121810101008_viqedina rizky noviyanti

25
PERSAMAAN GARIS LURUS di R 2 dan R 3 MAKALAH Oleh 1. Winda Riyanti (121810101007) 2. Viqedina Rizky Noviyanti (121810101008) 3. Adita Cahya Islamiyah (121810101022) 4. Zainul Anwar (121810101025) 5. Muhammad Basofi (121810101032) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

Upload: zainul-anwar

Post on 22-Nov-2015

41 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

jnjs

TRANSCRIPT

PERSAMAAN GARIS LURUS di R2 dan R3

MAKALAH

Oleh1. Winda Riyanti (121810101007)2. Viqedina Rizky Noviyanti (121810101008)3. Adita Cahya Islamiyah (121810101022)4. Zainul Anwar (121810101025)5. Muhammad Basofi (121810101032)

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS JEMBER2014

3

PRAKATA

Puji syukur ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Persamaan Garis Lurus di R2 dan R3. Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat menyelesaikan tugas semester pendek Geometri Analitik Grafik pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.Penulisan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan terima kasih kepada dosen pengajar Geometri Analitik Grafik yang telah membimbing selama semester pendek.Penulis juga menerima segala kritik dan saran dari semua pihak demi kesempurnaan makalah ini. Akhirnya penulis berharap, semoga makalah ini dapat bermanfaat.

Jember, Juli 2014Penulis

ii

DAFTAR ISI

HalamanHALAMAN SAMPULiPRAKATAiiDAFTAR ISIiiiBAB 1. PENDAHULUAN11.1 Latar Belakang11.2 Rumusan Masalah21.3 Tujuan31.4 Manfaat 3BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA42.1 Pengertian Produksi42.1.1 Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Produksi42.1.2 Fungsi Produksi42.2 Logika Fuzzy52.2.1 Fungsi Keanggotaan52.2.2 Operator-Operator Fuzzy72.3 Logika Fuzzy Sugeno82.3.1 Model Logika Fuzzy Sugeno82.3.2 Tahap-Tahap Penyelesaian Dalam Logika Fuzzy Sugeno82.3.3 Ilustrasi Logika Fuzzy Sugeno92.3.4 Toolbox Matlab10BAB 3. HASIL DAN PEMBAHASAN113.1 Hasil112 3 4 4.1 3.2 Pembahasan17BAB 4. PENUTUP354.1 Kesimpulan20DAFTAR PUSTAKA21 iii

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Penyajian Garis dan Segmen Garis di Bidang R2

1.1.1 Persamaan Parametrik dan Persamaan Umum GarisDalam geometri aksiomatik disebutkan bahwa melalui dua titik berbeda di bidang, maka tepat satu garis yang memuat titik tersebut. Selanjutnya, setiap garis memuat sedikitnya dua titik berbeda. Melalui dua aksioma ini dibangun persamaan parametrik dan persamaan umum garis berikut.

Misalkan garis g dan dua titik berbeda P(x1,y1) 2dan Q(x2,y2) di g, maka sebarang titik R(x,y) sepanjang garis g dapat dinyatakan dalam relasi Oleh sebab itu bentuk persamaan vector garis g adalahg (1.1)atau = + tDengan tsuatu scalar real. Bentuk (1.1) ini selanjutnya dapat disederhanakan menjadi (1.2)

Yang disebut sebagai bentuk persamaan parametric garis g. Oleh karena persamaan parametric lengkap untuk garis g adalah (1.2)

Dengan - < t < + merupakan variable parameter dari x dan y, yaitu fungsi-fungsi scalar untuk vector i dan j.Jika dalam persamaan (1.2) harga t disubstitusikan dari satu kepada yang lain didapatkan beberapa model persamaan garis berikut

atau

atau

Dengan m suatu gradien (kemiringan) garis g. Dari persamaan (1.5) ini didapatkan persamaan umum garis g dalam bentuk umum garis g dalam bentuk implisit

atau (1.6)Dengan koefisien real dan Dalam hal ini harga a dan b tidak serentak nol. Dalam hal a = 0, didapat garis g sejajar sumbu OX melalui titik (0,-c/b) dan jika b = 0, garis g sejajar sumbu OY melalui titik (-c/a,0). Jika b tidak nol,maka dari (1.6) didapat persamaan garis berikut (1.7)Dengan Bentuk persamaan (1.7) ini merupakan persamaan garis bergradien (berkemiringan) m dan memotong sumbu OY di titik (0,k) dengan k suatu bilangan real. Jika k = 0,maka g melalui titik awal O(0,0)Secara umum koefisien m pada persamaan (1.7) adalah sama dengan nilai tangen dari sudut yang dibentuk antara garis g dengan sumbu OX. Harga negative terjadi, bila didapatkan seperti gambar 1.2bMisalkan g memotong sumbu sumbu koordinat di titik A(a,0) dan titik B(0,b) dengan a,b0, maka garis g dapat didefinisikan melalui titik A dan B dengan mensubstitusikan koordinat kedua titik ini kedalam bentuk persamaan (1.3). Dengan demikian didapat persamaan

