan es nula".Es decir sólo es posible cambiar la velocidad de un objetosi una fuerza resultante actúa sobre él.Se denomina inercia a la propiedad de los cuerpos deoponerse a cualquier variación en su velocidad; el efectode la inercia es diferente en los cuerpos con diferentemasa. Es decir la masa es la cantidad de materia y estáasociado directamente a la inercia que los cuerpostienen.

III. TERCERA LEY DE NEWTON(LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN)Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, ésteejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud,igual dirección, pero de sentido contrario; a éste parde fuerzas se les denomina acción y reacción.

Ejemplo:

Puedes comprobarlo fácilmente, para saltar empujas alpiso y la reacción te dá el impulso, para nadar empujasel agua hacia atrás, la reacción te impulsa haciaadelante.

Nota:La acción y la reacción no se cancelan (a pesar deser opuestas) porque actúan sobre cuerposdiferentes.

Nunca te olvides que las fuerzas aparecen en parejas.

IV. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.)Para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo(en movimiento o en reposo) es útil realizar un diagramaque represente gráficamente las diversas fuerzas queactúan sobre un cuerpo o sobre un sistema.Se recomienda:1. Seleccionar el o los cuerpos que se van a estudiar.2. Aislar el cuerpo y elegir un sistema de coordenadas,

preferentemente con uno de sus ejes orientadosen la dirección del movimiento.

3. Graficar las fuerzas externas sobre el cuerpo.

Nota:Las fuerzas internas y las que ejerce el cuerpo sobreotros cuerpos no se grafican.

V. EQUILIBRIO DE PARTÍCULASPartícula es todo cuerpo (pequeño o no) en el cualpodemos ignorar su movimiento de rotación.

ESTÁTICA IExigimos más!


De la primera Ley de Newton podemos deducir que si

una partícula está en equilibrio sólo permanece así si la

resultante de las fuerzas es nula.

Equilibrio es el estado de reposo o de movimiento con

velocidad constante; físicamente son indistinguibles.

Es decir: matemáticamente.

F1

F2

F3

1 2 3F F F 0

+ + =

F 0

=

Analíticamente podemos descomponer las fuerzas en

los ejes coordenados, entonces.

XF 0=

YF 0=

Nota:1. Si sobre un cuerpo

0F se cumple:

==

( ) ( )

( ) ( )

F F

F F

2. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas y la

0F dichas fuerzas pueden formar unapoligonal cerrada.

3. Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas y estepresenta equilibrio de traslación sin rotar, entoncesdichas fuerzas deben ser no paralelas yconcurrentes.

4. Ley de Lamy: En un cuerpo en equilibrio, sometidoa la acción de 3 fuerzas coplanares y concurrentes,el módulo de cada fuerza es directamenteproporcional al seno del ángulo que se le opone.Formando un triángulo se tiene:

31 2 FF FSen Sen Sen

= =

27LIBRO UNI FÍSICA

ESTÁTICA II

FÍSICA

I. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE ( M

)

El momento de una fuerza M

, es una magnitud físicavectorial que mide el efecto de giro que produce una fuerzaal actuar en un cuerpo.Se debe tener presente que una fuerza al actuar sobre uncuerpo puede causar una serie de efectos como la deformaciónde un cuerpo cuando se estira o comprime un resorte. Tambiénpuede causar efectos de rotación, esto lo percibimos cuandouna puerta se abre o se cierra debido a una fuerza aplicada o elmovimiento del timón del automóvil debido a las fuerzas aplicadaspor las manos de un conductor.La primera condición de equilibrio asegura equilibrio de traslaciónde un cuerpo; sin embargo, no asegura que el cuerpo no rote.

F

F

F

FFF

Por ejemplo: si tenemos una barra homogénea suspendidaen su punto medio por una cuerda atada al techo.Encontrándose en reposo se cumple: T = Fg, si ahoraaplicamos a los extremos de la barra, fuerzas verticales yopuestas tal como se demuestra:

T

FG

Siendo F1 = F2 la fuerza resultante sobre la barra siguesiendo nula, entonces la barra se mantiene en equilibrio detraslación. Sin embargo a causa de dichas fuerzas la barrarota, entonces llegamos a la conclusión de que la primeracondición requiere de una segunda condición y dichacondición estará ligada con los efectos de rotación quepueden causar las fuerzas que actuan sobre un cuerpo yesto lo podemos caracterizar con una magnitud físicavectorial a la cual llamaremos (momento de fuerza).

F1

F2ROTACIÓN

El momento de una fuerza es una magnitud física vectorialque mide el efecto de rotación de una fuerza sobre uncuerpo en torno a un punto llamado centro de rotación,pero ¿de que dependerá el efecto de rotación? ¿De quédepende el momento de una fuerza?Para ello veamos un ejemplo de una puerta que puederotar en torno a sus bisagras.Si aplicamos una fuerza lejos de las bisagras, la puerta confacilidad se abre, eso es lo que hacemos diariamente; peroque sucede si aplicamos la misma fuerza pero en el mediode la puerta esta también rotará, pero con menos facilidad.

F F

DESARROLLO DEL TEMA

ESTÁTICA IIExigimos más!


Y si aplicamos la misma fuerza cerca de las bisagras la puertagira pero con mucha dificultad.De ahí notamos que la capacidad de una fuerza para producirrotación no solamente depende de su modulo, sino tambiénde como y donde esta aplicada esta fuerza, es decir.Dependerá también de una distancia denominada (brazode palanca) tal que a mayor brazo de palanca mayorserá el efecto de rotación de la fuerza, es decir mayorserá su movimiento, pero cuando aplicamos una fuerzaen el eje de rotación esta fuerza no producirá efecto derotación en otras palabras, basta que la línea de acciónde la fuerza pase por dicho eje para que no produzcarotación.Por ello, es necesario que la línea de acción de la fuerza nopase por el centro de rotación para que se produzca unefecto de rotación tal como se muestra.

Centro demomentos (c.m.)

O

P F

Ld

Mlínea deacción defurza

brazo defuerza

En este caso, el brazo de la fuerza (d) es la distancia máscorta desde el centro de momentos hasta la línea de acciónde la fuerza, resultando que son mutuamenteperpendiculares d F , en consecuencia, el módulo delmomento de una fuerza se evalúa así:

FOM F.d= Unidad: N . m

La notación F0M se lee: modulo del momento de la fuerza F

respecto al punto O. Donde "O" es el centro de momentos.

Propiedades• Si d = 0, la línea de acción de la fuerza pasa por el

centro de momentos y no se produce ningún efectode rotación en ese caso.

O

F

FM 0=

• El momento será máximo cuando el brazo seamáximo (dmax), esto ocurre cuando F esperpendicular a la llave.

O

F

dmáx FmaxM F d=

• Se recomienda tomar como positivos los momentosque tienen un efecto de rotación en sentidoantihorario, y negativo los que tienen efecto derotación en sentido horario.

MFO (+)

ROTACIÓNANTIHORARIA

MFO (-)

ROTACIÓNHORARIA

II. TEOREMA DE VARIGNONSi la resultante de un sistema de fuerzas coplanares esdifernte de cero, el torque que la resultante respectoa cualquier punto situado sobre el plano de acción dela fuerza es igual a la suma algebraica de los torques delas fuerzas componontes respecto del mismo punto:

R 1 2 3Si F F F F 0

F2 F3

F1

A

R 1 2 3

A A A AF F F FM M M M

III. POR FUERZAS O CULPASistema formado por dos fuerzas paralelas, de igualmódulo y dirigidas en sentidos contrarios.

FF

Este sistema presenta las siguientes características:1) Su resultante ses nula por lo qu eno puede producir

un movimiento de treslación.2) Se caracterisa por un torque, independiente del

centro de momentos dado por:

M Fb

3) Produce un movimiento de rotación.4) Una cupla solo puede ser equilibrada por otra cupla

de igual torque pero de sentido cotrario.

IV. TEOREMA DE VARIGNONPara que un cuerpo se encuetre en equilibrio esnecesario qu ela suma d elos torques producidos porcada una de las fuerzas que actúan sobre el, sonrespecto a cualquier punto sea igual a cero:

Nota:1) Las condiciones del equil ibrio sonindependientes entre si.2) Solo en el equilibrio se deben cumplir tanto laprimera como la segunda condición del equilibrio

AFM 0 Punto

arbitrarioA :

29LIBRO UNI FÍSICA

Establece la leyes generales que rigen los movimientos delos cuerpos.

I. INERCIALa comparación de los resultados de la acción de unamisma fuerza sobre cuerpos diferentes conduce a lanoción de la inercia de los cuerpos. La inercia carac-teriza la propiedad de los cuerpos materiales de cam-biar más rápido o más lentamente la velocidad de sumovimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas.

