07_momentumsudut_2 [compatibility mode] (1)

Download 07_MomentumSudut_2 [Compatibility Mode] (1)

Post on 04-Sep-2015

214 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

good

TRANSCRIPT

  • Momentum Sudut (Bagian 2)

  • Pengenalan KonsepRotasi dalam Mekanika Kuantum:

    1. Sistem Koordinat Bola2. Harmonia Sferis (Spherical Harmonics)3. Momentum Sudut Orbital4. Momentum Sudut Intrinsik (Spin)

  • 22 2m

    V2m

    =H22

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    zyx

    dimensi-tiga dalam er SchrdingPersamaanTinjau partikel yang bergerak di permukaan bola dengan radius r. Hamiltonian diberikan oleh:

    karena energi potensial uniformdi permukaan bola dan dapatdiambil sama dengan nol.

    Laplacian:

    Harus dipecahkan:E

    2m

    2

    2

  • :)(),( zy,x, ganti sebagair, gunakan Kita

    2r rL

    rrrr 22

    2

    22

    ,222

    21

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    22

    sin1cot

    sinsin

    1sin

    1

    dd

    dd

    dd =

    dd

    dd

    dd L

    2

    2

    bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    ),(r,E),(r,V(r)),(r,2m

    2

    2Harus dipecahkan:

    dengan:

  • ),,(),,(),,(),,(2),,(

    2 222

    2

    22

    rErV

    rrL

    rr

    rrr

    m

    bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    Separasi variabel: (r,,)= R(r)Y(,), maka:

    Bagi kedua ruas persamaan dengan RY, menghasilkan:

    ),()(),()(),()(),((2),((

    2 222

    2

    22

    YrERYrVR

    rYrRL

    rr)YR

    rrYr)R

    m

    YERVRYrYLR

    rR

    rY

    rRY

    m

    22

    2

    2

    22 22

    EVrYL

    YrR

    rRrR

    Rm

    22

    2

    2

    22 12112

  • bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    Kalikan dengan -2mr2/2, maka dapat dipisahkan menjadi:

    yaitu bagian radial dan bagian sudut sepenuhnya terpisah.Selanjutnya, kita asumsikan bagian sudut azimut dan zenit juga dapat dipisahkan, yaitu Y(,) = ()(), dan kita ambil:

    01)(2211 2

    2

    2

    2

    2

    2

    YL

    YEVmr

    rR

    rRrR

    R

    d

    ddd

    dd L 2 sin

    sin1

    sin1

    2

    2

    22

    )1(1dan )1()(2211 2

    2

    2

    2

    2

    2

    llYLY

    llEVmrrR

    rRrR

    R

  • bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    Memberikan:

    dan:

    Menghasilkan separasi variabel lebih lanjut, yaitu:

    2

    2

    2

    sin)1(sinsin YlldYd

    dd

    dYd

    2

    2

    2

    sin)1(sinsin

    lldd

    dd

    dd

    2

    2

    2

    sin)1(sinsin11

    lld

    ddd

    dd

    2

    2

    2

    sin)1(sinsin11

    lld

    ddd

    dd

  • bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    Memberikan:

    Persamaan azimut telah dipecahkan, sedangkan persamaan theta merupakan persamaan diferensial Legendre terasosiasi:

    2222

    2

    sin)1(sinsin11 ll mlldd

    dd dan m

    dd

    0sin)1(sinsin 22 lmlldddd

  • solusibentuk Bagaimana ?),(

    ),(),(2 E2ma = L 2

    .

    ),(2L untuk eigen fungsi

    merupakan juga H untuk untuk eigen fungsi Jadi

    bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    ),(2

    ),(2

    2

    EmaLPersamaan:

    Kita tuliskan dengan:

  • ),(2),(sin

    1cot 222

    22

    2

    Emad

    ddd

    dd2

    ),(),(2 E2ma = L 2bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    Persamaan diferensial:

    Sebenarnya merupakan persamaan untuk dan yang padadasarnya dapat dilakukan separasi variabel, dan ruas kiri dapatdisertakan dalam komponen radial r.

  • Bagian telah dipecahkan, dan bagian merupakanpersamaan diferensial Legendre, yang memiliki solusianalitik. Solusi untuk bagian dan dinamakan sebagaiharmonia sferis (Yl,m), dituliskan:

    ml,ml,z

    ml,ml,

    |m|lml,

    YmYL YllYL

    imPmlml

    +l)=(Y)=(

    2

    )1(

    ]exp[)(cos!|)!|(!|)!|(

    412,,

    2

    dengan Pl|m| adalah polinom Legendre

    bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

  • ),(),(

    11011

    lmlmzz

    mL

    madalahLuntuk mungkin yang eigen nilai dan

    ,l,...,l-,,,...,-- l, -l+ :nilai 1+2l mengambil dapat m nilai ,l nilai suatu Untuk

    ]exp[cos!

    )!4

    12 im)( P|m!|)(l|m!|(l

    l+(((,(,)=Y |m|ll,m

    ),()1(),()1(

    2

    2

    lmlm22

    llL

    lladalah L untuk mungkin yang eigen nilai dan ..0,1,2,3,4.=l:bernilai dapat l

  • If (,) = Ylm(,)Ema 2 = ll

    EYmaYllYL

    :Jadi Y= E2ma = L

    2

    lm2

    lmlm

    lm2

    )1(atau

    ),(2),()1(),(

    ),(),();,(),(

    2

    22

    2

    bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

    Bagaimana dengan E?