Persamaan ini disebut persamaan garis pemotong sumbu-sumbu koordinat.(Kusno,2010)

1.1.2 Normal Garis,Relasi Dua Garis, dan Berkas GarisMisalkan garis g dalam bentuk persamaan umum dan sebarang vector n = . Jika dua titik berbeda P() dan Q() terletak pada g, maka berlaku

Jadi didapat

Padahal vektor yang segaris dengan g,berbentuk Oleh sebab itu persamaan adalah bentuk perkalian scalar dari

Jadi setiap vektor n yang berbentuk n= selalu tegak lurus terhadap garis g dari bentuk umumVektor normal n ini selanjutnya disebut normal garis g dan dinotasikan dengan

Gambar 1.2Pandanglah dua garis dalam bentuk umum

Maka normal garisdan masing-masing adalah : dan Jadi diantara dua garis dan dapat disimpulkan relasi dua garis berikut.a) Garis sejajar jika kedua normalnya berkelipatan dari yang satu terhadap yang lain, tetapi kedua persamaan bukan merupakan kelipatan antar keduanya, yaitu

b) Dengan masing-masing gradient garisdan Garis berimpit jika kedua normalnya berkelipatan dari yang satu terhadap yang lain, tetapi kedua persamaan bukan merupakan kelipatan antar keduanya, yaitu

c) dan saling berpotongan jika kedua normalnya bukan kelipatan dari satu terhadap yang lain, yaitu

Dalam hal ini koordinat titik potong antara dan dapat ditentukan melalui bentuk dan Dengan 0d) Garis dan saling tegak lurus jika perkalian scalar kedua normalnya adalah nol, yaitu Tulislah dua garis dan berbentuk umum

Kedalam bentuk persamaan

Dengan dan konstanta real. Bentuk persamaan (1.15) adalah linier, jadi merupaka persamaan garis (berupa garis) dan disebut sebagai persamaan berkas garis atau kipas garis. Karena pasangan dan dalam - +menghasilkan garis, maka garisnya disebut anggota berkas. Adapun untuk garis-garis dan selanjutnya disebut basis atau anggota dasar berkas.(Kusno,2010)

1.2.3 Persamaan Normal Garis (Persamaan Hess)Misalkan n = merupakan vector normal garis, yaitu , sehingga . Sedangkan adalah jarak dari O terhadap garis g dengan dan vector normal satuan dari garis adalahnu= n/|n| = ng/|n| = nu= (1.16)Jika M(x,y) sebarang titik sepanjang garis g maka, persamaan normal garis dapat didefinisikan melalui perkalian skalar terhadap nu menurut salah satu kondisi berikut.a) Harga nu

Jadi b) Harga nu Jadi Sehingga persamaan normal garis adalah(1.17)atau

Gambar 1.4 Persamaan normal garisDari garis g yang dinyatakan dalam bentuk umum dan bentuk normal

Maka dapat disimpulkan secara umum beberapa hal berikut.a) Berdasarkan persamaan (1.17), maka nilai perbandingan dari koefisien koefisien kedua persamaan garis adalah

b) Dari (a), jarak dari O terhadap garis g adalah :

c) Dari (a),kosinus arah normal garis dinyatakan oleh

(Kusno,2010)

1.1.4

2.1 Persamaan Garis di R32.1.1 Persamaan Garis LurusPada gambar dibawah ini l adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan vektor . Untuk menentukan persamaan garis l, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis l, maka PoP // v dan PoP tv dengan tbilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O adalah dan maka dan karena , maka

Gambar 2.1Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar vektor v = adalah Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan vektor garis l. 2.1.2 Persamaan Parametrik

Gambar 2.2

Garis ditentukan oleh suatu titik tetap dan suatu vector . Garis adalah himpunan semua titik sedemikian sehingga adalah sejajar terhadap , ; dan Bila dan . Merupakan persamaan parameter dari garis melalui dan sejajar bilangan-bilangan arah.Proposisi 1.1 Persamaan Parametrik Vektor Persamaan parametrik vektor untuk garis yang melalui titik P0(b1, b2, b3), dimana vektor posisi dan paralel vektor a = a1i + a2j + a3j adalah :