La masa del cuerpo (m) es una magnitud física escalarque es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo.En mecánica se considera que la masa es constantepara cada cuerpo dado, osea no depende de la veloci-dad del cuerpo cuando es pequeña comparada con lavelocidad de la luz.

A. 2.a ley de Newton

Toda fuerza resultante no nula que actúa sobre uncuerpo de masa constante le comunica una acelera-ción resultante, que tiene la misma dirección y sen-tido que la fuerza resultante, siendo su valor direc-tamente proporcional al valor de la fuerza resultantee inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

F4

F1

F2F3

y

xFR

a

m

FR F=

m

Luego: RF m a

B. Fuerza de gravedad (P)

Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce laTierra (planeta) sobre un cuerpo que se encuentraen sus cercanías.

Su dirección es vertical y hacia abajo (señala haciael centro de la Tierra). Su punto de aplicación esel centro de gravedad del cuerpo.

P mg

Nota: Si un cuerpo está en caída libre, la únicafuerza que actúa sobre él es su peso.

C. Aplicación de la Segunda ley de Newton

1. Movimiento rectilíneo

Para este caso la aceleración es paralela a latrayectoria rectilínea y en éste caso se reco-mienda descomponer las fuerzas en una com-ponente paralela y perpendicular a la trayec-toria rectilínea.

Luego:

x xF ma ; y yF ma

Ejemplos:

•

x x

1 2

y y

1

F ma

F Cos F ma

F ma 0

F Sen N P

DESARROLLO DEL TEMA

DINÁMICA

FÍSICA

DINÁMICAExigimos más!

30LIBRO UNI FÍSICA

•

x x

y y

F ma 0

F ma

F P ma

•

x x

y

F ma

mgSen maa gSen

F 0

N mgCos

Para sistemas de cuerpos que tienen la mismaaceleración en valor se puede aplicar:

(favor de a) (contrade a)F F

amasas

Ejemplos:

•

2 1 2 1

1 2 1 2

P P (m m ) ga

m m m m

•

2

1 2

m ga

m m

2. Movimiento circular

La fuerza resultante se descompone en com-ponentes radial (fuerza centrípeta) y tangencial(fuerza tangencial). Las fuerzas sobre el cuerpotambién se descompone en componentes ra-diales y tangentes.

• Eje radial (y)

cp radiales cpF F ma

2

2cp

mVF mW RR

Donde:

cp

vanhacia alejan delF F F

el centro centro

• Eje tangencial (x)

RTangencial tangencial TF F ma

Para el M.C.U.

T RTangenciala 0 F F Tangencial 0

R cpF F módulo constante

Observación:

La fuerza centrípeta (Fcp) es la componenteradial de la fuerza resultante. Su papel es des-viar continuamente al cuerpo del camino recti-líneo que recorrería por inercia en ausencia dela fuerza actuante. La fuerza centrípeta es lasuma de las fuerzas radiales y genera a la acele-ración centrípeta y por lo tanto cambia la direc-ción de la velocidad tangencial para que el cuer-po pueda girar. La componente tangencial(FR Tangencial) de la fuerza resultante es la sumade las fuerzas tangenciales y produce a la ace-leración tangencial y por lo tanto modifica el

DINÁMICA

31LIBRO UNI FÍSICA

Exigimos más!

Problema 1

En el sistema mostrado en la figura, lapolea tiene peso despreciable. Si lafuerza de rozamiento en la superficiehorizontal es f, determine la aceleracióndel bloque de masa m, en función deF, f y m.

UNI

Nivel fácil

A)F 2f2m–

B)F 2f2m+

C)2(F f)

2m+

D)F 2f

2m–

E)2F f

2m–

Resolución

Asumiremos que la cuerda unida albloque se rompe D.C.L.:

La 2.da ley de Newton determinará larelación:

F fF a 2a am m

–= =

Fma f2

= –

F 2fa2m–=

Respuesta: A) –F 2f2m

Problema 2

Un ascensorista cuya masa es de 60kg esta sobre una balanza en unascensor en movimiento, está le indicaque pesa 760 N.

Asumiendo g = 9,8 m/s2, la magnitud

y dirección de su aceleración será:

UNI

Nivel intermedio

A) la aceleración es hacia arriba.

B) la aceleración es hacia abajo.

C) la aceleración es hacia la derecha

D) la aceleración es hacia la izquierda.

E) No hay aceleración.

Resolución:

Debemos comparar el valor de la fuerzacon el de la reacción normal.

Fg = m.g

Fg = (60)(9,8) = 588 N

N = 760 N

FN > Fg

Por la 2.da ley de Newton

FR = m.a

N – mg = m.a

760 – 588 = 60.a

a = 2,866 m/s2

La dirección es hacia arriba pues FN > Fg.

Respuesta: A) la aceleración eshacia arriba.

Problema 3

Si RA y RB son las reacciones entre losbloques m y M para los casos A y Brespectivamente, calcule la relaciónRA/RB. No tome en cuenta elrozamiento (M > m)

Caso A:

Caso B:

UNI

Nivel difícil

A)Mm

B) mM

C)m

M

D)2m

M

E)mM

problemas resueltos

DINÁMICAExigimos más!

32LIBRO UNI FÍSICA

Resolución:

Al ser la misma fuerza y conjunto demasas hallaremos las aceleraciones enambos casos, siendo estas iguales.

A:

FR = m.a

RA = m.aA ... (1)

B:

FR = m.a

RB = M.aB ... (2)

(1) (2)

AA

B

m aRR

=

BM a

Por lo tanto

A

B

R mR M

=

Respuesta: A) m/M

33LIBRO UNI FÍSICA

ROZAMIENTO

FÍSICA

I. ROZAMIENTOLa resistencia que se opone al resbalamiento, o a sutendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro es unafuerza tangente a la superficie de contacto, que recibeel nombre de rozamiento. Las superficies en realidadno son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobreotro no es normal a dicha superficie de contacto.Si se descompone la reacción (F) en dos componen-tes, una perpendicular (N) y otra tangente a la super-ficie de contacto, la componente tangencial (f) a di-cha superficie se denomina fuerza de fricción o roza-miento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo li-bre para problemas donde interviene el rozamiento sonlos mismos que para aquellos en que intervienen su-perficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza derozamiento tangente a la superficie de contacto.

2 2

F f N

f N

F f N

Se suele hablar de dos tipos de rozamiento:

• Rozamiento estático (fs): Cuando no hay movi-miento relativo entre los cuerpos en contacto; esdecir, cuando ninguno se mueve, o ambos se despla-zan como si fueran uno solo, oponiéndose a cualquierintento de movimiento relativo (deslizamiento).En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada esexactamente suficiente para mantener el reposo relati-vo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo.Esto implica que la fuerza de rozamiento estático esuna fuerza regulable o variable alcanzando un valormáximo o límite, el cual depende de la normal y de laaspereza de la superficies en contacto. Por lo tantola fuerza de rozamiento estático cumple con:

límites s0 f f

• Rozamiento cinético (fk): Se genera cuandolos cuerpos en contacto se encuentran enmovimiento relativo. La fuerza de rozamientoes constante y prácticamente independientedel valor de la velocidad o aceleración relativa.

A. Coeficiente de rozamientoConstante experimental que permite comparar laspropiedades de rozamiento de pares distintos oiguales de materiales en diferentes condiciones desus superficies en contacto, y con objeto de cal-cular la fuerza de rozamiento máxima correspon-diente a una fuerza normal cualquiera.El coefic iente de rozamiento estático de 2superficies cualesquiera se define como la razóndel rozamiento máximo o límite a la fuerza normalcorrespondiente:

límitess

RozamientoLímite (f )

Fuerzanormal (N)

Donde el rozamiento límite es el rozamiento queexiste cuando las superficies están a punto de em-pezar a moverse la una con respecto a la otra (esta-do de movimiento inminente).En general, cuando las superficies en contacto semueven una respecto a la otra, el rozamiento dismi-nuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozamien-to a la fuerza normal se define como coeficiente derozamiento cinético.

kk

Rozamiento Cinético (f )Fuerzanormal (N)

El valor del coeficiente de rozamiento tiene quedeterminarse experimentalmente, y es una constante parados materiales cualesquiera determinados, cuando lassuperficies de contacto están en una condición fijada. Noobstante, varía mucho para diferentes condiciones de lassuperficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto.

DESARROLLO DEL TEMA

ROZAMIENTOExigimos más!

