p~ ~ N~ I:I~ N~ ~ ~ X. lSSN 1410- ?6g6

DIFRAKSI MAGNETIK SEBAGAI KONSEKUENSI STRUKTUR KRISTAL

S3kA. Purwanto

Pusat Penelitian Sains Materi-BATAN, Kawasan PUSPIPTEK Serpong Tangerange-mail.. purwanto@centrin.net.id

ABSTRAK

DIFRAKSI MAGNETIK SEBAGAI KONSEKUENSI STRUKTUR KRIST AL. Sifat magnetik secara makroskopik ditentukanoleh sifatnya secara mikroskopik yang dilandasi oleh struktur magnetik yang merupakan perluasan dari struktur kristal. Penentuanstruktur magnetik dengan tepat sang at diperlukan selain untuk pemahaman tersebut juga dikarenakan eksperimen selalu mempunyaiderajat kesalahan yang tidak dapat diabaikan. Pada makalah ini dibahas suatu metode sistematis secara sederhana untukmenentukan struktur magnetik dengan mempertimbangkan struktur kristal mengingat fasilitas difraksi neutron yang dapat digunakanuntuk mempelajari magnetik secara mikroskopik telah tersedia di BATAN. Perhitungan faktor struktur magnetik dan kristal untukkasus heksagonal disajikan untuk memberi gambaran suatu analisa difraksi magnetik dengan analisa simetri secara sederhana.Simetri heksagonal tersebut melibatkan pemilihan sistem koordinat dengan sumbu tidak saling tegak lurus pada bidang dasar.Perluasan analisa untuk bahan dengan struktur kristallain yang mengandung atom magnetik yang juga lain adalah mudah dilakukan.

ABSTRACT

MAGNETIC DIFFRACTION AS A CONSEQUENCE OF CRYSTALLOGRAPHIC STRUCTURE. Macroscopic proper1ies ofmagnetic materials depend strongly on microscopic behavior, which is based on magnetic structure that is tightly connected tocrystallographic structure. The detennination of the magnetic structure correctly is indispensable not only for the understanding of thephenomena but also possible misleading conclusion due to ar1ifacts. In this paper, the Shubnikov method of detennining possiblemagnetic structure is discussed, as the magnetic neutron diffraction facility is available at BAT AN. An inspection of magnetic andcrystallographic structure factor for hexagonal symmetry with one type of magnetic atom in the special crystallographic position isprovided to give an insight of the analysis. The choice of the hexagonal symmetry involves a coordinate system with non-orthogonalaxis in the basal plane. The extension to materials with other crystallographic symmetries involving more than one type of magneticatoms is straightforward

PENDAHULUAN

Secara umum, magn~tisme dapatdibagi menjadi dua ekstrim yaitu ekstrim itinerantdan terlokalisasi. Pacta yang pertama, terdapattwnpang tindih yang besar antara distribusi muatandari atom-atom clan sering disebut pula sebagaimagnetisme pita karcna elektron tersebutmembentuk pita energi yang lebar. Hal ini scringdijumpai pada elemen metal transisi climanaelektron-d, yang merupakan elektron valensi, tidakterlokalisasi clan berkontribusi pada konduktifitasclan ikatan kima. Magnetisme pada sistcm initimbul karena adanya elektron yang takberpasangan yang dapat didekati denganformalismc partikel bebas dengan medan kQnsisten

diri. Pacta ekstrim kedua, yaitu magnetismeterlokalisasi, energi interaksi rata-rata adalah lebihbesar dibandingkan dengan energi kinetik. Situasiini membatasi jarak fungsi gelombang atau orbital.Karena elektron mengorbit pacta daerah yangterbatas, elektron tersebut mempunyai momenumangular yang sebanding dengan momen magnetik.Salah satu manifestasi dari lokalisasi di atas adalahbahwa momen dari ion magnetik lebih mendekatimomen penuh dari ion bebas yang didapat darihukum Hund dibandingkan dengan kasus yangsarna pacta elemen metal transisi.