, sehingga apabila maka persamaan parametriknya adalah

Gambar 2.3Bentuk simetrisnya adalah

2.1.3 Letak Garis Lurus Terhadap Bidang DatarAda tiga kemungkinan yang terjadi, letak suatu garis terhadap suatu bidang datar, yaitu garis memotong bidang, garis sejajar bidang dan garis terletak pada bidang. Perhatikan sebuah garis sebuah bidang Misalkan garis dan bidang ini berpotongan, maka koordinat titik potongnya dicari dengan menyelesaikan x, y dan z dari tiga persamaan itu. Salah satu menyelesaikannya dengan memisalkan bahwa

disubtituskan pada persamaan bidang, maka diperoleh

Apabila , maka harus diperoleh nilai t, sehingga koordinat titik potong garis dan bidang diperoleh dengan mensubtitusikan nilai t ke dalam persamaan garis yang memuat t. Jika dan maka garis dan bidang sejajar. Jika dan maka garis dan bidang sejajar. Jika dan maka garis terletak pada bidang. Garis tegak lurus bidang apabila vektor arah sejajar dengan vektor normal bidang Vektor arah garis adalah m = dan vektor normal bidang adalah n = . tegak lurus bidang apabila m = kn dengan k suatu bilangan real.Letak dua garis lurus dalam ruang dimensi tiga. Dua buah garis lurus dalam ruang kemungkinan akan berpotongan, sejajar, berimpit atau bersilangan. Misalka diketahui dua garis berikut ini

Dan

Sudut antara dua garis ini sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor arahnya, yaitu dan Jika adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut, maka

Dua garis akan sejajar apabila vektor-vektor arahnya sejajar, yaitu m1=tm2 dengan t suatu bilangan real atau

Dua garis tegak lurus apabila vektor-vektor arahnya tegak lurus, yaitu

Dua garis akan berpotongan apabila ada penyelesaian untuk x, y, dan z dari empat persamaan bidang yang menyatakan dua persamaan garis itu.

2.1.4 Jarak Dua Garis yang BersilanganMisalkan diketahui dua garis g1 dan g2, jarak garis g1 dan g2 ditentukan dengan cara sebagai berikut. Dibuat bidang melalui garis g2 dan sejajar g1. Pilih suatu titik P pada garis g1. Maka jarak garis g1 dan g2 sama dengan jarak titik P ke bidang .

2

BAB 4. PENUTUP

4.1 KesimpulanBerdasarkan jumlah permintaan untuk bulan Oktober sebanyak 484 ton ikan kaleng, jumlah persediaan sebanyak 125 ton dan biaya yang disediakan sebesar Rp 106.500.000, dapat disimpulkan bahwa penggunaan metode Sugeno menghasilkan jumlah ikan kaleng sebesar 444 ton yang harus diproduksi pada bulan Oktober 2013 oleh PT Blambangan Foodpackers Indonesia. Dengan jumlah sisa produksi sebanyak 85 ton menjadi persediaan untuk bulan November..

DAFTAR PUSTAKA

Abdurrahman, G.2011. Penerapan Metode Tsukamoto (LOGIKA FUZZY) Dalam Sistem Pendukung Keputusan Untuk Menentukan Jumlah Produksi Barang Berdasarkan Data Persediaan Dan Jumlah Permintaan. Makalah Universitas Negeri Yogyakarta.

Ahyari, Agus. 1985. Management Produksi: Perencanaan Sistem Produksi.Yogyakarta. UGM

Susilo, Frans SJ. 2003. Himpunan dan Logika Kabur Serta Aplikasinya.. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Hariyadi, P.2008. Penguatan Sistem Pangan Lokal. Bogor. IPB.

Kusumadewi, S. 2002. Analisis & Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Toolbox Matlab. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Kusumadewi, S., dan Hartati, S. 2006. Neuro Fuzzy-Integrasi Sistem Fuzzy dan Jaringan Syaraf. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Kusumadewi, S., Hartati, S., Harjoko, A., dan Wardoyo, R. 2006. Fuzzy Multi-Attribute Decision Making (FUZZY MADM). Yogyakarta: Graha Ilmu.Marie, I. A., Eriyatno, Arkeman, Y., Daihani, D.U. Tanpa tahun. Penentuan Jumlah Produksi Menggunakan Model Fuzzy Multi Objective Linear Programming Pada Industri Pangan (Studi Kasus Pada Industri Roti PT NIC). Bogor: IPB

Nasution, A. H. 2008. Perencanaan & Pengendalian Produksi. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Negnevitsky, M. 2005. Artificial Intelligence A Guide to Intelligent Systems. British: Biddles Ltd.

Pontas, M. P. 2004. Manajemen Operasi dan Produksi. Yogyakarta: Andi.

Rosida, W., Zainal, A., Ainul, Y.2010. Aplikasi Fuzzy Inference System (FIS) Metode Sugeno Dalam Menentukan Kebutuhan Energi Dan Protein Pada Balita. Malang: UIN Malik Ibrahim

Setiadji. 2009. Himpunan & Logika Samar serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.