34LIBRO UNI FÍSICA

B. Leyes de rozamientoLos resultados de un gran número de experienciassobre el rozamiento en superficies secas, publicadaspor C.A. de Coulomb en 1781, proporcionaron lasprimeras informaciones sobre las leyes del rozamiento,obteniéndose las siguientes leyes:1. La fuerza máxima de rozamiento que puede

producirse es proporcional a la fuerza normalentre las superficies en contacto.

2. Esta fuerza máxima es independiente deltamaño de la superficie de contacto.

3. La fuerza límite de rozamiento estático es ma-yor que la fuerza de rozamiento cinético,siempre que actúe la misma fuerza normal.

4. El coeficiente de rozamiento cinético es menorque el coeficiente de rozamiento estático.

5. La fuerza de rozamiento cinético es independientede la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.

Problema 1

Si F1 = 100 N y F2 = 40 N, y además mA = 7 kgy mB = 3 kg y no existe rozamiento, halla lareacción entre los bloques A y B.

(g = 10 m/s2).

F1 F2

A B

UNI

Nivel fácil

A) 78 N B) 12 N C) 58 N

D) 48 N E) 56 N

Resolución:

Al igual que en el caso anterior, unanálisis de las fuerzas nos permiteafirmar que el sistema acelera hacia laderecha. Hagamos el D. C. L.:

100

NANB

40

70 30

a

R R

1) Para (A) 100 – R = 7a..........(1)

2) Para (B) R – 40 = 3a ..........(2)

De (1) y (2) 60 = 10a

6m/s2 = a

R – 40 = 3(6)

R = 58N

Respuesta: C) 58 N

Problema 2

Un bloque pequeño de 500 g gira enun plano horizontal, tal como semuestra. Si la cuerda mide 20 cm y lavelocidad angular es 6 rad/s, halla latensión en la cuerda.

W

UNI

Nivel fácil

A) 7,8 N B) 2,6 N C) 5,8 N

D) 3,6 N E) 4,6 N

Resolución:

Hagamos un D. C. L.

T

N

mg

1) En dirección vertical:

Fy 0 , N m.g.

2) En dirección horizontal: RF m.a.2

CT m.a mcos R

2 1T 0,5 65

T 3,6N

Respuesta: D) 3,6 N

Problema 3

Una piedra de 2 kg gira en un planovertical mediante una cuerda de 1 mde longitud. Si la velocidad en laposición mostrada es 10 m/s, halla latensión de la cuerda en dicha posición.(g = 10 m/s2).

UNI

Nivel fácil

A) 148 N B) 220 N C) 108 N

D) 260 N E) 36 N

Resolución:Hacemos un D. C. L.:

T

V

mg

R CF m.a

2vT m.g. m

R

210T – 2 10 21

T 220N

Respuesta: B) 220 N

problemas resueltos

35LIBRO UNI FÍSICA

TRABAJOFÍSICA

I. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE( FW )Sea una fuerza constante y paralela al desplazamiento,el trabajo que esta fuerza desarrolla sobre el bloque aldesplazarlo una distancia "d" viene dado por:

F

A BW = F d

Donde:F : fuerza que realiza el trabajo (en N).d : desplazamiento (en m).

FW : Trabajo de la fuerza "F".El trabajo se calcula como el producto escalar de F y d .

II. UNIDAD DEL TRABAJOLa unidad del trabajo que utilizamos con mayor fre-cuencia es el "Joule" que es el trabajo desarrollado poruna fuerza de un newton al mover su punto de apli-cación un metro en su propia dirección, esto es:

Joule = Newton x metro; 1 J = 1 N x mEl nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglésJames Prescott Joule (1818-1869), cervecero de profesión,pero a quien su acomodada posición económica, permitióhacer notables investigaciones en la física.Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la direccióndel movimiento, se puede observar como varía "F" enrelación a su posición "x" para luego graficar "F" vs "X".En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valoren cualquier posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente:

Al calcular el trabajo obtenemos:

1 2Fx x 2 1

desplazamiento

W = F x – x

Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:Área: 2 1F x – x .¡El área bajo la gráfica "F vs X" es numéricamente igualal trabajo!

1 2Fx xW Áreabajo lagráfica F x

A. Y ¿qué sucede si la fuerza no es constante?,¿sigue siendo el área bajo la gráfica igual altrabajo?Si la fuerza es de módulo variable pero de direcciónconstante, entonces, el área bajo la gráfica "F vs X"sigue siendo igual al trabajo, aunque en este casopuede que el área no sea de una región conocida.Los detalles de su demostración tienen que vercon una rama de la matemática llamada cálculodiferencial e integral, que no son motivo de nuestroestudio.En este caso el módulo de la fuerza toma distintosvalores para cada posición, sin embargo, el áreabajo la curva "F vs X" sigue siendo igual al trabajo.

variable1 3

Fx xW = Área

DESARROLLO DEL TEMA

TRABAJOExigimos más!

36LIBRO UNI FÍSICA

Para el caso de una dependencia lineal de "F" res-pecto de "X" se puede utilizar el concepto de fuerzamedia.

1 22 1

media

F +FÁrea = x - x

2

Área = F . d

B. Y ¿qué sucede si varía su dirección?

Respuesta: Si la fuerza es variable en dirección, elproblema es muy complejo y aún mayor si lo estambién en módulo, el análisis de este tipo de pro-blemas requiere del ya mencionado cálculo dife-rencial e integral para su solución. Pero no temastigre dentro de muy poco ingresarás a la universidady aprenderás a usar estas herramientas.

Sin embargo hay un caso más, el cual es muy sencillo,se trata del trabajo que desarrolla una fuerza cons-tante en módulo, dirección variable, pero tangentea la trayectoria (colineal con la velocidad).

En el gráfico, F es siempre tangente a la trayectoria,varía en dirección pero su módulo siempre es el mismo.

El trabajo que desarrolló F al trasladar su punto deaplicación de A hacia B se halla así:

F Const.

variableFABA BW F

III. TRABAJO TOTAL O NETO (Wneto)El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cualactúan varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizadospor cada fuerza independientemente de las demás:

NETO F F F2 31A B A B A B A BW W W W ...

Nótese que esta suma es escalar, los sumandos puedenser positivos, negativos o cero, lo mismo ocurre con elresultado.También se puede hallar el trabajo neto como el trabajode la fuerza resultante, así, si:

2 3R 1F = F +F +F +...

Nótese que es una suma vectorial, para obtener RFhay que tener bastante cuidado con las direcciones ylos módulos de cada fuerza.

RFNETOA B A B

NETOA B R

W W

W F dCos

• Si RF 0 (cuerpo en equilibrio) NETOW = 0

• Si el movimiento del bloque es uniforme (movimientoa rapidez constante).

F V

90ºR

=

NETOW = 0

Reflexión

Cuando se trata de hallar el trabajo hay que espe-

cificar muy bien quién es el que realiza el trabajo y

sobre quién se realiza. Así por ejemplo, si un joven

empuja un cajón sobre una superficie horizontal apli-

cándole una fuerza de 10 N y desplazándolo 3 m se

puede evaluar fácilmente el trabajo que éste desarrolla

sobre el bloque joven

sobre elbloqueW 30 J , sin embargo por la

tercera ley de Newton, durante el proceso, el cajón

ejerce una fuerza sobre el joven que tiene la misma

magnitud y de sentido opuesto a la que ejerce el joven,

tal es así que si hallamos el trabajo que realiza el cajón

sobre el joven sería joven

sobre elbloqueW 30 J .

TRABAJO

37LIBRO UNI FÍSICA

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FCajón FCajón

d

Jovensobrecajón

Cajónsobrejoven

W = –WFJoven = –FCajón

En general cuando un cuerpo "A" realiza un trabajo "W"sobre un cuerpo "B"; el cuerpo "B" realiza sobre el cuerpo"A" un trabajo "W" de signo contrario (por la fuerza dereacción, que tiene un sentido opuesto a la de acción).

IV. POTENCIALa definición de trabajo no mencionó el tiempo em-pleado, por ejemplo, si se quiere desplazar un bloqueuna distancia horizontal de 5 m mediante una fuerzahorizontal de 10 N el trabajo que se tiene que desarro-llar sería: FW =F d=10N (5m)=50 J independiente-mente de cuanto tiempo nos tardemos, pues podríaser 1 s, 1 día, 1 año, etc. Pero muchas veces necesita-mos conocer la rapidez con la cual se efectúa un traba-jo, esto se describe en términos de potencia que es eltrabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:

mTrabajo F dPotenciamedia= F VTiempo t

En general la potencia se puede expresar:

P F ... (**)

m m

instantánea instantánea

P P

P P

Si se tiene un mecanismo cuya potencia es determi-nada, la ecuación (**) muestra que cuanto menorsea mayor será la fuerza ejercida.