Struktur magnetik merupakan dasar untukpemahaman dinamika magnetik bahan secara

~I 13 Ht..: 1qq~ 15

~H~~~~~

mikroskopik yang kemudian merupakan landasanuntuk sifat magnetiknya secara makroskopik.Dilain pihak, eksperimen tidak mungkin bersifatideal sehingga sering didapatkan artifact yangmengakibatkan kesalahan analisa. Oleh karenanya,eksperimen clan analisa harus dilakukan secaracermat termasuk adanya teknik pelengkap misalnyadengan menggunakan berbagai fasilitas penelitian.Dalam makalah ini dibahas salah satu cara untukkonflrInasi bahwa struktur magnetik yang diperolehdengan teknik difraksi neutron adalah benar jikaditinjau dari segi simetri kristal. Cara inimerupakan konsekuensi dari struktur kristal,sehingga momen magnetik yang tersusun adalahinvariant terhadap operasi simetri kristal (metodaShubnikov). Contoh kasus yang disederhanakandengan simetri heksagonal dimana terdapatparameter kisi yang tidak saling tegak lurus dibahasuntuk lebih memberi pemahaman struktur kristalclan magnetik. Tinjauan secara eksperimental tidakdibahas disini[l].

ROTASf 1800

(:) .0 -C G-t I I

~

(i) TampakAlas

-o I c-(ii) TampakSamping

Surnbu Surnbu

(a) Sejajar (b)TegakLurwGambar 2: Operasi simetri rotasi 1800 terhadap momenmagnetik (a) sejajar dan (b) tegak lurus terhadap sumbu putaryang ditunjukkan (i) tampak alas dan (ii) samping. Lingkaranmenunjukkan orbit elektron dengan arah gerak elektronditunjukkan dengan panah putih, sedangkan panah hitammenunjukkan arah momen magnetik. Pada (aJ) titik di dalamlingkaran menunjukkan arah momen dari arah kertas.

INVERSI

(i) ~~k (:). (-) -0-.. .-0-..

(ii) TamP.ak .cb. 6 -G-;-..,.. .~-..Sam ping I I ~MOMEN SEBAGAI VEKTOR AKSIAL

REFLEKSI

(i)~~k 010 -0 1-0

-{; -0-..(ii) TamP.akSam ping

BidangCermln

(b) Tegak Lurus

Gambar 1: Operasi simetri cermin terhadap momen magnetik(a) sejajar dan (b) tegak lurus terhadap bidang cermin yangditunjukkan (i) tampak alas dan (ii) sam ping. Lingkaranmenunjukkan orbit elektron dengan arah gerak elektronditunjukkan dengan panah putih, sedangkan panah hitammenunjukkan arah momen magnetik. Pada (a.i) titik dan silangdi dalam lingkaran masing-masing menunjukkan arah momendari dan ke arah kertas.

(8) (b)

Gambar 3 : Operasi simetri inversi terhadap momen magnetikdengan konfigurasi (a) dan (b) ditunjukkan (i) tampak alas dan(ii) sam ping. Lingkaran menunjukkan orbit elektron denganarah gerak elektron ditunjukkan dengan panah putih,sedangkan panah hitam menunjukkan arah momen magnetik.Pada (a.i) titik didalam lingkaran menunjukkan arah momen dariarah kel1as.

mengorbit clan menimbulkan momenum angular.Operasi simetri pada momen magnetik tersebutdiperoleh dengan mengoperasikan elemen simetri

pada elektron, bukan pada arab momentum angular

(lihat Gambar 1,Gambar 2 clan Gambar 3). Selain simetri kristalografi,

terdapat pula simetri pembalikan arus elektron yang

mungkin menyertai simetri kristalografi sehinggaarab momennya juga berbalik sesuai denganpembalikan arus tersebut. Kita akan melihat

contohnya pada pembahasan kasus.Momen magnet adalah sebanding dengan

momenum angular yang timbul akibat elektron takberpasangan yang mengorbit. Momenum angulartersebut termasuk pseudovector atau axial vectorseperti pada kecepatan angular, torque, medaninduksi magnetik dan lain-lain [2]. Vektor aksialberbeda dari vektor polar karena vektor polarberubah tanda dengan pembalikan sumbu koordinat(inversi), sedangkan vektor axial tidak berubahtanda dalam inversi. Istilah vektor axial ini munculkarena vektor terse but sering dijumpai pacta prosesrotasi.