    2ma= I ; Ill =

    mall = E

    2)1(

    2)1( 2

    2

    2 Sehingga:

  • Dalam mekanika kuantum, sebuah operator yangmerepresentasikan suatu konstanta gerak akankomut dengan hamiltonian, yaitu:

    [,] = 0

    yang berarti bahwa kita dapat menemukan fungsi-fungsieigen yang berlaku untuk kedua operator dan .

    Catatan:

  • mz2

    Y bersama eigen fungsi memiliki bola permukaan pada bergerak yang

    partikel untuk L dan L ,H

    l

    ),(Y)l(l=),(YL m2

    lm2 l1

    ),(Ym=),(YL lmlmz

    ),(2

    1),(2

    lmlm YI)l(lHY

    bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

  • lm

    z2

    Y (common) bersama eigen fungsi memilikibola sebuahpada bergerak yang partikel untuk L dan L ,H

    0] 2z2z L ,L[ karena ionseigenfunct common memiliki L dan L2

    2

    21 L

    ma=H Tetapi

    0][][ 2z L,H =L,H :bahwa nditunjukka dapat Danionseigenfunct common memiliki L dan L ,H sehingga 2z

    saat setiap2I

    (L=

    (L (L :hasil memberikan akan L L pengukuran

    oleh diuraikan yang keadaan suatu Untuk

    2z

    2

    2z

    obs2

    obs

    obs2

    obs

    ml

    )I2

    )1l(l)E(

    m));1l(l)

    ,

    ),,(Y

    bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan

  • l,mll,mzl,ml,m

    |m|ll,m

    Y mYL ;)Yl(lYL

    im P|m!|)(l|m!|(l

    l+)=(Y(,)

    =

    1

    ]exp[)(cos!

    )!4

    12,

    22

    0;0)(41

    0

    2

    obszobs

    o,o

    )(LL

    Y

    0=mada hanyal=Untuk

    ;

    bola pada uniform adalahYNilai oo

    0l 0m er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat

  • 1l 1,0,1m

    2,-

    2,

    2,

    obsobszlm

    2 - iY -

    2 iY

    2 Y

    ) (L) (L Y l m

    1]exp[sin8311

    1]exp[sin8311

    0cos4301

    11

    11

    01

    2

    er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat

    l,mll,mzl,ml,m

    |m|ll,m

    Y mYL ;)Yl(lYL

    im P|m!|)(l|m!|(l

    l+)=(Y(,)

    =

    1

    ]exp[)(cos!

    )!4

    12,

    22

  • i sin43

    cos 43 0

    41 0

    Y m l lm

    ]exp[11

    1

    0

    ),(

    l,mll,mzl,ml,m

    |m|ll,m

    Y mYL ;)Yl(lYL

    im P|m!|)(l|m!|(l

    l+)=(Y(,)

    =

    1

    ]exp[)(cos!

    )!4

    12,

    22

  • i sin3215

    isincos 815 1

    (3cos 16

    5 0

    Y m l

    2

    2

    lm

    ]2exp[22

    ][2

    )12

    ),(

    l,mll,mzl,ml,m

    |m|ll,m

    Y mYL ;)Yl(lYL

    im P|m!|)(l|m!|(l

    l+)=(Y(,)

    =

    1

    ]exp[)(cos!

    )!4

    12,

    22

  • i sin6435

    i sin32105

    i(5cos 6421 1

    (5cos 16

    7 0

    Y m l

    3

    2

    2

    3

    lm

    ]2exp[33

    ]2exp[cos23

    ][sin)13

    )cos33

    ),(

    l,mll,mzl,ml,m

    |m|ll,m

    Y mYL ;)Yl(lYL

    im P|m!|)(l|m!|(l

    l+)=(Y(,)

    =

    1

    ]exp[)(cos!

    )!4

    12,

    22

  • LL z

    L z

    |L| =

    LL

    L z =

    L z = -

    = 0

    2

    ,,Lyaitu tersebut, kasus ketiga untuk

    berlainan yang orientasi mengalamiLTetapi

    |L|= adalah

    tersebut kasus ketiga untukLdari|L| Panjang

    Ldengan keadaan tiga Terdapat

    z 0

    2

    222

    obszobs

    z

    L)(Lmemberikan,m=l=untuk :contoh

    samayang nilai memberikanselalu LdanLpengukuran keadaan, setiapUntuk

    )(;211

    22

    2

    er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat

    m)(LdanL;,,m=-didapatl=Untuk obszobs 22 2)(1011

  • LL z

    L z

    |L| =

    LL

    L z =

    L z = -

    = 0

    2

    m)(LdanL;,,m=-didapatl=Untuk obszobs 22 2)(1011

    ,,- anmenghasilk dapatLatauL pengukuran tetapi Akan

    =)-(L)(L)L(L

    Maka?LatauLdengan Bagaimana

    yx

    obszobsobsyx

    yx

    0

    2 2222222

    er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat

  • ?pengukuran setiapbagi LdanLuntuk mungkin yang nilai berapa dan pengukuran

    banyak dari rata-rata nilai tasikanmerepresen yang

  • i

    Y

    i

    Y

    ) (

    Y

    ) (L) (L Y m l

    ,

    ,

    ,

    obsobszlm

    2222

    212

    202

    2

    62]2exp[sin321522

    61]exp[cossin81512

    60