Eficiencia de una máquina ( )Toda máquina necesita de un suministro de potenciapara realizar algún tipo de trabajo, esto es, para desa-rrollar una potencia útil. Así se define la eficiencia deuna máquina como la razón entre las potencias útiles ala entregada a la máquina.

útil

entregada

PP

Note que la eficiencia es un número adimensional yque < 1 pues:

entregada útilP P

Esto es, toda la potencia que se entrega a una máqui-na no es aprovechada íntegramente por esta para rea-lizar trabajo, pues hay pérdidas por rozamiento quenormalmente se presencia en forma de calor (la má-quina se calienta). Por ejemplo, cuando conectas unalicuadora al toma-corriente (suministro de potencia),se entrega potencia a la licuadora y esta realiza trabajoal mover sus cuchillas, sin embargo notarás que el motorse calienta advirtiendo que hay pérdidas de potencia.Sin embargo se cumple:

entregada perdidaútilP P P

ObservaciónLa eficiencia se suele expresar también en términosde tanto por ciento esto es:

útil

entregada

P100%

P

TRABAJOExigimos más!

38LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1Un arandele puede deslizar por un ejesin fricción; hallar el trabajo realizadopor F

desde A hasta B. (AB = 10 m)

Nivel intermedio

A) 140 J B) 150 J C) 160 JD) 170 J E) 180 J

Resolución:De la definición

FW F.AB Cos=

F4W 20 10 160 J5

= =

Respuesta: C) 160 J

Observa que la solución es equivalentea descomponer la fuerza o eldesplazamiento con tal que rF //

.

Problema 2Hallar el trabajo del peso cuando la masam = 5 kg se dirige de "A" a "B" por latrayectoria mostrada. (g = 10 m/s2)

y =101

y =42

x =11 x =62

y

x

(m)

Nivel intermedio

A) 190 J B) 250 J C) 230 JD) 300 J E) 180 J

Resolución:Siendo la gravedad constante; eldesplazamiento en la dirección del pesoes 10 – 4 = 6 m.

mg 1 2W mg y y 5 10 6= – =

mgW 300 J=+Este resultado es general eindependiente de la trayectoria. mg 1 2W mgy mgy= –

Respuesta: D) 300 J

Problema 3Si solo el 20% de la potencia de unmotor fuera aprovechable, dicho motoreleva el bloque (m = 100 kg) convelocidad constante de 0,5 m/s. ¿Cuáles la potencia nominal que indica laetiqueta del motor?

Nivel intermedio

A) 1 090 W B) 2 500 WC) 2 300 J D) 3 000 WE) 1 800 J

Resolución:• Sea P. Entregada = 100 K

Como sólo se aprovecha el 20% P. Útil = 20 k y

P. Perdida = 80 k• Sabemos: P.útil = F . V

20 k = F . 12

F = 40 k; pero1 000 N = F = mg1 000 N = 40k

k = 25 P.Nominal = P.Entrega = 100k = 100(4) P.Nominal = 2 500 w

Respuesta: B) 2500 W

problemas resueltos

39LIBRO UNI FÍSICA

ENERGÍA

FÍSICA

Capacidad que posee un cuerpo o sistema de efectuartrabajo bajo ciertas condiciones.

I. ENERGÍA MECÁNICA

A. Concepto

Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, estoes transmitir movimiento mecánico.

B. Tipos de energía mecánica

1. Energía cinética (EK)

Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos.

2K

1E mV2

Donde:

m : masa del cuerpo (en kg)

V : rapidez del cuerpo (en m/s)

EK: energía cinética (en J)

2. Energía potencial (Ep)

Es la energía que tienen los cuerpos y que estáasociada a la interacción con otros cuerpos, estoes, depende de su ubicación o posición frentea otros cuerpos. Estudiaremos las siguientesclases de energía potencial.

• Energía potencial gravitatoria (Epg)

Si dicha posición es una altura respecto ala tierra o a cualquier nivel de referencia,donde se asume dicha energía como nula.

N.R.Epg = 0

h

g = cte E = mghpg

Donde:

m: masa del cuerpo (en kg)

h: altura (en m)

g: aceleración de la gravedad (en m/s2)

Epg: energía potencial gravitatoria (en J)

Observación:

La "Epg" es relativa; pues depende del nivelde referencia que se tome como cero.

• Energía potencial elástica (Epe)

Si dicha posición es una desviación respectoa una posición de equilibrio, la presentanco-múnmente los cuerpos elásticos cuandoson deformados.

DESARROLLO DEL TEMA

ENERGÍAExigimos más!

40LIBRO UNI FÍSICA

21Ep Kx2

Donde:

x: deformación del resorte (en m).

K: constante de fuerza del resorte en (N/m).

Epe: energía portencia elástica (en J).

En conclusión

La energía mide las diversas formas de movi-miento e interacción de las partículas queconforman un sistema.

C. Relación entre el trabajo y la energía

El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este ad-quirió energía cinética.

La " kf " realiza sobre el bloque trabajo (–) reduciendosu energía cinética.

Sea en el ejemplo anterior: WJoven = 100 J y fk = –30 J.

La "EK" que adquiere el bloque al final será EKf = 70 J,

esto es: xk Joven fE =W +W

La f x0K K Joven fE E = W + W

Generalizando:

Teorema de la energía cinética:

Neto KW =ΔE 0Neto Kf KW = E – E

1. Fuerzas conservativas

Son aquellas fuerzas cuyo trabajo está asociado

a una función potencial, esto es, su trabajo

puede expresarse como una diferencia de ener-

gías potenciales en sus puntos final e inicial in-

dependientemente del trayecto seguido. Las

fuerzas conservativas más comunes son:

• Fuerza de gravedad asociada a la Epg.

• Fuerza elástica asociada a la Epe.

F.conservW Ep

F.conservo fW Ep Ep

ENERGÍA

41LIBRO UNI FÍSICA

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2BmVm(0)2mg(25) mg(15)

2 2+ = +

2BmV

mg(25) mg(15)2

= +

2BV

10g2

=

BV 2.10.9, 8=

Respuesta: A) VB = 14 m/s

Problema 1Si la esfera es soltada en el punto "A",¿con qué velocidad pasará por el punto"B"?No considere rozamiento.

15 m25 m

A

B

Nivel de referencia

UNI

Nivel intermedio

A) VB = 14 m/sB) VB = 12 m/sC) VB = 20 m/sD) VB = 24 m/sE) VB = 10 m/s

Resolución:Como no actúan fuerzas noconservativas se cumple:

PG(A) C(A) PG(B) C(B)E E E E+ = +

2 2A B

A BmV mV

mgh mgh2 2

+ = +

Observación:

A la suma de las energías cinética y potencialen un sistema se denomina energía mecánicatotal del sistema.

Esfera Esfera ResorteM K pg peE E E E

2. Casos en que se conserva "EM"

Si EM = cte solo deben realizar trabajo lasfuerzas conservativas.

A B C DM M M ME E E E

Caso especial

De la conservación de la energía mecánica:

Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzasconservativas y no conservativas tenemos:

F.conserv F.no conservK

EpW W E

f

F.N.conservK p

K p

M M Mo

W E E

E E

E E E

F.N. conservMW E

problemas resueltos

ENERGÍAExigimos más!

42LIBRO UNI FÍSICA

Problema 2

Determine la energía cinética delcuerpo mostrado de 2 kg.

4 m/s

UNI

Nivel fácil

A) 14 J B) 16 J C) 12 J

D) 10 J E) 8 J

Resolución:

2C

1E mv2

= 21 .2, 42

= = 16 J

Respuesta: B) 16 J

Problema 3

Hallar la mínima velocidad que se ledebe imponer al bloque para quellegue a la parte superior del planoinclinado liso de altura 5 m.

(g = 10 m/s2)

V0

5 m

UNI

Nivel intermedio

A) 4 m/s B) 9 m/s

C) 10 m/s D) 6 m/s

E) 8 m/s

Resolución:

Vemos que no está presente la energíapotencial elástica (¿por qué?) y comono hay rozamiento ni otra fuerza noconservativa, entonces la energíamecánica se conserva.

C PG C PG1 1 2 2E E E E+ = +

20v

m 0 0 mgh2

+ = +

M0v 2gh=

0mv 2 10 5 10s

= =

Respuesta: C) 10 m/s

43LIBRO UNI FÍSICA

IMPULSO

FÍSICA

I. CANTIDAD DE MOVIMIENTOLlamada también momentum lineal, es una magni-tud vectorial que nos caracteriza el movimiento de tras-lación una partícula, esto es, la cantidad de movimien-to, es la medi-da vectorial del movimiento de una par-tícula y se define como el producto de su masa por suvelocidad.