BOLA EWALD

Berkas terhambur pacta proses difraksimenimbulkan puncak difraksi yang memenuhi

persamaan Bragg:2d sin e =]1. ,.. (1)

Bola Ewald seperti terlihat padadapat menjelaskan hubungan antara vektor

gelombang berkas datang kj clan terhambur kf dalam

Ok o h o prosesdifraksi dimana tidak ada trasfer energi dari

Momen magnet I mempunyal ara sesual berkas

dengan kaidah tangan kanan dimana elektron

16 ~. 1~ Ht.: 1qqg

~H~~~~~

clan besamya:K = 41t sin e / A (3)

Gabungan refS. (1) clan (3) menghasilkan hubunganantara jarak bidang kisi dengan besaran vektorhamburan :

K=27t/d (4)

Dalarn difraksi kristal pacta umunmya, vektorharnburan 1C adalah sarna dengan vektor translasikisi balik 't karena 1C rnenghubungkan dua titik kisibalik yang kornensurat dengan sel satuan prirnitifkisi balik. Narnun demikian acta beberapa kasusseperti pacta bahan superkonduktor dirnana terdapatstruktur kristal yang inkornensurat. Bola Ewalduntuk itu analog dengan bola Ewald untuk difraksirnagnetik yang juga rnungkin berasal dari strukturrnagnetik yang inkornensurat.

Gambar 4: Bola Ewald yang digambarkan dalam duadimensi. Titik-titik merupakan posisi puncak difraksi di kisi balikyang diperoleh dari suatu bahan kristal tunggal. Arah vektorgelombang datang kI menunjukkan arah berkas sinar datangpada cuplikan. Pusat lingkaran dipilih sehingga vektor kIberakhir pada suatu titik kisi balik. Bola Ewald tersebutdigambarkan dengan radius k;=27t/A.. Berkas difraksi akanterbentuk bila bola ini menyinggung titik lain dengan vektorgelombang terhambur kI dan k, = ki. Vektor hamburan K=kI-kIdengan besaran K = 47t sin 8 I A. dimana 28 adalah suduthamburan.

TAMPANG LINTANG DIFRAKSI

.Set~lah posisi puncak diketallui melaluieksperimen seperti difraksi neutron, langkahberikutnya adalah menganalisa intensitas difraksiyang terutama ditentukan oleh tampang lintangdifraksi. Dalam pembahasan ini, koreksi tennasukparameter tennal, absorbsi, background, Lorentzclan lain-lain tidak dibahas. Hanya faktorinterferensi yang berasal dari tampang lintangdifraksi yang dibahas karena faktor tersebut adalahfaktor dominan. Untuk pemahaman mepyeluruhkita tuliskan tampang lintang diferensial untukkristal terlebih dahulu. Untuk N jumlah gel satuandidalam kristal, dengan atom r di dalam sel satuan,isi gel satuan v dan faktor thennal untuk atom radalah exp(-W,), maka tampang lintang difraksikristal adalah:

( dO") "\dQ koh..1 c-~ ~ (5)

~

" "'""\\1

\ q\

\

origin

Gambar 5: Bola Ewald yang digambar!<an dalam 2-D danlingkaran dengan jari-jari K tidak digambar seperti gambarsebelumnya. Dibandingkan dengan gambar Bola Ewaldsebelumnya, bola ini menunjukkan adanya vektor gelombang Kyang tidak kornensurat dengan struktur kristal [3]. KarenaK='t~ dan 't adalah vektor translasi kisi balik, maka sukuinkornensurat diwakili oleh q. dan harganya dipilih agar beradadalam daerah Brillouin pertama.i Pada gambi1r sebelumnya,

q=O.

dimana faktor struktw- sel satuan kristal adalah:

terhadap cuplikan namun acta transfer momenumyang sebanding dengan vektor hamburan dan syarat Donna! dengan nonna!isasi bisa

27t namun dipi!ih 27t untuk maka!ah ini[4]:

a-a. =b-b. =c-c. =27t

atau

(2) (8)K=ki-kj

~I 13 H~ 111rt 17

Dalam perumusan faktor struktur ini, gel satuan dikisi balik selalu dapat dipilih sedemikian sehinggamemenuhi syarat orthonormal yang terdiri dari

syarat orthogonal:a. b. = b. c. = c. a. = a. .b = b. .c = c. .a = 0 (7)

~H~~~~~

b0

::~G--b*-:*.: a

..