P

vm

P mv

Donde:m: masa de la partícula (en kg)V : velocidad de la partícula (en m/s)P : cantidad de movimiento de dicha partícula (en kg m/s)

La velocidad y la cantidad de movimientotienen la misma dirección

¿Cuál es el significado físico de la cantidadde movimiento?

Para averiguarlo veamos el siguiente caso:Un ciclista y un trailer avanzan con distintas velocidadeshacia un poste. De lo dicho anteriormente, se observaque el trailer tiene una mayor cantidad de movimientoque el ciclista, pues tiene una mayor velocidad y masa.

¿Qué sucederá?Se observa que el joven es fácilmente detenido, sinembargo, el trailer continuará su avance... ¿Continuarácon la misma rapidez?

Esto es: fue más difícil detener al trailer. ¿Por qué?Porque tenía mayor cantidad de movimiento

Exactamente, la cantidad de movimiento esuna medida de la dificultad de llevar a una partícula, que se está moviendo,

hasta el reposo.P Medida de la inercia

ObservaciónTal vez estás pensando que este concepto parecemucho al de inercia y estás en lo cierto, pues la canti-dad de movimiento depende de la masa (esto es desu inercia), sin embargo, no confundas, todo cuerpoque posee masa tiene inercia, pues es una propiedadinherente de la materia, pero la cantidad de movi-miento sólo la poseen los cuerpos que tienen veloci-dad; así, si el trailer estuviese detenido y el ciclistamoviéndose, el ciclista tendría mayor cantidad de mo-vimiento que el trailer, pues su velocidad es nula:

P mv m(o) 0

DESARROLLO DEL TEMA

IMPULSOExigimos más!

44LIBRO UNI FÍSICA

A pesar de que el trailer tiene mayor inercia por po-seer mayor masa.La resistencia que ofrece un cuerpo, en movimiento,a ser detenido, esto es, la tendencia que posee a con-servar dicho movimiento depende tanto de su masacomo de su velocidad o mejor dicho de su cantidad demovimiento.

¡No olvides!La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial.

• AP 20i kg m / s

• BP 16i 12j kg m / s

• CP 20j kg m / s

Observamos: A B CP P P

Aunque tengan igual módulo: A B CP P P 20kg m / s

II. CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNSISTEMA DE PARTÍCULASSea el siguiente sistema de partículas.

• 1 1 1P m V

• 2 2 2P m V

• 3 3 3P m V

Sistema 1 2 3P P P P

Generalizando para "n" partículas:

nSistema 1 2 3 n

i 1P Pi P P P .... P

nSistema n1 2 3 3 n1 2

i 1P mi Vi m V m V m V .... m V

Recuerda: n1 2 n1 2CMn1 2 3

m V m V .... m VV

m m m .... m

sistema CMtotalde sistemaP M V

Sabemos que la aceleración del centro de masa (CM)solo se ve afectada por las fuerzas externas al sistema.

De ello tenemos:

Si la externas 0F CM externas

totalalsistema

Fa 0M

Esto es: CMV Cte

nsistema CMtotaldelsistema i i

i 1P M V m v constante

Ley de conservación de la cantidad de movimiento"Si la fuerza externa resultante ejercida sobre unsistema es igual a cero, la velocidad del centro de masasdel sistema es constante (se conserva)".

Observación:Se aplica a cualquier sistema aislado de sus alrededoresque por tanto está libre de fuerzas exteriores.Es más aplicable que la ley de conservación de la ener-gía mecánica debido a que las fuerzas internas ejerci-das por una partícula del sistema sobre otra, son fre-cuentemente de naturaleza no conservativas.Así pues, pueden hacer variar la energía mecánica totaldel sistema, pero como estas no afectan al CM, la can-tidad de movimiento del sistema se conserva.

Si la externas 0F

externasCM

Totaldel sistema

Fa 0M

Esto es: CMV Cte

sistemaP Cte

III. IMPULSO ( )IYa hemos visto anteriormente que es posible transmitirlemovimiento mecánico a un cuerpo mediante una fuerza,la cual se mide en términos del trabajo realizado.

IMPULSO

45LIBRO UNI FÍSICA

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Pero también es posible dicha transmisión en términosdel impulso (I); una magnitud vectorial que nos mide latransmisión temporal del movimiento.Así por ejemplo, al golpear la bola blanca con el taco,en un juego de billar, ejercemos una fuerza duranteun intervalo de tiempo, relativamente corto; el movi-miento que podemos transmitirle dependerá tanto dela magnitud y dirección en que apliquemos la fuerza,así como del tiempo que dure el contacto taco-bola.

Veamos el caso de una fuerza constante que actúasobre un cuerpo durante cierto intervalo de tipo " t ".

El impulso se define como: I F t . El impulso tienela dirección de F .

Donde:F : fuerza constante (en N)t : intervalo de tiempo (en s)

I : impulso de la fuerza F (en N.s)

ObservaciónEl impulso tiene la capacidad de generarle variación enla cantidad de movimiento de un cuerpo.

Esto es, si hay una P es debido a un impulso.

P I

Observación:El impulso tiene las mismas unidades que las de la can-tidad de movimiento:

xx 2mN s kgs

x s = kg x m/s

Esto significa que es posible expresar una magnituden función de la otra. ¡Existe una relación entre P e I !Si graficamos F vs t obtenemos:• Se observa que F es constante a través del tiempo.• Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:

f oF t t esto es, ÁREA = F t .

¡El módulo del impulso es numéricamente igual al áreabajo su gráfica!

Aunque esta relación la hallamos para F Cte es, engeneral, válida si F varía en módulo, pero no en dirección.Para una fuerza de módulo variable pero de direcciónconstante, se tiene:

Área = |Impulso|

Nota: Una fuerza media (Fm) es una fuerza constanteque genera en igual tiempo un impulso equivalente auna fuerza variable.

A. Relación entre I y PLa partícula cambia su velocidad y por tanto su cantidadde movimiento debido a la fuerza resultante RF .

Luego: RF ma

Esto es: f oR

V VF mt

of

f oR

I P P

F t m V m V

Esto es: el impulso resultante sobre una partículaes igual al cambio en su cantidad de movimiento.


46LIBRO UNI FÍSICA

IV. TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTI-DAD DE MOVIMIENTOLuego:

R RF t I P

Observa: RPFt

Esto es equivalente a la 2.a Ley de Newton, pero esmás general.

O también:

x xf o xRm V m V F t

f o RmV mV I

Esto tiene algunas implicancias muy interesantes. Vea-mos; si estuvieses en un auto al cual se le malograronlos frenos y al tratar de detenerte sólo tiene dos op-ciones: colisionar contra un muro de concreto o con-tra una montaña de paja, ¿cuál caso escogerías?, ¿encuál de ellos la fuerza media que recibirías sería menor?

En cualquiera de los dos casos la variación de la cantidadde movimiento sería:

0 fP P P y 0P mV

O sea, el impulso que recibirá en cualquiera de los casossería el mismo.Esto es:

muro pajaI I ....

Pero nota que la interacción del auto al chocar con lapaja es más prolongado, luego:

paja murot t por ello muro pajaF f

Observa el gráfico y la ecuación ( ):

muro pajamuro pajaF t f t

muro pajat t

muro pajaF f

Esto significa que si en un accidente de tránsito elchoque es más prolongado (dura más tiempo) la fuerzamedia que reciben los afectados es menor; es más, espor esta razón que se instalan sistemas de bolsas deaire y se usan los cinturones de seguridad en losautomóviles.

Ahora razona y responde

Si en el caso anterior solo tuvieras la opción de ir contrael muro, en qué caso te podría ir mejor si estás en unauto FORD año 50 (con chasis de acero) o en un TICOaño 2003 (con chasis de lata) ...

¿Ahora entiendes porque en los autos modernos, alser diseñado, se desea que la parte delantera sea lomás blanda posible?

ReflexiónHasta ahora hemos medido el movimiento de dosformas:

Hemos medido la transmisión del movimiento mecánicode dos maneras.

Además observaLa transmisión de movimiento se puede expresar comouna variación de movimiento.

IMPULSO

47LIBRO UNI FÍSICA

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V. CHOQUES O COLISIONESInteracción entre dos o mas cuerpos de muy de muycorta duración, durante la cual se da un intercambiode energia y cantidad de movimiento:

A BA

BVB

VAVo

Características de los choques:

a) Tomando como sistema los cuerpos que chocan,las fuerzas entre ellos son fuerzas internas y por lotanto no modifican la cantidad de movimiento delsistema:

A.C D.CP P Const.

b) Entre los cuerpos que colisionan se ejercen fuerzasque alcanzan valores muy altos durante intervalos

de tiempo muy pequeños, denominadas fuerzasimpulsivas.

c) Ley de Newton para los choques: Para un choquedierecto y central (unidimensional) la velocidadrelativa de separación después del choque, esproporcional a la velocidad relativa de acercamiento,antes del choque:

Vo

AVo

A A AVFA

VFBA B

B A

A B

F F

o o

V Ve Const.

V V

Coeficiente de restitución (0 < e < 1)

El coeficiente de restitución depende de la naturalezade los cuerpos que chocan, teniendose los sigueintescasos:e = 1 C. perfectamente elásticoe = 0 C. perfectamente inelástico o plástico

B AF FV V


48LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

Una bola de 50 g de masa moviéndo-se con una rapidez de 10 m/s en ladirección +x, choca frontalmente conuna bola de 200 g en reposo, siendoel choque inelástico. Si el coeficientede restitución es 0,5. Calcule las velo-cidades, en m/s, de la bola incidente yla de la bola que estaba en reposo,después del choque.

UNI 2010 - I

A) 2 i; i B) 2i;2 i C) 2 i;3 i

D) i; 3 i E) i;3 i

Resolución:

Operación del problema

DCH

ACH

Vrelat v1eVrelat 2 10

v 5m/s ............

ahora: inicial finalP P

50 10 200 50v

10 4 v ............

Relacionando y

3m/s =3 im/s

v 2 m/s v =-2 im/s

Respuesta: C) 2i;3i

Problema 2

Dos masas de plomo idénticas:

ecalC 0,03g C

que están sujetas por hilos de 2 m delongitud de cada uno, se las deja caer

desde el reposo a partir de la posiciónhorizontal A. Las dos masas chocan enla posición B de manera completamenteinelástica, quedando en reposo. Con-siderando que toda la energía en elchoque se ha transformado en calor,¿cuál es la temperatura de las masas(en °C) después del choque? La tem-peratura inicial de cada masa es 20 °C.

(1 cal = 4,18 J, g = 9,81 m/s2)

UNI 2009 - I

A) 18,15 B) 19,15

C) 20,15 D) 21,15

E) 22,15

Resolución:

Cambiando las unidades del Ce:

2e e3

4,186J JC 3.10 . C 30 4,186kgºC10

Como las masas adquieren cantidadesde movimiento de igual valor pero sen-tidos opuestos, las masas quedan enreposo. Toda la energía potencial seconvierte en calor:

Ep Q 2 m gh Ce 2 m T

e

9, 81 2ghTC 30 4,186

TF – 20 °C = 0,15 °C

TF= 20,15 ºC

Respuesta: C) 20,15 ºC

Problema 3

Para detener un carro de 2000 kg demasa, que se mueve en línea recta a25 m/s, se le aplica una fuerza cons-tante durante 2 segundos, quedandoel carro en reposo. Calcule la magni-tud del impulso que recibe el carro,en 104 N.s, durante los 2 segundos.

UNI 2008 - II

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

Resolución:

Ubicación de incógnita

Realizamos un gráfico que nos ayude ala solución del problema y designamospor I el impulso que recibe el carro.

Análisis de los datos o gráficos


Del teorema del impulso y la cantidadde movimiento tenemos:

o| I | m | V | 2000 kg 25m/s

4| I | 5 10 kg m/s

Nota:El dato del tiempo no era necesarioser usado.

Respuesta: C) 45 10 kg m/s

problemas resueltos

49LIBRO UNI FÍSICA

MOVIMIENTO ARMÓNICOSIMPLE

FÍSICA

I. IMPORTANCIAEl estudio del oscilador armónico constituye en Físicaun capítulo muy importante, ya que son muchos lossistemas físicos oscilantes que se dan en la naturalezay que han sido producidos por el hombre.

II. OBJETIVOS• Analizar el M.A.S. como un movimiento periódico y oscilatorio.• Analizar los valores de la energía cinética, potencial

y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuandola partícula pasa por el origen y por las posicionesde máximo desplazamiento.

• Definir e identificar las principales magnitudes físicasque intervienen en un M.A.S.

III. HISTORIASabemos que una de las propiedades más importantes de lamateria es el "movimiento" y en la naturaleza, este se pre-senta en distintas formas; en algunos casos, bastante senci-llas de analizar como por ejemplo: el movimiento de un autoo en otros casos más complejos de analizar como por ejem-plo el movimiento de las moléculas que forman la sustancias.Con respecto a este último caso, el movimiento de las molé-culas de una sustancia sólida es un caso de mucha compleji-dad, pero esa complejidad disminuye considerablementecuando hacemos uso de un modelo que se asemeje muchoa lo que en realidad está ocurriendo y en ese sentido elmovimiento armónico simple (M.A.S.) es de gran utilidad.Los resultados teóricos que se obtienen al asumir que las mo-léculas en un sólido desarrollan un M.A.S. son muy próximos alos resultados que se obtienen en forma experimental.Y en física, la validez y por ende la aceptación de un modelo, estáen función de cuanto se asemeje a lo que realmente ocurre yeso lo determinan los resultados. Con esto podemos compren-der la gran importancia del estudio de este movimiento.Pero el M.A.S. no sólo sirve como modelo para explicar algunosmovimientos microscópicos sino también algu-nos macroscópicos,como los movimientos sísmicos y en general los movimientosondulatorios. Así por ejemplo: las ondas mecánicas como elsonido y las ondas que se generan al sacudir una cuerda, sonestudiados y descritos mediante el M.A.S. pero también lasondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisiónson descritos mediante este modelo.Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya quepermite comprender algunos de los movimientos oscilatoriosmás complejos que se presentan en la naturaleza.

IV. DEFINICIÓN

A. Movimiento periódicoMovimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo.

B. Movimiento oscilatorioEs aquel movimiento en el cual el cuerpo se muevehacia uno y otro lado respecto a una posición deequilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.

C. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)Es aquel movimiento rectilíneo, oscilatorio y perió-dico donde su aceleración siempre señala hacia laposición de equilibrio.

x(-)

V=0 a Vmáx a V=0

X(+)

(-)A A(+)

Q P

P.E.

P, Q: ExtremosP. E: Posición de equilibrio o punto medio, de PQ.

1. Oscilación simpleEs el movimiento que realiza un cuerpo al ir deuna posición extrema hasta la otra (ABCD).

2. Oscilación doble o completaEs el movimiento que realiza un cuerpo en ir deuna posición extrema a la otra y luego regresara la primera (ABCDCBA).

3. Período (T)Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizaruna oscilación completa.

4. Frecuencia (f)Es el número de oscilaciones completas que realizaun cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T).

DESARROLLO DEL TEMA

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLEExigimos más!

50LIBRO UNI FÍSICA

5. Elogación (x)Es la distancia existente entre la posición de equi-librio y el cuerpo en un instante cualquiera.

6. Amplitud (A)Es la distancia existente entre la posición de equi-librio y cualquiera de las posiciones extremas.

Propiedad

T: periodo

w = 22 fT

w: Frecuencia angular del M.A.S, w es constante.

V. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE UNAPARTÍCULA EN M.A.S SOBRE EL EJE X

A. Posición (x)x(+) = xmáxSen (wt + )xmáx = A

B. Velocidad (v)

v(+) = vmáxCos (wt + )vmáx = wA

C. Aceleración (a)

a(+) = amáxSen (wt + )amáx = w2A

Donde:• (wt + ): fase, es el argumento de la función

armónica (en radianes).• : fase inicial, es un ángulo que nos indica el

punto (x) donde se empieza a medir el tiempo(t0 = 0).

Propiedades

1. x2 + 2

2v Aw

2. Vmáx = wA (en la P.E. x = 0)Vmin = 0 (en los externos, x = 4)

3. amáx = w2A (en los externos)amin = 0 (En la P.E., x = 0)

Problema 1Una partícula tiene un movimientoarmónico simple. Si su rapidez máxima esde 10 cm/s y su aceleración máxima esde 25 cm/s2, calcule aproximadamenteel producto de su amplitud por el períododel movimiento en (cm. s).

UNI 2012 - IIA) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

Resolución:Sabemos que en el M.A.S. la velocidadmáxima y aceleración máxima se danen diferentes posiciones delmovimiento oscilatorio.• MÁXV .A 10 A• 2 2

MÁXa .A 25 .A

Tomando las ecuaciones anteriores ydividiendolas:

10 125

rad2.5 A 4 cm....s

Pero: 2T

2 2T ...................

2.5

Nos piden el producto de el periodocon la amplitud, entonces las ecuaciones

y serán multiplicadas: 2A.T 4.