. CONTOH KASUSUntuk mempermudah pemahaman difraksi

magnetik, pembahasan dirinci dengan kasus khususyang ditinjau dari segi kristalografi dan magnetik.

Walaupun aspek kristalografi ditinjau sebagailangkah awal, pembahasan ditekankan pada aspekmagnetik, tanpa barns masuk ke perhitungan least-squares-nya. Untuk pemahaman yang menyeluruh,dipilih simetri heksagonal dimana sumbu-sumbukoordinat tidak saling tegak lurus walaupun selalu

dapat dilakukan transformasi ke sistem Cartesianyang saling tegak lurus terse but. Transformasitersebut bahkan tidak dianjurkan karena akanmembutuhkan proses yang lebih panjang pada

perhitungan faktor struktur.

a! :Gambar 6: Proyeksi sel satuan simetri heksagonal pacta bidang(a,b) dart kisi langsung dan kisi balik yang bersangkutan.Kedua kisi tersebut digambarkan secara berimpit untukmenunjukkan bahwa a 1- b* dan a* 1- b. Perlu dicatat bahwakisi langsung berdimensi [panjang] sedangkan kisi balikberdimensi [panjangjl sehingga kisi balik semakin kecil jika kisilangsung semakin besar.

Tinjauan Kristalografi

t.0"'9 -"'Y

0-"Y

Q\;/¥ --x (a) I (b)

Gambar 7: Sel satuan krista! yang menunjukkan (a) pandanganskematik dan (b) proyeksinya pada bidang dasar, Atom-atompada posisi (x,O,1/2), (-x,-x, 1/2), dan (O,x,1/2) diberi penomoranmasing-masing (1), (2) dan (3),

Kasus yang dipilih adalah kristal

heksagonal dengan dengan grup ruang P"6 2 mdimana terdapat hanya satu jenis atom yang berada

pada posisi simetri 3g [6]. Posisi simetri ini

menunjukkan bahwa dalam satu set satuan terdapat3 atom yang posisi ~kuivalennya masing-masing

adalah (x,O,I/2), (x, x, 1/2), clan (O,x,I/2) seperli

diperlihatkan pada Gambar 7. Untuk analisa

magnetik nanti, atom-atom tersebut secaraberurutan diberi nomor I, 2 clan 3. Walaupun

semua operasi simetri yang ada adalah 12, operasi

tersebut dapat dikurangi menjadi hanya 3 sehingga

menghasilkan 3 posisi equivalen di atas. Ketigasimetri ters'ebut perlu diperlimbangkan untukanalisa susunan momen nanti. Terlihat bahwaketiga atom itu berada pada bidang cermin. Sebagaicatatan [I], atom ini adalah satu dari tiga jenis atomyang berada pada bahan UCoGa yang merupakan

kelompok dengan struktur kristal heksagonalZrNiAl. Untuk pemahaman mcnyeluruh, kita akan

memcriksa dahulu aturan seleksi kristalnya denganmelihat bilamana tampang lintang difercl}sialkristalnya nol clan bilamana tidak.

Dengan memperhatikan adanya faktor6(K-'t), harga K tidak nol adalah pada saat K='t,

dimana jari-jari elektron dinyatakan sebagairo=2.818 .10.IS m, y=1.913, dan kuadrat absolutfaktor struktur magnetik berikut faktor polarisasimomen magnetik, faktor bentuk magnetik Fd(K) danparameter termal tergabung dalam :

\{l = I (°"11 -K"KII)IFJ(KfJ,(K~JIIJlJ'""II D'

( { )1\ ( ) (10)exp iKe\rJ -rJ' ~exp -WI -WI,

Persarnaan di alas dapat dianggap sebagai rumusumum untuk difraksi neutron terhadap bahanmagnetik clan berlaku untuk semua model yangmungkin termasuk dari susunan komensurat claninkomensurat dengan sembarang q. Persamaantersebut diturunkan dari persamaan yang ada padaliteratur [5]. Perbedaan dengan persamaan untukdifraksi kristalografi adalah :a. Munculnya vektor gelombang magnetik q

pada faktor cS(K-T-q). Komponen dari q dapatkomensurat ataupun inkomensurat. Kita akanmengambil kasus paling sederhana dimana qadalah komensurate clan berharga nolo

b. munculnya faktor polarisasi arah momenmagnetik (cSaP-KaKp). Untuk susunan yangkolinear dimana arah momen adalah salingparalel atau anti-paralel, faktor ini dapatdikeluarkan dari penjumlahan Lap dana clan 13 menjadi tidak perlu diperhitungkansehingga persamaan menjadi lebih sederhana.Faktor polarisasi tersebut menentukan arabsumbu mudah magnetisasi pacta bahan.