2,5 A.T. 10,048

Respuesta: E) 10

Problema 2Un péndulo simple tiene un período de 1,5 ssobre la superficie de la Tierra. Cuando se lepone a oscilar en la superficie de otro planeta,el período resulta ser de 0,75 s. Si la masa deeste planeta es 100 veces la masa de la Tierra,el cociente entre el radio del planeta y elradio de la Tierra, (Rp/RT), es:A) 2 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

UNI 2011 - I

Resolución:RP/RT

Análisis de los datos o gráficosEn la Tierra: En el planeta P:TT = 1,5s Tp = 0,75

Usando: LT 2 RGM

...(I)

Siendo: R: Radio del planetaG: Constante universalM: Masa del planetaL: Longitud del pénduloT: Período

Nos piden:

Pp

TT

T

L2 RT GMpT L2 R

GM

PT

TT

L2 RG(100M )0, 75

1,5 L2 RGM

P

T

R5

RRespuesta: C) 5

Problema 3Un sistema masa-recorte oscila de maneraque la posición de la masa está dada por x 0,5 sen(2 t), donde t se expresa en

segundos y x en metros. Halle la rapidez,en m/s, de la masa cuando x = –0,3 m.A) 0, 2 B) 0, 4 C) 0, 6D) 0, 8 E)

UNI 2010 - IResolución:Ecuación de la posición: x = ASen (wt)

x = 0,5 Sen(2 t)Sabemos:

2 2V A x 2 2V 2 0,5 (0,3) V 2 0, 4 V = 0,8 m/s

Respuesta: D) 0,8 m/s

problemas resueltos

51LIBRO UNI FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES -ENERGÍA DE UNA ONDA

FÍSICA

Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos ex-perimentando un movimiento ondulatorio. Los rizos en unestanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros so-nidos que no podemos oír, los movimientos de un resortelargo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son fenó-menos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que unsistema es perturbado de su posición de equilibrio y cuandoes perturbado puede viajar o propagarse de una región delsistema a otra. El sonido, la luz, las olas del mar, la transmi-sión de radio y televisión, y los terremotos, son fenómenosondulatorios. Las ondas son importantes en todas las ramasde la física y la biología; de hecho, el concepto de onda esuno de los hilos unificadores más importantes que corren portoda la tela de las ciencias naturales.En este tema se tratan las ondas mecánicas, ondas queviajan dentro de algún material llamado medio.No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia esla de las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz, lasondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayosx, los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no nece-sitan un medio; pueden viajar por el espacio vacio.Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comporta-miento tipo onda de las partículas atómicas y subatómicas.Este comportamiento forma parte de los cimientos de lamecánica cuántica, la teoría básica que se usa para analizarla estructura atómica y molecular. Volveremos a las ondaselectromagnéticas en clases posteriores. Mientras tanto,podemos aprender el lenguaje esencial de las ondas en elcontexto de las ondas mecánicas.

I. ONDAS MECÁNICASObservemos una pequeña piedra que cae desde ciertaaltura hacia la superficie de un lago con agua tranquila.

Al incidir la piedra en la superficie del agua, vemos queésta experimenta una perturbación, la cual se propa-ga en toda la superficie del agua. Por lo tanto decimosque se ha generado una ¡Onda!Una onda mecánica es una perturbación que viaja porun material o sustancia que es el medio de la onda. Alviajar la onda por el medio, las partículas que forman elmedio sufren desplazamientos de varios tipos, depen-diendo de la naturaleza de la onda.

II. TIPOS DE ONDALa Fig. 1 muestra variedades de ondas mecánicas. Enla Fig. 1a el medio es un hilo o cuerda tensado. Siimprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudi-da hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo del hilo.Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento quedimos al extremo, pero en instantes posteriores suce-sivos. Dado que los desplazamientos del medio sonperpendiculares o transversales a la dirección en quela onda viaja por el medio, decimos que se trata deuna onda transversal.

Fig. 1 (a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y re-gresa, produciendo una onda transversal.(b) El pistón comprime el líquido o gas y regresa, pro-duciendo una onda longitudinal.(c) La tabla empuja a la derecha y regresa, producien-do una suma de ondas longitudinal transversal.

DESARROLLO DEL TEMA

52LIBRO UNI FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA

En los 3 casos la onda solitaria se propaga a la derecha.En la Fig. 1b el medio es un líquido o gas de un tubocon un pared rígida en el extremo derecho y un pis-tón móvil en el izquierdo. Si damos al pistón un solomovimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplaza-miento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largodel medio. Esta vez los movimientos de las partículasdel medio son en la misma línea en que viaja la onda ydecimos que se trata de una onda longitudinal.En la Fig.1c el medio es agua en un canal, como unazanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de laizquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alte-ración ondular viajará a lo largo del canal. En este casolos desplazamientos del agua tienen componentes tantolongitudinal como transversal.Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equi-librio. Para la cuerda estirada, es el estado en que elsistema está en reposo, tendido en línea recta. Para elfluido en un tubo, es un estado en que el fluido estáen reposo con presión uniforme, y para el agua enuna zanja es una superficie lisa y plana de agua. Encada caso el movimiento ondulatorio es una alteracióndel estado de equilibrio que viaja de una región delmedio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden arestablecer el sistema a su posición de equilibrio cuan-do se le desplaza, al igual que la gravedad tiende allevar un péndulo hacia su posición de equilibrio cuan-do se le desplaza.Estos ejemplos tienen tres cosas en común. Primera,la perturbación siempre viaja o se propaga por el me-dio con una rapidez definida llamada rapidez de propa-gación o simplemente rapidez de la onda, determina-da en cada caso por las propiedades mecánicas delmedio. Usaremos el símbolo "V" para esta rapidez. (Larapidez de la onda no es la rapidez con que se muevenlas partículas cuando con movidas por la onda).Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; suspartículas individuales realizan movimientos alrededor desus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configura-ción global de la perturbación ondulatoria. Tercera, paraponer en movimiento cualquiera de estos sistemas, de-bemos aportar energía realizando trabajo mecánico so-bre el sistema. La onda transporta esta energía de unaregión del medio a la otra. Las ondas transportan ener-gía, pero no materia, de una región a otra.

III. ELEMENTOS DE UNA ONDA

Ay

x

VPy

x

Y: DesplazamientoA: Amplitud (Ymax) : Longitud de ondaT : Periodof : FrecuenciaT: sf : hertz

1fT

Velocidad de propagación

V fT

IV. ECUACIÓN DE UNA ONDASi las partículas del medio tienen movimiento armónico,entonces la onda se rige por la siguiente ecuación:

t xY Asen2T

Y Asen (wt kx)

(–) Si la onda se propaga a la derecha.(+) Si la onda se propaga a la izquierda.

Cuando una onda choca con la frontera de su medio,se reflejan parcial o totalmente. Si gritamos hacia la pa-red de un edificio o un alcantarillado que ésta a ciertadistancia, la onda sonora se refleja la superficie rígida, yregresa un eco. Si sacudimos el extremo de una cuerdacuyo otro extremo está atado a un soporte rígido, unpulso viaja a lo largo de la cuerda y se refleja hacia noso-tros. En ambos casos la onda inicial y reflejada se solapanen la misma región del medio. Este solapamiento deondas puede producir una interferencia.

Si hay dos puntos o superficies de frontera, como enuna cuerda de guitarra que ésta sujeta por ambos ex-tremos, obtenemos reflexiones repetidas.

En tales situaciones observamos que solo pueden ocu-rrir ondas seniodales para ciertas frecuencias especialesdeterminadas por las propiedades y dimensiones delmedio. Estas frecuencias especiales y las correspondien-tes configuraciones de ondas se denominan modosnormales. Los tonos de la mayor parte de los instru-mentos musicales están determinados por las frecuen-cias de los modos normales también explica por quésentimos que cantamos mejor en la ducha y por qué lavoz amplificada de un cantante profesional puede rom-per una copa de cristal si canta la nota correcta.

V. INTERFERENCIAS DE ONDASEs un fenómeno que consiste en el reforzamiento odestrucción de las ondas cuando se superponen.Dos trenes de ondas distintos procedentes de diferen-tes centros de vibración que concurren simultáneamenteen cierta región, se superponen propagándose como sino hubieran superpuestos (principio de superposición).

53LIBRO UNI FÍSICA


Superposición de los dos pulsos. El desplazamiento del pulso

combinado es la suma de los desplazamientos individuales.

La superposición de dos pulsos iguales y opuestos.

(A) antes de la anulación completa.

(B) anulación completa.