18 ~I 13 H~ 111CJ

~H~~~~~

dimana faktor struktW11ya adalah:

F.og (t)= IFj(t).tj expVt erJ (16)

Sistem koordinat kisi langstU1g yang dipilih adalahsesuai dengan gambar proyeksi. Kisi balik dansistem koordinatnya dipilih sedemikian sehinggamemenuhi orthonormalitas pada Pers. (7) daD (8).Lalu dengan mengabaikan termal parameter,perumusan faktor struktur kristalnya menjadi cukupsederhana, yaitu:

Fw('t) cx: L exp(i't. rj)J

= exp{27ti(hx + //2)}+ exp{27ti(kx + //2)}

+exp{27ti(-hx-kx+//2)} (11)

Karena exp(7ti/)=(-1Y clan semua suku mempunyaifaktor tersebut, maka faktor struktumya menjaditidak tergantung dari indeks I yaitu :

F,,* (.) oc exp{27tihx} + exp{27tikx} + exp{27tix( -h -k)}

(12)Karena harga x bukan merupakan harga yangkhusus seperti 0 atau '/2, maka persamaan tersebutsulit disederhanakan lebih lanjut. Setelahdiinspeksi, diketahui bahwa Fkris(t) tidak akanpemah berharga nol walau berapapun harga indeksh,k clan I.

Terlihat bahwa persamaan untuk menghitungintensitas yang melibatkan tampang lintangdiferensial adalah cukup rumit hila dilakukan darirumus umum dimana berbagai susunan momendapat muncul. Namun demikian kita dapatmelakukan pembatasan berdasarkan simetri sepertiakan dijelaskan berikut ini. Telah dikemukakanbahwa terdapat 3 posisi ekuivalen sehingga 3operasi simetri perlu dipertimbangkan. Namun~emikian, simetri tersebut dapat dikurangi lagisehingga menjadi hanya 2 simetri yang merupakangenerator sehingga dapat menghasilkan simetriketiga dengan tara mengalikan representasi matriksdari kedua simetri generator tersebut. Keduasimetri generator tersebut dapat dipilih sehinggasatu atau lcbih atom berada pada bidang dan/atausumbu simetri. Pertimbangannya adalah :a. setiap momen dapat diurai menjadi satu

komponen yang paralel dan dua komponenyang tegak lurus terhadap bidang dan/atausumbu simetri. Kedua komponen yang tegaklurus tersebut membentuk sudut yang jugasaling tegak lurus.

b. jika atom berada pacta bidang cermintanpa/dengan simetri time reversal makamomen yang timbul adalah tegak-lurus/sejajarterhadap bidang tersebut

c. jika atom berada pacta swnbu putar 1800tanpa/dengan simetri time reversal makamomen yang timbul adalah sejajar/tegak-lurusterhadap sumbu tersebut.

Pemyataan b) dan c) di atas dapat diturunkandengan operasi simetri terhadap momen sepertitelah dijelaskan terdahulu. Untuk itu, simetri yangdigunakan adalah sumbu rotasi 1800 searah dengansumbu a dan cennin pada bidang b-c. Untukmudahnya, keduanya dilanlbangkan [8] masing-masing sebagai (2100) dan (M210).

dan

Tabel1: Efek operasi simetri rotasi (2100) dan refleksi(M210) tanpa/dengan pembalikan arus (hitam/merah)terhadap atom yang berada pada sumbu/bidang simetritersebut.