VI. VELOCIDAD DE LAS ONDAS EN UNACUERDAPara el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondasmecánicas solo depende de las propiedades del mediopor el que se propaga la perturbación.Nosotros enfocaremos la atención en la determinación dela rapidez de un pulso que viaja sobre una cuerda estirada.Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad delongitud es la rapidez V de la onda está dada por:

VT M

L

M TVL

T : Tensión (N) : Densidad Lineal (kg/m)

¡No olvidemos!Una onda es una perturbación, del equilibrio que viaja,o sea propaga, de una región del espacio a otra. Larapidez de propagación se denomina rapidez de la onda.Las ondas pueden ser transversales, longitudinales ouna combinación de ambas.En una onda periódica, la perturbación en cada puntoes una función periódica del tiempo, y la configuraciónde la perturbación es una función periódica de la dis-tancia. Una onda periódica tiene una frecuencia y lon-gitud de ondas definidas. En las ondas periódicas se-noidales cada partícula del medio oscila en movimientoarmónico simple.La función de onda sitúa cada punto en el medio enque se propaga la onda en cualquier instante.

VII.ENERGÍA DE ONDAS

A. Velocidad de las ondasLa velocidad de propagación de las ondas mecáni-cas depende de las propiedades del medio en elcual se propaga la onda. En el caso de una ondaque viaja en una cuerda tensada, el valor de suvelocidad depende de la tensión (F) y de su masapor unidad de longitud ( ).

F masaV ;longitud

Cuando una onda viaja a través de un medio, trans-porta energía capaz de realizar un trabajo. La po-tencia transmitida por una onda está dada por lasiguiente ecuación:

2 21Potencia A v2

B. Superposición de ondasEs un hecho experimental que, en muchas clasesde ondas dos o más de ellas pueden propagarseen un mismo medio en forma independiente, esdecir, ninguna onda afecta a la otra. El hecho quelas ondas actúen independientemente quiere de-cir que todo punto que sea alcanzado simultánea-mente por dos o más ondas sufrirá un desplaza-miento igual a la suma vectorial de los desplaza-mientos individuales que las ondas proporcionan.Este proceso de adición vectorial de los desplaza-mientos de una partícula se llama superposición.

C. InterferenciaLa palabra interferencia se refiere a los efectos físi-cos que resultan al superponer dos o mas trenesde onda. Para que se dé una interferencia que novaríe con el tiempo (estacionaria) se requieren lassiguientes condiciones:1. Las ondas deben ser la misma naturaleza.2. Las ondas deben poseer la misma frecuencia

(velocidad).

F1

F2d2

d1 P

Consideremos dos ondas de la misma amplitud "A" yfrecuencia "f" al cabo de un cierto tiempo recorriendola misma distancia. La suma de las elongaciones Y = y +y' en la figura muestra que se obtiene una onda sinusoidalde la misma frecuencia, pero de amplitud "2A".Esto implica que la intensidad de la onda resultante esel cuádruple de una cualquiera de las ondas que sesuperponen.

54LIBRO UNI FÍSICA


A yd1

d2

d2

d12A

A y'

Y

Notemos que se obtiene el mismo resultado si lasdos ondas tienen entre sí una diferencia de camino

d , igual a un número entero de longitud de onda

: d N N = 0, 1, 2, 3, ...

En este caso se dice que las ondas llegan en fase alpunto "P" y que se produce una interferencia cons-tructiva.

A yd1

d2

d2

d12A

A y'

Y

Si las 2 ondas tienen entre sí una diferencia decaminos iguales a / 2 , la suma de las elongacioneses siempre cero. Luego la intensidad de la ondaresultante es nula. Observemos que el mismo efectose obtiene si la diferencia de camino es un númeroimpar de / 2 , es decir: d (2N 1) / 2 .(N = 1, 2, 3, ...)

A yd1

d2

d2

d1

A y'

Y

/2

En este caso se dice que las ondas llegan al punto"P" en oposición de fase y que se produce unainterferencia destructiva.

A yd1

d2

d2

d1

A y'

Y

d=(2 /2+1)

Si las amplitudes de las ondas son diferentes, seobtiene una onda de igual frecuencia pero de am-plitud igual a la diferencia de las amplitudes de lasondas.

VIII. ONDAS ESTACIONARIAS

Estas ondas se obtienen mediante la superposición de2 ondas de igual frecuencia y amplitud que se propaganen direcciones opuestas. Las ondas estacionariaspresentan las siguientes características:

1. No todos los puntos vibran, existen puntos cuyomovimiento es nulo. Denominados nodos.

2. La distancia entre dos nodos consecutivos es unasemi-longitud de onda ( / 2) .

3. Todos los puntos vibran con la misma frecuencia yfase pero con diferentes amplitudes. La amplitudde la partícula correspondiente depende de su po-sición, llamándose antinodos a los puntos de máxi-ma amplitud.

4. Las ondas estacionarias se establecen para ciertasfrecuencias, las cuales dependen de las caracterís-ticas del sistema oscilante.

Para el caso de una cuerda vibrante de longitud "L"cuyos extremos se encuentran fijos los posibles va-lores de la longitud de onda estan dados por:

2LN

=

Por lo que las correspondientes frecuencias son:

vf N2L

=

donde: N = 1, 2, 3, ...

Cuando N = 1, se obtiene la frecuencia conocidacomo, frecuencia fundamental (f1).

55LIBRO UNI FÍSICA


Problema 1

Se tiene una onda armónica que viajahacia la derecha; Ymax e Ymin son lospuntos más altos y más bajos de la onda;se observa que Ymáx – Ymin = 4 m;para "t" fijo se observa que la distan-cia entre crestas consecutivas es 2 my para x fijo se observa que la ondaoscila con una frecuencia de 3 Hz.Determine la ecuación de la onda sa-biendo además que Y(0,0) = 0.

UNI 2011 - I

A) 1Y(x, t) 4sen x t3

B) Y(x, t) 4sen x – 3t

C) x 1Y(x, t) 2sen – t3 2

D) Y(x, t) 2sen x – 6t

E) xY(x, t) 2sen t3 2

Resolución

Ubicación de incógnita

Ecuación de la onda: Y(x; t)

Análisis de los datos o gráficosDel texto:

02m

f 3Hz

Operación del problemay(x, t) = Asen(kx – cot + )

y 0, 0 0 0 sen 0

Conclusión y respuestay(x, t) = 2sen( x – 6 t)m

Respuesta:D) y(x, t) = 2sen( x – 6 t)m

Problema 2En la figura se muestran 2 fotos tomadasen los instantes t1 = 10 m/s y t2 = 15 m/s,a una onda viajera que se desplaza através de una cuerda a lo largo del ejex. Si se sabe que t2 – t1 < T, siendo Tel periodo de oscilación de la onda, de-termine su rapidez de propagación (enm/s). (1 m/s = 10–3 s)

UNI 2010 - IIA) 15 B) 20C) 30 D) 40E) 50

Resolución:Ubicación de incógnitaRapidez de la onda V.

Análisis de los datos o gráficos

–32 1

2 1

• t – t 5 10 s

• t – t T

• 20 cm


2 1–3

VT

T 2 t – t

T 10 x10 s

Reemplazando:

–220 x 10V –310 x10

20 m/s

Respuesta: B) 20 m/s

Problema 3Las ecuaciones de 3 ondas viajeras es-tán representadas por:

A

B

C

Y (x, t) A sen (kx t)

Y (x, t) A sen(kx t)

Y (x, t) A sen(kx t )

Con respecto a estas ondas se hacenlas siguientes proposiciones:I. La superposición de YA e YB da co-

mo resultado una onda estaciona-ria de amplitud 2A.

II. La superposición de YA e YC dacomo resultado otra onda estacio-naria.

III. La superposición de YB e YC da co-mo resultado una onda de ampli-tud cero.

Señale la alternativa que representa lasecuencia correcta después de deter-minar si la proposición es verdadera (V)o falsa (F).

UNI 2010 - IA) VVV B) VVF C) VFVD) FFV E) FFF

Resolución:

I. YR = YA + YB

YR = A sen (Kx – wt) + Asen(Kx + wt)

RY 2A Sen(Kx) Cos(wt)

Es una onda estacionaria de ampli-tud "máxima" 2A.

II. YR = YA + YC

RY ASen(Kx wt) ASen(Kx wt )

RY 2A Sen Kx Cos wt2 2

RY 2A Cos (Kx)Sen(wt)

Sigue siendo una onda estaciona-ria.

III. YR = YB + YC

RY ASen(Kx wt) ASen(Kx wt )

R

0

Y 2ASen Kx wt Cos2 2

RY 0

Respuesta: A) VVV

problemas resueltos

14. fisica

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