Hitam MerahIII =0 r I.L; acta i

I III acta ~I=O I

1 1- bidang (M210} 11.L2 acta 1.L2=0

I II bidang(M210) 11.L2=O I 1.L2 acta

,--!:~umbu (2100)

I~~N~-

I II sumbu (2100)l"dn)..og.w.., -\ 2 )

exp(-2Tf/)sin21lIF (t~2

(15)

19~I 13 11~ 1'i'ig

exp(i.8(rJ -rr)) (14)

Oleh karenanya kita dapat menerapkan metodeyang telah didiskusikan sebelumnya. Sebagaicatatan, teori grup dapat digunakan lUltukmenurunkan SUSlUlan momen magnetik yangmlUlgkin, lUltuk vektor q yang tidak komensurat [7].Untuk SUSlUlan momen yang kolinear dimanamomen saling paralel atau anti-paralel, tampanglintang diferensialnya :

(dO"\ (,2;' ']

~H~~~~~

Tabel 2 : Efek operasi simetri rotasi (2100) dan refleksi(M210) tanpa/dengan pembalikan arus (hjtam/merah)terhadap atom-atom yang tidak berada padasumbu/bidang simetri tersebut.

momen yang mungkin muncul adalah dua susunannonkolinear antiferomagnetik pada bidang dasarclan satu susunan kolinear feromagnetik searahsumbu-z.

UCAPAN TERIMAKASIH

Penulis sangat berterimakasih ataskesempatan dan fasilitas yang diberikan oleh Dr. R.A. Robinson dari Manuel Lujan Neutron ScatteringCenter, Los Alamos National Laboratory, AmerikaSerikat untuk mempelajari difraksi neutron untukbahan magnetik.

DAFTAR PUSTAKA

[I] Purwanto, R. A. Robinson, K. Prokes, H.Nakotte, F. R. de Boer, L. Havela, V.Sechovsky, N. C. Tuan, Y. Kergadallan, J. C.Spirlet, dan J. Rebizant, Structure. transportand thermal properties of UCoGa, J. Appl.Phys. 76, 7040 (1994).

[2] Mathematical Mcthods for Physicists, G.Artken, Academic Press., 1985, halaman 128-131.

+y -y @-Y

I () I b I x a x ( ) x (c)

Gambar 8: Proyeksi pad a bidang dasar heksagonal dari

susunan momen magnetik yang mungkin dengan simetri

(a) (2100)merah (M210)hilam, (b) (2100)hilam (M210)merah, dan(c) (2100)merah (M210)merah. Dalam mode! (a) dan (b),

momen terletak nonkolinear pada bidang dasar,

sedangkan pada (c) momen tersusun kolinearferomagnetik sejajar sumbu-c.

[3] Pengertian komensurat adalah bahwaperbandingan antara sel satuan yang mungkinmuncul selain sel satuan dasar dengan selsatuan dasar itu sendiri dapat dinyatakansebagai perbandingan antara dua bilanganbulat.

[4] Introduction to Solid State Physics, C. Kittel,Jolm Willey & Sons, Inc., 1986.

[5] Introduction to the theolY of thermal neutronscattering, G. L Squires, Cambridge Univ.Press, 1978.

KESIMPULAN

Salah satu teknik sistematik, yang seringdisebut sebagai metoda Shubnikov, untukpenentuan konfigurasi mom en magnetik telahdibahas. Teknik tersebut dapat dianggap sebagaiperluasan simetri kristal dimana elemen simetridiaplikasikan pada vektor aksial yang dalam hal iniadalah momen magnetik yang dapat dideteksidengan fasilitas difraksi neutron yang tersedia diSerpong. Pembahasan juga meliputi simetri selainsimetri kristal yaitu simetri yang melibatkanpembalikan arus sehingga arah momen yangbersangkutan menjadi berbalik. Contoh kasusdengan simetri heksagonal telah dikemukakan.Simetri heksagonal tersebut melibatkan pemilihansistem koordinat dengan sumbu yang tidak salingtegak lurus pada bidang dasar. Hasil konfigurasi

[6] international Tables for Crystallography,edited by T. Hahn (International Union ofCrystallography, 1987), Vol. A.

[7] J. Rossat-Mignod, dalam Methods ofExperimental Physics, editor Kurt Skold danDavid L. Price (Academic Press, Inc., "1987),Vol. XXIlI bagian C -Neutron Scattering, pp.69-157.

[8J C. Larson clan R. B. Von Dreele, GSAS -General Structure Analysis System, LosAlamos National Laboratory Report No. LA-UR-86- 748.

20 ~~, 13H4111g